人教版八年级数学上册举一反三117与三角形有关的角的四大类型解答(学生版+解析)

专题11.7与三角形有关的角的四大类型解答

【人教版】

考卷信息：

本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对与三角形有关的角的四大类型解

答的理解！

【类型1与三角形有关的角的计算】

1.(2023春・甘肃兰州•八年级兰州H―中校考期末)如图,△■82中,NA=35。，LB=65°,CE^^ACB,

CDDF1CE^F,求/CD/7的度数.

2.(2023春・四川达州•八年级校联考期中)如图，在△4BC中，4E为BC边上的高，点。为BC边上的一点,

(1)当为8c边上的中线时，若AE=6,△4BC的面积为30,求CD的长；

(2)当4D为乙B4C的角平分线时,若“=66。,Z.B=36°,求ND4E的度数.

3.(2023春・安徽淮北•八年级校考期末)如图，在44BC中，DE1于点E,DF1BC于点F,且DE=DF,

CD平分乙4CB,乙BDC=135°.

(1)求乙DBF+iDCF的度数；

(2)求乙1的度数.

4.(2023春・湖北孝感•八年级统考期中)如图，点D为的边BC上一点，Z.BAD=^ABAC,BP平分4ABe

交于点P,4。=70。，AADB=110°.求48PD的度数.

B

5.(2023春•辽宁鞍山•八年级统考期中)如图，在四边形4BCD中，AD\\BC,上力48的平分线交8c的延长线

(1)求证：8G平448E.

(2)若乙OCE=105°,^DAD=60°,求乙3GC的度数.

6.(2023春・浙江温州•八年级校琰考期中)已知：如图1,在三角形4BC中，Z.BAC=40°,4c=65。，将

线段AC沿直线平移得到线段DE,连接4E.

图1图2

(1)当/E=65。时,请说明AEIIBC.

(2)如图2,当DE在AC上方时，且乙£=2乙84£—29。时，求/BAE与NE4C的度数.

(3)在整个运动中，当4E垂直三角形4BC中的一边时，求出所有满足条件的2E的度数.

7.(2023春・吉林长春•八年级长春外国语学校校考期中)将三角形纸片48c沿直线DE折叠，使点4落在片处.

【感知】如果点A落在边48上，这时图①中的N1变为0。，那么乙V与r2之间的关系是

【探究】如果点4落在四边形8C0E的内部(如图①)，那么乙4,与Z1、乙2之间存在怎样的数量关系?并说明理

由.

【拓展】如果点4落在四边形8C0E的外部(如图②)，那么请直接写出乙4'与21、42之间存在数量关

系

BBA'

②

8.(2023春•江西萍乡•八年级统考期末)已知点A在射线CE上，^C=^ADB.

(1)如图1,若皿3C,求证:ACWBD；

(2)如图2,若BD1BC,垂足为B.BD交CE于点G,请探究N/Z4E与的数量关系，写出你的探究结论，并

说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点。作。为I8C交射线CE于点F,当N84C=NB40,Z.DFE=求

。的度数.

9.(2023春・福建泉州•八年级统考期末)在△718。中，”>4从/1E平分NB4C,点F为射线4E上一点(不

与点E重合)，且FD1BC于点D.

(1)如图I,如果点尸在线段力E上，且NC=50。，48=30。，则乙£TD=.

⑵如果点产在△48。的外部，分别作出NC4E和乙EOF的角平分线，交于点K,请在图2中补全图形，探究

乙川(。、“、4?三者之间的数量关系，并说明理由：

(3)如图3,若点F与点力重合，PE、PC分别平分匕4EC和△48C的外角iACM,连接P4过点P作PG_LBC交

8c延长线于点G,PH1AB交BA的延长线于点H,若4氏4。=4&4。，且“PG=看+“PE),求乙EPH

的度数.

【类型2与三角形有关的角的证明】

1.（2023春・安徽宿州•八年级统考期末）如图,ABIIC。，点E在AC上,求证：乙4=

2.（2023春•湖北武汉•八年级统考期末）如图，已知力B||CD,48=60。，点G在直线EF上且心力BG="GB.

⑴求证：zC=LCGE.

（2）若NC=NCGB+20。，求NC的度数.

3.（2023春・江苏南通•八年级统考期末）已知点。在乙4BC内，£为射线BC上一点，连接DE,CD.

（1）如图1所示，连接4E,^^AED=Z.BAE+Z-CDE.

①线段48与CD有何位置关系？请说明理由；

②过点。作。M||4E交直线8c于点M,求证：乙CDM=ABAE；

（2）皿图2所示，^AED=z/1-ZD,若M为平面内一动点，MAWED,请直接写出4M与NCOE的数量关系.

