九年级数学上册数学全册教案

《人教版九年级上册全书教案》

其次十一章二次根式

教材内容

1.本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二

次根式.

2.本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第

十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上接着学习的，它也

是今后学习其他数学学问的基础.

教学目标

1.学问及技能

（1）理解二次根式的概念.

（2）理解G620）是一个非负数，（&）2=a（a，0）,而二a

（a，0）.

（3）驾驭&i•\[b=\[ab（a，0,b，0）,\[ab-\[a•4b;

当中（心0,b>0）,信亨（aM,b>0）.

（4）了解最简二次根式的概念并敏捷运用它们对二次根式进行

加减.

2.过程及方法

(1)先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得

出概念.□再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用

这些重要结论进行二次根式的计算和化简.

(2)用详细数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘

(除)法规定，□并运用规定进行计算.

(3)利用逆向思维，□得出二次根式的乘(除)法规定的逆向

等式并运用它进行化简.

(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，

□给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同

的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.

3.情感、看法及价值观

通过本单元的学习培育学生：利用规定精确计算和化简的严谨

的科学精神，经过探究二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，

发展学生视察、分析、发觉问题的实力.

教学重点

1.二次根式&(a20)的内涵.&(a20)是一个非负数;

(6)2=a(a，0);以二a(a20)□及其运用.

2.二次根式乘除法的规定及其运用.

3.最简二次根式的概念.

4.二次根式的加减运算.

教学难点

1.对&（a，0）是一个非负数的理解；对等式（&）2=a（a

20）及77二a（a，0）的理解及应用.

2.二次根式的乘法、除法的条件限制.

3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根

式.

教学关键

1.潜移默化地培育学生从详细到一般的推理实力，突出重点，

突破难点.

2.培育学生利用二次根式的规定和重要结论进行精确计算的实

力，□培育学生一丝不苟的科学精神.

单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，详细安排如下：

21.1二次根式3课时

21.2二次根式的乘法3课时

21.3二次根式的加减3课时

教学活动、习题课、小结2课时

21.1二次根式

第一课时

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用&(a20)的意义解答详细题目.

提出问题，依据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

教学重难点关键

1.重点：形如后(a，0)的式子叫做二次根式的概念；

2.难点及关键：利用“五(a20)”解决详细问题.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题：

问题1:已知反比例函数y二』，那么它的图象在第一象限横、

X

口纵坐标相等的点的坐标是.

问题2:如图，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,NC=90。,

那么AB边的长是.

A

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、

8,那么甲这次射击的方差是S2,那么S二.

老师点评：

问题1:横、纵坐标相等，即x=y,所以x?=3,因为点在第一象

限，所以x二百，所以所求点的坐标（&,百）.

问题2：由勾股定理得AB二加

问题3:由方差的概念得S二6.

二、探究新知

很明显为、回、E都是一些正数的算术平方根,像这样一

些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般

地，我们把形如G（a，0）□的式子叫做二次根式，称为二

次根号.

（学生活动）议一议：

1.-1有算术平方根吗？

2.0的算术平方根是多少？

3.当a<0,右有意义吗？

老师点评：(略)

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：夜、独、

Ly/x(x>0)、Vo>蚯、一夜、、Jx+y(x20,yU^O).

x

分析：二次根式应满意两个条件：第一，有二次根号“一”；其

次，被开方数是正数或0.

解：二次根式有：&、4(x>0)、而、-6、Jx+y(x，0,

y，0);不是二次根式的有：火、正、.

x

例2.当X是多少时，二T在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数确定要大于或等于0,所

以3x720,□反万才能有意义.

解：由3x720,得：

3

当时，757二T在实数范围内有意义.

3

三、巩固练习

教材P3练习1、2、3.

四、应用拓展

例3⑴已知y二万R77^+5,求土的值.(答案⑵

)'

⑵若G+Q=O,求a2°°4+b2。°4的值.（答案：2）

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要驾驭：

1.形如右（a20）的式子叫做二次根式，“，”称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必需满意被开方数是非

负数.

六、布置作业

1.教材P5复习巩固1、综合应用5.

漕加内容：

课后反思:

可以授节课

教研组长看法

2013年月日

21.1二次根式(2)

其次课时

教学内容

1.4a(aNO)是一个非负数；

2.(右)2二a(a20).

