人教版八年级数学下册教案

第十六章二次根式

16.1二次根式

第1课时二次根式的概念和性质

敦亨目标

1.二次根式的概念府应用.

2.二次根式的非负性.

重占难（5

教学重点

二次根式的概念.

教学难点

二次根’的非负性.

敦亨设计

一、情景导入

师：（多媒体展示）请同学们看屏幕，这是东方明珠电视塔.

电视节目信号的传播半径r/km与电视塔高h/km之间有近似关系r=y[2Rh（R为坨球半

径）.如果两个电视塔的高分别为//,km,h2km,那么它们的传播半径之比为多少？同学们能

化简这个式子吗？

由学生计算、讨论后得出结果，并提问.

生：半径之比为暂时我们还不会对它进行化简.

师:那么怎么去化简它辿？这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算？

如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容.

二、新课教授

活动1:知识迁移，归纳概念

（多媒体演示）用含根号的式子填空.

（1）17的算术平方根是；

（2）如图，要做一个两条直角边长分别为7和4的三角形，斜边长应为cm；

（3）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130/,则它的宽为w；

（4）面积为3的正方形的边长为,面积为a的正方形的边长为；

（5）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间/（单位：s）与开始落下时的高度6（单

位：⑼满足关系〃=5上如果用含有h的式子表示Z,则/=.

【答案】（1版（2>/65（3府（4/Va

活动2：二次根式的非负性

（多媒体展示）

（1）式子，表示的实际意义是什么？被开方数。满足什么条件时，式子，才有意义？

⑵当a>0时，班0；当a=Q时，m0；二次根式是一个

【答案】（1）〃的算术平方根，被开方数〃必须是非负数（2）>=非负数

老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性.

当a>0时，，表示Q的算术平方根，因此3>0；

当a=0时，，表示0的算术平方根，因此6=0.

也就是说，当心0时，Qo.

三、例题讲解

【例】当x是怎样的实数时，，心在实数范围内有意义？

解：由x—220,得x22.

所以当x,2时，正工在实数范围内有意义.

四、巩固练习

1.已知[a—2+[6+[=0,求一Jb的值.

【答案】后卫20,4+拉0,又•・•它们的和为0,-2=0且。+3=0,解得〃=

2，b=~2,

：.-a2b=-22X（-^）=2.

2.若x,y^\Jx~14-yj\~x—y=3有意义，求2x-¥y的值.

【答案】-1

五、课堂小结

1.木节课主要学习了二次根式的概念.形如gm2。）的式子叫做二次根式，“厂”称

为二次根号.

2.二次根式的被开方数必须是什么数才有意义？又是什么数？

敦亨反思:«<

I.本节课的教学过程中，通过创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启

发，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者地位.

2.注重知识之间的衔接，在温故知新的过程中引出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知

的理解.

第2课时二次根式的化简

敦与目标：«<

1.理解（^）2=〃（。2。），并能利用它进行计算和化简.

2.通过具体数据的解答，探究声=°（。20）,并利用这个结论解决具体问题.

重占难（5：«<

教学重点

理解并掌握（6）2=。（。20）,而=。仅20）以及它们的运用.

教学难点

探究结论.

敦亨设计：«<

一、复习导入

教师复习口述上节课的重要内容，并板书:

1.形如的式子叫做二次根式.

2.,320）是一个非发数.

那么，当。2（）时，（3）2等于什么呢？下面我们一起来探究这个问题.

二、新课教授

活动1：

（多媒体演示）根据算术平方根的意义填空：

而2=________；（啦"________：

71斤---------；（情）2=---------:

（病亓尸=;（7（））2=.

由学生计算、讨论得出结果，并提问部分过程，教师进行点评.

老师点评：

，是4的算术平方根根据算术平方根的意义退是一个平方等于4的非负数因此（5日

=4.

同理：（建）2=2；~；）2=；；（\^）2=|；（四所）2=00]；（的）2=0

所以归纳出：（版）2=〃（。20）.

【例1】教材第3页例2

活动2：

（多媒体展示）填空：

V?=；Vo7P=：

y[W2=—；v^=—：

（g）2=；对=.

教师点评：

根据算术平方根的意义，我们可以得到：

#=2；VoT=o.i；yj（|）2=|；

yj（1）2=1；q吗）2=当对=0.

