人教版(2023版)初中数学八年级上册期中试卷合集(共3份)(含答案及解析)

目录

八年级数学期中模拟卷一...................................2

八年级数学期中模拟卷一答案解析...........................11

八年级数学期中模拟卷二..................................54

八年级数学期中模拟卷二答案解析..........................63

八年级数学期中模拟卷三.................................105

八年级数学期中模拟卷三答案解析.........................113

八年级数学期中模拟卷一

（原卷版）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题（共30分）

1.如图，在aAAC中，NA=8（）。，NA8C与NACO的平分线交于点4,得N4,

与N4C。的平分线相交于点42,得NA?,…，N4BC与NA3c。的平分线相交于点4,得

N4,则NA4的度数为（）

A.5°B.10°C.15°D.20°

2.一个三角形的三个外角之比为5:2:5,则这个三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角

三角形

3.如图G是AABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与A8、交于。、后两

点，直线8G与AC交于〃点，则△AEO的面积：四边形AQG尸的面积=（）

A.1：2B.2：1C.2：3D.3：2

4.如图，在4AAe中，NR4C和NA8C的平分线4E、B厂相交于点0,AE交8。于E,BF

交AC于尸，过点。作于。，下列四个结论：

A

BEDC

®ZAOB=90°+ZC；

②当NC=60°时,AF+RE=AR：

③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S,叱=a〃.

其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①®@D.®®

5.如图，AO是A4C的边8c上的中线，A8=7,AQ=5,则AC的取值范围为（）

A.5<AC<15B.3VAe<15C.3VAe<17D.5<AC<I7

6.如图，AD1AB,AE1AC,AD=AB,AE=AC,则下列各式正确的是（）

D,

M

A./^ABD^ACEB.^ADF^AEGC..BMFgCMGD.AADC^AABE

7.下列图形中，不是轴对称图形的是（）

8.如图，在AABC中,/8AC、4cA的平分线交于点P,若NB=40。，3C=AP+AC,

则44。的大小是（）

A.60°B.70°C.80°D.90°

9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20。，则顶角的度数为（）

A.70°B.55°C.110°D.70°或110。

10.如图，。是正工6c内一点，04=3,08=4,OC=5,将线段BO以点8为旋转中心

逆时针旋转60。得到线段BO',下列结论：①△8OA可以由3OC绕点3逆时针旋转60。得

到；②点0与O'的距离为4；③44。8=150。：④加边“次/=6+36；⑤

4-4/1IZL.+io«=6+—/.其中正确的结论是（）

C.®@@@®D.®@®

二、填空题（共24分）

11.已知ABC中，AB=AC,现将.ABC折叠，使点A、"两点重合，折痕所在的直线与

直线AC的夹角为20。，则D8的度数为。.

12.在AABC中，射线47平分N8AC交3。于点G,点。在3。边上运动（不与点。重

合），过点。作。七〃4c交48于点E,NEO8的角平分线所在直线交A/6于点〃，交射线

AG于点F,则NB与NA/7）之间的数量关系是一.

13.如图，在&△ABC中，NA8C=90。，A8=4,BC=3,点。是半径为2的。4上一动

点，点M是CQ的中点，则4M的最大值是一.

14.如图，A6c中，。在4c边上，BD=CD,E在8C边上，AE=AB,过点E作EF'上BC,

交AC于F.若AD=4,CE=6,则的长为

15.如图，在A4C中，AB=AC=2,/B=NC,BD=CE,产是AC边上的中点，fflAD-EF

1.（填“>”"一”或"v"）

16.等腰三角形ABC的底边8CK为6,面积是21,腰的垂直平分线E厂分别交A以

AC于点E、F,若点。为底边BC的中点，点M为线段E户上一动点，则aBOM的周长的

最小值为一.

17.如图，在.A3C中，BA=BC,8〃平分48C,点尸，。分别是3〃和A8上的任意

一点，连接C。，设AACD的面积为〃，PA+PD=m.

A

（1）当点P,“重合时，SAPD=

（2）连接C。交8”于点E,则加CD（填“之”

或““）；

18.如图1,是我们平时使用的等臂圆规，即C4=C8.若把〃个相同规格的等臂圆规的两

脚依次摆放在同一条直线上，如图2所示，其张角度数变化如下：NAG4=16（）。，

/4&儿=80。,NAC3Al=40。，NAGA=20。.…根据上述规律请你写出NA,”A,G=

.（用含〃的代数式表示）

图1

三、解答题（共46分）

19.（本题8分）如图，将△ACB沿AC边翻折至八40）.