4.（2023春•黑龙江哈尔滨•八年级校考期中）射线OM、ON交于。点，0C平分乙M0N,乙M0N=60。，

M,

G

OBN0BN

图1图2

⑴如图I,PA.P8分别平分40/1B、时，直接写出44PB二；

(2)如图2,PA.PB分别平分2M/1B、乙N8/1时，求出〃PB的度数；

(3)在(2)条件下，如图2中，求证NP/18+40P8=90。.

5.(2023春・河南南阳•八年级统考期末)请阅读下列材料，并完成相应任务.

在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1,锐角484c内部有一点。，在其两边力B和力C上各取任意一

点、E,F,连接06,DF.

求证：乙BED+Z-DFC=^BAC+乙EDF.

小丽的证法小红的证法

证明：

证明：

如图2,连接4D并延长至点M,

■:乙BED=80°,Z.DFC=60°,

乙BED=/.BAD+匕EDA,

4BAC=51。,乙《0尸二89。（量角器测量所得）,

Z.DFC=LDAC+Z.ADF（依据）,

・••乙BED+乙DFC=140。，

又,：乙BAD+Z.DAC=Z.BAC,

ABAC+/-EDF=140°（计算所得）.

Z.EDA+Z.ADF=乙EDF,

：.ABED+ADFC=LBAC+/-EDF（等量代换）.

，乙BED+"FC=Z.BAC+LEDF.

任务:

(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：

(2)下列说法正确的是.

A.小丽的证法用严谨的推理证明了该定理

B.小丽的证法还需要改变乙84c的大小，再进行证明，该定理的证明才完整

C.小红的证法用特殊到•般的方法证明了该定理

D.小红的证法只要将点。在484c的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理

（3）如图，若点D在锐用乙BAC外系,ED与力C相交于点G,其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立,

请说明理由：若不成立，请探索/BED,Z.DFC,LBAC,iEDF之间的关系.

6.（2023春・北京大兴•八年级统考期末）如图，在直角三角形45。中，乙4cB=90。.

（1）如图1，点M在线段Q?上，在线段的延长线上取一点N,使得=过点3作B014M,

交延长线于点。，过点N作NEII8。，交48于点£,交4M于点足判断4CN8与4MAC之间的数量关系，

写出你的结论，并加以证明：

（2）如图2,点M在线段CB的延长线上，在线段BC的延长线上取一点N,使得4M4c=4M4C.过点8作8。1

于点D,过点N作NEII8C,交84延长线于点E,交M力延长线于点尸.

①依题意补全图形；

②若乙。/3=45°,求证：Z.NEA=Z.NAE.

7.（2023春・江苏扬州•八年级校考期末）【探究结论】

（1）如图1,ABWCD,E为形内一点,连结AE、CE得至比/lEC,则乙4EC、乙小乙。的关系是（直接写

出结论，不需要证明）：

【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：

（2）如图2,ABWCD,直线MN分别交48、CD于点E、/，EG1和EG2为内满足N1=22的两条线，分别

与"FD的平分线交于点Gi和G2,求证：4FG1E+乙G=180。.

(3)如图3,已知A8IIC0,F为CD上一点、,Z.EFD=60°,Z.AEC=3^CEF,若8°V48AEV20。4c的度数

为整数，则NC的度数为

图1

8.（2023春・福建泉州•八年级统考期末）在△48C在中，=4C,点。在边BC上.

（1）如图①，点E在线段AC上，若，力。E=〃ED,证明：々BAD=24CDE；

（2）如图②，平分上。40,点尸在线段CD匕FH_LA”交力0延长线于点Q,设乙48c与乙AQF的角平分线交

于点P,求NP与4BFQ的度数之比

【类型3与三角形有关的角的挖空题】

I.（2023春・江苏扬州•八年级统考期末）如图，四边形4BCD中，作点4C1/W,设8D分别与力。、CE交于

点广、G.若80平分N4BC,且N2=N3,求证：/-CFG=Z-CGF.

完成下面的证明过程：

证明：•••AC1AD（B^l）.

:.iCAD=90。（垂直的定义）.

•••BD平分匕ABC（已知）

41=Z.2（）

•••乙2=匕3（已知）

••・乙1二（等一代换）

AD//BC（）

:.尸LCAD=90。（两直线平行，内错角相等）

:.zl=Z.CAD=90。（-角三角形的两个锐珀互余）

同理由CE1AB,

可得/24-乙BGE=90°

:./.CFG=Z.BGE（）

又•,乙BGE=乙CGF（对顶角相等）

Z.CFG=乙CGF（等量代换）

2.(2023春•黑龙江大庆•八年级统考期末)如图，ABWCD,N8MN与NOMW的平分线相交于点G,

完成下面的证明：

VMG平分乙BMN,

:.NGMN=)BMN(—),

同理NGNM=^NONM.

VZBHCD

:.£BMN+NDNM=(_).

