二项式系数的性质及应用课件-高二下学期数学选择性

苏教版2019选择性必修第二册第7章

计数原理

二项式系数的性质及应用掌握二项式系数的性质；会用赋值法求展开式系数的和；会应用二项式系数的性质解决一些简单问题②

重点①

重点学习目标1.二项式定理.(a+b)n=Chan+Chan-1b+…+Chan-kbk+…+CRbn(n∈N*)2.二项展开式的通项

Tk+1=Chan-kbk3.二项式系数

Cn,

,C2,

,

…,Cn知识回顾新课导入二项式定理展开式(a+b)¹=1a+1b(a+b)²=1a²+2ab+1b²(a+b)³=

1a³+

3a²b+

3ab²+

1b³(a+b)⁴=1a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+1b⁴(a+b)⁵=1a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+1b⁵(a+b)⁶=1a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+1b⁶ C¹n3C"(a+b)"=Ca"+Cla"-b+…+C'a"⁻'b'+…+C"b"思考观察杨辉三角及二项式定理展开式，总结二项式系数有什么特点n2n0杨

辉

三

角1

11

I

2

11

33

11

4

6

411

5

10[10

5

11

6

15

20[

15

6

1y

新课讲授(1)每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等

…

…(2)图中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和(3)图中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.(4)第1行为1=2⁰,

1

……………2⁰1、

1……………2¹第2行的两数之和为2,

1、2

、1…………2²第3行的三数之和为2

…...

1

3

3

1………2³第7行的各数之和为26

1

4

6

4

1…………1

6

15

2015

6

1

…2⁶…2⁴二项式系数特点1

5

10

10

5

1

2⁵新课讲授③前增后减，中间一项或两项最大时，

,增.

时

，

,减.④

C+C¹+C²+

…+C“=2”.C°+C²+C⁴+

…=C+C³+C⁵+

…

.②

每个展开式的二项式系数的对称性是：首末两端“等距离”的二项式系数相等.①

表中从第二行起，每一个数等于两肩上的两数之和.二项式系数性质新课讲授因为所以，当即所以，当k

时

即时，Ct>C,增。

时。

,减.求

证证

明新课讲授例

4

证明在(a+b)"

的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.证

明

在展开式(a+b)"=Ca"+Cla"-b+…+Cha"⁻'b'+…+C"b"

中，令a=1,b=-1

得(1-1)"=C°-Cn+C²-C³+…+(-1)"C就

是

0

=(C+C²+…)-(C¹+C³+…)所以

即在(a+b)"

的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数的和.y

典例分析用二项式定理证明：9910-1能被1000整除.9910-1=(100-1)10-1y

典例分析=C1o1001⁰-C¹0100⁹+…+Cio100²-1000.因为上式的每一项都能被1000整除，所以9910-1能被1000整除.例5证明(1)(x+y)¹0

的展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，

即第6项的二项式系数最大，最大值为Ci₀=252;(2)因为(1+x)⁶⁴=C%4x⁰+C64x¹+C²4x²+…+C64x⁶³+cgx⁶4,令x=1可得2⁶⁴=

C84+C64+C²4+…+C4+cg4,令x=-1

可

得

7两式相减可得26⁴=2(C64+C34+…+C6),

则填空：(1)(x+y)¹0的展开式中二项式系数的最大值是

;(2)

;(3)38被5除所得的余数是

y

学以致用练习

1解4填空：(1)(x+y)¹0的展开式中二项式系数的最大值是

;(2)

■(3)38被5除所得的余数是

.(3)3⁸=(5-2)⁸=C8·5⁸·(-2)⁰+Cg·5⁷·(-2)¹+C8·56

·

(-2)²+…+C8·5°·(-2)⁸,除了最后一项外其余项都可以被5整除，又C8

·5°

·

(-2)⁸=256,因为256除以5余1,所以38被5除所得的余数是1

.y

学以致用练

习

1解Ci₂+Ci₂

等于(

)A.

B.

C.由组合数公式的性质可得：Ci₂+Ciz=Ci₃

.

故选：B.练习2学以致用解D.C12y

学以致用练习3解求证

：右边=(2+1)n=Cn·2⁰·1n-0+C1·2¹·1n-1+C2·22·1n-2+…+Ch·2r·1n-r+…+Cn·2n·1n-n=1+2Cn+4C²+2³c³+…+2n-1cn-

¹+2nCn=

左边所以原等式成立y

学

以

致

用证明练习4求证：当n为偶数时，Cn+C2+C+…+Ch=2n-1.当n

为偶数时∵(1+1)n=Cn+Cn+.…+C=2"①(1-1)n=Cn-Cn+Ch+.…+Cn=0②①+②得2(Cn+C吮+C先+.….+Cn)=2n∴Ch+吃+C先+…+Ch=2n-1.y

学以致用证

明练

习

5C"=C"-";C+C"-¹=C"+1;当

时

，C<C+¹;当