教学目标

理解G(a^O)是一个非负数和(及)2=a(a^O),并利用它

们进行计算和化简.

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出&（a^O）

是一个非负数，用详细数据结合算术平方根的意义导出（6）2二a

（a，0）;最终运用结论严谨解题.

教学重难点关键

1.重点：\[a（a20）是一个非负数；（&）2=a（a，0）及其

运用.

2.难点、关键：用分类思想的方法导出&（a，0）是一个非

负数；□用探究的方法导出（&）2=a（a，0）.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）口答

1.什么叫二次根式？

2.当a20时，6叫什么？当a<0时，«有意义吗?

老师点评（略）.

二、探究新知

议一议：（学生分组探讨，提问解答）

&（a^O）是一个什么数呢？

老师点评：依据学生探讨和上面的练习，我们可以得出

\[a（a20）是一个非负数.

做一做：依据算术平方根的意义填空：

(74)-;(V2)2=;(V9)2=；(G)

2-_____9-

(J)、一；情)J；(氏).

老师点评：〃是4的算术平方根，依据算术平方根的意义，"

是一个平方等于4的非负数，因此有(血)2二4.

同理可得：(&)F,(79)2=9,(石)2=3,(J)2=|,(《)

(Vo)2=0,所以

2

(右)2=a(a20)

例1计算

1.(£)22.(375)23.(启24.哼)2

分析：我们可以干脆利用(石)2=a(a20)的结论解题.

解：(身工，(36)2二3”6)守・5二45,

三、巩固练习

计算下列各式的值:

(如)2(胃)2(斗)2(而)2J卜

(3*)2-(56)2

四、应用拓展

例2计算

1.(V7TT)2(x，o)2.(77)23.(Jl+2a+i)2

分析：(1)因为x20,所以x+1>0;(2)a2^0;(3)a2+2a+1=

(a+1)20;

(4)4x-12x+9=(2x)-2•2x•3+3?二(2x-3)2^0.

所以上面的4题都可以运用(6)2=a(a，0)的重要结论解题.

解：(1)因为x，0,所以x+1>0

(Vx+T)2=x+1

(2)Va2^0,A(V7)2=a2

(3)Va2+2a+1=(a+1)2

又(a+1)2,0,/.a2+2a+1^0,/.yja2+2a+\=a2+2a+1

五、归纳小结

本节课应驾驭：

1.G(a^O)是一个非负数；

2.(Vtz)2=a(a20);反之：a=(4)2(a>0).

六、布置作业

1.教材P8复习巩固2,3

增加内容：

__________________________________________课后反思：

可以授节课

教研组长看法

2013年月日

21.1二次根式(3)

第三课时

教学内容

V?=a(a20)

教学目标

理解而二a(a20)并利用它进行计算和化简.

通过详细数据的解答，探究V7=a(a20),并利用这个结论解

决详细问题.

教学重难点关键

1.重点：正=a(a，0).

2.难点：探究结论.

3.关键：讲清a，0时，"=a才成立.

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1.形如八(a20)的式子叫做二次根式；

2.y[a(a，0)是一个非负数；

3.(\[a)2=a(a，0).

那么，我们猜想当a，0时，V7=a是否也成立呢？下面我们就

来探究这个问题.

二、探究新知

(学生活动)填空：

万二；76^7=；=；

二：行二：二.

(老师点评)：依据算术平方根的意义，我们可以得到：

厅二2；Vo.oi2=0.01;=—;=-;而二0;=-.

1037

因此，一般地：行二a(a20)

例1化简

(1)也(2)“-4)2(3)V25(4)7(-3)2

分析：因为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可运用77二a(a^O)□去化简.

解：(1)亚二后二3(2)J(-4)2二后二4

(3)后二厅二5(4)J(-3『二疗二3

三、巩固练习

教材P5练习2.

四、应用拓展

例2填空：当a^O时，77=;当a<0时，而二,

□并依据这一性质回答下列问题.

(1)若必二a,则a可以是什么数？

(2)若=-a,则a可以是什么数？

(3)Ga,则a可以是什么数？

分析：VV7=a(a，0),・••要填第一个空格可以依据这个结论,

其次空格就不行，应变形，使"()2"中的数是正数，因为，当a

<0时，"二历尸，那么一a20.

