高中数学必修二第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题 (11)(含解析)

第八章第4节《空间点'直线'平面之间的位置关系》解答题(11)

1.如图，己知长方体4BC0-AiBiCiA中，ArA=AB,E,尸分别是

和AO的中点，求证：CDr1EF.

2.如图，平面a与平面0相交于直线”，直线b在平面a上，直线c在平面/?上,

且bCa=P,c〃a.求证：直线匕，c是异面直线.

3.如图，已知平面a,0,且an/?=2.在梯形ABC。中，40〃BC,且ZBua,

COU..求证：AB,CD,/相交于一点.

4.如图1,在直角△4BC中，/.ABC=90°,AC=2A/3,AB=心，OE分别为AC,BO的中点,

连结4E并延长交BC于点F,将△ABD沿BZ)折起，使平面ABD1平面BCD,如图2所示.

(1)求证：AE1CD；

(2)求平面AEF与平面AQC所成二面角的正弦值.

A

CB

5.画出满足下列条件的图形(其中a,/?为平面，a,b,/为直线):

aCB=I,aua,bu0,a//I,br\I=A,BEa.

6.已知四棱锥P-4BCD中，PA_L底面ABC。，AD//BC,AB=3,BC=4,AC=5.

(1)证明：PBLAD

(2)若PA=3,求直线尸C与平面PA。所成角的正弦值.

7.如图，在三棱台ABC-DEF中，G,H分别为△4BC和△DEF的重心，且GH与底面ABC垂直,

已知C4=CB=VW-AB=2DE=2HG=2.

E

(1)证明：CHJ.4D;

(2)求直线CH与平面ACFQ所成角的正弦值.

8.如图，等腰直角44BC中，乙B=90。，平面4BEF1平面ABC,2AF=AB=BE,^FAB60°,

AF//BE.

(I)求证：BC1BF；

(II)求二面角F-CE-B的正弦值.

9.如图，在四棱锥P-4BCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCO是菱形，AB=2,^DAB=60°.

p.

(I)证明：AD1PB；

（口）若PB=V6,求二面角A-PB-C的余弦值.

10.求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.

11.如图，aC\B=a,bua,cu£,b〃c,求证：a//b//c.

12.判断下列命题的真假.

(l)mca,nua,m<jt/?,71c0=a〃0；

(2)a〃£,mca,nu0=m〃n；

(3)a〃0,Iu。n1//a.

13.在空间四边形ABC。中也G分别是28的中点㈤F分别边48,8C上的点，且普若T

求证：(1)点E,F,G,”四点共面；

(2)直线E”，BD,FG相交于同一点.

14.如图，在梯形48co中，ABCD,AD=DC=CB,/.ABC=60",四边形ACE尸是矩形.

(I)求证：AC1EB-,

(11)若。5=8。，且CELBC,求EB与平面所成角的正弦值.

15.如图，四棱锥P-4BCD中，PD_L平面ABC。，梯形4BC。满足AB〃CD,4BCD=90。，且PD=

AD=DC=2,AB=3,E为PC中点"而=：而，~PG=2GA.

(1)求证：D,E,F,G四点共面;

(2)求四面体。-EFC的体积.

16.已知空间四边形ABC力中，AB^AC,BD=BC,4E是△ABC的边BC上的高，。尸是ABC。的

边BC上的中线，求证：AE与。F是异面直线.

17.如图所示，己知E,尸分别是正方体4BC0-48也1。1的棱44「

CQ的中点，求证：四边形BEDiF是平行四边形.

18.简述下列问题的结论，并画图说明：

(1)直线au平面a,直线bna=4则人和a的位置关系如何？

(2)直线aua,直线〃/a,则直线。和a的位置关系如何？

19.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在A3,CD,EF,GH这四条线段

中，哪些线段所在直线是异面直线？

20.已知如图所示的长方体ABC。一为九口心.

(1)与直线异面的棱所在的直线有哪儿条?

(2)与直线平行的平面有哪几个？与直线相交的平面有哪几

【答案与解析】

1.答案：证明：如图，取CD1的中点G,

连接EG,DG,

■■E是8名的中点，

EG//BC,EG是AD的中点，KAD//BC,AD=BC,

DF11BC,DF=^BC,

：.EGI/DF,EG=DF,.•.四边形EFCG是平行四边形，

EF11DG,

・•・4DGDi（或其补角）是异面直线CD】与EF所成的角.

又公力=48,.,.四边形四边形CDDiG都是正方形，

又G为CD】的中点，CGlCDi，

:.乙D]GD=90°,

••・异面直线CD】与EF所成的角为90。.

所以1EF.