（1）求证：NBCD=2NBAC+2NB；

（2）延长D4至F,延长8c交A。于£.求证：NBAF-/DCE=2/B；

（3）在（2）的条件下，延长CE至尸，连尸，连接OP,并延长。尸至G,作N6PG的平

分线交。延长线于。，若NADG=24DC,NCQQ=54。，NEC。=46。，求N后窃的度数.

20.（本题8分）小明为班级购买信息学编程竞赛的奖品后，回学校向班主任李老师汇报说:

“我买了两种书，共30本,单价分别为20元和24元，买书前我领了700元，现在还会38

元.”李老师算了一下，说：“你肯定搞错了.”

（1）李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；

（2）小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本.但笔记本的单

价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，如果单价为20元的书多于24元的书，

请问：笔记本的单价为多少元？

21.（本题10分）在-A8c中，点尸为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，8W_L直线，于点

M.CN_L直线。于点N,连接PM，PN.

（1）如图1,若点6,尸在直线"的异侧，延长MP文CN于点E.求证：PM=PE.

图1

(2)若直线〃绕点A旋转到图2的位置时，点“，夕在直线〃的同侧，其它条件不变，此时

S„P+SENP=7,BM=1，CV=3,求MN的长度.

(3)若过P点作尸G1直线〃于点G.试探究线段PG、3M和CN的关系.

22.(本题10分)如图，已知射线AM〃助V,C是射线8N二的一个动点(不与点8重合)，。、

石分别在射线BN上且满足4。平分NBAC,4F平分ZCW,过E作EF//BA交AM于点F.

(1)若N8=60。，求ZZ)AE的度数；

2

(2)在(1)的条件下，点C在BN上运动，当NAEF=§NBD4,求此时NC4尸的大小？

(3)若/8=。(0。＜。＜90"),当..刚。为直角三角形时，请直接写出所的度数.

M

23.(本题10分)如图，在ZACB=90°,AC=BC,E是AB上一点,BD1.CE于D,

尸是8c上一点，4/J.CD于".

(1)如图1,求证：CH=BD-

(2)如图2,在射线4厂上有一点G,连接CG,/DBE=/CGA,求/4CG的度数;

(3)在(2)的条件下，如图3,连接8G,若8G=CG=3,求BE的长.

八年级数学期中模拟卷一

（解析版）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题（共30分）

1.如图，在AABC中，NA=80。，NABC与NACO的平分线交于点4,得乙4”N4出。

与NACD的平分线相交于点4,得乙42,…，NA38C与N/hCD的平分线相交于点心，

得N4,则NA4的度数为（）

A.5°B.10°C.15°I）.200

【答案】A

【分析】

根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知NA=lzA=^x80°,

Z>l=1zA=^-x80%…，依此类推可知乙44的度数

【详解】

解：・・・NA8C与的平分线交于点A，

:.ZA=\^--ZACD-ZACB--ZABC,

22

=180°」（ZA8C+乙4）-（180。-ZA-ZA8C）-1,

22

=-ZA=-x80°=40°,

22

同理可得，ZA,=-ZA=^-x80°=20°,

.-.ZAj=Jrx8O0=5°.

故选：A.

【点睛】

本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查J'角

平分线的定义.解答的关健是掌握外角和内角的关系.

2.一个三角形的三个外角之比为5:2:5,则这个三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角

三角形

【答案】A

【分析】

根据三角形的外角和等于360。求出三个外角，再求出三个内角，即可得出答案.

【详解】

解：•・•三角形的三个外角之比为5：2：5,

，三角形的三个外角的度数为：150。,60。，150。，

工三角形对应的内角度数为30。，120。,30°,

・•・此三角形是等腰三角形，

故选A.

【点睛】

本题考查了三角形的外角和定理，解此题的关键是求出各个内角的度数.

3.如图G是△ABC的重心，直线过A点与平行.若直线CG分别与A3、交于/）、E

两点，直线BG与4c交于F点,则△AEO的面积：四边形AOG尸的面积=（）

L

C.2：3D.3：2

【答案】D

【分析】

根据重心的概念得出Q，F分别是三角形边的中点.若设的面积是2,则ABC力的面

积和△8C尸的面积都是1.又因为8G：GF=CG：GD,可求得ACG尸的面积.则四边形

ADGF的面积也可求出.根据ASA可以证明^ADEgABDC,则^ADE的面积是1.则△AED

的面积：四边形AOG/的面积可求.

