湖南省长沙市望城区第一中学高三一模数学试题（原卷版）

2025届高三一模数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（）A. B. C. D.2.设表示不大于的最大整数，如，，若正数a满足，则（）A.10 B.11 C.12 D.133.设集合，则集合与集合的关系是（）A. B.C. D.4.已知数列满足，则下列说法正确的是（）A.若，则所有项恒大于等于 B.若，则是单调递增数列C.若是常数列，则 D.若，则是单调递增数列5.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（）A. B. C. D.6.如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（）A.这两个球体的半径之和的最大值为B.这两个球体半径之和的最大值为C.这两个球体的表面积之和的最大值为D.这两个球体的表面积之和的最大值为7.如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且，则点P的轨迹的长度为（）A. B. C. D.8.已知集合，则（）A B. C. D.二、多选题9.英国数学家泰勒发现了如下公式：，，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（）A. B.（精确到小数点后两位）C. D.当时，10.已知函数是的导函数，则（）A.“”是“为奇函数”的充要条件B.“”是“为增函数”的充要条件C.若不等式的解集为且，则的极小值为D.若是方程的两个不同的根，且，则或11.已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设，下列说法正确的是（）A.点的轨迹是双曲线B.是三角形的内心C.D.在上的投影向量为12.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若，则下列说法正确的是（）A.为定值B.抛物线的准线方程为C.过两点作抛物线的切线，两切线交于点，则点在以为直径的圆上D.若过点且与直线垂直的直线交抛物线于两点，则三、填空题13.的展开式中的系数为__________.14.将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为__________.15设向量．若，则实数________.16.某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3个学年将4门选修课程学完，则每位同学的不同选修方式有__________种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为__________．四、解答题17.已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上.（1）求的方程；（2）过点的直线与C相交于F，G两点，点E与点F关于轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求.18.已知，其中，.（1）若与相切，求实数的值；（2）当时，证明：；（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.19.对于一组向量、、、…、（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．（1）设，且，若是向量组、、的“长向量”，求实数的取值范围；（2）若，且，向量组、、、…、是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知、、均是向量组、、的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列、、、…、，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．20.已知函数，.（1）当时，求的极值；（2）若函数有2个不同的零点，.（i）求的取值范围；（ii）证明：.21已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，讨论曲线与曲线交点个数．2