(1)依据结论求条件；(2)依据其次个填空的分析，逆向思想;

(3)依据(1)、(2)可知以二|a|,而|a|要大于a,只有什么

时候才能保证呢？a<0.

解：(1)因为。=a,所以a20;

(2)因为C=-a,所以aWO;

(3)因为当a20时而二a,要使77>a,即使a>a所以a不存

在；当a<0时，V7=-a,要使户>a,即使-a>a,a<0综上，a<0

例3当x>2,化简J(x—2)2-&1—24.

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应驾驭：行二a（a，0）及其运用，同时理解当£0时,

而=-a的应用拓展.

六、布置作业

1.教材Ps习题21.4、6、8.

漕加内容：

__________________________________________课后反思:

可以授节课

教研组长看法

2013年月日

21.2二次根式的乘除

第一课时

教学内容

x[a•y/h—y[cib(a20,b，0),反之二&•\[h(a20,b20)

及其运用.

教学目标

理解G•\[b—\[ab(a20,b20),\[ab-Viz•\[b(a，0,b

20),并利用它们进行计算和化简

由详细数据，发觉规律，导出G­折=疝(a^O,b20)并

运用它进行计算；□利用逆向思维，得出，石二及(a^O,b

20)并运用它进行解题和化简.

教学重难点关键

重点：4a•\[b=\[ab(a20,b20),4ab-y/a•\fb(a^O,b

20)及它们的运用.

难点：发觉规律，导出石•血=疝(a，0,b20).

关键：要讲清"石(a<0,b<0)二右・6，如7(-2)x(-3)=7-(-2)x-(-3)

或&-2)x(-3)二万b二6X6.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题.

1.填空

(1)V?X79=,74^9=;

(2)V16X725=,-16x25/.

(3)TWOX736=,7100x36=.

参考上面的结果，用“>、<或="填空.

74XV9_____74^9,V16XV25716x25,、丽X

x/36V100x36

2.利用计算器计算填空

(1)V2XV3瓜,(2)V2X75VTo,

(3)亚X瓜730,(4)V4XV5而,

(5)币XM屈.

老师点评(订正学生练习中的错误)

二、探究新知

(学生活动)让3、4个同学上台总结规律.

老师点评：(1)被开方数都是正数；

(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式，□并且把这两个

二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数.

一般地，对二次根式的乘法规定为

\[a•\[h=\[ab.(a，0,b，0)

反过来：岚二瓦•赤(a20,b20)

例1.计算

(1)75X77(2)[x囱(3)V9XV27(4)A

XV6

分析：干脆利用&・〃=而(a^O,b20)计算即可.

解：(1)石X赤二底

(2)XV9——\/3

(3)V9XV27=^9X27=792X3=9>/3

(4)X^6—->/3

例2化简

(1)79x16(2)716x81(3)781x100

(4)y]9x2y2(5)V54

分析：利用疝二6•4b(a，0,b，0)干脆化简即可.

解：(1)>/9X16=X/9X716=3X4=12

(2)716x81=^X781=4X9=36

(3)Vs1x100—V8TXy]\00—9X10—90

(4)师了二行=V?x77=3xy

(5)后二后^二后XR二3a

三、巩固练习

(1)计算(学生练习，老师点评)

①而又枇②3mX2M③底i•

⑵化简：而；如；V24;V54;J12八2

教材P”练习全部

四、应用拓展

例3.推断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)J(T)x(_9)=Cx"

(2)XV25=4XJ—XV25=4J—X725=4V12=873

解：(1)不正确.

改正：J(Y)x(-9)=「4x9=V?X79=2X3=6

(2)不正确.

改正：XV25=XV25—VH2=>/16X7=477

五、归纳小结

本节课应驾驭：(1)4a•扬=y[ab-(a20,b20),4^b-4a•后

(a，0,b20)及其运用.

六、布置作业

1.课本P12.1.

增加内容：

课后反思:

可以授节课

教研组长看法

2013年月日

21.2二次根式的乘除

其次课时

教学内容

反过来百啜

7rM(a^O,b>0),(a^O,b>0)及利用它们进

行计算和化简.

教学目标

理解里二口(a^O,b>0)和、口二四(a^O,b>0)及利用它

&Nb\b4b

们进行运算.

利用详细数据，通过学生练习活动，发觉规律，归纳出除法规

定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.