【详解】

解.：设三角形ABC的面积是2,

，三角形8c。的面积和三角形8c尸的面积都是1,

,:BG：GF=CG：GD=2,

・••三角形CG尸的面积是:，

1?

・•・四边形ADGF的面积是2-1--=-,

33

V7//BC,

，NEAD=NCBD,

'：BD=AD,ZADE=/BDC、

VCASA)

的面积是1

2

•••△AEQ的面积：四边形AQG产的面积=1：,=3：2.

故选：D.

【点睛】

此题考杳了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距

离是它到对上中点的距离狗2倍.

4.如图，在入3c中，"AC和NA8C的平分线AE、5P相交于点0,AE交BC于E，BF

交AC于尸，过点。作0cA8c于。，下列四个结论：

①408=90。+"；

②当NC=60°时，AF+BE=ABi

③若OD=a,AB+BC+CA=2bt则

其中正确的是（）

A.①②B.②③C.®@®D.®@

【答案】B

【分析】

由角平分线的定义结合三角形内角和可判定①，在A8上取一点〃，使/汨=8石，进而可证

&HB0/4EB0,则有N8O”=/BOE=60。，再证得△HA0Z△物0,得至I]进而可

判定②，作0GJ_A。干G.0M_LA8干M,根据三角形的面积可判定③.

【详解】

解：:“AC和ZABC的平分线AE、B尸相交于点。，

JN0BA=-NABC,ZOAB=-NBAC,

22

Z^OB=180°-ZO^-ZOAB=1800--(ZABC+ZBAC|=1800--(1800-ZC)=90°+1ZC

22.

,故①错误；

•・•ZC=60°,

••・ZABC+ZBAC=120°,

/.NOBA+ZOAB=g(N4BC+N8AC)=60°,

ZAO8=\20°,

・•・/BOE=Z4O"=60°,

如图，在A8上取一点，，使

BF是ZABC的角平分线,

/.NHBO=NEBO,

'：OB=OB,

:•△HBO妾AEBO(SAS),

・•・/BOH=/BOE=3°,

ZHOA=/BOA-Z.BOH=60°,

・•・ZAOH=ZAOF,

ZHAO=ZFAO,AO=AO,

:.XHAgXFAO(ASA),

:.AH=AF,

；・AB=AH+BH=AF+BE，故②正确；

作OG_LAC于G,OMLAB于M,如图所示:

•・•々AC和ZA8C的平分线4E、8/相交于点0，

・••点。在NC的平分线上，

：.OG=OD=OM=a,

：.S=-ABOM+-BCOD+-ACOG=-(AB+BC+AC)a=ab,故③正确；

Al)c2222

故选B.

【点睛】

本题主要考查角平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质定

理及全等三角形的性质与判定是解题的关键.

5.如图，AO是八3C的边8C上的中线，AB=7,AD=5f则AC的取值范围为（）

A.5cAe<15B.3VAe<15C.3VAe<17D.5cAe<17

【答案】C

【分析】

延长AD至点£,使OE=A/）=5,连接CE,证明sABg-ECD,可得CE=48=7,然后

运用三角形三边关系可得结果.

【详解】

如图，延长AO至点区使OE=AO=5,连接CE.

VAD为.ABC的BC边上的中线,

:・BD=CD,

AD=ED.

在AABD和，ECD中,"ADB=NEDC,

BD=CD,

ABD^.ECD(S^S),

/.CE=AB=7.

在「ACE中，AE-EC<AC<AE+CE,

即5+5-7<AC<5+5+7,

・・・3<AC<17,

故选：C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据中点倍长法构造全等三角形是

解题的关键.

6.如图，AD1AB.AElAC,AD=AB,AE=ACf则下列各式正确的是()

A./\ABD^/^ACEB.^ADF^AEGC.&BMFW-CMGD.^ADC^AABE

【答案】D

【分析】

通过AE1AC,得到ND48+/84C=NE4C+NBAC,得到ND4C=NBAE,即

可得解；

【详解】

VADVAB,AE1AC,

・•・Z£l4B=ZE4C=90o,

・•・NDAB+NBAC=/E4C+ABAC,

即/D4C=/8A£,

AD=AB

在4Aoe和AABE中，•/DAC=NBAE,

AC=AE

AADC^ABE(SAS).