所以归纳出：，£=Q（Q20）.

【例2】教材第4页例3

教师点评：

当a20时，病=〃：

当awo时•，q?=­a.

三、课堂小结

本节课应理解并掌握（3）2=q（a2O）和1=〃（aNO）及其运用，同时应理解迎=一

WO）.

敦亨反思

1.注意前后知识之间的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的教学内容.按照由特殊

到一般的规律，降低学生理解的难度.

2.在总结二次根式性质的过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流活动中

体会成功.

16.2二次根式的乘除

第1课时二次根式的乘法

教与目标：«<

由等式的对称性，反过来：

*7^=/述（。20,620）

活动3讲练结合

教材第6〜7页例题

三、巩固练习

完成课本第7页的练习.

【答案】

课本练习第1题：（1标；（2）6；（3）2小；（4）2.

第2题：（1）77；（2）15；（3）25；（4）4余诉.

第3题：4y[5.

四、课堂小结

本节课应掌握：爪怖2（）"20）,黄6=6•小（a2（）,〃20）及其应用.

教与反思

1.创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师弓导启发，按照由特殊到一般的规律,

降低学生理解的难度.

2.在二次根式乘法法则的形成过程中，由学生大胆猜测，经过思考、分析、讨论的过程，

让学生在交流中体会成功.第2课时二次根式的

除法

教与目标K«<

，（qo">。）和状=*心0，心。），会利用它们进行计算和化简.

重占难（5

教学重点

理解并掌握米=[|（。20,b>0）,

,b>0）,利川它们进行计算和化简.

教学难点

归纳二次根式的除法法则.

教导设计：«<

一、复习导入

活动1：

1.由学生回答二次根式的乘法法则及逆向等式.

2.填空（多媒体展示）.

二、新课教授

活动2：

先由学生对上面的结果进行比较，观察每组两个算式结果的大小关系，并总结规律.

教师点评：

一个非负数的算术平方根除以一个正数的算术平方根，等于它们商的算术平方根.

般地，二次根式的除法法则是：

a

对20,b>0)

由等式的对称性，反过来:

【例】教材第8〜9页例题

三、巩固练习

课本第10页练习第1题.

【答案】(1)3(2)2#(滞(4)2〃

四、课堂小结

本节课应掌握状=宗(。20,b>0)和

(。20,b>0)及其应川.

敦亨反思：«<

1.创设情境，复习二次根式的乘法，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探究

的兴趣.

2.二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分析

的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功.

第3课时最简二次根式

敦与目标

最简二次根式的概念、利用最简二次根式的概念和性质进行二次根式的化简和运算.

重占难占

教学重点

最简二京根式的运用.

教学难点

会判断整个二次根式是否是最简二次根式.

敦亨设计

一、复习导入

(学习活动)请同学们完成下列各题.(请四位同学上台板书)

计算：⑴*(2禹(3需(4离

教师点评：

噂¥Q嘉学嗨邛(礁专

二、新课教授

教师点评：.L面这些式子的结果具有如下两个特点：

1.被开方数不含分母.

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

师：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.(教师板书)

教师强调：在二次根式的运算中，一般要把最后结吴化为最简二次根式.

【例I】判断下列式子是不是最简二次根式，为什么？

(1)3XVA/|X;(2)250737；(3)A/1；(4)70^.

解：(1)被开方数中有因数3,因此它不是最简二次根式；Q)被开方数中有开得尽方的因

式，因此它不是最简二次根式；(3)被开方数中有分母，因此它不是最简二次根式；(4)被开

方数中有因数0.2，它不是整数，所以它不是最简二次根式.

【例2】化简:

(2H12x'y'(x20)；(3)\/a2b4+a4b2(flZ)>0).

解:(i媚

232

(2)A/12xy=,\/4xy,3y=2xy\]3y；

(3h/a2b4+a4b2=A/a2b2(b2+a2)=^a2+b2.

【例3】教材第9页例7

三、课堂小结

1.本节课应掌握最简二次根式的特点及其运用.

2.二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

敦亨反思

1.注重知识的前后联系，温故而知新.让学生积极主动地探索，教师引导和启发，使学

生在经过思考、讨论和分析的过程后，获得新知，体会学习的乐趣.