NGMN+/GNM=.

,?NGMN+NGNM+ZG=，

・・・NG=.

E

3.（2023春,江苏盐城•八年级校考期中）互动学生课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究.

小亮：已知，如图，三角形ABC,点。是三角形4BC内一点，连接B。，CD,试探究N8OC与NA、/I、

N2之间的关系.

小丽：用外角的相关结论也能解决.

（I）请你在横线上补全小明的探究过程：

180。，（）

・•・NBDC=180。-NDBC-/BCD,（等式性质）

VZ/\+Zl++ZDBC+ZBCD=180。，

/.ZA+Zl+Z2=180°--NBCD,

：.ZBDC=ZA+Z\+Z2.（）

（2）请你按照小丽的思路完成探究过程.

4.（2023春・河北衡水•八年级校考期末）如图，已知Nl+N2=180。，且/3=/艮

（1）求证：/AFE=NACB,完成下面的证明.

证明：・・・N2+NAEC=180°./l+N2=180（已知），

・・・NAEC=N1（等量代换），

：.AB\\FD（_）,

•••N3=_（两直线平行，内错角相等）.

又：N3=NB（已知），

・•・=/B（等量代换），

・•・_（同位角相等，两直线平行），

/.^AFE=ZACB（_）；

（2）若CE平分NACB,且N2=110。，N3=5（）。，求NA/E的度数.

5.（2023春・山西晋城•八年级统考期末）综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一

副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O重合，边G）与边48重合，试

求乙AOC的度数.

（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1,完成填空）

解：VZ0CD=45°,WBC=60°

：,LBOC=（）

乂♦:乙AOB=90°,

：.AAOC=.

（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探窕，如图2所示，绕顶点。逆时针旋转△00C,

当。。〃力。时，求得N4E。的度数.（请你写出解答过程）

B

OA

图2

（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3）,继续绕顶点O逆时针旋转△DOC,使点B

落在边DC上，此时发现与42之间的数量关系.

以下是他的解答过程，请补充完整解：在AZOE与ABCE中,

V2.AE0+Z.1+乙4=Z.CEB+z.2+Z.C

XVz/lFO=乙CEB()

Z.A=，Z.C=

Az.1+=42+乙。

4]-Z2=__________

【类型4探究与三角形有关的角之间的关系】

1.（2023春・全国•八年级期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其

中，=60°,乙D=30°；NE=NB=45°.

（1）①4DCE=30。时，乙ACB的度数为；②乙4cB=135。时，/DCE的度数为

【探究】

⑵由（1）猜想乙4cB与々OCE的数量关系，并说明理由.

【应用】

（3）现按照这种折登方式，用这样两块直角三角尺的木板制作一个画平行线的工具，需要满足两个三角尺存

在一组边互相平行，若NACEV180。且点E在直线4c的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若

存在，请直接写出乙4CE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由.

2.（2023春・山西阳泉.八年级统考期末）综合与探究

问题情境:

如图L已知/IB||CD,乙ABC=60。,48/10=120°,点E,r在直线AB上，fLz/lCD=Z/1CF,CE平分乙BCF.

(1)求NACE的度数.

实践探究：

(2)若左右平行移动71。，那么NB/C与48FC之间的数显关系是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变,

请求出NB4C与乙8FC之间的数量关系.

(3)如图2,若向左平行移动4D,当=时，请求出乙C4D的度数.

3.(2023春・河南南阳•八年级统考期末)问题情景：如图①，有一块直角三角板PMN放置在△力BC上(P

点在△A3C内)，二角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点，和点C.看弋问乙40P与乙力CP、乙4是

否存在某种确定的数量关系？

②

(1)特殊探究：如图①，若匕4=50°,乙PBC+乙PCB=度，LABP+Z.ACP=度：LABP与乙ACP、

N4的数量关系是二

⑵类比探究：如图①，若，A=a,请先写出匕ABP+4ACP与41的数量关系，并说明理由;

⑶延伸探究：如图②，改变直角三角板PMN的位置，使P点在AABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN

仍然分别经过点8和点C,则(2)中的结论是否仍然成立？若不成立，请重新写出44BP与N/CP、的数

量关系，井说明理由.

4.(2023春・江西赣州•八年级统考期末)认真阅读下面关f•三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成

所提出的问题.

A

A

（1）探究I：如图1,在△48C中，。是448（；与七的平分线80和CO的交点，试分析44（儿与4A有怎样的

关系？请说明理由.

（2）探究2：如图2中，O是41BC与外角416的平分线8。和C0的交点，试分析480C与〃有怎样的关系？

请说明理由.