故选D.

【点睛】

本题主要考查了三角形的全等判定，准确分析判断是解题的关键.

7.下列图形中，不是轴对称图形的是()

【答案】A

【分析】

根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够.互相重合，这

个图形叫做轴对称图形进行分析即可.

【详解】

解：4、不是轴对称图形，符合题意;

仄是轴对称图形，不合题意;

C、是轴对称图形，不合题意；

。、是轴对称图形，不合题意.

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键.

8.如图，在AABC中，ZBAC、的平分线交于点P,若N8=40°,BC=AP+ACf

贝!J4AC的大小是()

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】C

【分析】

在。？上取二人C连接律,贝lj8P是/"。的角平分线.得到

ZPI3C=ZPBA=-ZABC=2O{>,证明AACP经△ECP,AP=EP,/CAP=/CEP,根据

2

BC=AP+AC,BC=BE+CE,得至lj贝ijNEB尸=/BPE=20。，再由三角形外角的性质

求得NC4片NCE7=NE8P+N8PE=40。，再根据角平分线的定义求解即可.

【详解】

解：如图所示，在C8上取CE=AC,连接8P,则8P是NA8C的角平分线，

・•・ZPBC=ZPBA=-NA8c=200,

2

•「PC是NACB的角平分线，

••・NACP=/ECP,

在△人门和^ECP中

AC=EC

ZACP=ZECP,

EC=EC

：.l\ACP94ECP(SAS),

：,AP=EP,/CAP=/CEP,

VAP+AC,RGBE+CE,

:・BE=EP=AP

，ZEBP=ZBPE=20°t

：.NC"=NCEP=NEBP+ZBPE=40。,

•・・AP平分NZMC,

••・N84C=2/C"=80。，

故选C.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外

角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20。，则顶角的度数为（）

A.70°B.55°C.110°D.70。或110°

【答案】D

【分析】

此题需要分情况讨论：等腰角形的顶角是钝角，等腰三角形的顶角是锐角，分别画出图形进

行求解即可.

【详解】

如图1

ZAC8=NO+ZZMC=90。+200=110。；

如图2

ZABD=20°,故顶角4=90。-44。=90。-20。=70°.

故选D

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的

时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中.

10.如图，0是正4ABe内一点，。4=3,。8=4,OC=5f将线段B。以点B为旋转中心

逆时针旋转60。得到线段80',下列结论：①△80A可以由80c绕点8逆时针旋转60。得

到；②点。与。'的距离为4；③4408=150。；④场边阳耽=6+3百；⑤

S&AOC+S.AOB=6+%~・其中正确的结论是()

A.①②③⑤B.①②®®C.®®®®®D.®®(3)

【答案】A

【分析】

证明△BOSQ/XBOC,又/OB。'=60。,所以正以由ABOC绕点8逆时针旋转60。

得到，故结论①正确；由△。80'是等边三角形，可知垢论②正确；在△AOO'中，三边长

为3,4,5,这是一组勾股数，故△八00'是直角三角形；进而求得NAOB=150。，故结论

③正确；s四边形AC=S八3+S“切=6+473故结论④错误；将4A08绕点A逆时针旋转60。,

使得48与AC重合，点。旋转至0〃点.利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将

SAA0C+SA408转化为S0”+SAW,计算可得结论⑤正确.

【详解】

解：如图，

由题意可知，Zl+Z2=Z3+Z2=60",

/.Z1=Z3,

又:08=O'5,AB=BCt

又•・・/OBO'=60。，

•••△80'A可以由△40c绕点4逆时针旋转60。得到,

故结论①正确：

如图，连接0。'，

•：OB=O'B,且NO8O'=60°,

•••△08。'是等边三角形,

：.OO,=OB=4.

故结论②正确；

:△BO'AmABOC,

，O'A=5.