2.前两个例题旨在加强对最简二次根式的理解，第三个例题让学生灵活运用二次根式解

决实际问题.

16.3二次根式的加减

第1课时二次根式的加减

敦与目标＜:«<

理解并掌握二次根式加减的方法并能用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算.

重Q难Q:«<

教学重点

理解并后握二次根式加减计算的方法.

教学难点

二次根式的化简、合并被开方数相同的最简二次根式.

敦亨设计:«<

一、复习导入

(学生活动)

1.计算：

(l)x+2r；(2)3a—2a+4a；(3)2x2—3x2+5x2；(4)2/一47+3a.

2.教师点评：上面的运算实际上就是以前所学习的合并同类项，合并同类项就是字母连

同指数不变，系数相加减.

二、新课教授

(学生活动)

1.类比计算，说明理由.

(lh/2+2V2；(2)32#+4#；

(3)3小+孤(4)273-373+V12.

2.教师点评：

("+26=(1+22=36；

(2)3乖一2m+4m=(3-2+4胞=5m=1舶

(3)虽然表面上也与乖的被开方数不同，不能当作被开方数相同，但乖可化为2啦，3夜

+,=36+2也=(3+2班=56；

(4)同样小可化为2小,

2吸一3V5+6=2小一3小+2小=(2-3+2)75=小.

所以在用二次根式进行加减运算时，如果被开方数相同则可以进行合并，因此可将二次

根式先化为最简二次根式，比较被开方数是否相同.

因此可.得：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同

的二次根式进行合并.

【例1】教材第13页例1

【例2】教材第13页例2

三、巩固练习

教材笫13页练习第1,2题.

【答案】第1题：(1)不正确，两边不相等；(2)不正确，两边不相等；(3)正确.

第2题：(1)一4巾；(2)34；(3)1丽一3小；(4)39

四、课堂小结

本节课应掌握进行二次根式加减运算时，先把不是最简二次根式的化成最简二次根式，

再把相同被开方数的最简二次根式进行合并.

教与反思:«<

1.创设情境，给出实例.由学生上动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启

发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则.

2.两个例题，旨在帮助学生理解并掌握二次根式的加减运算法则.尤其是例2,要按照

两个步骤进行计算，培养了学生利用概念、法则进行计算和化简的严谨态度和科学精神.

第2课时二次根式的加减乘除混合运算

敦与目标

含有二次根式的式子进行加减乘除混合运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.

重占难(5

教学重点

二次根’的加减乘除混合运算.

教学难点

由整式:算知识迁移到含二次根式的运算.

一、复习导入

(学生活动)：请同学们完成下列各题.

计算：

⑴(37+2t+2>4x；

(2)(4?-户(一2孙)；

(3)(3Q+2协(3。-2力)；

(4)(2X+1)2+(ZV-1)2.

二、新课教授

由于整式运算中的xty,a,b是字母，它的意义卜分广泛，可以代表一切，当然也可以

代表二次根式，因此整式中的运算规律也适用于二次根式，下面我们就使用这些规律来进行

【例1】计算：

(1)部+小)X*；

(2)(4正一3&)+26.

分析：二次根式仍然满足整式的运算规律，所以可直接用整式的运算规律.

解：⑴邰+小)义#=小义水+小X#

=屈+标=4小+3也：

(2)(4娘一3班)+2/

【例2】计算:

(l)(V2+3)(V2-5)：

(2)(^5+木)部一小);

(3)(73-V2)2.

分析：第(1)题可类比多项式乘以多项式法则来计算，第(2)题把小当作。，仍当作6,就

可以类比(〃+力)(。一力)=/一川，第(3)题可类比3—〃)2=/一2"+力2来计算.

解：⑴(皿+3)(也一5)

=(的2+3娘一5小一15

=2+3^2-5^2-15

=-13-272；

(2)(小+小)(小一小)

=(^5)2-(<3)2=5-3=2；

⑶(小一6)2

=（小）2-2X小X班+（例2

=5-276.

三、巩固练习

教材第14页练习第1,2题.

【答案】第1题：（1>#+遮：（2）4+2皿：（3）11+5小；（4）4.第2题：（1）9；（2）°—6；

（3）7+4-73：（4）22-4^/10.

四、课堂小结

本节课应掌握利用整式运算的规律进行二次根式的其除、乘方等运算.