（3）探究3：如图3中，。是外角，D8C与外角的平分线80和CO的交点，则/BOC与乙4又有怎样的关系？

（只写结论，不需证明）结论：

5.（2023春・湖北•八年级统考期末）在△4BC中，BD平分NABC交AC于点。，点E是线段4c上的动点（不

与点。重合），过点E作EFIIBC交射线8D于点F,NCEF的平分线所在直线与射线BD交于点G.

备用图

⑴如图，点E在线段AD上运动.

①若NABC=40。，ZC=60°,则乙4的度数是：ZEFB的度数是；

②探究ZBGE与4力之间的数量关系，并说明理由；

（2）若点E在线段DC上运动时・，请直接写出N8GE与N4之间的数量关系.

6.（2023春•广西南宁•八年级统考期末）数学实践活动课上，研究小组探究如下问题：

【问题情境】如图，点4,O,B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，使直角顶点与点O重合，

其中NCOD=90。，ZC=30°,0E平分,8。。且交CO所在直线于点£

【独立思考】（1）若乙40C=30°,求乙。FC的度数；

【实践操作】（2）如图②，将直角三角尺绕点O旋转，当，OFC=2乙40C时，求乙AOC的度数；

【深入探究】（3）继续旋转直角三角尺，若0C不与A8重合，试探究旋转过程中，N40C和4OFC之间的数量

关系.

(1)如图1,点E在AB、CD之间，求证：Z.AEC=^A+

(2)如图2,在(1)的条件下，MAE的平分线交CE的延长线于点凡NOCE的平分线交4E的延长线于点G,

试探窕△凡NG和N4EC这三个角之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,点E在直线48的上方;乙瓦48,NEC。的平分线交于点F,若乙E-ZF=20°,请直接写出NECO-

".48的值.

8.(2023春•四川泸州•八年级统考期中)如图1,已知力8IICD,ACWEF

(1)观察猜想：若乙4=45。，ZE=65°,则乙COE的度数为一

(2)探究问题：请在图1中探究乙4,乙CDE与乙E之间有怎样的数量关系，并说明理由.

(3)拓展延伸：若将图1变为图2,题设的条件不变，此时乙乙4小4CDE与4小又有怎样的数量关系呢？请写

出结论并说明理由.

专题11.7与三角形有关的角的四大类型解答

【人教版】

考卷信息：

本套训练卷共30题,题型针对性较高，覆盖面广.选题有深度,可加强学生对与三角形有关的角的四大类型解

答的理^军！

【类型1与三角形有关的角的计算】

1.（2023春・甘肃兰州•八年级兰州H^一中校考期末）如图,△482中,LA=35°,乙B=65。，CE平分々4CB,

CDLABfD,DF1CE^F,求NCOF的度数.

【答案】75。

【分析】先由三角形内角和定理得到4=80,再由角平分线的定义得到乙4CE=40,进而利用三角形外

角的性质得到乙CEO=75。，根据垂直的定义和三角形内角和定理求出乙EOF=15°,进而根据垂直的定义求

的度数即可.

【详解】解：•・•在△A8C中，LA=35°,48=65。，，

：.LACB=180°-NA—4B=80°,

：,LACE=-Z-ACB=40°,

2

：,LCED=44+AACE=75°,

*：DF1CEtBPzDFE=90°,

：.LEDF=180°-乙DEF-乙DFE=15°,

vrniAR.EPz/ior=90°.

:.乙CDF=Z.ADC-乙EDF=75°.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等等，熟知三角形内角和

为180。是解题的关键.

2.（2023春・四川达州•八年级校联考期中）如图，在△4BC中，4E为BC边上的高，点。为BC边上的一点，

连接4D.

(1)当AD为8C边上的中线时，若AE=6,△力8C的面积为30,求CD的长：

(2)当AD为/BAC的角平分线时，若NC=66。，=36。，求/D4E的度数.

【答案】(l)CD=5

(2)LDAE=15°

【分析】(1)由中线平分三角形面积可得△4DC的面积，再由面积公式即可求得CO的长；

(2)由三角形内角和可求得N84C的度数，由角平分线的性质可求得乙4OE,然后在RtAAOE中即可求得结

果.

【详解】⑴解：rD为BC边上的中线，

S^ADC=2^Ai4BC=1X30=15,

•.TE为边8C上的高，AE=6,

-CD-AE=15,

2

CD=5.

(2)解：vZ.BAC=180°-LB-LC=78°,

•♦•4)为/BAC的角平分线，

•••Z.BAD=^BAC=39°,

Z.ADC=+/.BAD=36°+39°=75°,

vAE1BC,

:.Z.AED=90°,

/.DAE=90°-75°=15°.

【点睛】本题考查了三角形中线、角平分线、三角形内角和及三定形外角的性质等知识，掌握这些知识是基

础与关键.

3.(2023春・安徽淮北•八年级校考期末)如图，在^ABC中，DE1A8于点E,DF18c于点F,且Z)E=DF,

CD平分zACB,^BDC=135°.

