高中数学新课程中数学建模教学设计案例-《三角函数模型的简单应用》教学设计

高中数学新课程中数学建模教学设计案例—《三角函数模型的简单应用》教学设计一、教学目标1.知识与技能目标让学生了解三角函数模型在解决实际问题中的广泛应用，能根据已知条件建立三角函数模型。会运用三角函数的性质对模型进行分析和求解，从而解决一些与三角函数相关的实际问题，如周期性变化问题、最值问题等。2.过程与方法目标通过实际问题的分析、建模、求解和检验，培养学生观察、分析、归纳、抽象和概括的能力，体会数学建模的一般过程。提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识和实践能力。3.情感态度与价值观目标让学生感受数学与生活的紧密联系，体会数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣和积极性。培养学生勇于探索、敢于创新的精神，以及严谨的科学态度和合作交流的意识。

二、教学重难点1.教学重点如何引导学生将实际问题转化为三角函数模型。运用三角函数的性质求解模型并解释实际问题。2.教学难点对实际问题进行合理的抽象和简化，找出其中的三角函数关系。根据实际意义对模型的解进行检验和解释，使结果符合实际情况。

三、教学方法1.问题驱动法：通过创设一系列实际问题情境，引导学生思考、分析，逐步建立三角函数模型，解决问题。2.小组合作学习法：组织学生小组合作讨论，共同探讨问题，交流想法，培养学生的合作意识和团队精神。3.多媒体辅助教学法：利用多媒体展示实际问题的背景、图形等，直观形象地帮助学生理解问题，提高教学效果。

四、教学过程

（一）创设情境，引入课题1.展示一些生活中具有周期性变化的图片，如潮汐现象、简谐振动、摩天轮运动等，引导学生观察这些现象的共同特点。2.提出问题：如何用数学知识来描述这些周期性变化的现象呢？引出本节课的主题三角函数模型的简单应用。

（二）实例分析，建立模型1.例1：潮汐问题展示某港口在某一天的水深数据表格，如下：|时刻|0:00|3:00|6:00|9:00|12:00|15:00|18:00|21:00|24:00||::|::|::|::|::|::|::|::|::|::||水深（米）|5.0|7.5|5.0|2.5|5.0|7.5|5.0|2.5|5.0|引导学生分析数据，发现水深呈现周期性变化。设水深\(y\)（米）与时间\(t\)（小时）的函数关系为\(y=A\sin(\omegat+\varphi)+h\)。由表格可知，周期\(T=12\)小时，所以\(\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{6}\)。又因为\(A=\frac{7.52.5}{2}=2.5\)，\(h=\frac{7.5+2.5}{2}=5\)。当\(t=0\)时，\(y=5\)，即\(5=2.5\sin\varphi+5\)，解得\(\varphi=0\)。所以水深与时间的函数模型为\(y=2.5\sin(\frac{\pi}{6}t)+5\)。2.小组活动给出另外一个实际问题：某城市一年中每月的平均气温如下表所示。|月份|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12||::|::|::|::|::|::|::|::|::|::|::|::|::||平均气温（℃）|5|3|4|13|20|24|26|24|19|12|4|2|要求学生分组讨论，尝试建立一个三角函数模型来描述该城市平均气温随月份的变化情况。各小组汇报讨论结果，教师进行点评和总结，引导学生完善模型。

（三）模型求解，应用拓展1.利用所建立的潮汐模型求解问题：当天14:00时港口的水深约为多少米？解：将\(t=14\)代入\(y=2.5\sin(\frac{\pi}{6}t)+5\)中，\(y=2.5\sin(\frac{\pi}{6}\times14)+5=2.5\sin(\frac{7\pi}{3})+5\)\(=2.5\sin(2\pi+\frac{\pi}{3})+5=2.5\sin\frac{\pi}{3}+5\)\(=2.5\times\frac{\sqrt{3}}{2}+5\approx5+2.17=7.17\)（米）所以当天14:00时港口的水深约为7.17米。2.拓展应用例2：摩天轮问题已知摩天轮的半径为\(10\)米，中心距离地面的高度为\(12\)米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每\(10\)分钟转一圈。若游客从最低点处登上摩天轮，求游客距离地面的高度\(h\)（米）与时间\(t\)（分钟）的函数关系式，并计算游客在\(5\)分钟时距离地面的高度。解：设\(h=A\sin(\omegat+\varphi)+k\)。由题意可知，\(A=10\)，\(k=12\)，\(T=10\)，则\(\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{5}\)。当\(t=0\)时，\(h=2\)，即\(2=10\sin\varphi+12\)，解得\(\varphi=\frac{\pi}{2}\)。所以\(h=10\sin(\frac{\pi}{5}t\frac{\pi}{2})+12=10\cos\frac{\pi}{5}t+12\)。当\(t=5\)时，\(h=10\cos(\frac{\pi}{5}\times5)+12=10\cos\pi+12=10+12=22\)（米）即游客在\(5\)分钟时距离地面的高度为\(22\)米。

（四）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容，包括三角函数模型的建立方法、求解过程以及在实际问题中的应用。2.总结数学建模的一般步骤：观察实际问题、分析数据特点、建立数学模型、求解模型、检验结果并解释实际意义。3.强调数学建模在数学学习和实际生活中的重要性，鼓励学生在今后的学习和生活中积极运用数学建模的思想方法解决问题。

（五）布置作业1.书面作业：课本上相关练习题，要求学生认真完成，巩固所学知识。2.实践作业：让学生观察生活中还有哪些现象可以用三角函数模型来描述，并尝试建立模型进行分析，下节课进行交流分享。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对三角函数模型的简单应用有了较为深入的理解和掌握，初步体会了数学建模的过程和方法。在教学过程中，通过创设丰富的实际问题情境，激发了学生的学习兴趣和积极性，让学生感受到数学与生活的紧密联系。小组合作学习的方式培养了学生的合作意识和团队精神，提高了学生的交流能力和解决问题的能力。但在教学中也发现了一些不