在△AOO'中，三边长为3,4,5,这是一组勾股数,

•••△A00'是直角三角形，ZAOO'=90°,

/.ZAOB=ZAOO,+ZBOO,=90°+60°=150°,

故结论③正确；

S四边形Aw=SA2+Swqx3x4+：x4xj42-22=6+4g,故结论④错误;

如图，将△A08绕点A逆时针旋转60。，使得48与AC重合，点O旋转至。〃,

易知△AOO”是边长为3的等边三角形，△CO。是边长为3、4、5的直角三角形，则

22

S.A%+SAOR=S四边形人0co.=S(r0C+SAOO.=—x3x4+—x3x>/3-1.5=6+^^，故结论⑤正

确.

综上所述，正确的结论为：①②③⑤,

故选:A.

本题考查了旋转变换中等边三角形、直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理，判定勾股

数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点，在判定结论⑤时，将AAOB

向不同方向旋转，体现了结论①至结论④解题思路的拓展应用.

二、填空题（共24分）

11.已知45C中，AB=AC,现将44c折叠，使点A、B两点重合，折痕所在的直线与

直线4c的夹角为20。，则D8的度数为。.

【答案】55°或35。

【分析】

首先根据题意画出图形，当等腰三角形的顶角是锐角时，如图1,由翻折的性质可知：E/UA从

从而可求得NA,然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得N&当等腰三

角形的顶角是钝角时，如绍2,由翻折的性质可知：EFLAB,从而可求得ND4E,然后由

等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可求得N8.

【详解】

当等腰三角形的顶角是锐角时:如图1：

A

由翻折的性质可知：EFA.AB,

，/4+/4尸£=90。，

/./4=90°-20°=70°.

,：AB=AC,

:・/B=NC.

AZB=yX(180°-NA)=55°；

当等腰三角形的顶角是钝侑时，如图2：

由翻折的性质可知：EF1AB,

AZD4-ZDAE=90°.

.,.ZDAE=90o-20o=70°,

*：AB=AC,

:./B=/C.

•••NB+NC=ND4E,

AZB=jZDA£=35°,

故答案为:55。或35。.

【点睛】

本题主要考查了翻折的性质、等腰三角形的性质；这里要分类讨论：分别就等腰三角形的顶

角是锐角和钝角两种情况进行讨论.

12.在△A8c中，射线AG平分N8AC交SC于点G,点。在8C边上运动（不与点G重

合），过点。作O£〃AC交A8于点£,NEDB的角平分线所在直线交于点〃，交射线

AG于点尸，则N3与NATO之间的数量关系是

【答案】ZAFD=90°-\/B

【分析】

利用角平分线的定义可得NHDB=；NEDB,由于。E〃AC,则/石。8

=ZC,可得N〃O8=gNC：利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得N4”产

=NB+NHDB,在中，利用三角形的内角和定理列出关系式后整理即可得出结论.

【详解】

解：・・・AG平分N8AC,

：.ZHAF=^ZBAC.

•；DH平分/EDB,

:.NHDB=m/EDB.

*：DE//AC,

：.4EDB=4C.

:・/HDB=；/C.

•・•NAHF为公”OB的外角，

，NAHF=NB+NHDB.

在△A”产中，由三角形的内角和定理可得：

NBAF+ZAHF+NAFD=180°.

・•・yNB4C+NB+NHDB+^AFD=180°.

・•・；ZBAC+N8+yZC+ZAFD=180°.

•・•在△/WC中，N/MC+N4+NC=180。，

gNR4C+gZC=90°-gNB.

/.90°-yZB+N8+ZAFD=180°.

・・・5/8+/4/。=90。.

2

Z^FD=9O°-1Z«.

故答案为：ZAFD=90°-yZB.

【点睛】

本题主要考杳了三角形的内角和定理及其推论，角平分线的定义，平行线的性质.充分利用

三角形的内角和等于180。是解题的关键.

13.如图，在放△ABC中，ZABC=90°,AB=4tBC=3,点。是半径为2的。A上一动

点，点M是。。的中点，则〃M的最大值是一.

【答案】（7

【分析】

如图，取AC的中点N,连接MMBN,利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线

定理求出用V,MN,再利用三角形的三边关系即可解决问题.

【详解】

解：如图，取AC的中点M连接MMBN,

;在心中，

△A3CZABC=90°,AB=4t8C=3,

AC=V32+42=5

\'AN=NC=^AC=~,

22

:.BN=之AC=2

22

•••点M是C。的中点,

：・DM=MC,

：.MN=^AD=\

:.BMWBN+NM,

57

22

7

即8M的最大值是5

【点睛】

本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

14.如图，A8C中，。在AC边上，BD=CD,E在BC边上，相=",过点E作防_L6C,

交4c于/.若AD=4,CE=6,则E/7的长为.

