相似三角形的判定课件人教版数学九年级下册

27.2.1相似三角形的判定第二十七章

相

似第2课时

三边成比例的两个三角形相似

如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.问题1

△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？问题2分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边

长是否对应成比例？BCADE相似三角形的引理三合作探究问题3

你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？BCADE通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立.想一想：BCADE

我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？

由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？

，而除

DE外，其他的线段都在△ABC的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？BCADE

由前面的结论可得，需要证明的是可以将

DE

平移到BC

边上去证明：在

△ADE与

△ABC中，∠A=∠A.∵

DE∥BC，∴

∠ADE=∠B，∠AED=∠C.如图，过点

D

作

DF∥AC，交

BC

于点

F.CABDEF用相似的定义证明△ADE∽△ABC∵

DE∥BC，DF∥AC，∴∵

四边形DFCE为平行四边形，∴

DE=FC，∴△ADE∽△ABC.∴由此我们得到判定三角形相似的定理：

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，

所构成的三角形与原三角形相似.三角形相似的两种常见类型：“A

”型

“X”型

DEABCABCDE1.

已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似

三角形.3练一练CDABEFO相似具有传递性2.

若

△ABC

与

△A′B′C′

相似，

一组对应边的长为AB

=3

cm，

A′B′=4

cm，那么△A′B′C′与

△ABC

的相似比是_____.4︰33.

若

△ABC

的三条边长的比为3cm，5cm，6cm，

与其相似的另一个

△A′B′C′

的最小边长为12

cm，

那么

A′B′C′

的最大边长是______.24cm当堂练习1.

如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若

BC=1，

则

EF

的长为

(

)A.

1B.

2C.

3D.

4BCAEFDB2.

如图，在

△ABC

中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，

BC

=

4

cm，EF

长()AA.

1cmB.cmC.

3cmD.2cmABCEF3.

如图，在

△ABC中，DE∥BC，则△____∽△____，

对应边的比例式为

＝

＝ADEABC————．BCADE4.

已知

△ABC

∽

△A1B1C1，相似比是

1:4，△A1B1C1

∽△A2B2C2，相似比是1:5，则△ABC与△A2B2C2的

相似比为

.1:205.

如图，在

□ABCD

中，EF∥AB，

DE

:EA

=

2:3，

EF

=

4，求

CD

的长．

解：∵EF∥AB，DE

:EA

=

2:3，DACBEF∴

即∴

△DEF∽△DAB，解得

AB=10.又∵四边形

ABCD为平行四边形，∴CD=AB=10.6.

如图，已知菱形

ABCD

内接于△AEF，AE=5cm，

AF

=

4

cm，求菱形的边长.

解：∵四边形

ABCD为菱形，BCADEF∴CD∥AB，∴

设菱形的边长为

xcm，则CD=AD=xcm，DF=(4－x)cm，∴

解得

x=∴菱形的边长为cm.2.证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？导入新课1.什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪

些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有

其缺点和局限性？ABCDE复习引入3.类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？讲授新课三边成比例的两个三角形相似合作探究

画

△ABC和

△A′B′C′，使，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？ABCC′B′A′ABCC′B′A′

通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以

△ABC

∽△A′B′C′.下面我们用前面所学得定理证明该结论.∴

C′B′A′证明:在线段

AB

(或延长线)

上截取

AD=A′B′，

过点

D

作

DE∥BC

交AC于点

E.∵

DE∥BC

，∴

△ADE

∽

△ABC.

∴DE=B′C′，EA=C′A′.

∴△ADE≌△A′B′C′，

△A′B′C′

∽△ABC.BCADE又

，AD=A′B′，

∴

，.由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．归纳：∵

，∴

△ABC

∽

△A′B′C.符号语言：例1

判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．ABC33.54DFE1.82.12.4典例精析解：在

△ABC

中，AB>BC>CA，在

△

DEF中，

DE>EF>FD.∴△ABC

∽

△DEF.ABC33.54DFE1.82.12.4∵，

，

，∴.方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.

已知

△ABC和

△DEF，根据下列条件判断它们是否相似.(3)AB=12，

BC=15，

AC＝24，DE＝16，EF＝20，

DF＝30.(2)AB=4，

BC=8，

AC＝10，DE＝20，EF＝16，

DF＝8；(1)AB=3，

BC=4，

AC＝6，DE＝6，

EF＝8，

DF＝9；是否否练一练例2

如图，在

Rt△ABC

与

Rt△A′B′C′中，∠C

=∠C

′

=

90°，且

求证：△

A′B′C′∽△ABC.

证明：由已知条件得

AB=2A′B′，AC=2A′C′，

∴BC2=AB2－AC2=(2A′B′)2－(2A′C′)2=4A′B′2－4A′C′2=4(A′B′2－A′C′2)=4B′C′2=(2B′C′)2.∴△

A′B′C′∽△ABC.(三边对应成比例的两个三角形相似)∴BC=2B′C′，∴∠BAC=∠DAE，∠BAC

－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即

∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.

∴

△ABC∽△ADE(三边成

比例的两个三角形相似).例3

如图，在

△ABC和

△ADE中，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.ABCDE解：∵解：在

△ABC和

△ADE中，∵AB

:CD

=

BC

:DE

=

AC

:AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.∴∠BAC－∠CAD=∠DAE－∠CAD，∴∠BAD=∠CAE.故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.

如图，已知

AB

:AD

=

BC

:DE

=

AC

:AE，找出图中相等的角(对顶角除外)，并说明你的理由.练一练ABCDE1.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三

角形的是()①②③④A.

①和②

B.

②和③C.

①和③

D.

②和④C当堂练习2.如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论

正确的是()

A.

△PAB∽△PCA

B.

△PAB∽△PDA

C.

△ABC∽△DBA

D.

△ABC∽△DCA

ACBPDC∵AB

:BC=

BD:AB=

AD:AC，∴△ABC∽△DBA，故选C.解析：设AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，∴AB=，AC=