线性代数复习学习资料

１用定义计算（证明）例２用行列式定义计算一、计算（证明）行列式解

评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法．注意２利用范德蒙行列式计算例４计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。解上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知

评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式．３用化三角形行列式计算例５计算解提取第一列的公因子，得

评注本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．４用降阶法计算例６计算解

评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．５用拆成行列式之和计算例７证明６用递推法计算例８计算解由此递推，得如此继续下去，可得评注７用数学归纳法例９证明证对阶数n用数学归纳法评注计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．小结矩阵一、矩阵的运算二、逆矩阵的运算及证明三、矩阵的分块运算典型例题例１计算一、矩阵的运算解解由此得例２例３解用定义求逆阵二、逆矩阵的运算及证明注分析矩阵方程解证例５三、矩阵的分块运算同理可得：例6解（１）根据分块矩阵的乘法，得（２）由（１）可得１初等变换的定义换法变换倍法变换消法变换初等变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．反身性传递性对称性２矩阵的等价三种初等变换对应着三种初等矩阵．３初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．（１）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵．（２）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵．（３）消法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵．经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．例如４行阶梯形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0．例如５行最简形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．例如６矩阵的标准形所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵．定义７矩阵的秩定义定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．８矩阵秩的性质及定理定理定理９线性方程组有解判别定理

齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解．

非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解．10线性方程组的解法定理11初等矩阵与初等变换的关系定理推论一、求矩阵的秩二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法典型例题求矩阵的秩有下列基本方法（１）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩．一、求矩阵的秩（２）用初等变换．即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩．第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用．例１求下列矩阵的秩解对施行初等行变换化为阶梯形矩阵

注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形．当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解．当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则．二、求解线性方程组例２求非齐次线性方程组的通解．解对方程组的增广矩阵进行初等行变换，使其成为行最简单形．由此可知，而方程组(1)中未知量的个数是，故有一个自由未知量.例３当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解．解法一系数矩阵的行列式为从而得到方程组的通解解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形三、求逆矩阵的初等变换法例４求下述矩阵的逆矩阵．解

注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．四、解矩阵方程的初等变换法或者例５解分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．１向量的定义定义向量的相等零向量分量全为0的向量称为零向量．负向量向量加法２向量的线性运算数乘向量向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算，满足下列八条运算规则：除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组．定义３线性组合定义４线性表示定理定义定义５线性相关定理定理定义６向量组的秩等价的向量组的秩相等．定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．定理设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩．推论１推论２推论３（最大无关组的等价定义）设向量组是向量组的部分组，若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组是向量组的一个最大无关组．７向量空间定义设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．定义８子空间定义９基与维数向量方程１０齐次线性方程组解向量解向量的性质性质１性质２定义定理定义向量方程１１非齐次线性方程组解向量的性质性质１性质２解向量向量方程的解就是方程组的解向量．（１）求齐次线性方程组的基础解系１２线性方程组的解法第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵第三步：将其余个分量依次组成阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系（２）求非齐次线性方程组的特解将上述矩阵中最后一列的前个分量依次作为特解的第个分量，其余个分量全部取零，于是得即为所求非齐次线性方程组的一个特解．一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩三、向量空间的判定四、基础解系的证法五、解向量的证法典型例题一、向量组线性关系的判定研究这类问题一般有两个方法方法1从定义出发整理得线性方程组方法２利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定例１研究下列向量组的线性相关性解一整理得到解二分析证明证明向量组的一个部分组构成最大线性无关组的基本方法就是：分析根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系．证明求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的．如果向量组的向量以列（行）向量的形式给出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，而且可以求出最大线性无关组．二、求向量组的秩若矩阵经过初等行（列）变换化为矩阵，则和中任何对应的列（行）向量组都有相同的线性相关性．解判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合是否对于加法和数乘两种运算封闭．若封闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空间．解三、向量空间的判定例６证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系．四、基础解系的证法分析(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示．(1)该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；要证明某一向量组是方程组的基础解系，需要证明三个结论:证明

注当线性方程组有非零解时，基础解系的取法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的．五、解向量的证法证明注意(1)本例是对非齐次线性方程组的解的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方程组一定存在着个线性无关的解，题中(2)的证明表明了它的存在性．

(3)对非齐次线性方程组，有时也把如题中所给的个解称为的基础解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合系数之和为1时，才是方程组的解．

(2)对齐次线性方程组，当时，有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性表示．定义１向量内积的定义及运算规律定义向量的长度具有下列性质：２向量的长度定义３向量的夹角所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基．定理定义４正交向量组的性质施密特正交化方法第一步正交化第二步单位化定义５正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交．定义若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换．正交变换的特性在于保持线段的长度不变．定义６方阵的特征值和特征向量７有关特征值的一些结论定理定理属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．８有关特征向量的一些结论定义矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；(3)传递性．９相似矩阵１０有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同．

(4)能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量．(5)有个互异的特征值，则与对角阵相似．１１实对称矩阵的相似矩阵定义１２二次型二次型与它的矩阵是一一对应的．定义１３二次型的标准形１４化二次型为标准形定义１５正定二次型１６惯性定理注意１７正定二次型的判定一、证明所给矩阵为正交矩阵典型例题二、将线性无关向量组化为正交单位向量组三、特征值与特征向量的求法四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值五、求方阵的特征多项式六、关于特征值的其它问题七、判断方阵可否对角化八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形一、证明所给矩阵为正交矩阵证明将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化．二、将线性无关向量组化为正交单位向量组解一先正交化，再单位化解二同时进行正交化与单位化第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量．三