【答案】2币

【分析】

在AC上截取AG=8D,连接EG,作GM_LBC于"，证明,再根

据全等三角形对应边相等的性质解得AO=EG=4,EM=CM=3,在RtZXCMG中，利用

勾股定理解得GM=近，最后由平行线分线段成比例解题即可.

【详解】

解：在AC上截取AG=8D,连接EG,作GM_L8C于M,

VAE=AB,BD=CD,

:・NC=NDBC，ZABE=ZABE,

又TZAEB=ZC+ZEAC,ZABE=/CBD+/DBA,

^ZABD=ZEAC,

在△A8O和AEAG中，

AB=AE

<Z.BAE=Z.EAG,

BD=AG

・•・△4AD^Z\E4G(8S),

所以AO=EG=4,

AG=BD=DC,

/.AD=CG=GE=4

QGM上EC

.•.EM=CM=3

在Rtz\CMG中，GM=5/42-32=4,

VEF1BC,GM±BC,

MG//EF,

:.GM=]EF,：,EF=2>/7,

故答案为：2币.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相

关知识是解题关键.

15.如图，在A3C中，AB=AC=2,/B=/C8O=CE,尸是AC边上的中点，则AO—样

【答案】＜

【分析】

连接AE,先证明△A08名△AEC得出4)=AE,根据三角形三边关系可得结果.

【详解】

如图，连接AE,

AB=AC,

在AADB和二AEC中，,NB=NC,

HD=CE,

Z.&">8—,AEC(SAS),

：-AD=AE,

在=4£产中，AE-EF<AF,

：-AD-EF<AFf

•••F是AC边上的中点,

AF=-AC=\,

2

••・AD-EF<\,

故答案为：v.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟知全等三角形的判定定理与性质

是解题的关键.

16.等腰三角形A3C的底边。。长为6,面积是21,腰A3的垂直平分线£户分别交/I优

4C于点瓜F,若点O为底边的中点，点M为线段EF上一动点，则ABDM的周长

的最小值为一.

【答案】10

【分析】

如图，连接A。，由题意点B关于直线EF的对称点为点4,推出A。的长为8M+M。的最

小值，进而即可求解.

【详解】

解：如图，连接A。AM,

A

•一△ABC是等腰三角形，点。是8。边的中点，

：.AD±BC,

/.SAABC=J・8C・AO=《X6XAD=21，

24

：.AD=7,

/是线段AB的垂直平分线，

・•・点B关于直线EF的对称点为点A,

=AM+MD,即当A,M,D三点共线时，8M+MO的值最小，

：,AD的长为BM+MD的最小值，

/.ABDM的周长最短为AD-\-BD=AD-\-y8C=10,

故答案为：10.

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

17.如图，在"C中，BA=BC,平分NABC,点P,。分别是和人8上的任意

一点，连接C。，设的面积为〃，PA+PD=m,

A

（1）当点乙”重合时，S功=.

（2）连接CD交BH于点E,则机CD（填“>”，“<”，"二"，“之”

或

【答案】y>

【分析】

（1）根据等腰三角形的性质即可得解；

（2）连接PC,根据垂直平分线的性质证明二△P”C,得到PA=PC,得到

m=PC+PD,再根据。、P、。的位置判断即可：

【详解】

（1）'：BA=BC,平分NABC,

AH=CH,

=

当点P,〃重合时，S&WY）"S/M8»

,//讨。。的面积为〃，

由（1）可得：NP〃C=NPH4=90。，

*/PH=PH,AH=CH,

・•・4PHA=4PHC,

：.PA=PC^

・•・m=PA+PD=PC+PD,

当。、尸、C三点共线时，PC+PD=DC,

当。、P、C三点不共线时，PC+PD>DC,

in>CD；

故答案是：N.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质、三线合一的性质、三角形三边关系、全等三角形的判定

与性质，准确计算是解题的关键.

18.如图1,是我们平时使用的等臂圆规，即CA=C5.若把〃个相同规格的等臂圆规的两

脚依次摆放在同一条直线上，如图2所示，其张角度数变化如下：/AG&=160。，

N4GA=80。，ZAC3A=40°,NA4aA=20。，…根据上述规律请你写出NA"八C,广

.（用含〃的代数式表示）

图1图2

处）0

【答案】90。-苗

【分析】

张角度数变化如下：NAG4=160。，NAC4=80°,ZA3C3A4=4（y\NA’C4A=20。，…由

此可以得到张角的度数变化规律为广翳，再由三角形内角和定理求解即可得到

答案.

