高中数学平面向量真题（解析版）

专题07平面向量真题汇编与预赛典型例题

1.平面直角坐标系中，2是单位向量，向量Z满足之亮=2,且同2E50+间对任意实数f成立，则团的

取值范围是.

【答案】[6,2、同

【解析】设向=x,原题转化为痛£25（炉+产+4办

=25（尸+4t）>x4-25x2<=>-100>x4-25x2

5<x2<20V5<|a|<2>/5

2.设。为△ABC的外心，若而=而+2就，则s%N84C的值为.

【答案】①

4

【解析】不失一.般性，设△ABC的外接圆半径R=2.由条件知，

2AC=AO-AB=BO,①

故AC=]BO=1.

取AC的中点M,则OMJ_AC,结合①知OM_LB。，且8与A位于直线0M的同侧.

于是cos/BOC=cosOO。*/MOC）=-sin/MOC=一法=一：.

在△BOC中,由余弦定理得BC=VOB2+OC2-20B-0C-coszBOC=、丽.

进而在AABC中，由正弦定理得sinrBAC=-=^.

2R4

3.在AABC中,M为边BC的中点,N为线段BM的中点.若乙4=々之女=V?，则赤•前的最小值为

_________________________________O

【答案】V3+1

【解析】

由条件知

__k1k_kk3ki,

AM=-(AB+AC),AN=-AB+-AC

244

故疯.前=：(3|同「+|而「+4初.》)

由诟•就=|^B||XC|cosA

二2s八A月r*'cotA=2

=画扇=4

n俞•俞制就|+g而,Q=VJ+L

当|阿=鼻|就|=2x的时,俞•俞的最小值为VJ+L

故答案为：“3+1

4.在矩形4BCD中，AB=2,AD=1,边DC上(包含点D、C)的动点P与CB延长线上(包含点8)的动点Q满

足|而|=|所卜则向量应'与而的数量积疝•而的最小值为.

【答案】:

【解析】

不妨设点4(0,0),5(2,0),0(0,1).

设点P(t,1)(0<t<2).

则由|而|=|而I，得Q(2,-t).

故PA=(-t,-1),PQ=(2—t,—t—1),

=>PA-PQ=(-t)(2-t)+-1),

=t2-t+l=(t-1)2+J>J

当t=：时，(PKPQ)min=?

故答案为：-

4

5.在平面直角坐标系xOy中，已知点A、B.在抛物线y2=以上，满足德•丽=-4,F为抛物线的焦点,则

SAOFA■SAOFB=-----------

【答案】2

【解析】

由题意知点F（L0）.

设4（%，%），8（万2，%）・于是，/==7.

则一4=OA-OB=x1x2+y1y2=外仇内尸+%为

+8）2=0

=%%=-8.

故邑=（；1。51伍1）（；|0日1%1）=（：1。用"%为1）=2.

2

6.设P是函数y=x+—（x>0）的图像上任意一点，过点尸分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为

x

A,B,^PAPB的值为.

【答案】-1

,理脑书马造演顾“魂独“礴》『诡书士-幽=微-窗w=^-H--

【解析】试题分析:设武，则庶领=一工,即蕾懈之得机所以

您#9心阈脑★:「球.=己凸*器=9通:一六音„

武ii>源，贝！］»爵，所以黑翅”,贵检;=一,1,应填—1.

考点：向量的数量积公式及运用.

7.【2016年】在△ABC中.而•而+2应.前=.而求sinC的最大值

【答案】二

3

【解析】

由数量积的定义及余弦定理知

AB-AC—cbcosA—b"a-■

类似地，美.就=,

CA，CB=^^..

故已知等式化为睇+c2-a2+2(a2+c2-b2)=3(a2+b2-c2)

=>a2+2&2=3cz.

由余弦定理及基本不等式得：

「下+产"a2+&2-|(a2+2^a.b~b~V2

cost=-------=-------------=--I->2|——=——,

2ab2ab3b6a\3b6a3

=sinC=V1—cos2C<-,

3

当且仅当a：b：c=v多、⑥v'5时，上式等号成立.

因此sinC的最大值产，

3

1.在边长为8的正方形ABCD中，M是BC的中点，N是AD边上一点，且DN=3M4,若对于常数小，在正方

形ABCD的标上恰有6个不同的点P,使前•标=m,则实数小的取值范围是()

A.(—8,8)B.(—1,24)C.(—1,8)D.(0,8)

【答案】C

【解析】

如图建立直角坐标系，A(0,0),M(8,4),N(0,2),P(x,y).由题意得：

PM-PN=(8-x,4—y)■(—X,2-y)=xz—8x+y2-6y+8=mo(x-4)24-(y—3)2=m+17.即

以(4,3)为圆心，、而iF为半径的圆与正方形四边有且仅有6个不同的交点，易由图形知

4<>/m+17<5=>m6(-1,0).