敦亨反思

1.情境引入，复习整式运算的知识，旨在迁移到利用乘法公式进行含二次根式算式的运

算，培养学生继续探究的兴趣.

2.例题的设计，旨在帮助学生理解乘法公式在二次根式运算中的应用.

第十七章勾股定理

17.1勾股定理

第1课时勾股定理(1)

敦亨目标：«<

了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面枳法证明勾股定理，能

应用勾股定理进行简单的计算.

重占难(5：«<

教学重点

勾股定理的内容和证明及简单应用.

教学难点

勾股定理的证明.

敦亨设计：«<

一、创设情境，引入新课

让学生画•个直角边分别为3cm和4所的直角△XBC，用刻度尺量出斜边的长.

再画一个两直角边分别为5和12的直角△/18C,用刻度尺量出斜边的长.

你是否发现了32+42与5?的关系,52+12?与132的关系，即32+42=52,52+122=132,

那么就有勾2+股2=弦乙

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

由一学生朗读“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说，引导学生观察身边的

地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？

拼图实验，探求新知

1.多媒体课件演示教材第22〜23页图17.1—2和图17.1-3,引导学生观察思考.

2.组织学生小组合作学习.

问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法.

引导学生用拼图法初步体验结论.

生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面积和.

师：这只是猜想，•个数学命题的成立，还要经过我们的证明.

归纳验证，得出定理

(1)猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为。，/),斜边长为C,那么。2+》2

=c2.

(2)是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进

行证明.到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面我们就看一看我国数学家赵

爽是怎样证明这个定理的.

①用多媒体课件演示.

②小组合作探究：

a.以宜角三角形的两条宜角边。"为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成

弦图的样子吗？

力.它们的面枳分别怎样表示？它们有什么关系?

口■m.茵去~~

c.利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验占人赵爽的证法.想一想还有什么方

法？

师：通过拼摆，我们证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它

称为勾股定理.

即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做

弦.

二、例题讲解

【例1】填空题.

⑴在R/A4BC中，ZC=90°,a=8,b=15,贝ijc=:

(2)在Rt/^ABC中，NB=90°,a=3"=4,则c=；

(3)在Rt/\ABC中，ZC=90°,c=1(),"：h=3：4,则a=,h=；

(4)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为；

(5)已知等边三角形的边长为25?,则它的高为cm，面积为曲上

【答案】(1)17(2)77(3)68(4)6,8,10(5胞小

［例2］已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边.

分析：已知两边中，较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进

行计算.让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想.

【答案】3■历或13

三、巩固练习

填空题.

在中।,ZC=900.

(1)如果。=7,c=25,则b=；

⑵如果N4=30°,a=4,贝ijb=：

⑶如果乙4=45°,Q=3,贝ijc=；

(4)如果c=10,a-b=2,则b=；

(5)如果a,htc是连续整数，则a+Z)+c=

(6)如果b=&,ae=3：5,则c=.

【答案】(1)24(2)4小(3)36(4)6(5)12

(6)10

四、课堂小结

1.本节课学到了什么数学知识？

2.你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？

3.你还有什么困惑？

敦亨反思：«<

本节课的设计关注学生是否积极参与探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积极

思考、能够探索出解决问题的方法，能否进行枳极的联想(数形结合)以及学生能否有条理地

表达活动过程和所获得的结论等.关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形

验证勾股定理.第2课时勾股定理⑵

教与目标：«<

能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能月勾股定理解决简单的实际问题.

重占难占：«<

教学重点

将实际高题转化为直角三角形模型.

教学难点

如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题.

教与设计：«<

一、复习导入

问题1：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多

长的梯子？

师生行为：

学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型.

教师深入到小组活动中，倾听学生的想法.

A

12m\

cl5m\—

生：根据题意，（如图）4。是建筑物，则4c=12m,BC=5m,AB是梯子的长度，所以

^RtAABC^,J52=/1C:+BC2=122+52=132,则4〃=13〃九

所以至少需13加长的梯子.

师：很好！

由勾股定理可知，已知两直角边的长分别为。，〃，就可.以求出斜边c的长.由勾股定理

可得/=°2一户或川=。2一/,由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条

直角边的长，也就是说，在直角三角形中，己知两边就可求出第三边的长.

问题2：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m、宽2.2机的长方形薄木板能否从门框内

通过？为什么？

D~

2m

4_^1.