教学重难点关键

1.重点：理解/二、口(a^O,b>0),、口二/(a^O,b>0)

及利用它们进行计算和化简.

2.难点关键：发觉规律，归纳出二次根式的除法规定.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题：

1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.

2.填空

3.利用计算器计算填空:

(1)鼻_________,(2)+,(3)济______

V4V3V5

(4).

规律：小监；w；

"---------V46------------\R3V*5---------PV5

a[7

W——Vi°

每组举荐一名学生上台阐述运算结果.

(老师点评)

二、探究新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得特别精确，依

据大家的练习和回答，我们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定：

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

例L计算：⑴普(2)(3)(4)f

分析：上面4小题利用(a^O,b>0)便可干脆得出答案.

角单：(1)亲二后二八二2

(2)=J-^-=J-x8=y/3^4=y/3x=2^

V28丫2

(3)-V4=2

⑷展除乒26

例2.化简：

(1)后(2)(3)(4)

分析：干脆利用(a±0,b>0)就可以达到化简之目的.

(2)二

(3)二

(4)二

三、巩固练习

教材P11练习1.

四、应用拓展

例3.已知，且x为偶数，求(1+x)的值.

分析:式子只有a20,b>0时才能成立.

b4h

因此得到9-x，0且x-6>0,即6<xW9,又因为x为偶数，所以

x=8.

解：由题意得，即

.•・6<xW9

Vx为偶数

/.x=8

.,•原式二(1+x)

=(1+x)

=(1+x)=J(l+x)(x_4)

，当x=8时，原式的值=/^?二6.

五、归纳小结

本节课要驾驭和

(a^O,b>0)厂方(a^O,b>0)

及其运用.

六、布置作业

1.教材九习题21.22、3.

增加内容：

__________________________________________课后反思:

可以授节课

教研组长看法

2013年月日

21.2二次根式的乘除(3)

第三课时

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式

的化简运算.

教学目标

理解最简二次根式的才既念，并运用它把不是最简二次根式的化

成最简二次根式.

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并依据

它的特点来检验最终结果是否满意最简二次根式的要求.

重难点关键

1.重点：最简二次根式的运用.

2.难点关键：会推断这个二次根式是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

1.计算（1）.，（2）建，（3）盘

V5V27

老师占评.见二叵在二1昱二巫

2.现在我们来看本章引言中的问题：假如两个电视塔的高分别

是％km,h2km,□那么它们的传播半径的比是.

它们的比是.

二、探究新知

视察上面计算题1的最终结果，可以发觉这些式子中的二次根

式有如下两个特点：

1.被开方数不含分母；

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满意上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？假如不是，把它们化

成最简二次根式.

学生分组探讨，举荐3〜4个人到黑板上板书.

老师点评：不是.

例1.(D；⑵而不¥；⑶而F

例2.如图，在Rt^ABC中，NC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB

的长.

A

解：因为AB2=AC2+BC2

所以AB=J2S+62=橙+36=科=噜*=6,5所)

因此AB的长为6.5cm.

三、巩固练习

教材P”练习2、3

四、应用拓展

例3.视察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的

化成最简二次根式：

二万血二)=立心二

(V2+1)(72-1)2-1

_1x(73-72)_75-V2_rr_行

入用物回扬一下「一7，

同理可得：二"-石，……

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

(+++.........)(V2002+1)的值.

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，

分母有理化后就可以达到化简的目的.

解：原式二(V2-1+V3-V2+V4-V3+.........+72002-72001)X

(#2002+1)

二(J2002T)(72002+1)

=2002-1=2001

五、归纳小结

本节课应驾驭：最简二次根式的概念及其运用.

六、布置作业

1.教材％习题21.23、4,5.

增加内容:

__________________________________________课后反思：

可以授节课

教研组长看法

2013年月日

21.3二次根式的加减⑴

第一课时

教学内容

二次根式的加减

教学目标

理解和驾驭二次根式加减的方法.

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行

加减的方法的理解.再总结阅历，用它来指导根式的计算和化简.

重难点关键

1.重点：二次根式化简为最简根式.

2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y;(4)3a2-2a2+a3

老师点评：上面题目的结果，事实上是我们以前所学的同类项

合并.同类项合并就是字母不变，系数相加减.

二、探究新知

学生活动：计算下列各式.

