高中数学人教课标A版选修2-1-教学设计1：立体几何中的向量方法 公开课教学设计课件资料

立体几何中的向量方法

第1课时空间向量与平行关系

•三维目标

1.知识与技能

能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，能用

向量方法判断有关直线和平面平行关系的立体几何问题.

2.过程与方法

通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过程，体会向量运算的几何意

义.

3.情感、态度与价值观

引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和

成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发

学习兴趣.

・重点难点

重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系问题.

难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量

语言证明立体几何中有关平行关系的问题.

•教学建议

在“以生为本”理念的指导下，充分体现课堂教学中“教师为主导，学生为

主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，构建学生主动的学习

活动过程.在教学策略上宜采用“复习引入一一推进新课一一归纳与总结一一反

思”组成的探究式教学策略，并使用计算机多媒体作为辅助教具，提高课堂效

率.本节课难点在于用向量证明平行关系，所以利用多媒体帮助分散难点，更符

合学生的认知规律.同时在教学中注意关注整个过程和全体学生，“以学生发展

为核心”，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节.

・教学流程

课

1.掌握直线的方向向量、平面的法向量的概念及求法.（重点）

标

2.熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系.（重

解

点、难点）

读

【问题导思】

图3—2—1

1.如图3—2—1,直线/〃例在直线/上取两点4B,在直线R上取两点

aD,向量宓与近有怎样的关系？

［提示】~AB//而.

2.如图直线，，平面a,直线/〃加，在直线加上取向量〃，则向量A与平

面。有怎样的关系？

【提示】AJ_a.

直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量,一条直线的方向

向量有无数个.

直线/J,a,取直线/的方向向量a,则向量a叫做平面。的法向量.

设两条不重合的直线1，必的方向向量分别为a=（a”b”a）,b=（a2,

线线平行

bi，Q），则/〃片〃的＞（4,b\,c）=k1a”J,c3

设/的方向向量为a=3,b\,Ci）,〃的法向量为〃=（即b29Q）,

线面平行

贝ij1//。台a•〃=0台.丁+66+ciQ=O

设a,£的法向量分别为u=（a,b\,Ci）,7=（初也,Q）,则。

面面平行

//£台“〃b”。）=左（己2，Q）

s

图3—2—2

》例已知48(4是直角梯形，//比1=90°，弘，平面/比》,SA=AB=BC

=1,AD=^,试建立适当的坐标系.

乙

(1)求平面力腼与平面第3的一个法向量.

(2)求平面sa?的一个法向量.

【思路探究】(1)根据图形特点，如何建立坐标系更方便？(2)怎样求平面

的法向量？题中所要求的三个平面的法向量在求解时方法是否相同？

【自主解答】以点/为原点，AD、AB.4S所在的直线分别为x轴、y轴、

z轴，建立如图所示的坐标系，则/(0,0,0),6(0,1,0),(7(1,1,0),〃弓，0,0),

5(0,0,1).

⑴;弘，平面48⑦，：.AS=(0,0,1)是平面力阅9的一个法向量.

,JADLAB,ADLSA,平面SAB,

...而=$,0,0)是平面夕夜的一个法向量.

(2)在平面SC7?中，施=(/1,0),竟=(1,1,-1).

设平面&力的法向量是A=(x,y,z),则A_L左，nl.SC.

n,^=0y=0x=—2y

所以得方程组J2

n,SC=0,[x+y—z=0.z=~y,

令y=-1得x=2,z=l,.,.n=(2,—1,1).

I规律方法I

1.若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面

的法向量.

2.一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：

(1)设出平面的法向量为A=(x,%Z).

(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量

a=(a"by,q),b=(a2,b,,c2).

(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组

n,a=0,

<

n,b=0.

(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.

n,a=0,

3.在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组》八有无数多个

[n•b=0

解，只需给x,y,z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋

的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量.