解析：本题考查异面直线所成角，解题关键在于平移直线，将异面直线所成角转化为平面内的角.根

据题目给出的中点E、尸构造辅助线，取CD1的

中点G,连接EG,DG.可推导出EF〃DG,从而将异面直线与EF所成的角转化为平面角

进而可得结果.

2.答案：证明：假设直线儿c不是异面直线，即4c共面，

Q）若b//c,因为c〃a,所以b〃a,

这与已知"bna=P”矛盾.

假设不成立.

（2）若直线6与c相交，设bnc=Q,

因为Q6b,所以Q6a；因为Q6c,所以Q6以

所以Qea,故cna=Q,这与已知"c〃a"矛盾,

假设不成立.

综合(1)(2)得：直线6,c是异面直线.

解析：假设b,c共面，分两种情况推导矛盾得出结论.

本题考查了空间直线的位置关系，属于中档题.

3.答案：证明：•.•梯形A8CZ)中，AD//BC,

■.AB,CO是梯形ABCQ的两腰.

■■AB,CD必相交于一点.

设ABnCD=M,又ABua,CDu0.

：.MEa,M60,•••M在a与6的交线上.

又：an/?=/,■.MEI,

即A8,CD,/共点.

解析：本题考查线共点问题，所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点，属于基础

题.

证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作

是两平面的公共点，进而即可证得结论.

4.答案：解：(1)证明：由条件可知4B=4D,

•.•七是8。的中点，;4£1工8。，

又平面4BD_L平面88,平面ABDn平面BCD=BD,且4Eu平面A8O,

•••AE，平面BCD,

•••CDu平面BCD,：.AE1CD.

(2)由(1)可知，EB,EF,EA两两垂直，以E为原点，建立空间直角坐标系，如图,

则E(0,0,0),4(0,0,|),F(0,i,0),D(—今0,0),C(-V3,|,0),

DA=(^,0,|),沅=(_/，1，o),

设平面ACD的法向量五=(x,y,z),

fn-DA=—x+-z=0

则｛_2J，取y=l,得元=(百,1,-1),

[n-DC=-^-x+ly=O

平面AEF的一个法向量为记=(1,0,0),

设平面4EF与平面AOC所成二面角为。，

则皿"霸=亲=卓

平面4EF与平面AOC所成二面角的正弦值为:1,—(,—尺、)2/——V10

、5，5

解析：(1)推导出ZE1BD,从而4E1平面8C。，由此能证明4E1CD.

(2)由EB,EF,EA两两垂直，以E为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与

平面AOC所成二面角的正弦值.

本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关

系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

5.答案：解：用平行四边形表示平面，

先画有公共边/的两个平行四边形，

在两个平面内分别标记a,依

表示这两个平行四边形表示的平面分别是a平面，0平面，且满足an£=，，

在a平面内画一个与/平行的线段，标记为。，表示“〃/,

注意。要完全画在a内，不可以画到平行四边形外面，表示aua,

在a上画上一个点，标记为8,表示Bea,

在/上取一点A,在平面/?内画一条过A点的线段，标记为6,表示bu/?,bdi=A,

注意力不要画到表示0的平行四边形外面.

如图所示，完成画图.

解析：本题主要考查平面，直线和点的画法及表示，把几何元素的符号语言转化为图形语言，属于

基础题.

先画有公共边/的两个平行四边形，表示平面a,£,再分别画出所元素，即可完成画图.

6.答案：解：(1)由48=3,BC=4,4(?=5知382+8。2=4。2,则AB1BC,

由P4IffiABCD,BCu面ABCD得PA1BC,

由P4nAB=4,PA,ABcffiPAB,

则BC1面PAB,BC//AD,则力D1面P4B；

又PBu面PAB,所以PB1AD；

(2)设直线PC与平面PAO所成的角为a,

由AD//BC,ABLBCPI^ABLAD,

5LPAIffiABCD,ABc®ABCD,故P4_LAB,PAnAD=A,

则AB，面PAD,

则B点到平面PAD的距离为4B=3,

由BC〃力。知点C与点8到平面PAD的距离相等，

则点C到平面PA。的距离为d=AB=3,

由P4=3,AC=5知PC=>JPA2+AC2=V34，

解析：本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题.

(1)由AB=3,BC=4,AC=5得AB1BC,由PA，面ABC。得PA1BC,进而BC1面PAB,由4D〃BC,

即可得证：

(2)先证4B，面PAD,结合已知得点C与点B到平面PAD的距离相等，进而计算即可.

7.答案：解：(1)证明：连接CG并延长，交AB于点M,连接开/并延长，交OE于点M

vCA=CB=V10，AB=2,

AM=BM=1,

CM=y/BC2-BM2=3.CMLAB.

vG为4ABC的重心，

•••GM=-CM=1.

