二次函数实际问题教案

二次函数实际问题教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解二次函数在实际问题中的应用，掌握建立二次函数模型解决实际问题的一般方法。学会分析实际问题中的数量关系，将其转化为二次函数的表达式，并能运用二次函数的性质求解最值等问题。2.过程与方法目标通过实际问题的分析与解决，培养学生观察、分析、归纳和建模的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。经历从实际问题中抽象出二次函数模型，再利用二次函数性质求解问题的过程，体会数学建模的思想方法。3.情感态度与价值观目标让学生感受数学与生活的紧密联系，体会数学在实际问题中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。通过小组合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力，增强学生解决问题的自信心。

二、教学重难点1.教学重点建立二次函数模型解决实际问题，包括确定二次函数的表达式和根据函数性质求解最值。分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，正确建立二次函数模型。2.教学难点如何引导学生将实际问题转化为数学问题，准确地建立二次函数模型。对实际问题中自变量取值范围的确定，并能结合函数性质进行合理的分析和解答。

三、教学方法1.讲授法：讲解二次函数实际问题的基本概念、方法和步骤，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生对实际问题进行讨论，鼓励学生积极思考，发表自己的见解，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.案例教学法：通过实际案例的分析与解答，让学生直观地感受二次函数在实际问题中的应用，提高学生解决实际问题的能力。4.多媒体辅助教学法：利用多媒体展示实际问题的情境，帮助学生更好地理解问题，同时通过动画演示等方式直观地展示二次函数的性质和应用，增强教学效果。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示问题利用多媒体展示一些生活中与二次函数相关的实际问题图片，如投篮的轨迹、喷泉的形状、拱桥的轮廓等。提出问题：这些现象中都蕴含着二次函数的知识，你们能举例说明生活中还有哪些类似的实际问题吗？2.学生思考与回答鼓励学生积极思考，举手回答自己所想到的生活实例。教师对学生的回答进行简要点评和补充，引导学生关注生活中的数学问题，激发学生的学习兴趣。

（二）知识讲解（15分钟）1.二次函数实际问题的一般步骤教师结合导入部分的实例，讲解建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：审题：认真阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。设未知数：根据问题的实际情况，选择合适的自变量和因变量，并设出相应的未知数。找等量关系：分析题目中的数量关系，找出能够表示问题全部含义的等量关系。列函数表达式：根据等量关系，将已知量和未知量代入，列出二次函数的表达式。确定自变量的取值范围：根据实际问题的意义，确定自变量的取值范围，确保函数表达式有实际意义。求解函数问题：利用二次函数的性质，如顶点坐标公式、对称轴方程等，求解函数的最值、单调性等问题，并结合自变量的取值范围得出实际问题的答案。检验并作答：检验所求结果是否符合实际意义，然后写出完整的答案。2.举例说明教师通过一个具体的例子，详细演示上述步骤的应用：例：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？审题：已知每件衬衫盈利40元，每天可售出20件，每降价1元多售出2件，要求每天盈利1200元时每件衬衫的降价金额。设未知数：设每件衬衫应降价x元。找等量关系：每件衬衫的盈利×销售量=总盈利。列函数表达式：每件衬衫盈利为(40x)元，销售量为(20+2x)件，则可列出函数表达式y=(40x)(20+2x)，展开得到y=2x²+60x+800。确定自变量的取值范围：因为要尽快减少库存，所以x的取值要使销售量尽可能大，又因为降价不能为负数，所以0≤x≤40。求解函数问题：对于二次函数y=2x²+60x+800，其对称轴为x=b/(2a)=60/[2×(2)]=15。因为a=2<0，所以函数图象开口向下，在对称轴x=15处取得最大值。将x=15代入函数表达式，可得y=2×15²+60×15+800=1250>1200。当y=1200时，2x²+60x+800=1200，解方程2x²+60x+8001200=0，即x²30x+200=0，因式分解得(x10)(x20)=0，解得x₁=10，x₂=20。检验并作答：因为要尽快减少库存，所以选择降价20元。答：每件衬衫应降价20元。

（三）课堂练习（20分钟）1.布置练习题目某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。问题1：假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？问题2：如果果园橙子的总产量为y个，请你写出y与x之间的函数关系式。问题3：增种多少棵橙子树时，果园橙子的总产量最大？最大产量是多少？某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满。旅行社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则客房每天出租数会减少6间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高收入是多少？2.学生练习学生独立完成上述练习题，教师巡视指导，及时发现学生在解题过程中存在的问题。3.练习讲解请两位学生上台板演解题过程，其他学生认真观看。教师针对学生的板演进行详细讲解，强调解题的关键步骤和注意事项：对于第一个练习：问题1：果园增种x棵橙子树后，共有(100+x)棵橙子树；平均每棵树结(6005x)个橙子。问题2：y=(100+x)(6005x)=5x²+100x+60000。问题3：对于二次函数y=5x²+100x+60000，a=5，b=100，对称轴为x=b/(2a)=100/[2×(5)]=10。因为a<0，所以当x=10时，y有最大值，y=5×10²+100×10+60000=60500。即增种10棵橙子树时，果园橙子总产量最大，最大产量是60500个。对于第二个练习：设每间客房日租金提高5x元，则每天出租客房数为(1206x)间。日租金总收入y=(50+5x)(1206x)=30x²+300x+6000。对于二次函数y=30x²+300x+6000，a=30，b=300，对称轴为x=b/(2a)=300/[2×(30)]=5。当x=5时，y有最大值，此时每间客房日租金为50+5×5=75元，y=30×5²+300×5+6000=6750元。即旅社将每间客房的日租金提高到75元时，客房日租金的总收入最高，最高收入是6750元。

（四）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾教师引导学生回顾本节课所学内容，提问："通过本节课的学习，你有哪些收获？"2.学生发言总结请几位学生发言，分享自己在本节课中学习到的知识和方法，如建立二次函数模型解决实际问题的步骤、如何分析数量关系、如何确定自变量取值范围等。3.教师补充完善教师对学生的发言进行补充和完善，强调重点知识和易错点：重点强调建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤及各步骤的关键要点。提醒学生在解决实际问题时，要注意自变量取值范围的确定，这是确保函数模型有实际意义的关键。鼓励学生在今后的学习和生活中，多观察、多思考，运用所学的数学知识解决更多的实际问题。

（五）布置作业（5分钟）1.布置作业内容必做题：课本习题中相关的二次函数实际问题题目。选做题：某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m=1623x。问题1：写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式。问题2：如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润是多少？2.作业要求要求学生认真完成作业，书写规范，步骤完整。必做题要求全体学生完成，选做题鼓励学有余力的学生尝试完成，以加深对二次函数实际问题的理解和应用。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对二次函数在实际问题中的应用有了较为系统的认识和理解，基本掌握了建立二次函数模型解决实际问题的一般方法。在教学过程中，通过实际问题的引入和分析，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的观察、分析、归纳和建模能力。同时，通过小组讨论和课堂练习，让学生积极参与到学习中来，提高了学生运用数学知识解决实际问题的能力。

然而，在教学过程中也发现了一些不足之处。例如，部分学生在将实际问题转化