A

(1)求4+的度数；

(2)求乙4的度数.

【答案】(1)45。

(2)90°

【分析】(1)根据三角形的内角和定理，即可求解：

(2)先证明8。平分匕A8C,再根据三角形的内角和即可求解.

【详解】(1)解：・."BDC=135°,

:•乙DBF+乙DCF=180°-135°=45°；

(2)解：*：DELAB,DF1BC,DE=DF,

平分N/18C,即N4BD=Z.CBD.

・10平分N4C8,

/.2.ACD=ABCD.

=180°-LABC-LACB=180°-2QDBC+乙DCB)=180°-2x45°=90°.

【点睛】本题主要考杳了三角形的内角和，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形的内角和为180。.

4.(2023春・湖北孝感•八年级统考期中)如图，点。为△ABC的边BC上一点，4BAD=：乙BAC,8P平分

交4)于点P,4c=70。，Z.ADB=110°.求乙BPD的度数.

【答案】450

【分析】首先根据三角形的外角和求出乙。40=40。，由此可得40=20。，再根据三角形的内角和和角平

分线的性质求出乙3P0的度数即可.

【详解】解：•・•△(?+4CAD

：.700+£CAD=110°.

：,^CAD=40°.

'：LEAD=-/.BAC,

3

：.LCAB=60°,Z.BAD=20°.

在AABC中，ZC+/.CAB+LABC=180%

••・70°+60°+乙48。=180°,

：.LABC=50°.

,.•8〃平分NAAC,

：

,LABP=-2^ABC=25°.

"BPD=Z.ABP+乙BAD=250+20°=45°.

【，点睛】本题主要考查了三角形的内角和、外角和和角平分线的定义，属于基础题，要熟练掌握.

5.（2023春・辽宁鞍山•八年级统考期中）如图，在四边形4BCD中，ADWBC,4D48的平分线交8c的延长线

于点£BGLAE,垂足为点F,交CD于点G.

⑴求证：BG平分乙4BE.

⑵若4DCE=105°,4DAB=60°,求4BGC的度数.

【答案】（1）证明见详解

（2）35°

【分析】（1）根据平行线的性质得HUZZ4E=LE,再根据角平分线的性质得出ND4E=^BAE,从而得出，E=

乙BAE,最后根据等腰三角形的性质即可得出8G平分N4BE；

（2）根据N0/18=60。，ADIIBC,得出乙4BE=120。，再根据角平分线的性质得出乙G8E=6Q。，从而得出

乙DCE=105°,最后根据Z8GC=（DCE-4G8E即可得出答案.

【详解】（1）证明：•••40IIBC,

•••Z.DAE=乙E,

•••HE平分乙ZZ4B,

•••Z.DAE=Z.BAE,

:,乙E=Z.BAE,

•••AB=BE,

vBG1AE,

•••8G平分

(2)•••乙DAB=60°,ADIIBC,

•・•LABE=120°,

•••8G平分N/BE,

•••/.GBE=60°,

vzDCE=105°,

:.Z.BGC=乙DCE-乙GBE=105°-60°=35°.

【点睛】此题考查了多边形的内角与外角以及平行线的性质，熟记平行线的性质以及三角形的性质是解题的

关键.

6.(2023春•浙江温州•八年级校朕考期中)己如：如图1,在二角形/WC中，^.BAC=40°,=65°,将

线段AC沿直线AB平移得到线段DE,连接4E.

图1图2

(1)当乙E=65。时，请说明AEIIBC.

(2)如图2,当DE在4c上方时，月/E=2匕84E-29。时，求乙8/1E与2区4c的度数.

(3)在整个运动中，当4E垂直三角形ABC中的一边时，求出所有满足条件的NE的度数.

【答案】(1)见解析

(2)LBAE=23°,/-EAC=17°

⑶25。或50。或90。

【分析】(1)由平移的性质可得47II可得NC力E=N£=65。=〃?，可得结论；

(2)由平行线的性质可得/BAC=48Z)E=40。，LE=Z.EAC,力外角的性质可得4E+28AE=40。，即可

求解;

<3)分三种情况讨论，由平行线的性质以及三角形的内角和定珥.即可求解.

【详解】（1）证明：••・将线段AC沿直线AB平移得到线段0E,

:.AC||DE,

•••Z.CAE=（E=65°,

乙C=Z.CAE,

•••AEIIBC；

（2）解：•.・将线段AC沿直线AB平移得到线段DE,

•••DEIIAC,

:.Z.BAC—乙BDE=40°,乙E=Z.EAC,

:.Z.E+乙BAE=40°,

•••ZE=2/.BAE-29°,

:./.BAE=23°,乙E=17°,

LEAC=17°；

图2

VZ.BAC=40°,LC=65°,

/.ABC=75°,

AEA.BC,

•••Z.BAE=15°>

vZ.BDE=40°,

/.zF=25°；

如图3,当力E_L力C时,

B,

图3

•••AC||DE,

:.ZE=Z.CAE=90°,

如图4,当4EJ.48时,

VZCHDF,LBAC=40°

:,乙E=90°-LADE=50°

综上所述：乙£=25。或50。或90。.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，平移的性质，三角形的外角性质等知识，灵活运用

这些性质解决问题是解题的关键.