2.在边长为8的正方形ABC。中，M是BC的中点，N是AD边上一点，且DN=3M4,若对于常数nt,在正方

形ABCD的标上恰有6个不同的点P,使南•丽=m,则实数小的取值范围是()

A.(-8,8)B.(-L24)C.(-1,8)D.(0,8)

【答案】C

【解析】

如图建立直角坐标系，A(0,0),M(8,4)，M0,2),P(x,y).由题意得：

PM-PN=(8—%,4—y)■(―x,2—y)=xz—8x+y2-6y+8=m<=>(x—4)2+(y-3)2=m+17.即

以(4,3)为圆心，、而E为半径的圆与正方形四边有且仅有6个不同的交点，易由图形知

3.在边长为8的正方形ABCD中，M是BC的中点，N是AD边上一点，且DN=3M4,若对于常数m,在正方

形ABCD的标上恰有6个不同的点P,使前•丽=?n,则实数小的取值范围是()

A.(—8,8)B.(—1,24)C.(—1,8)D.(0,8)

【答案】C

【解析】

如图建立直角坐标系，A(0,0),M(8,4),N(0,2),P(x,y).由题意得：

PM-PN=(8—x,4—y)■(―x,2—y)=x2—8x+y2-6y+8=m<=>(x—4)2+(y-3)2=m+17.即

以(4,3)为圆心，、而FT7为半径的圆与正方形四边有且仅有6个不同的交点，易由图形知

4<伽+17<5=>m6(-1,0).

4.已知点P、Q在AABC内，且「4+2「8+3「。=2(?4+3「8+5「。=0,则昌IPO等I于().

|Ab|

B.C.—

31

【答案】A

【解析】

由逾设知又38：5901/>：5313尸=1:2:3,5钻“：SACAQ：5UBQ=2:3:5,

故SA43P=S^BQ—":B'所以PQ〃4B.

rzc_S，八muc_

,J

-\-_ECP-6^BCQ-5，

故答案为：A

5.已知向量aJ.丽，且|西=|阿=24。若te[0,i],则卜说-而|+昌布-(l-t)网的最小值为

)o

A.2^/193B.26C.24您D.24

【答案】B

【解析】

作正方形OACB,联结对角线A8,令D、E分别为对角线AB、边08上点，使得

tAB-AO=OD,^BO-(1-t)BA=ED,EB=10,OD=DC.

故|t而-A0\+\^B0-(1-t)B^|=|丽+|闲<|FC|=26..

6.给定平面向量(1,1).则平面向量(/,/)是将向量(1,1)经过()变换得至U的.

A.顺时针旋转60。

B.顺时针旋转120。

C.逆时针旋转60。

D.逆时针旋转120°

【答案】C

【解析】

设两向量所成的角为8.

则cose=(2了管®=

V2XV2

于是，6=60c.

又，,<0,'>0,06[0,180[,a从而，选项C正确.

22

7.设〃、b、。为同一平面内的三个单位向量，且”_Lb.则(c-〃)・(c-。)的最大值为().

A.1+V2B.l-y/2C.V2-1D.1

【答案】A

【解析】

由〃_Lb,|a|=|Z?|=|c|=L知|〃+。|二、2

设向量c与a+b的夹角为。.贝!j(c-a)'(c-b)=c2-c'(a+b)-^a-b=\c\2-\c\\a+b\cos0

=1-\2cosd<l+\^2f

当且仅当cos0=-l,即0=兀时，上式等号成立.

故(c-〃)・(c-。)的最大值为1+在.选A.

8.设|诟|=10.若平面上点尸满足，对于任意tCR有|而一t而|之3,则万鼠丽的最小值为,此

时而+而=.

【答案】-166

【解析】

^\AP-tAB\23可知点尸到直线AB的距离为3.

设的中点为O.由极化恒等式得：

2222

PA-PB=-4{(R4+PB)-(PA-4PB)}=-{(2PO)4-10}>-{36-100}=-16.

止匕时|正+方|=6.

,;

9.在4ABC中，AB=5,AC=4,且AB-AC=12,设P为平面ABC上的一点，则PA•(PB+PC)的最小值

是.

【答案】一个

【解析】

由A8=5,AC=4,且AB,AC=12得cosA=：.

如图，以A为坐标原点，4方¥轴建立直角坐标系，则C(4,0),B(3,4),

设P(x,y),则万•(两+PC)=(-X,-y)•(7-2x,4-2y)=2x2—7x+2y2—4y

=2(x-J2+2(y-l)2-^.

即京(PB+元)的最小值是一Y.

故答案为：一言

10.设0(0,0),A(l,0),B(0,1),点P是线段AB上的一个动点，AP=AAB,若丽•丽之丽•丽，

则实数、的取值范围是.

41

【答案】1--<2<1

2

【解析】

试题分析：由题意得OA=(1,0)