(1)20+3后(2)2限-3亚+5近

(3)疗+2疗+3回5(4)3^-273+72

老师点评：

(1)假如我们把血当成x,不就转化为上面的问题吗？

272+372=(2+3)及二5五

(2)把人当成y;

2Vs—3Vs~^5V8—(2-3+5)yjs—4y/8—8V2

(3)把将当成z；

出+2币+M币

二2币+2币+3币=(1+2+3)V7=677

(4)G看为x,0看为y.

3^-2A/3+V2

二(3-2)V3+V2

=G+&

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2四及人表

面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的.

(板书)372+^=372+272=572

38+后二38+3石二66

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式,

□再将被开方数相同的二次根式进行合并.

例1.计算

(1)瓜+V18(2)业6x+164x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；其次

步，将相同的最简二次根式进行合并.

解：(1)瓜+则二2后+3桓二(2+3)72=572

(2)Jl6x+J64K=4&+8G=(4+8)Vx-12Vx

例2.计算

(1)3a-9卜3月

(2)(V48+V20)+(712-75)

解:(1)3748-9^+3712=1273-373+673=(12-3+6)斥15c

(2)(748+720)+(V12-V5)=V48+V20+V12-A/5

=46+2,5+2百一新=66+6

三、巩固练习

教材队练习1、2.

布置作业

1.教材乙习题21.1

增加内容:

__________________________________________课后反思：

可以授节课

教研组长看法

2013年月日

21.3二次根式的加减(2)

其次课时

教学内容

利用二次根式化简的数学思想解应用题.

教学目标

运用二次根式、化简解应用题.

通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进

行合并后解应用题.

重难点关键

讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、

关键点.

教学过程

一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归

为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式：其次步，

再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做

巩固.

二、探究新知

例1.如图所示的RtZkABC中，ZB=90°，点P从点B起先沿BA

边以1厘米/□秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B起先沿

BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：几秒后△PBQ的面积为

35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x,BQ二2x,

□依据三角形面积公式就可以求出x的值.

解：设x后△PBQ的面积为35平方厘米.

则有PB=x,BQ=2x

依题意，得：-x-2x=35

2

X2=35

x—J35

所以岳秒后△PBQ的面积为35平方厘米.

PQ-yjPB^BQ1=VX2+4X2=75?=V5X35=577

答：而秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5万厘

米.

例2.要焊接如图所示的钢架，大约须要多少米钢材(精确到

0.1m)?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材,

□只需知道这四段的长度.

解：由勾股定理，得

AB二』AD2+BD?="+2?=而=2后

BC二yjBDr+CDr=722+12二6

所需钢材长度为

AB+BC+AC+BD

=275+75+5+2

=375+7

^3X2.24+7^13.7(m)

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约须要13.7m的钢材.

三、巩固练习

教材P16练习3

四、应用拓展

例3.若最简根式犯风不诬及根式也不二庐奇是同类二次根式，

求a、b的值.(□同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式)

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开

方数相同；□事实上，根式，2〃/—/+6/不是最简二次根式,因此

把J2次？_方+6方化简成|b|•12a-b+6,才由同类二次根式的定义

得3a-LJb二口2,2a-b+6-4a+3b.

解：首先把根式J2M2—分+6之化为最简二次根式:

一力3+6b2二妍(2〃-1+6)二|b|•〃+6

由题意得

♦・

/.a=1,b=1

五、归纳小结

本节课应驾驭运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.

六、布置作业

1.教材Pu习题21.37.

增加内容:

__________________________________________课后反思：

可以授节课

教研组长看法

2013年月日

21.3二次根式的加减(3)

第三课时

教学内容

含有二次根式的单项式及单项式相爽、相除；多项式及单项式

相乘、相除；多项式及多项式相乘、相除；乘法公式的应用.

教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘

法公式的应用.

复习整式运算学问并将该学问运用于含有二次根式的式子的乘

除、乘方等运算.

重难点关键

重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

难点关键：由整式运算学问迁移到含二次根式的运算.

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题：

1.计算

(1)(2x+y)•zx(2)(2x2y+3xy2)-rxy

2.计算

(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+1)2+(2x-1)2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要

有(1)□单项式X单项式；(2)单项式X多项式；(3)多项式：单

项式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的运用.

二、探究新知

假如把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是

否仍成立呢？口仍成立.

