《备考指南 文科数学》课件-第2章 第9讲

函数概念与基本初等函数第二章第9讲函数模型及其应用【考纲导学】1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型)在社会生活中的广泛应用．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型：(2)三种函数模型的性质：函数y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)内的增减性单调__________单调__________单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与__________平行随x的增大逐渐表现为与__________平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax递增递增y轴x轴2．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：【答案】D

【解析】根据x＝0.50，y＝－0.99,代入计算,可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D．2．下图所示是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(

)【答案】D

【解析】由图可知，张大爷开始匀速离家直线行走，中间一段离家距离不变，说明在以家为圆心的圆周上运动，最后匀速回家．故选D．3．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(

)A．100只 B．200只C．300只 D．400只【答案】B

【解析】由题意知100＝alog3(2＋1)，所以a＝100.所以y＝100log3(x＋1)．当x＝8时，y＝100log39＝200.故选B．【答案】11.5

【解析】设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(桶)，则y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13.当x＝6.5时，y有最大值，所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润．1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(

)(2)幂函数增长比直线增长更快．(

)(3)不存在x0，使ax0<x<logax0.(

)(4)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．(

)(5)指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)的增长速度越来越快．(

)(6)指数函数模型，一般用于解决变化较快、短时间内变化量较大的实际问题．(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

(6)√课堂考点突破2一次函数、二次函数模型

提高市内跨江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：km/h)是车流密度x(单位：辆/km)的函数．桥上的车流密度达到200辆/km时，造成堵塞，此时车流速度为0；车流密度不超过20辆/km时，车流速度为60km/h.研究表明，当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/h)f(x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大值(精确到1辆/h)．【规律方法】一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略：(1)直接考查一次函数、二次函数模型．解决此类问题应注意三点：①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．(2)以分段函数的形式考查．解决此类问题应关注以下三点：①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；③分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大者(最小者)．【跟踪训练】2．某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？指数函数、对数函数、幂函数模型的应用(1)求常数λ的值；(2)试计算污染物减少到最初的10%至少需要多长时间？(精确到1h)参考数据：ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln10≈2.30.【规律方法】(1)与幂函数、指数函数、对数函数三类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图象求解最值，必要时可借助导数．【跟踪训练】3．(2018年上海闵行区一模)某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益．据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%,30天后捐赠运动步的人数稳定在第30天的水平．假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元(以下人数精确到1人，收益精确到1元)．(1)求活动开始后第5天的捐步人数及前5天公司的捐步总收益．(2)活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？参考数据：1.154≈1.749,1.155≈2.011,1.1529≈57.58，1.1530≈66.21.课后感悟提升31个防范——实际问题的定义域要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.4个步骤——解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：1．(2015年四川)某食品的保