【详解】

解析：由张角度数变化可知顶角乙心。“4=符，

,••4+1。”=AC，

・•・NAL=NCA+A

...4,AC”=（180。-3卜2=90。-彩•

故答案为：90°-^-.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，图形的变化规律，解题的关键在于

能够熟练掌握相关知识进行求解.

三、解答题（共46分）

19.（本题8分）如图，将沿AC边翻折至zMC。.

（1）求证：NBCD=2/BAC+2/B；

（2）延长。A至尸，延长3C交八。于E.求证：ZBAF-ZDCE=2ZB；

（3）在（2）的条件下，延长CE至尸，连PD,连接QP,并延长OP至G,作/8PG的平

分线交C4延长线于。，若ZAZ）G=2ZAOC,NCQ/>=54。，NEC。=46°,求NRU3的度

数.

【答案】（I）见解析；（2）见解析；（3）94。.

【分析】

（1）由翻折性质得到4=ND,ZBAC=ZDAC,再三角形外角性质解题；

（2）由三角形外角性质解得=a+NBAF=2a+y,再求角的差；

（3）延长QC至7,由角平分线的性质及三角形外角性质解得NQPC=g（3a+y）,

NQCP=g（180°—y）,再结合三角形内角和180。，得到NQCP+NQPC=126。，继而代入计

算解题

【详解】

解：(1)延长AC至K

IA3C翻折至△ACQ,

••・设NB=ND=a,ZBAC=/DAC=0,

・•・4BCK=a+B=乙DCK,

：.NBCD=2(a+份=2/BAC+2/B.

A

(2)设NOCE=y,则NA£8=a+y,

Z.BAF=2a+y,

・•・NBAF-NDCE=2a=2ZB.

(3)延长。。至7\由(I)知NBCK=ZACP,

•；/DCE=/BCT,AZ4CT=ZACP.

・•.Q是尸两个外角平分线交点，

〈NGPC是△PDC的外角

NGPC=3a+y,

ZQPC=^(3a+y)®

•・•ZTCD=2Z(2CP+y=180°,

/QCP=g(l80。—y)②

在△QC尸中

180°-4QCP-Z.QPC=54°

NQCP+NQPC=126°③

把①、②代入③得

g(3a+y)+g(180。-y)=126。，

••・1=24。，

V7=46°,

・•・2a+y=94°,

••・ZE4^=94°

答：ZE48的度数是94。.

【点睛】

本题考查三角形的外角性质、角平分线性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，掌握

相关知识是解题关键.

20.（本题8分）小明为班级购买信息学编程竞赛的奖品后，回学校向班主任李老师汇报说:

“我买了两种书，共30本，单价分别为20元和24元，买书前我领了700元，现在还余38

元李老师算了一下，说：“你肯定搞错了.”

（1）李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；

（2）小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本.但笔记本的单

价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，如果单价为20元的书多于24元的书,

请问：笔记本的单价为多少元？

【答案】（1）见解析；（2）6元

【分析】

（1）设单价为20元的书买了K本，单价为24元的书买了），本，根据总价=单价x数量，结

合购买两种书30本共花费（700-38）元，即可得出关于x,3，的二元一次方程组，解之即可

得出X，的值，结合x,y的值为整数，即可得出小明搞错了；

（2）设单价为20元的书买了a本，则单价为24元的书买了（30-a）本，笔记本的单价为

b元,根据总价=单价x数最，即可得出关于a,。的二元一次方程，化简后可得出“=14+

号,结合。〈方V10,且出人均为整数，可得出力=2或6,将。值代入。=14+当中

44

可求出a值，再结合单价为20元的书多于24元的书，即可确定〃值.

【详解】

解：（1）设20元的书买了工本，24元的书买了了本，由题意，得

x+y=30,,[x=14.5

4八,解得4’

20x+24y=700-38[_y=15.5

VV,y的值为整数，故盯y的值不符合题意（只需求出一个即可）

・•・小明搞错了；

（2）设2（）元的书买了〃本，则24元的书买了（30-〃）本，笔记本的单价为〃元，

由题意，得：20a+24（30-。）+。=700-38,

,,廿-6+58,.2+b

化简得：a=——=14+——

44

Vl</?<10,・・・〃=2或6.

