高中数学教案直线与平面垂直的判定

直线与平面垂直的判定

铜陵市第三中学曹君

一、教学内容解析：

本节课选自人教A版教材必修2中第二章第三节第一小节《直线与平面垂直

的判定》，共2课时，本节为第一课时。本节课的内容主要包括直线与平面垂直

的定义和判定定理两部分，均为概念性知识.线面垂直是在学生掌握了线在面内，

线面平行之后，紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.线面平行研究了定义、

判定定理、相关结论以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方法上的范

例.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，且后续内容如：空间的

角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用.

教学重点是操作确认并概括出直线与平面垂直的定义，对直线与平面垂直的

判定定理的探究及简单应用.判定定理的教学，尽管新课程在必修课程中不要求

证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进

行交流的能力，并体会”空间问题转化为平面问题”，“无限问题转化为有限问题”,

“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想，是本节课的重要任务.

通过本节课的学习研究，可进一步完善学生的知识结构，更好地培养学生观

察发现、空间想象、推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等

数学思想方法.因此，学习这部分知识有着非常重要的意义.

二、教学目标设置：

课程和单元目标：

教材淡化了对定理的证明，侧重于对几何体的直观感知，这就要在教学过程

中多设置学生的自主观察环节及动手体会的过程.通过学生亲身经历观察、发现、

猜想、直观感知、操作确认、思辨论证等定理形成与应用的全过程，使学生真正

地逐步具备空间想象能力，以及体会等价转化思想在解决问题中的运用.最终达

到，学会数学知识，更学会数学方法.

课堂教学目标：

(1)、学生通过对实例、模型的观察、抽象,概括出直线与平面垂直的定义，

并对定义进行应用.让学生分组探究、猜想、归纳直线与平面垂直的判定定理,

能对定义与判定定理进行简单应用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能

力；

(2)、学生通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，

并尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义、定理进行准确表述.在活

动中，学生通过独立思考和合作交流，发展类比、归纳等合情推理能力、逻辑思

维能力和空间想象能力；

(3)、在探究线面垂直的定义和判定的过程中，体会数学的严谨、简洁之

美，体验探究发现的乐趣，培养善于观察、勇于探索的良好习惯.

三、学生学情分析：

学生已学过了两直线垂直关系的判定，以及线面平行关系的判定和性质，有

7"通过观察、操作，然后抽象概括出数学结论”的经验与体会，有一定的空间

想象能力、推理论证能力以及运用图形符号进行交流的能力，具备学习本节知识

的基础.

要达成本节课的目标，这些已有的知识和经验基础不可或缺，还需要整体上

把握本节课的研究内容、方法和途径，能运用类比、化归等数学思想，同时具备

较好地观察发现、空间想象、合情推理、抽象概括等能力，以及独立思考、合作

交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.存在的认知困难：一是如何从直线和平

面垂直的直观形象中抽象概括出直线和平面垂直的定义.因为学生直观感知中的

形象与定义中“直线与平面内任意一条直线都垂直”的内涵有一定的潜在距离；

二是在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，对为什么要且只要''两条相交直

线”的理解.因为定义中“任意一条直线”指的是“所有直线”，这种有“有限”

代替“无限”的过程在一定程度上会使学生产生思维障碍.

教学难点：①从直线和平面垂直的直观形象中抽象概括出直线和平面垂直

的定义；②探究、归纳、理解直线与平面垂直判定定理，突破“无限”与“有限”

的转化.

四、教学策略分析：

(1)、启发引导学生类比探究线面平行的研究过程，按照“定义一一判定

定理一一有关结论一一，性质定理”的研究程序，强化空间位置关系的常用研究策

略----降维化归；

(2)、如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，

让学生认识到线面垂直是由线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的

转化思想，这对学生来讲还比较困难.因此，在设计教学时，首先通过照片让学

生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将模型抽象为几何图形，再用数学

语言对几何图形进行精确的描述，让学生在观察演示过程中体会直线与平面垂直

定义的合理性.总言之，创设情境，让学生形成关于线面垂直的直观感知，归纳

定义；

(3)、用定义去判定直线与平面垂直往往是不方便的，如何在较短的时间

内，让学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这对于学生来说又是一个难题.

