2023-2024学年人教版七年级上册数学讲义第5讲 绝对值的意义

第五讲绝对值的意义1.数a的绝对值用符号|a|表示，其含义是|a|=a

2.|a|的几何意义表示为：数a在数轴上的点与原点之间的距离，|a-b|表示在数轴上数a对应的点与数b对应的点之间的距离。3.绝对值常用的性质有：①|a|≥0②|a·b|=|a|·|b|③|ab|=|a||b|(b≠0)④|a2|=|a|2=a⑤|a+b|≤|a|+|b|⑥||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|例1．用分类讨论法化简下列式子（1）化简：x+6+（2）化简x+5+2x−3练习1.（1）化简x+1+（2）化简x+5+x−7+x+10例2．求x−1+x+2的最小值练习2：求x+1+x+2+x+3的最小值例3．阅读下面的材料:点A，B在数轴上分别表示实数a，b；试说明A，B两点之间的距离表示为|AB|=|a－b|.当A，B两点中有一点在原点时，1.设点A在原点，|AB|=|OB|=|b|=|a－b|.2.设点B在原点，|AB|=|OA|=|a|=|a－b|.(2)当A，B两点都不在原点时，1.点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|－|OA|=b－a=|a－b|；2.点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|－|OA|=|b|－|a|=－b－(﹣a)=|a－b|；3.点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|＋|OB|=|a|＋|b|=a＋(﹣b)=|a－b|.练习3：数轴上表示：x和﹣7的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x=.∣x+1∣可表示为x到的距离，∣x-1∣可表示为x到的距离.数轴上，x到1的距离与x到-3的距离之和可以表示为.例4．设数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则|b-a|-|a-c|+|c-b|化简后的结果为多少？练习4.设数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则|b-a|+|a+c|+|c-b|化简后的结果为多少？例5．如果0＜m＜10并且m≤x≤10，那么代数式|x-m|+|x-10|+|x-m-10|化简后得到的最后结果是多少？练习5.如果0＜p＜15，那么代数式|x-p|+|x-15|+|x-p-15|在p≤x≤15时的最小值是多少？例6．若x=22001练习6.当x+1+x−2x+1+x−2巩固练习：如图，a、b为数轴上两点表示的有理数，则在a+b，b-2a，|a-b|，|b|-|a|中负数有几个？已知有理数a、b、c在数轴上的对应位置如图，则|c-1|+|a-c|+|a-b|化简后的结果是多少？已知a、b、c都是负数，且|x-a|+|y-b|+|z-c|=0，比较xyz与0的大小。a，b，c，d为互不相等的有理数，且c=3，|a-c|=|b-c|=|d-b|=1,则|a-d|=________.已知x<0<z，xy>0，|y|>|z|>|x|,化简|x+z|+|y+z|-|x-y|. 有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：（1）abc＜0（2）|a-b|+|b-c|=|a-c|（3）（a-b）（b-c）（c-a）＞0（4）|a|＜1-bc其中正确的命题有（）A.4个B.3个C.2个D.1个已知y=|x-b|+|x-20|+|x-b-20|，其中0<b<20,b≤x≤20，那么y的最小值为________.阅读下列材料并解决有个问题：我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x-2|时，可令x+1=0和x-2=0，分别求得x=-1，x=2（称-1，2分别为|x+1|与|x-2|的零点值）．在实数范围内，零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）当x＜-1时，原式=-（x+1）-（x-2）=-2x+1；（2）当-1≤x＜2时，原式=x+1-（x-2）=3；（3）当x≥2时，原式=x+1+x-2=2x-1．综上讨论，原式=−2x+1