3

以G为原点，过点G且与48平行的直线为x轴，

GM所在直线为y轴，GH所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

则H(0,0,1),C(0,-2,0),力(1,1,0),。弓彳，1)，

•1.CH=(0,2,1),AD=(-1>—1)'

•1.CH•AD=(0,2,1)•1>-1>l)=2x(—1)+1x1=0,

•••CH1AD-BPCH1AD.

(2)设n=(x,.y,z)是平面ACFD的法向量，

由题得同=(一：,一：,1),AC=(-1,-3,0).

,亚=°，即心一1+2=。，

•AC=0,(-x—3y=0,

令y=l,得记=(-3,1,-1).

VCH=(0,2,1),

・•.cos〈丽'记>=品

一^5x79+1+1—x/55—55

则直线CH与平面ACFD所成角的正弦值为退.

55

解析：本题考查了线线垂直的判定，线面角的向量求法，属于中档题.

(1)连接CG并延长，交AB于点M,连接F”并延长，交于点N.以G为原点，过点G且与AB平

行的直线为x轴，GM所在直线为)，轴，GH所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，根据向量数量

积为0即可证明CH1AD;

(2利用空间直角坐标系和空间向量求解线面角即可.

8.答案：证明：(I)、•等腰直角△力BC中，=

90°,/.8clg

•・・平面4BEF1平面ABC,平面平面/

BCABEF,•y

vBFu平面ABEF,：.BC1BF.

解：(II)由⑴知BC1平面ABEF,/

故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系

B—xyz,

设24r=AB=BE=29・••Z.FAB=60°,AF//BE.

.•.8(0,0,0),<7(0,2.0),F(|,0,苧)，E(-1,0,6)，

EC=(1,2,-V3),EF=(|,0,-y)>BC=(0,2,0),

设平面CEF的一个法向量元=(%,y,z),

%+2y—V3z=0

5V3，令x=遮，得记=（遮,2g,5）,

-x-----z=0

设平面3CE*的一个法向量沅=(xjsz),

（x+2y-y[3z=0,取％=遍，得记=（百,0,1）,

12y=0

设二面角F-CE-B的平面角为0.

则|c。冽=1矗8_V10

2X2V10-5

sind=——

5

二面角F-CE-B的正弦值为手.

解析：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

（1）推导出8。148,从而BC1平面A8EF,由此能证明BCJ.

（口）由BC，平面A8EF,以B为原点，建立空间直角坐标系8-町/z,利用向量法能求出二面角尸一

CE-B的正弦值.

9.答案：解：（1）令4。中点为。，连接PO,A0,

・••底面ABC。是菱形，且4n48=60。，

•••△ABD是等边三角形，:PO1AD,

PA=PD,PAD是等腰三角形,

•••PO1AD,

■：POCtBO=0,：.ADJ_平面PBO,

:PBu平面PBO,•••AD1PB.

(□),••AB=2,则PA=2.

.•.由(I)知△P4B,△ABO中边长为2的正三角形，

则PO=V3,BO=V3,

PB=V6>

•••PO2+BO2=PB2,即P0180,

又由(I)知，BO1AD,PO1AD,

.•・以。为原点，OA,OB,OP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图,

则4(1,0,0),8(0,V3,0),P(0,0,8),C(-2,V3,0)，

设平面ABP的法向量为记=(x,y,z),由布=(一1,百,0),AP=(-1,0,b),

则康:酒匕鲁萨

=V3»得元=(6,1,1).

设平面BPC的法向量为沅=（x,y,z）,由瓦（一2,0,0）,前=（0,-8,次）,

贝嚼：5：网二甯：恁=。•令y=-得记=3」），

从而cos<n,m>=后衰=

由图可知二面角A-PB-C为钝角，其余弦值为一岸.

解析：本题考查线面垂直的判定判断线线位置关系以及利用空间向量法求二面角的余弦值，属于中

档题目.

（I）利用线面垂直的判定定理得出4。1平面PBO,,进而得出AD1PB；

（口）建立空间直角坐标系求出面APB与面PCB的法向量，进而由公式得出cos＜五,沆〉，求出二面

角A—PB—C的余弦值即可.

10.答案：证明：如图，空间四边形ABC。中，E,F分别是48,AD

的中点，

•••EF是△4BD的中位线，

EF//BD,

■：EF仁面BCD,BDu平面BCD,

EF〃面BCD.

所以空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.

解析：运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证.

本题考查直线与平面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.

11.答案:证明：vb//c,cu0,b”

又bua,an6=a,b//a,

■■a〃b〃c.

解析：由已知利用直线与平面平行的判定证明b〃0,再由线面平行的性

质证明b〃a,最后由平行公理得结论.