，变式训练

正方体〃中，E、6分别为棱43的中点，在如图3—2

一3所示的空间直角坐标系中，求：

X

图3—2—3

(1)平面龙〃A的一个法向量.

(2)平面6〃项的一个法向量.

【解】设正方体力8口一45C〃的棱长为2,则〃(0,0,0),3(2,2,0),

4(2,0,0),。(0,2,0),£(1,0,2)

⑴连AC,因为/CL平面BDDR,所以"(一2,2,0)为平面应?〃区的一个

法向量.

(2)3(2,2,0),DE=(1,0,2).

设平面9印的一个法向量为A=(x,y,z).

A•应=012x+2y=0!'

：.\?.I：.S1

L•庞=0,lx+2z=0,|/=一产

令x=2得尸一2,z=—l.

：.n=(2,-2,1)即为平面皮力%的一个法向量.

「例长方体/颇一4AG〃中，E、尸分别是面对角线48上的点,

&D、E=2EB\,即=2阿.求证：EF//AQ.

【思路探究】(1)你能写出跃4G的方向向量吗？(2)两直线的方向向量

满足什么条件则说明它们平行？

【自主解答】如图所示，分别以加，DC,〃〃所在的直线为x轴、y轴、z

轴建立空间直角坐标系，设DA=a,DC=b,DD、=c,则得下列各点的坐标：

.、/、/2262

A{a,0,0),C\(0,b,c),£(不必qb,c),F(a,~c).

oooo

.•.应'=(一*《，元=(-a,b,c),

ooo

fIf

：.FE=­AC.

oX

又〃与4G不共线，

，直线EF//AQ.

I规律方法I

利用向量法证明线线平行的方法与步骤:

选择一用基向量

组基底表示甘、V2

确定直线的方

判断W=

向向量VI、V2

：、V2成立

建立适当

坐标系

变itilll练

图3—2—4

如图3-2-4所示，在正方体ABCD-ARC。中,E、尸分别为。〃和BB、

的中点.求证：四边形4况下是平行四边形.

【证明】以点〃为坐标原点，分别以应，DC,诙为正交基底建立空间直

角坐标系，不妨设正方体的棱长为1,则4(1,0,0),6(0,0,6，G(0,1,1)，尸(1,1,

5),

B

.,.^=(-1,0,1),元;=(-10,；),用=(0,1,1),赤=(0,1,；)，.,.

而=惫,ECX=AF,

：.~AE//FCX,ECX//AF,

又•.•房再EG,：.AE//FC„EG〃/凡

...四边形力阿少是平行四边形.

图3—2—5

》例如图3—2—5,在正三棱柱/纪一4区。中，〃是〃1的中点，求证:

43〃平面DBQ.

【思路探究】线面平行一线与面的法向量垂直一数量积为0

【自主解答】以/为坐标原点建立空间直角坐标系.

设正三棱柱的底面边长为a(a〉0),侧棱长为b(b>0),

则4(0,0,0),G(0,a,6),D(0,I，0),

.,.翦i=(半a,*8),BD=(-0,0),

乙乙乙

DCi—(0,58).

乙

设平面DBG的一个法向量为n=(x,y,z),

〃•防=-曰ax=O,fx=0,

则《：.\a

〃・元=k+=。，户—次

不妨令y=2Z>,则A=(0,26,—a).

由于葩,n=ab—ab=O,因此葩_LA.

又4AQ平面DBG,〃平面附.

I规律方法I

利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：

方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用

平面内的一组基底表示.

方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利

用线面平行判定定理得证.

方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面

的法向量垂直.

变.illl练

在长方体/腼一46K〃中，AAl=2AB=2BC,E,F,£分别是棱皿，BB、,

4区的中点.

求证：四〃平面

【证明】以〃为原点，以物，DC,加所在的直线分别为x,y,z轴，建

立空间直角坐标系，如图.

设8c=1,则C(0,1,0),£(1,0,1),6(0,1,2),网1,1,1),£(1,2).