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义特别广泛，可以

代表全部一切，□当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算

规律也适用于二次根式.

例1.计算：

(1)(瓜+册)Xy/3(2)(4瓜-3母)

分析：刚才已经分析，二次根式仍旧满意整式的运算规律，□所以

干脆可用整式的运算规律.

解：(1)(a+屈)X73=76XV3+V8XV3

—\/1-8+-24—3\/2+2\/6

解：(4\/6_3V2)-r2V2=4>/64_25/2-3V24_25/2

=273--

2

例2.计算

(1)(V5+6)(3-75)(2)(VlO+V?)(V10-V7)

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公

式运算中仍旧成立.

解：(1)(75+6)(3-石)

-375-(■)2+18-6>/5

=13-375

(2)(M+近)=(Vfo)-(V7)2

=10-7=3

三、巩固练习

课本%练习1、2.

四、应用拓展

例3.已知士心二2-，其中a、b是实数，且a+bHO,

a

化简+,并求值.

分析：由于(G+五)(而1-«)口，因此对代数式的化简，

可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到X

的值，代人化简得结果即可.

解..原式=(Jx+l+(Jx+1+6)”

(Jx+1+\Zx)(>/x+l-Vx)(Jx+1-«)(，¥+14-A/X)

二十

二(x+1)+x-2“(x+l)+x+2Jx(x+1)

=4x+2

...x-h2__

Cl

/.b(x-b)=2ab-a(x-a)

二•bx-b2=2ab-ax+a2

，(a+b)x=a2+2ab+b2

，(a+b)x=(a+b)2

*.*a+b#=0

，x二a+b

，原式=4x+2=4(a+b)+2

五、归纳小结

本节课应驾驭二次根式的乘、除、乘方等运算.

六、布置作业

1.教材％习题21.32,3,4.

增加内容:

__________________________________________课后反思：

可以授节课

教研组长看法

2013年月日

二次根式复习课

教学目标

1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能娴熟地化简

含二次根式的式子；

2.娴熟地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

教学重点和难点

重点：含二次根式的式子的混合运算.

难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式

的式子.

教学过程设计

一、复习

1.请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明

各式成立的条件.

指出：二次根式的这些基本性质都是在确定条件下才成立的，主

要应用于化简二次根式.

2.二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.

指出：二次根式的乘、除法则也是在确定条件下成立的.把

两个二次根式相除，

先写成分式形式，即六瓜+、历=宗，再运用二次根式的除法法则进行计算，计算,

计算结果要把分母有理化.

3.在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次

根式的关系式：

(l)a=(^)2(a>0)；(2)|a|=77.

4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运

用三个可逆的式子：

⑴函产=a(a)O)与a=(@2(a>0)；

(2)-\Ab=7a•Vf(a)O,b》O)与m•Jb=^b(a^O,b》O)；

(3)《=[(a)0,b>0)与｛=((a>O,b>0).

例如，化简看，可以用3种方法：

⑴直接约分子等

(2)分母有理化重=案y=不；

(3)看作二次根式的除法卷==汨.

5.正不一定能化成('局t

当a20时，如(石)，=后=(石)2,(疝)2=7^=(To)2,此时，7?

=(\但)2；当/〈0时，&-2)，=厉=(后,但G无意义，所以J(-2)2<(P)2

时47户(店),

二、例题

例1X取什么值时，下列各式在实数范围内有意义:

(1)V3-x+Jx—2；(2)---^==；

17x

(3)、盾+J-2x；(4)J?2.

3x

分析:

(1)题是两个二次根式的和，x的取值必需使两个二次根

式都有意义；

(2)题中，式子的分母不能为零，即杯能取使1-必=0的值；

(3)题是两个二次根式的和，x的取值必需使两个二次根

式都有意义；

(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x

的取值必需使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零.

解(1)要使J3-x有意义,必须3.x》0,即x《3；要使Jx-2有意义,必须x-2》0,

即x》2.所以使式子j3-x+Jx-2有意义的通.为3.

(2)因为1・衣=1・因,当x=±1时，1・国=0,原式没有意义,所以当x#±l时,

式子已常有意义.

(3)因为使J及有意义的x值为x》0,使W石有意义的确I值为x40,所以使♦位

+J-2x有意义的嫌为x=0.