7.（2023春・吉林长春•八年级长春外国语学校校考期中）将三角形纸片48c沿直线DE折叠，使点A落在4处.

【感知】如果点4落在边力8上，这时图①中的N1变为0。，那么乙1'与m2之间的关系是

【探究】如果点4落在四边形BCOE的内部（如图①），那么乙4'与21、42之间存在怎样的数量关系?并说明理

由.

【拓展】如果点4落在四边形8CDE的外部（如图②），那么请直接写出〃'与乙1、42之间存在数量关

系

BBA'

CDA

①②

【答案】感知：N2=2NA探究：2/4=41+42拓展：2^Ar=z2-Z1

【分析】［感知］根据三角形外角性质得出乙1=乙4+乙氏4切，根据折叠性质得出立巴4切=4力，即可求出答案;

［探究］根据三角形内角和定理得出44E0+^ADE=180°-立力，^A'ED+乙A'DE=180°-乙A,两式相加

可得4/TZM+Z.A'EA=360°-（乙4+44）,即"1+乙4'+LA'DA+^A'EA=360°,根据平角的定义得出

zl+^LA'DA+Z2+Z-A'EA=360°,可得出4力'+乙A=41+乙2,根据折叠性质得出=乙儿即可得出

2Z.A=41+42；

［拓展］根据三角形外角性质得出乙DME=4A'+zl,A.2=Z-A+/.DME,推出42=+/A+土1,即可得

出答案.

【详解】解：［感知］:42=2“

理由如下：当点A落在边48上时，由折叠可得：£.EAfD=^A；

vz.2=Z.A+z.EA'D,

:.z2=2乙4,

故答案为：z2=2乙4：

［探究］:24A=41+42.

理由如下：v/,AED+LADE=180°-Z/4,LA'ED+Z.ArDE=180°-^Ar,

£A'DA+£.A'EA=360°-（Z.A+，A'）,

f

•••NA++z.ADA+^A/EA=360°,

vZ1+Z-A'DA+42+Z-A'EA=360°,

N4'+Z.A=Z1+Z.Z,

由折叠可得：/-A=4/f,

:.2乙力'=Z14-匕2,

故答案为：2乙4'=41+42；

［拓展］:如图②，

BA'

C/1DKA

②

VZ.DME=N/V+zl,42=4力+Z.DME,

由折叠可得：/-A=Z.Ar,

z2=z/l+Z,A'+zl=2z/l+zl,

:.2Z.71=z2—zl,

244=Z2-Z1

故答案为：2乙A=42一41.

【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行

推理和计算的能力.解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解.

8.(2023春•江西萍乡•八年级统考期末)已知点4在射线CE上，zC=^ADB.

⑴如图1,若ADII8C,求证:ACWBD；

(2)如图2,若BD上BC，垂足为B.BD交CE于点G,清探究NZME与NC的数量关系，.写出你的探究结论，并

说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点D作。交射线CE于点凡^BAC=^.BAD,乙。/£=8zO4E时，求

△84。的度数.

【答案】(I)证明见解析

(2)LDAE+2Z.C=90°,理由见解析

(3)99°

【分析】(1)根据力DIIBC,可得NZME=ZC,再根据zC=4力。8,即可得至Ij/ZME=44DB,即可得证;

(2)ZD/1F+2zC=90°.根据三角形外角的性质，可得至lj4CG8=4108+40/1以根据直角三角形两锐角

互余，有乙CGB+ZT=90。，再根据“=4力。8即可得到4ZME与"的数量关系；

(3)设4ZME=a,MZDFE=8a,LAFD=180°-8a,根据。F||BC,即可得至Ij/C==180。-8a,

再根据ZD4E+2，C=90。，即可得到a+2(180。-8a)=90。，求得a的值，即可运用三角形内角和定理得

到，8/W的度数.

