教案 导数的应极值

教案导数的应极值一、教学目标1.理解函数极值的概念，会从几何直观理解函数在某点取得极值的充要条件。2.掌握利用导数求函数极值的方法，能够熟练地求函数的极值。3.通过典型例题的分析与求解，培养学生运用导数知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和运算能力。

二、教学重难点1.教学重点函数极值的概念。利用导数求函数极值的步骤和方法。2.教学难点对函数在某点取得极值的充要条件的理解。如何引导学生准确地运用导数求函数的极值，特别是在求解过程中避免出现错误。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）通过回顾上节课所学的导数的概念和导数的几何意义，提问学生：导数与函数的单调性有什么关系？然后展示一些函数的图像，让学生观察函数在某些点处的变化情况，引导学生思考这些点与函数单调性变化的关系，从而引出本节课的主题函数的极值。

（二）讲授新课（25分钟）1.函数极值的概念结合实例，给出函数极值的定义：设函数$f(x)$在点$x_0$及其附近有定义，如果对$x_0$附近的所有点，都有$f(x)<f(x_0)$，那么$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极大值；如果对$x_0$附近的所有点，都有$f(x)>f(x_0)$，那么$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极小值。极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点$x_0$称为极值点。利用函数图像，直观地解释函数极值的概念，让学生理解极值是函数在局部范围内的最大值或最小值，与函数的整体最值是不同的概念。2.函数极值的求法引导学生分析函数极值与导数的关系：函数在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点。给出利用导数求函数极值的步骤：求函数$f(x)$的导数$f^\prime(x)$。令$f^\prime(x)=0$，求出方程的所有实根$x_1,x_2,\cdots,x_n$。检查$f^\prime(x)$在方程根左右两侧的符号：如果在$x_0$左侧$f^\prime(x)>0$，右侧$f^\prime(x)<0$，那么$f(x)$在$x_0$处取得极大值$f(x_0)$。如果在$x_0$左侧$f^\prime(x)<0$，右侧$f^\prime(x)>0$，那么$f(x)$在$x_0$处取得极小值$f(x_0)$。如果在$x_0$两侧$f^\prime(x)$的符号相同，那么$x_0$不是极值点。

（三）典型例题讲解（30分钟）1.例1：求函数$f(x)=x^33x^2+4$的极值。解：首先求函数的导数$f^\prime(x)$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n1}$，可得$f^\prime(x)=3x^26x$。令$f^\prime(x)=0$，即$3x^26x=0$，提取公因式$3x$得$3x(x2)=0$，解得$x=0$或$x=2$。接下来判断导数在这两个根左右两侧的符号：当$x<0$时，$f^\prime(x)=3x(x2)>0$，函数$f(x)$单调递增。当$0<x<2$时，$f^\prime(x)=3x(x2)<0$，函数$f(x)$单调递减。当$x>2$时，$f^\prime(x)=3x(x2)>0$，函数$f(x)$单调递增。所以，当$x=0$时，函数$f(x)$取得极大值$f(0)=0^33\times0^2+4=4$；当$x=2$时，函数$f(x)$取得极小值$f(2)=2^33\times2^2+4=0$。

2.例2：已知函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$在$x=1$处取得极大值8，在$x=2$处取得极小值19，求$a,b,c,d$的值。解：首先求函数的导数$f^\prime(x)=3ax^2+2bx+c$。因为函数在$x=1$和$x=2$处取得极值，所以$f^\prime(1)=0$且$f^\prime(2)=0$，即：$\begin{cases}3a2b+c=0\\12a+4b+c=0\end{cases}$又因为$f(1)=8$且$f(2)=19$，所以：$\begin{cases}a+bc+d=8\\8a+4b+2c+d=19\end{cases}$联立方程组求解：由$3a2b+c=0$可得$c=2b3a$，将其代入$12a+4b+c=0$中，得到$12a+4b+2b3a=0$，化简得$9a+6b=0$，即$3a+2b=0$，进一步得到$b=\frac{3}{2}a$。将$b=\frac{3}{2}a$和$c=2b3a$代入$a+bc+d=8$和$8a+4b+2c+d=19$中，得到：$\begin{cases}a\frac{3}{2}a(2\times(\frac{3}{2}a)3a)+d=8\\8a+4\times(\frac{3}{2}a)+2\times(2\times(\frac{3}{2}a)3a)+d=19\end{cases}$化简第一个方程：$a\frac{3}{2}a+3a+3a+d=8$，即$\frac{7}{2}a+d=8$。化简第二个方程：$8a6a6a6a+d=19$，即$10a+d=19$。用$\frac{7}{2}a+d=8$减去$10a+d=19$，可得：$(\frac{7}{2}a+d)(10a+d)=8(19)$$\frac{7}{2}a+10a=27$$\frac{27}{2}a=27$解得$a=2$。将$a=2$代入$b=\frac{3}{2}a$，可得$b=3$。将$a=2$，$b=3$代入$c=2b3a$，可得$c=12$。将$a=2$，$b=3$，$c=12$代入$a+bc+d=8$，可得：$23+12+d=8$$7+d=8$解得$d=1$。