因此，在教学过程中，先通过小组成员合作探究，类比之前探究其他判定定理的

过程和方法，大胆猜想，反复验证，得出可能的线面垂直的判定定理；再通过折

纸试验，精心设置问题，并且引导学生通过动手操作、摆出模型，然后借助动画

加深对定理的两个关键词“双垂直”和“相交”的理解和确认.

五、教学过程设计:

(一)、引入：

1、先看天安门广场五星红旗的照片，激发学生的爱国热情.引导学生思考如

果三中操场上立一面新的旗杆，将旗杆抽象成一条直线，地面抽象成一个平面,

“怎样检验旗杆与地面是不是垂直”.这个问题就是“如何判定直线与平面是否

垂直”的问题，也就是今天我们要研究的课题，从而引出新课.

【设计意图】借助学生观察生活中的数学问题引出课题，自然生动，既提高了学

生学习数学的兴趣，又体现了数学来源于生活.观察图片，将图片中的实物抽象

为几何图形，直观感知直线与平面的垂直.同时，也激发学生的爱国热情.

【师生互动】观察图片，将图片中的实物抽象为几何图形，直观感知直线与平面

的垂直.

2、复习空间中点、直线、平面的位置关系中学习过的直线与平面的位置关

系中平行的探究过程，类比出研究直线与平面垂直的探究思路.直线和平面有几

种位置关系？已经掌握了直线和平面平行的哪些内容？怎样研究“直线与平面垂

直”呢？研究关于“直线与平面垂直”的什么内容？

【设计意图】启发引导学生类比探究线面平行的研究过程，明确按照“定义一

判定定理一一有关结论一一，性质定理”的研究程序，强化空间位置关系的常用研

究策略——降维化归.

【师生互动】观察图片，将图片中的实物抽象为几何图形，直观感知直线与平面

的垂直.发挥想象，构思意境，进一步体会直线与平面的垂直.

（二）、探索新知：

从路由器模型中判断哪些直线与平面垂直，哪些不垂直？找出直观感受的原

因，“在平面内找出一条和已知直线不垂直，则线面不垂直”，即“已知直线与

所有直线都垂直才可以达到线面垂直的目的”.“所有直线”不能换为“无数条

直线”，归纳出直线与平面垂直的准确定义.

1、定义：如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面

。互相垂直，记作：l±a.直线/叫做平面a的垂线，平面a叫做直线/的垂

面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点尸叫做垂足.aP

/垂直于a内的任何一条直线=/_La

画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示

平面的平行四边形的一边垂直.

【设计意图】借助模型的演示过程构建直线与平面垂直的定义，可以帮助学生建

立对定义的直观感受，既真实又有效.并引导学生用“正难则反”的思想来思考

问题，进一步概括直线与平面垂直的定义.

【师生互动】学生思考作答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与

“所有直线”是同义词，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.引导学生主

动思考辨析，利用现有工具摆出反例模型，提高学生动手能力，同时给出线面垂

直的记法与画法.

2、定义应用：

小实验：拿一块教学用的直角三角板，验证旗杆与地面的垂直.

设计一个实验，验证旗杆与水平地

学生设计：三角板的直角顶点C与旗杆底端重合，直角边BC所在直线与旗

杆所在直线重合，将三角板绕BC转动，在转动过程中，直角边AC与地面紧贴.

教师Flash展示.

问题1：在转动前，BC边与AC边是什么位置关系？

问题2：在转动过程中，AC边一直在移动，BC边与AC边是什么位置关系？

问题3：BC边与地面任意一条不过C点的直线又是什么位置关系？

（几何画板证明）

【设计意图】通过试验，让学生应用直线与平面垂直的定义，培养学生的动手操

作能力和几何直观能力.同时，再次加深对定义的理解：如果要得到一条直线与

一个平面垂直，需要证明直线与平面内所有直线垂直.让学生感受到定义的繁琐,

为要寻找判定定理埋下伏笔.

【师生互动】在验证过程中，学生会出现验证“BC与平面内过点C所有直线垂

直”和“BC与平面内不过点C所有直线垂直”两种情况的验证，引导学生全面

考虑问题，过程的严谨性.