H>1

1m

学生分组讨论、交流，教师深入到学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问

题的途径.

生1：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都人能从门框内通过，只能试试斜着能

否通过.

生2：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC,再与木板的

宽比较，就能知道木板是否能通过.

师生共析：

解：在放△力4C中，根据勾股定理彳C2=4M+8C2=12+22=5.

因。匕4。=小心2.236.

因为力。木板的宽，所以木板可以从门框内通过.

二、例题讲解

［例1］如图，山坡二两棵树之间的坡面距离是4#米，则这两棵树之间的垂直距离是

米，水平距离是米.

分析：由/。6=30°易知垂直距离为2小米，水平距离是6米.

【答案】2小6

【例2］教材第25页例2

三、巩固练习

1.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B,C两点，在江对岸取一点力,使4C垂直

江岸，测得8c=50米，/8=60°,则江面的宽度为.

【答案】5(4米

200m

,520m

2.某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点8200米，

结果他在水中实际游了52。米，求该河流的宽度.

【答案】约480小

四、课堂小结

1.谈谈自己在这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单的应用题；会构造直角三角

形.

2.本节是从实验问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解答.

敦亨反思：«<

这是一节实际应用课，过程中要充分发挥学生的主导性，鼓励学生动手、动脑，经历将

实际问题转化为直角三角形的数学模型的过程，激发了学生的学习兴趣，锻炼了学生独立思

考的能力.第3课时勾股定理(3)

敦与目标：«<

1.利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

2.利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点.

3.进•步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实

际问题.

重占难(5：«<

教学重点

在数轴上寻找表示出，小，小，…这样的表示无理数的点.

教学难点

利用勾就定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段.

敦亨设计

一、复习导入

复习勾股定理的内容.

本节课探究勾股定理的综合应用.

师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直

角三角形全等.你们能用勾股定理证明这i结论吗？

学生思考并独M完成，教师巡视指导，并总结.

先画出图形，再写出已知、求证如下:

已知：如图，在心和B'C中，NC=NC'=90°,AB=A'B',AC=AC.

求证：△/lACg/X/B'C.

证明：在&△4BC和B'C'中，NC=NC'=90°，根据勾股定理，得8C=

-AC?,B'C'=，A'B''-A'C々乂AB=AB,AC=A'C,：.BC=B,C,,

A'B'C'（SSS）.

师：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出行所

对应的点吗？

教师可指导学生寻找像长度为6，5,第，…这样的包含在直角三角形中的线段.

师：由于要在数轴上表示点到原点的距离为血，虫"，所以只需画出长为g，小,

木，…的线段即可,我们不妨先来画出长为小，小，小，…的线段.

生：长为血的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，而长为小的线段是直角边为1

和2的直角三角形的斜边.

师：长为，百的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？

生：设。=回，两直角边长分别为a,b,根据勾股定理/+/=/,即J+户=13.若a,

，，为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9,“2=4,必=9,则“=2,b=3,

所以长为行的线段是直角边长分别为2,3的直角三角形的斜边.

师：卜而就请同学们在数轴上画出表示回的点.

B

A\C

O\2343

生：步骤如下：

1.在数轴上找到点力，使04=3.

2.作直线/垂直于,在/上取一点B,使A8=2.

3.以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C,则点C即为表示回的点.

二、例题讲解

【例1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到,个男孩头顶正上方4800米处，过了

10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米?

A

分析：根据题意，可以画出如图所示的图形，A点表示男孩头顶的位置，C,8点是两个

时刻飞机的位置，NC是直角，可以用勾股定理来解决这个问题.

解：根据题意，得在Rt^ABC中，ZC=90°,/15=5000米，力C=4800米.由勾股定

理，得/IB'dd+AC2,即50002=5C2+48002,所以4c=1400米.

飞机飞行1400米用了10秒,那么它1小时飞行的距离为1400X6X60=504000（米）=

504（千米），即飞机飞行的速度为504千米/时.

［例2］在平静的湖面上，有一-棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到

一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？

解：根据题意，得到上图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一陇风吹

过水草的位置，8=3分米，CB=6分米，AD=AB,BC1AD,所以在Rt^ACB中，彳炉=

AC1-}Bd,ep（JC+3）2=^C2+62,3+6/0+9=3+36,：.6AC=27,AC=4.5,所以这

里的水深为4.5分米.