设平面G£尸的法向量为z?=(x,y,z),

•.•强=(1,-j,0),无=(-1,0,1),

n•瑞=0,

・••<

n•盾=0,

gpjX~2y,取片(1,2,1).

〔x=z,

'：CE=(\,-1,1),n-6F=l-2+l=0,

：.CELn,且南平面GE逮

〃平面C\E、F.

向量法证明空间平行关系

图3—2—6

卜典例（12分）如图3—2—6,在多面体/式颂中，四边形切是正方形,

EF//AB,EFIFB,AB=2EF,//&=90°,BF=FC,〃为a'的中点.

求证：FH//平面EDB.

【思路点拨】先通过推理证明小平面4时，建立空间直角坐标系，再

设证明赤、BE,直英面.

X

【规范解答】•••四边形⑦是正方形，

C.ABLBC,又EF〃AB,

:.EF1BC.

又EF1FB,

.♦.1次_!_平面BFC.

:.EF1FH,:.AB1FH.2分

又BF=FC,〃为a1的中点，

C.FHLBC.

.•.础_平面ABC.4分

以，为坐标原点，应为x轴正方向，曲为z轴正方向.

建立如图所示的空间直角坐标系.

设BH=3

则8(1,0,0),〃(一1,-2,0),£(0,-1,1),网0,0,1).6分

...■=(0,0,1),砺=(-1,-1,1),BD={-2,-2,0),

设郎=4•BE+〃•BD=4•(—1,—1,1)+〃(-2,—2,0)=(—4—2〃,

—4—2u,4)8分

/.(0,0,1)=(—X—2〃，一4一2〃，4)，

—4—2〃=0

•<

［几=1

.,.赤=砺一辆0分

，向量肮BE,反哄面.

又防不在平面EDB内，

...施〃平面£密12分

【思维启迪】1.建立空间直角坐标系，通常需要找出三线两两垂直或至少

找到线面垂直的条件.

2.证明时，要注意空间线面关系与向量关系的联系与区别，注意所运用定

理的条件要找全.

课堂小结：

1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：

(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直

线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；

(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.

2.证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关

系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.

双基达标：

1.若力(一1,0,1),8(1,4,7)在直线1上，则直线1的一个方向向量为()

A.(1,2,3)B.(1,3,2)

C.(2,1,3)D.(3,2,1)

【解析】而=(2,4,6)=2(1,2,3).

【答案】A

2.下列各组向量中不平行的是()

A.a=(1,2,-2),b=(—2,—4,4)

B.c=(1,0,0),d=(—3,0,0)

C.e=^2,3,0),f=(0,0,0)

D.5=(-2,3,5),h=(16,24,40)

【解析】•:b=(—2,—4,4)=—2(1,2,-2)=-2a,：.a//b,同理：c

//d,e//f.

【答案】D

3.设平面a内两向量a=(l,2,1),b=(-1,1,2),则下列向量中是平面

。的法向量的是()

A.(―1,—2,5)B.(―1,1,—1)

C.(1,1,1)D.(1,-1,-1)

【解析】平面a的法向量应当与a、b都垂直，可以检验知B选项适合.

【答案】B

4.根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的

位置关系：

(1)直线直心的方向向量分别是a=(l,-3,-1),b=(8,2,2)；

(2)平面a,£的法向量分别是u=(1,3,0),r=(—3,—9,0)；

(3)直线1的方向向量，平面a的法向量分别是a=(l,-4,—3),u=

⑵0,3).

【解】⑴Ta•Z>=IX8+(—3)X2+(—l)X2=0,

(2)•；/=(—3,—9,0)=—3(1,3,0)=-3〃，,a〃£.

(3)Va,〃不共线，不与a平行，也不在a内.

又•u=-7W0,.，./与a不垂直.

故/与。斜交.