3.(1)分组探究直线与平面垂直的判定定理：

显然，根据定义判定直线与平面垂直，需要判定直线与平面内“任何一条直

线”即“所有直线”都垂直。而事实上这往往是难以实现的，我们可否寻求一个

更为简便的方法，用有限条直线来代替所有直线？

分小组讨论，一起探究直线与平面垂直的判定定理.引导学生可以类比之前

探究其他判定平行或者垂直的判定定理的过程和方法，大胆的猜想可能的线面垂

直的判定定理是什么，再通过实例论证猜想的正确与错误，最终得出小组的探究

成果.

用“智慧课堂”展示小组探究的成果和思考过程，让小组成员展示他们的探

究过程和探究成果.

【设计意图】通过问题思考与实例分析，寻找具有可操作性的判定方法，体验

有限与无限之间的辩证关系.让学生通过类比探究过程，不断的猜想和论证，在

学生们的探究过程中加深对探究方法和过程的感受和深刻理解，也为判定定理的

得出更加水到渠成.

(2)探究判定定理的试验：

请同学们拿出准备好的一块矩形纸片，如图所示，

过矩形两对边上各一点E、F翻折纸片，得到折痕EF,

将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BF、FC与桌面接触).

观察并思考：折痕EF与桌面垂直吗？为什么？若不垂直,

如何翻折才能使折痕EF与桌面所在的平面垂直？教师

进行动画演示.

思考：你能归纳出除定义以外的直线与平面垂直的证明方法吗？

【设计意图】1.通过试验，引导学生独立发现直线与平面垂直的条件，培养学生

的动手操作能力和几何直观能力.2.从另一个角度理解定义：如果要说明一条直

线与平面不垂直，只需在平面内找到一条直线与它不垂直就够了.

【师生互动】在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导

学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因.学生再次折

纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕

EF是BC边上的高，即EF_LBC,翻折后折痕EF就与桌面垂直，再利用多媒体演

示翻折过程，增强几何直观性.

4、直线与平面垂直的判定定理:

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂

直。

图形语言表示:

付号语舌表小：aajj（-a,aC\b=尸,/_La,/_LZ?=/_La

【设计意图】引导学生根据直观感知及已有知识经验，进行合情推理，获得判定

定理，并体会将空间问题平面化，无限问题有限化的转化思想.

5、类似命题：

直线与平面平行中成立的相关结论：

两条平面外的平行线，一条平行于平面，则另一条直线也和这个平面平行.

a/la,haa,a〃b=blla

猜想：

在直线与平面垂直中类似的命题：两条平行线，一条垂直于平面，则另一条直线

也和这个平面垂直.是否正确？正确给出严格数学证明.

【设计意图】让学生学会思考问题，探索新知，而不是一味的做题，用于解题,

而是寻找问题，类比地合情推理，为后续学习服务，灌输在平时.而本命题的证

明也是本节课的定义和定理的应用.

（三）、应用举例

例：已知a〃仇。a,求证：bl.a.

证明方法一：由a'a,得：°垂直于a内所有直线；

又因为a/〃，所有b垂直于a内所有直线；

所以/?_La.

证明方法二：在平面a内作两条相交直线机〃.工—m

因为直线aJ_a，

根据直线与平面垂直的定义知_L〃；

又因为a//〃，所以

又因为mua,〃ua,zTi,〃是两条相交直线，所以/?_La.

让学生在纸上书写自己的证明过程，教师及时纠正和引导，用“智慧课堂”展示

学生中的两种做法.

【设计意图】初步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明

确运用线面垂直判定定理的条件.

【师生互动】第一次应用判定定理的尝试，教师引导学生理清思路，并做规范化

的解答，为学生后面熟练的应用定理打下基础.两种方法各有所长.

（四）、课堂小结：

1、本节课你学会了哪些判定直线与平面垂直的方法？

（1）定义法：强调是“任何一条直线”

（2）判定定理法：必须是“两条相交直线”。

2、直线与平面垂直的判定定理中体现了什么数学思想方法？

转化，化归，类比，先猜想后论证.

【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容，优化重组认识结构，并鼓励学生多

总结，多反思.

【师生互动】学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直

的方法.

（五”课后作业：

1、课本67页练习：1、2、3

2、请借助信息网络，以“生活中的垂直”为题，写一篇数学应用小论