【例3】在数轴上作出表示4万的点.

解：以我为长的边可看作两直角边分别为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴

上画出表示我的点，如下图：

师生行为：

由学生独立思考完成，教师巡视指导.

此活动中，教师应教学重点关注以卜两个方面：

①学生能否积极主动地思考问题；

②能否找到斜边为行，另外两条直角边为整数的直角三角形.

三、课堂小结

1.进一步巩固、掌握并熟练运用勾股定理解决直角三角形问题.

2-.你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到•些无理数，并理解数轴上的点与实

数对应.

敦亨反思

本节课的教学中，在培养逻辑推理的能力方面，做了认真的考虑和精心的设计，把推理

证明作为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，注重数学与生活的联系，从学生的认

知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣，

培养了学生善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力.

17.2勾股定理的逆定理

第1课时勾股定理的逆定理（1）

敦与目标：«<

1.掌握直角三角形的判别条件.

2.熟记一些勾股数.

3.掌握勾股定理的逆定理的探究方法.

重占难（5

教学重点

探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系.

教学难点

归纳猜想出命题2的结论.

敦与设i+

一、复习导入

活动探究

（1）总结直角三角形有哪些性质；

（2）一个三角形满足什么条件时才能是直角三角形？

生：直角三角形有如式性质：（1）有一个角是直角；（2）两个锐角互余；（3）两直角边的平方

和等于斜边的平方；（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.

师：那么一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形呢？

生1：如果三角形有一个内角是90。，那么这个三角形就为直角三角形.

±2；如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是宜角三角形.

师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三隹形的两直角边。"与斜边c具有一

定的数量关系即/+//=/,我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为

直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？

问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3

个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3,4,5,有下面的关系：32+42

=52,那么围成的三角形是直角三角形.

画画看,如果三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm,有下面的关系:2.52+62=

6.52,画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为,7.5，8.5cm，再试一试.

生1：我们不难发现上图中，第1个结到笫4个结是3个单位长度即4。=3；同理8C=

4,46—5.囚为32+42-52,所以我们围成的三角形是直帝三角形.

生2：如果三角形的三边长分别是2.5cm,6，6.5cm.我们用尺规作图的方法作此三角

形,经过测量后,发现6.5cm的边所对的角是直角,并且2.52+62=6.52.

再换成三边长分别为4cm,7.5cm,8.5cm的三角形,可以发现8.5cm的边所对的角是

直角,且有42+7.52=8.52.

师：很好！我们通过实际操作，猜想结论.

命题2如果三角形的三边长。，b，。满足。2+户=02，那么这个三角形是直角三半形.

再看下面的命题：

命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.

它们的题设和结论各有何关系？

师：我们可以看到命题2与命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫

做互逆命题.如果把其中的一个叫做原命题，那么另一人叫做它的逆命题.例如把命题1当

成原命题，那么命题2是命题1的逆命题.

二、例题讲解

【例1】说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

(1)同旁内角互补，两条直线平行；

(2)如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；

(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

(4)直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.

分析：(1)每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设

和结论，并注意语言的运用；

(2)理顺它们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真

一假，还可能都假.

解略.

三、巩固练习

教材第33页练习第2题.

四、课堂小结

师：通过这节课的学习，你对本节内容有哪些认识？

学生发言，教师点评.

敦亨反思:«<

本节课的教学设计中，将教学内容精简化，实行分层教学.根据学生原有的认知结构，

让学生更好地体会分割的思想.设计的题型前后呼应，使知识有序推进，有助于学生理解和

掌握；让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索、

合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.将目标分层后，满足不

同层次学生的做题要求，达到巩固课堂知识的目的.

第2课时勾股定理的逆定理(2)

敦与目标:«<

1.理解并掌握证明勾股定理的逆定理的方法.

2.理解逆定理、互逆定理的概念.

事占难占:«<

教学重点

勾股定理的逆定理的证明及互逆定理的概念.

教学难点

理解互逆定理的概念.

敦亨设计:«<

一、复习导入

师：我们学过的勾股定理的内容是什么？

生：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c，那么/+星=°2.

师：根据上节课学过的内容，我们得到了勾股定理逆命题的内容：如果三角形的三边长

a,b,c满足。2+/=。2,那么这个三角形是直角三角形.