3.例3：求函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3x^23x+\frac{4}{3}$的极值。解：求导数$f^\prime(x)=x^22x3$。令$f^\prime(x)=0$，即$x^22x3=0$，因式分解得$(x3)(x+1)=0$，解得$x=3$或$x=1$。判断导数符号：当$x<1$时，$f^\prime(x)=(x3)(x+1)>0$，函数$f(x)$单调递增。当$1<x<3$时，$f^\prime(x)=(x3)(x+1)<0$，函数$f(x)$单调递减。当$x>3$时，$f^\prime(x)=(x3)(x+1)>0$，函数$f(x)$单调递增。所以，当$x=1$时，函数$f(x)$取得极大值$f(1)=\frac{1}{3}\times(1)^3(1)^23\times(1)+\frac{4}{3}=3$；当$x=3$时，函数$f(x)$取得极小值$f(3)=\frac{1}{3}\times3^33^23\times3+\frac{4}{3}=\frac{14}{3}$。

在讲解例题的过程中，引导学生思考每个步骤的依据和目的，让学生积极参与讨论，及时解答学生提出的问题，强调解题的规范性和注意事项。

（四）课堂练习（15分钟）1.求函数$f(x)=x^42x^2+5$的极值。2.已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$在$x=1$处取得极小值，在$x=3$处取得极大值，求$a,b$的值。

让学生在练习本上完成这两道练习题，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行纠正。

（五）课堂小结（5分钟）1.回顾函数极值的概念，强调极值是函数在局部范围内的最值，与函数的整体最值的区别。2.总结利用导数求函数极值的步骤：求导、解方程、判断符号。3.强调在求解过程中需要注意的问题，如准确求导、正确解方程、合理判断导数符号等。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材课后习题中相关的练习题。2.拓展作业：思考如何利用函数极值解决实际生活中的优化问题，例如求最大利润、最小成本等问题，并尝试举例说明。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对函数极值的概念和求法有了初步的理解和掌握。在教学过程中，通过典型例题的详细讲解和课堂练习，学生能够较好地运用导数求函数的极值。但在教学中也发现了一些问题，部分学生在求导和判断导数符号时还存在一些困难，需要在今后的教学中加强针对性的训练。同时，对于函数在某点取得极值的充要条件的理解，还需要通过更多的实例和练习让学生进一步加深认识。

附：典型例题答案1.对于函数$f(x)=x^42x^2+5$，求导得$f^\prime(x)=4x^34x=4x(x^21)=4x(x1)(x+1)$。令$f^\prime(x)=0$，解得$x=0$或$x=1$或$x=1$。判断导数符号：当$x<1$时，$f^\prime(x)<0$，函数$f(x)$单调递减。当$1<x<0$时，$f^\prime(x)>0$，函数$f(x)$单调递增。当$0<x<1$时，$f^\prime(x)<0$，函数$f(x)$单调递减。当$x>1$时，$f^\prime(x)>0$，函数$f(x)$单调递增。所以，当$x=1$时，函数$f(x)$取得极小值$f(1)=(1)^42\times(1)^2+5=4$；当$x=0$时，函数$f(x)$取得极大值$f(0)=0^42\times0^2+5=5$；当$x=1$时，函数$f(x)$取得极小值$f(1)=1^42\times1^2+5=4$。2.对于函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，求导得$f^\prime(x)=3x^2+2ax+b$。因为函数在$x=1$处取得极小值，在$x=3$处取得极大值，所以