(4)因为使虚较有意义的x取值为x+2>0,0Px>-2,而分母3x卢0,即x卢0,所

以使式子因匪有意义的x取值为

3x

x，-2且x=/=0.

例2已知m,n为实数，且满足m一言+.求6m-3n的值.

J"-"'n-：3

分析：先根据已知条件求出m与n的值，再求多项式6m-3n的值,二次根式而二?

与，6二B有意义的条件分别是r?.93。及9.八3o,从中求得n的值，从而确定m£

解因为门2-920,9-n2^0,且n-3丰0,所以「二9且n学3,所

以

Jn，-9+A/9-n2+442

n=-3,m=----------------=-T=,

n-3-63

6m-3n=6X(-1)-3(-3)=5.

指出：例1和例2主要复习二次根式的意义，即当a》0时，二次根式有意义.

例3

…芹-4a+473-a1

计算心-4a+3'TT+7T7'

分析：第一个二次根式的被开方数的分子及分母都可以分解因

式.把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式

子化简，化简中应留意利用题中的隐含条件3-a20和1-a>0.

解因为1-a>0,3-a^0,所以

a<1,|a-21=2-a.

(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)^0.

22-4a+4斤a]_[(a_2尸._1

a-2Jl-a^(a3)a-2Jl-a

Va2-4a+3

J(a一2)，.J3-a1

-l)(a-3)a-2Jl-a

|a-2|.J3-a+1

-

A/(a-l)(a3)a-2Jl-a

2-aJ3—a1

Jl-a♦，3~aa-2JI-a

=0.

指出：由于二次根式的基本性质7?=|a|要由a的取值范围确定，即

4

[fU^/ab=7a司成立的条件是a30及b30(a>0,b>0),因此在运

这些性质化简含二次根式的式子时，要留意上述条件，并

要阐述清晰是怎样满意这些条件的.

硼已知”而片

-4的值.

问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如

何化为完全平方式？

'+4=/+义+21

答:-4=a2+-y-2=Ia

a

问:如何确定a+」及a」的值是正值还是负值?

aa

11厂厂

答:可由己知条件a==J5-、杉〉0,~-V3+V2,知aH■一〉0.

aa

*=(、葭②一

=(73-72)-(73+72)

=-2V2<0.

当aS时，

原式=2a=2（有一、泛）=2/・2、泛.

分析：先把其次个式子化简，再把两个式子进行通分，然

后进行计算.

+x1-X

例5计算

J1+X+J1-XJ]_/-1+X

解

-1+X+1-X

+X+71-X71+X12-1+X

J1+X1-X

71+X+Vl-xJ1+，-1+X

+.J1-X

=-.---_+—----一

+X+J1-X0+X-J1-X

J1+X(J1+X-J1X)+J1-X(J1+X+J]X)

(Jl+X+Jl_x)(j]+X-J1一■)

32

71^7tG/T^)

71+X+71_XJ(1_x)(]+x)-(71-X)2

Jl+X(J]X)2

Jl+x+Jl-xJl-X(Jl+X-V1-x)

1+X-J1+X♦Jl-X+Jl-X♦Jl+X+(1-x)

1+X-(i)

=_2_=_1

2xx

留意:

1.因为第二个式子中的分母向7・l+x卢0,因此X井1.

所以在化简过程中，分子与分母可以同除以J1-X.

2.例5中运用了二次根式的基本性质'旗=/♦花(a》0,b》0和关系式a=(6)

(a)0)进行二次根式的混合运算.

例6

…田n+2+Jn2-4n+2-Jn2-4

计算------4=+------r^=•

n+2-Vn2-4n+2+Jn，-4

分析：假如把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理

化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，依据式子的结构

特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子

变形，就可以使运算变为简捷.

解设a=n+2+.4,b=n+2-Vn2-4,那么

a+b=2(n+2),ab=(n+2)2-(n2-4)=

4(n+2),

所以原式=Z+B==0+b)=2ab=(a+b)24(n+2)2_

baababab4(n+2)

三、课堂练习

1.选择题：

(l)7(a-2)2=2-a,a的取值范围是[]

A.aW2B.a22

C.a=A2D.a<2

(2)x<・2时，&x+2)2等于[]

A.x+2B.-x-2

C.-x+2D.x-2

(3)化简J(x-a)，++a)"(0<x〈a)等于[]

A.2xB.2a

C.-2xD・