【详解】(1)证明：:NDIIBC,

/.DAE=乙c,

XVzC=乙0/8,

：.LDAE=Z.ADB,

：.AC\\BD；

(2)解：LDAE+2LC=90°

理由如下：•・・乙。63是44。6的外角，

，乙CGB=Z.ADB+Z.DAE,

,：BD1BC,

：.LCBD=90°,

・••在△BCG中，Z-CGB+ZC=90°,

・••乙408+/.DAE+ZC=90°,

又,：£C="DB,

AZD71E+2ZC=90O；

(3)设皿IE=a,则WE=8a,

；・£AFD=180°-8a,

VDFH5C,

AzC=Z.AFD=180°-8a,

又・,・S4E+2"C=90。,

.*.2(180°-8a)4-a=90°,

・・・a=18°

r.zC=180o-8xl8o=36°,

：.LADB=zf=36°,

又・.・4BAC=^BAD,

：.LABC=180°-zc-Z.BAC=180°-Z.ADB-乙BAD=乙ABD,

'：LCBD=90°,

：,LABC=乙ABD=3乙CBD=45°,

・・・在448。中，乙BAD=180°-45°-36°=99°,

的度数为99。.

【点睛】本题考•查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两况角互余.灵

活运用三角形内角和定理是解题的关键.

9.（2023春・福建泉州•八年级统考期末）在△ABC中，乙C＞乙B,4E平分点尸为射线4E上一点（不

与点E重合），且F018C于点D.

⑴如图I,如果点尸在线段4E上，旦NC=50。，28=30。，则2£7切=.

（2）如果点/在△/BC的外部，分别作出NC4E和“。户的角平分线，交于点K,请在图2中补全图形，探究

2K。、“、M三者之间的数量关系，并说明理由：

（3）如图3,若点尸与点4重合，PE、PC分别平分乙4EC和△48C的外角乙ACM,连接PA,过点P作尸G_LBC交

8C延长线于点G,PH1A8交8A的延长线于点H,若乙EAO=4&4。，且乙CPG=飞（乙B+乙CPE）,求乙EPH

的度数.

【答案】（1）10°

（2）画图见解析，44（。=当空，理由见解析

4

（3）95°

【分析】（1）先求出匕氏1C=100。，进而得到N8AE=50。，Z.AEC=80°,根据FOJ,8C得至Ij/FDE=90。，

即可求出4项W=90°-LAED=10°：

（2）根据题意先画出图形，根据三角形内角和定理和角平分线的定义得到乙CDK=：4EO尸=45。，Z.CAK=

-ZC/1F=45°--Z^--ZC,再曰三角形内角和定理得到乙L4C+4c=4T0K+乙4K0,则45。一乙乙8—

2444

；乙。+乙。=45。+乙4长。，据此即可得到答案；

4

（3）根据匕£;4D=4。4D=2a得到N84E=2LCAE=4a,得到乙&4D=6a,从而求出乙8=90°—6a,进而

求出乙CPE=2a,结合“PG=5QB+NCPE）,得到/CPG=63。一号a.根据PG1BC,得到（45。+。）+

（63°-ya）=90%求出a=10。.从而分别求出，9=9求-6或=30。,"EM=35。,Z.BEP=145°,再

求出4PH8=90°,根据四边形内角和为360。即可求出NEP4=95°.

【详解】（1）解：VzF=30°,zC=50°,

：,LBAC=180°-Z.B-Z-C=100°,

•・YE是ZM8c的角平分线，

：,LBAE=LCAE=\^BAC=50°,

二乙4EC=4B+皿£=80。，

•：DF1BC,

:•乙FDE=90°,

：.LEFD=90°-/.AED=10°,

故答案为：10°；

（2）解：乙4KD=军卫,理由如下：

4

在△力8c中，Z.BAC=180°-z^-zC,

•「HE平分ZBAC,

:.LBAF=Z.CAF=-£BAC=90°—248—24c,

222

VDF1BC,

：,LFDE=90°,

•••/&4E和NEDF的角平分线交于点K,

：.LCDK=-Z.EDF=45°,/.CAK=-/LCAF=45°--zF--zC,

2244

*：Z.TAC+ZC+Z.ATC=180°=LTDK+Z.AKD+乙DTK,乙DTK=Z.ATC,

：,z.TAC+=rTDK+乙4KD,

:.45°--zfi--zC+zC=45°+^.AKD,

44

(3)解：©ZE/ID=/.CAD=2a,

•ZE平分284C,

*»LBAE=Z.CAE=Z.EAD+Z.CAD=4a,

・"Z?/W=Ga,

'：AD1BC

：,LADE=90°,

：,LB=90°-/-BAD=90°-6a,Z-AED=90°-2a,

：.LACM=Z.B+Z,BAC=90°+2a,

•：PE、PC分别平分48。的夕卜角乙力CM,

，乙乙

PEC=-2z.AEC=45°-a2,PCG=-/.ACM=45°+a,

:.乙EPC=乙PCG-乙PEC=2a,

:.LCPG=V(28+乙CPE)=^(90°-6a4-2a)=63。-詈

■:PG1BC,

；“CG+乙CPG=90°,

即(45°+a)+(63°一=90。，

：.a=10°.