本题考查直线与平面平行的判断与性质，考查平行公理的应用，考查空间想象能力与推理论证能力,

是基础题.

12.答案：解：（1）若小＜=。，nua,今a〃。是假命题,

根据面面平行的判定定理，则要求“〃是两条相交直线，且同时和夕平行才成立,

故(1)为假命题；

(2)a〃0,mua,nu/?=m〃n或机，〃是异面直线，故(2)为假命题；

(3)根据面面平行的性质定理得a〃0,2u0=〃/a成立，故(3)为为真命题.

解析：(1)根据面面平行的判定定理进行判断即可，

(2)根据面面平行的性质进行判断，

(3)根据面面平行的性质定理进行判断.

本题主要考查空间位置关系的判断，利用面面平行的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基

础题.

13.答案：证明：(1)如图所示，

A

空间四边形A8C£»中，H,G分别是A。，CD的中点,

HG//AC-,

CFAE1

>X.==—，

FBEB3

•••EF//AC,

EF//HG,

E、F、G、H四点共面；

(2)设EH与尸G交于点P,

•••EHu平面ABD

P在平面A8O内，

同理P在平面BCO内，

且平面ABDn平面BCD=BD,

.•.点P在直线BQ上，

.•・直线EH,BD,FG相交于一点.

解析：本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确定

平面的条件以及三线共点的应用问题.

(1)利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，得到ERGH都平行于AC,由

平行线的传递性得到E/7/GH,

根据两平行线确定一平面得出证明；

(2)利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明.

14.答案：解：(/)在等腰梯形ABC。中，AD=DC,

•••/.DAC=/.DCA,

又4。。4=皿8,LDAB=/.ABC=60°,

ACAB=30°,

4BCA=90。，即AC1BC.

•••四边形ACEF是矩形，ACLEC.

又ECCBC=C,ECG平面EC'B.BCC平面,

AC_L平面ECB,

.-.AC±EB.

(H)由条件可知C4,CB,CE两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，

设CE=BC=2,则8(0,2,0),£)(73,-1,0),尸(2何),2),E(0,0,2),

~BD=(V3,-3,0).JF=(2V3,-2,2).

设平面F8D的法向量为元=(x,y,久)，则有?包=°，=[y-3y=°,

令y=l,得x=百，z=—2,；.平面尸8。的一个法向量为元=(国,1,—2),

又说=(0,2，-2)，:cos颂，元＞=青高=£

•••EB与平面FBD所成角的正弦值为

4

解析：本题主要考查异面直线垂直关系的证明、空间向量法求解空间中直线与平面所成角的问题.考

查线面垂直的判定定理，属于中档题.

(/)利用线面垂直的判定定理得出4c工平面ECB,进而得出AC1EB-,

(〃)建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面夹角的正弦值.

15.答案：解：(1)取FB中点H,连接CH,GH,

由题知G,H分别为PA,PB的三等分点，所以GH〃4B,GH=^AB,

5LAB//CD,AB=3,CD=2,

GH//CD,GH=CD,

•••CCG”为平行四边形，

•••DG//CH

又•••E,F分别为PM,PC中点，

EF//CH=DG//EF,

D,E,F,G四点共面；

⑵由PD_L平面ABCD,BCu平面ABCD,得PD1BC,

又由题知BC_LCD,CDHPD=D,

CD、PDu平面PCD,

故BCL平面PCD,

又DEu平面PCD

:.BC1DE,

另一方面，在三角形POC中，PD=DC=2,E为PC中点,

所以DE1PC,

又BCu平面PBC,PCu平面PBC,BCOPC=C

•••DE1平面PBC,

在梯形ABC。中，易知BC=百，PC=2V2,

故Rt△PBC1^,S=QSAPBC=

hEFCoo

所以四面体。-EFC的体积VDE-

解析：本题考查四点共面的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位

置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

(1)取F8中点H,连接CH,GH,根据已知条件证明CQGH为平行四边形，则DG〃CH,再证明EF〃CH,

从而DG//EF,即证得结论；

(2)证明DE1平面P8C,四面体D-EFC则看作底面为AEFC,高为力E的三棱锥，根据体积公式求

得结果.

16.答案：证明：•.•空间四边形4BCZ)中，AB^AC,

BD=BC,IX.

B

AE是△ABC的边BC上的高，。尸是△BCD的边BC上.............................I......二二;二,D

的中线，f/

・•.E在BC上，且不是8c的中点，尸是BC的中点，/

AEn平面BDC=E,DFu平面BDC,/

又FE4E,C

••・由异面直线判定定理得：AE与。尸是异面直线.

解析：推导出AECI平面BOC=E,OFu