课后检测：

一、选择题

1.(2013•吉林高二检测)，的方向向量为-=(1,2,3),心的方向向量％

=(4，4,6),若1J/U,则4=()

A.1B.2C.3D.4

19

【解析】,：1J/12,：.vj/vz,则-7=：,4=2.

【答案】B

2.(2013•青岛高二检测)若花=ACD+uCE,则直线与平面。应的位置

关系是()

A.相交B.平行

C.在平面内D.平行或在平面内

【解析】,：~AB=ACD+uCE,：.AB.CD,国共面，则4?与平面缪匹的位

置关系是平行或在平面内.

【答案】D

3.已知平面a内有一个点力(2,-1,2),a的一个法向量为〃=(3,1,2),

则下列点P中，在平面。内的是()

3

A.(1,-1,1)B.(1,3,-)

33

C.(1,—3,D.(―1,3,—~)

【解析】对于6,尻(一1,4,一｝,

则哈(3,1,2)•(—1,4,-1)=0,

3

：.nLAP,则点P(l,3,5)在平面a内.

【答案】B

4.已知/(I,1,0),6(1,0,1),<7(0,1,1),则平面力回的一个法向量的单位

向量是()

A.(1,1,1)

B.吟坐,号

\11、

C.(§,3-勺)

D.喙坐邛)

【解析】设平面力8。的法向量为A=(X,y,z),AB=(0,—1,1),~BC=(—

AB*〃=—y+z=0

1,1,0),AC=(-1,0,1),则<BC，n=-x-\-y=Q：.x=y=z,

<AC*72=—%+z=0

又•••单位向量的模为1,故只有B正确.

【答案】B

图3-2-7

5.如图3—2—7,在平行六面体/四一4AG〃中，点弘P,0分别为棱力8,

CD,灰的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则（）

①AM/DR

②A、M〃B、Q；

③4M〃平面DCCD；

④4"〃平面D、PQB\.

以上正确说法的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】^f=M+AM=M+^AB,KP=KD+DP=M+^AB,：.XM//D[P,

所以由线面平行的判定定理可知，AM/面DC。。,〃面以PQB、.①

③④正确.

【答案】C

二、填空题

6.（2013•泰安高二检测）已知直线/的方向向量为（2,01）,平面a的法

向量为(1,2),且/〃a,则e=.

【解析】•.•/〃a,.•./的方向向量与a的法向量垂直，

(2,m,1),(1,2)=2+^/z/+2=0,m=-8.

【答案】一8

7.已知4(4,1,3),5(2,3,1),。(3,7,一5),点P(x,一1,3)在平面ABC

内，则x=

【解析】范=（-2,2,—2）,范=（-1,6,-8）,办=（矛-4,-2,0）,

由题意知力、B、C.P共点共面，，亦=AAB+〃宓=（一24，2A,一24）十（一

〃，6〃，-8〃)=(124一〃，24+6〃，一24一8jU).

‘24+6〃=——2[=—4

1而x—4=-24一u,/.x=11.

—2—811=0,[〃=1,

【答案】11

8.下列命题中，正确的是.（填序号）

①若肛，2分别是平面a,£的一个法向量，则

②若Z?”例分别是平面a,£的一个法向量，则a_Lf=也♦生=0；

③若A是平面。的一个法向量，a与平面a共面，则A・a=0；

④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.

【解析】②③④一定正确，①中两平面有可能重合.

【答案】②③④

三、解答题

图3—2—8

9.已知。、4B、C、D、E、尺G、〃为空间的9个点（如图3—2-8所示），

并且应'=在洒，OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+niEF.

求证：（1）4、B、a〃四点共面，E、F、G、〃四点共面；

⑵衣〃曲

（^）OG=kOC.

【解】⑴由衣=加而玄EG=EH+niEF,知尔B、C、〃四点共面，E、F、

G、〃四点共面.

(2)VEG=EH+mEF=速一应+川(建一施

=4(办-游)+代7(龙一游)=kAD+kniAB

=4(杀+加戒=4而，

：.AC//EG.

(