当力=2,。=15,即20元的书买了15本，24元的书买了15本，不合题意舍去

当〃=6,。=16,即2（）元的书买了16本，则24元的书买了14本

h=6.

答：笔记本的价格为6元.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量

关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程.

21.（本题10分）在.A6C中，点户为BC边中点,直线。绕顶点A旋转，8W_L直线。于点

M,CN1直线。于点N,连接PM,PN.

（1）如图1,若点3,P在直线”的异侧，延长MP交CN于点E.求证：PM=PE.

（2）若直线〃绕点A旋转到图2的位置时，点8,，在直线〃的同侧，其它条件不变，此时

BMP+S^CNP~7,BM=1,cv=3,求MN的长度.

(3)若过。点作PG1直线〃于点G.试探究线段PG、和CN的关系.

【答案】(1)见解析；(2)MN=1；(3)线段PG、BM和CN的位置关系为BM〃PG〃CN,

数量美系为2PG=CN-BM或2PG=BM-CN或2PG=CN+BM

【分析】

(1)根据平行线的性质记得=再根据8P=C产，N8PM=NCPE即可得到

△BPM会MPE,得到户”=

(2)延长与NC的延长线相交于点E.证明丝△CPE(ASA),推出8W=CE,求出

f.MNE的面积即可解决问题.

(3)位置关系的证明比较简单，数量关系分四种情形：当直线〃与线段"交于一点时，当

直线。与线段CP交于•点时，当直线”与线段C8的延长线交于•点时，当直线。与线段8C

的延长线交于一点时，画出对应的图形，利用三角形和梯形的面积公式分别证明即可解决问

题.

【详解】

(I)证明：如图1,

A/a

PC

yi

图i

QBMJL直线〃于点例，CNL直线&于点、N,

:.NBMA=NCNM=90。,

BM//CN,

:.NMBP=NECP,

又.P为BC边中点,

:.BP=CP,

在△BPM和△CPE中,

/BPM=2CPE

，BP=CP,

NMBP=/ECP

:.△BPM9ACPE(AS/9,

PM=PE.

(2)解：如图2,延长MP与NC的延长线相交于点E,

、创/_1直线“于点加，CN_L直线”于点N,

/.乙BMN=NC7W=90°,

:"BMN+/CNM=180°.

BM//CN,

:./MBP=/ECP,

又・；P为BC中点,

:.BP=CP,

又•.NBPM=/CPE,

，在△8PM和△CPE中，

NBPM=4CPE

BP=CP,

/MBP=NECP

:.ABPM/MPElASA),

PM=PE>BM-CE,S^BPM~S^PE，

=CN=3,

:.NE=CN+CE=CN+BM=A,

•♦q+q-7

•SABMP丁s4CNP_'，

S*PNF.~SMPE+S^CNp=S&AVP+S&CNP-7，

*'•S&UNE=2s△尸NE=14,

-xMNx4=14,

2

:.MN=7.

(3)位置关系：BM//PG//CN,

数量关系：分四种情况讨论

•••8W_L宜线“丁点CNJ_直线〃于点N,PG1直线。于点G,

・•・BM//PG//CN,

①如图3,当直线〃与线段8P交于一点时,

A

由（1）可知9=PE,

••S、PMN~SNEN=S&MNE'

即gxJMN.PG=；NEMN,

:.NE=2PG,

△BPM冬ACPE,

:.BM=CE,

*：NE=CN-CE,

:.2PG=CN-BM.

②当直线。与线段CP交于一点时，

如图，延长历夕交CN的廷长线于点£.

QBM1直线〃于点CN_L直线〃于点N,

:"BMN=NCNM;骄、

...BM//CN,

.../MBP=/ECP,

又・；P为BC边中点,

:.BP=CP,

在△8PM和△CPE中，

/BPM=ZCPE

BP=CP,

NMBP=NECP

:.ABPMW4CPE(ASA),

:.PM=PE.

S^PMN=SNEN=]S&WN£,

^-x-MNPG=-NEMN,

222

:.NE=2PG,

.△BPM/ACPE,

:.BM=CE,

,:NE=CE-CN,

；.2PG=B