师：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗？如何

证明呢？

师生行为：

让学生试着寻找解题思路，教师可引导学生理清证明的思路.

师：△48C的三边长。,b，。满足『+62=02如果△/BC是直角三角形，它应与直角边

是。，6的直角三角形全等，实际情况是这样吗？

我们画一个直角三角形4方（7,使*。=。,A'C=b,ZCZ=90°（如图），把画好的

△49。剪下，放在。上,它们重合吗？

生：我们所画的用△/'夕C,（49）2=/+//,又因为c2=a2+b2所以（4，8）2=。2,

即』'B'=c.

△48c和夕C三边对应相等，所以两个三角形全等，ZC=ZC,=90°，所以△力8c

为直角三角形.

即命题2是正确的.

师：很好！我们证明了命题2是正确的，那么命题2就成为一个定理.由于命题1证明

正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的

逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互逆定理.

师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立呢？

生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是

对顶角”不成立.

师；你还能举出类似的例子吗？

生：例如原命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等.

逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等.

显然原命题成立，而逆命题不一定成立.

二、新课教授

【例1】教材第32页例1

【例2】教材第33页例2

【例31一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中NA和/O8C都应为直角.工人

师傅量出了这个零件各边的尺寸，那么这个零件符合要求吗？

分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子.

解：在4ABD中，AB2-\-AD2=9+\6=25=BD2,所以△48。是直角三角形，N4是直

角.

在△BCQ中用oN+AC^ZS+lMnlGguduCO?,所以△ACO是直角三角形，/DBC

是直角.

因此这个零件符合要求.

三、巩固练习

1.小强在操场上向东走80m后,又走了60m,再走100m回到原地.小强在操场上向

东走了80m后，又走60m的方向是.

【答案】向正南或正二匕

2.如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两触巡逻艇立

即从相距13海里的A,B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻

艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°,求甲巡逻艇的

航向.

【答案】解：由题意可知:^C=120X6X^=12,5C=50X6X^=5,122+52=132.

又48=13,：,AC1-^BC2=AB2,•••△48C是直角三角形，且N/C8=90°,ZCAB=40°,

航向为北偏东50°.

四、课堂小结

1.同学们对本节的内容有哪些认识？

2.勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数.

本节课我采用以学生为主体，叫导发现、操作探究的教学设计，符合学生的认知规律和

认知水平，最大限度地调动了学生学习的积极性，有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、

验证、推理的能力，切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培

第十八章平行四边形

18.1平行四边形

18.1.1平行四边形的性质

第1课时平行四边形的性质(1)

敦与目标

理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.

重占难占

教学重点

平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质以及性质的应用.

教学难点

运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.

一、复习导入

1.师：我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图

形的形象.

生：平行四边形.

师：平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？

生：自动伸缩门、挂衣服的简易衣钩等.

师：你能总结出平行四边形的定义吗？(小组讨论，教师总结)

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

(2)表示：平行四边形用符号“口”来表示.

如图，在四边形48Q)中，力8〃。。，/。〃8。，那么四边形48。。是平行四边形.平行

四边形48C。记作“。居8”，读作“平行四边形NBCZT.

①・・・,4"〃£>C,/力〃2C,・•.四边形ABCD是平行四边形(判定)；

②•・•四边形/18C。是平行四边形、："B//DC,力。"4。(性质).

2.探究.

师：平行四边形是•种特殊的四边形，它除了具有四边形的性质和两组对边分别平行的

性质外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下.

(1)由定义知道，平行四边形的对边平行.根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相

邻的角互为补角.

(2)猜想平行四边形的对边相等、对角相等.

卜面证明这个结论的正确性.

如图，已知:°ABCD.

求证：AB=CD,CB=AD,N8=N。，ZBAD=ZBCD.

分析：作四边形ABCD的对角线AC,它将平行四边形分成和△CD4,证明这两

个三角形全等即可得到结论.

证明：连接4C,

•：AB//CD,AD//BC,.\Z1=Z3,Z2=Z4.

又AC=CA,：."BC"4CDA(ASA).

：.AB=CD,CB=AD,NB=ND.

由上面的证明可知：

Z1=Z3,N2=N4,

AZ1+Z4=Z2+Z3,