=90°-6a=30°,乙PEC=35。，

LBEP=180°-乙PEM=145°,

■:PHLAB,

・"PHB=90。,

，在四边形8EPH中，乙EPH=360。-乙BEP-乙B-乙BHP=95°（四边形内角和可以看做是两个三角形的

内角和）.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，三角形角平分线，综合性较强，第（3）步难度

较大.熟知相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键.

【类型2与三角形有关的角的证明】

1.（2023春・安徽宿州•八年级统考期末）如图,ABIICD,点E安4c上,求证：乙A=〃：ED+乙D.

【答案】证明见解析

【分析】首先根据平行线的性质得到々力十"=180。，然后根据二角形内角和定理得到乙CZ7D十乙。十乙。=

180°,进而可证明出NA=4；ED+4D.

【详解】*：ABKD

Azzl+ZC=180°

•・•在△CED中，ZCFD4-ZD+ZC=180°

/.Z.A=Z.CED+Z.D.

【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，热练掌握平行线的性质是解题的关键.

2.（2023春•湖北武汉•八年级统考期末）如图，已知ABIICD,48=60。，点G在直线“上且乙ABG=乙FGB.

（2）若=iCGB+20。，求2C的度数.

【答案】（1）证明见解析：

（2）70°.

【分析】（1）根据平行线的判定及性质即可证明;

(2)先根据平行线的性质求得NCMG=匕8=60。，再利用三角形的内角和定理即可求解.

【详解】(1)证明：=

：.AB||EF,

a：AB||CD,

・・・C。IIEF,

Z.zC=乙CGE；

(2)解：如图,

・"CG8="-20。，

'：AB||CD,ZF=6O°,

：.ACMG=ZF=60°,

VzC+Z.CMG+Z.CGB=180°,

AzC+ZC-20°+60°=180°,

AzC=70°.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关

键.

3.(2023春・江苏南通•八年级统考期末)已知点。在乙4BC内，E为射线8c上一点，连接DE,CD.

(1)如图1所示，连接AE,若△8AE+/C0E.

①线段AB与CD有何位置关系？请说明理由；

②过点。作OM||4E交直线8c于点M,求证："DM="/IE；

(2)如图2所示，^AED=LA-Z-D,若M为平面内一动点，MAWED,请直接写出乙MA8与ZTDE的数量关系.

【答案】(1)①45IICD,理由见解析：②证明见解析

(2)匕MAB=/CDE或4+zCDF=180°

【分析】(1)①过点E作E尸IIAB,则N4EF=Z.BAE,由N4ED=Z.BAE+乙CDE,^AED=Z.AEF+4尸ED得

到"DE="ED,贝IJFEIICC,即可得至U结论.

②由DM||4E得至IJ44E0=Z-MDE.乙CDE=乙FED,则NMOC=Z.AEF.由/AE尸=Z8/1E即可得至lj/COM=

(2)分点M在直线AB的右侧和点M在直线48的左侧两种情况，分别求出乙AM8与nDE的数量关系为：

Z-MAB=乙CDE或匕MAB+乙CDE=180°.

【详解】(1)解：①力3IICD.理由：

过点E作EFII4B,如图,

贝IJ/4E尸=Z.BAE,

vZ.AED=Z.BAE+乙CDE,Z.AED=Z.AEF+乙FED,

:.Z.CDE=乙FED,

FE||CD,

-AB||EF,

•••ABIICD.

②•••DM||AE,

AZ.AED=Z-MDE.

vZ.CDE=乙FED,

•••Z.MDC=AAEF.

vZ.AEF=乙BAE,

:.乙CDM=Z.BAE.

(2)当点M在直线48的右侧时，如下图，乙MAB=々CDE,理由:

A

D

MCE

设AE与CD交于点F,

vZ.CFE=ZD+Z.AED,

:.Z.AED=Z.CFE—乙D.

•••Z.AED=Z.BAE-乙D,

:.Z.BAE=乙CFE.

AB||CD.

乙ABC=乙DCE.

vAMIIDE,

Z.AMB=乙DEC.

•••Z.MAB=1800-Z.ABC-Z-AMB,Z.CDE=180°-zDCE-zDEC,

Z.MAB=Z.CDE,

②当点M在直线4B的左侧时,如图，Z-MAB+zCDE=180°,理由:

由（2）①可知：Z.BAN=Z.CDE.

•••Z.BAN+ZLBAM=180°,

AZ.MAB+Z.CDE=180°.

综上，4与4CDE的数量关系为：LMAB=乙COE或乙MAS4-乙CDE=180°.

【点睛】此题考杳了平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理

灵活进行角的关系转换是解题的关键.

4.（2023春♦黑龙江哈尔滨•八年级校考期中）射线OM、ON交于。点，0C平分上M0N,乙MON=60。,

M,

C

B