甘肃省2025届九年级上学期中考模拟（二）数学试卷(含解析)

2025年甘肃省初中毕业、高中招生考试数学模拟卷(二)(考试时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1.下列各数中最小的是（）A. B.0 C.π D.答案：A解：∵，∴最小的数是，故选：A．2.杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成.秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重.如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（）A. B. C. D.答案：A解：这个常见的一种秤砣的主视图是故选A．3.由可以得到用含x的式子表示y，下列正确的是（）A. B. C. D.答案：B解：∴，∴，∴，故选：B．4.风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（）A. B. C. D.答案：C解：六边形是正六边形，，由对称性可知，故选：C．5.一个底面半径为10cm、高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（）A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm答案：C解：设小杯的高为x，根据题意得：π×102×30=π×（10÷2）2•x×12解得：x=10则小杯的高为10cm．故选C．6.如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点C的坐标是（）A. B. C. D.答案：D解：∵点A、B的坐标分别为，，∴，∵四边形是菱形∴，∵，∴，∴故选：D．7.如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（）A. B. C. D.答案：D解：A、由二次函数图象，可得，一次函数图象，可得，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；B、由二次函数图象，可得，一次函数图象，可得，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；C、由二次函数图象，可得，一次函数图象，可得，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；D、由二次函数图象，可得，，一次函数图象，可得，，故本选项正确，符合题意；故选：D8.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出的y的值为（）．A.4 B. C.2 D.1答案：B解：当输入是时，取算术平方根是4，4是有理数，再次输入，4的算术平方根是2，2是有理数，再次输入，2的算术平方根是，是无理数，所以输出是，故选B．9.杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来测定物体质量的简易衡器．如图1所示是兴趣小组自制的一个无刻度简易杆秤，其使用原理：将待测物挂于秤钩处，提起提纽，在秤杆上移动金属秤锤（质量为），当秤杆水平时，金属秤锤所在的位置对应的刻度就是待测物的质量（量程范围内）．为了给秤杆标上刻度，兴趣小组做了如下试验，用（单位：）表示待测物的质量，（单位：）表示秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离，则水平距离与待测物质量之间的关系如图2所示．根据以上信息，下列说法正确的是（）A.待测物的质量越大（量程范围内），秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离越小B.当待测物的质量时，测得的距离为C.若秤锤C在水平距离为的位置，则秤杆在此处的刻度应为D.若秤杆长为，则杆秤的最大称重质量为答案：B解：根据题意，重物的质量越大，则金属秤锥与提纽的水平距离越大，故A正确，符合题意；由图2可知，待测物体质量为，则秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离为，故B正确，符合题意；若金属秤锤移动到处时，测得距离为，则秤杆处的刻度应为，故C错误，不符合题意；若，则待测物体的质量为，故D错误，不符合题意；故选：B．10.我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y与x的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.答案：D解：如图，过点A作于E；当E点与B点重合时，，则，此时面积最大，且为，当A往右方向移动时，减小，也减小，而跟着减小，即随着x由减小到接近0，但不为0，面积由4减小到接近0，但不为0；同理，随着x的增大到，面积也增大到4，前三个选项中图象均不满足，只有移项D满足；故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11.分解因式：___________．答案：解：，故答案为：．12.七（1）班40名同学进行跑素质测试，测试后体育委员把数据整理后制作频数分布表．把它分成五组，第一组到第三组的频数分别为，第四组的频率为0.3，则第五组的频数为_________．答案：解：∵第四组频数：，∴第五组频数为：；故答案为：．13.如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为__________（结果保留）．答案：∵，∴，∵，∴，，∴．故答案为：．14.我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则______．答案：3解：由题意得，，即，两式相加得：，故答案为：3．15.一种玻璃水杯的截面如图①所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为_______．答案：解：如图，以的中点为原点，所在直线为x轴，垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，∴，，，，设轮廓线、所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为，把、代入抛物线解析式，得：，解得：，∴轮廓线、所在抛物线的解析式为：，∵，，，∴，∴，设直线的解析式为，把、代入直线的解析式，得：，解得：，∴直线的解析式为：，解方程组得：，，∴，此时点P到杯口的距离为，故答案为：7．16.如图，分别以正六边形的顶点，，为圆心，边长为半径作弧，若正六边形的边长为，则“三叶草”的面积为______．答案：解：如图，连接，，作于点，依题意，是等边三角形，，，，，，，，，，阴影部分面积是：．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：．答案：0解：．18.解不等式组：，把它的解集表示在数轴上．答案：，见解析．解：，解不等式得，，解不等式得，，∴不等式组的解集为，数轴上表示解集如图：

19.先化简，再求值：，其中，．答案：，解：．当，时，原式．20.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接．（2）直接写出引理的结论：线段的数量关系．答案：（1）①见解析；②见解析；（2）解：（1）作出线段的垂直平分线，连接；以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示：（2）结论：．理由如下：由作图可得：是的垂直平分线，四边形是圆的内接四边形，21.小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有完全一样的小球，其中甲口袋中的4个小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的3个小球分别标有数字2，3，4，小明先从甲袋中随意摸出一个小球，记下数字为x，再从乙袋中随机摸出一个小球，记下数字为y．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；（2）若x，y都是方程的解时，则小明获胜；若x，y都不是方程的解时，则小刚获胜，它们谁获胜的概率大？请说明理由．答案：（1）答案见解析；（2）小明获胜的概率大；理由见解析．【小问1详解】解：所有可能出现的结果列表如下：2341234由表可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同．【小问2详解】∵方程的两个根分别为2或3，∴由表格可知，x，y都是方程的解有，，，共4种，都不是方程的解有，两种，∴P小明胜，P小刚胜，∴小明获胜的概率大．22.某校三个数学研究小组测量某古城墙的高度．测量方案与测量数据如下表：项目测量古城墙的高度测量工具测角仪，皮尺等测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案说明点A，B在古城墙的地面边缘线上，点C，D在古城墙的上部边缘线上，且测量数据，，，，，，问题解决：（1）直接指出所有可行方案的小组；（2）在可行方案的小组里，任选一种方案，按照所测数据，计算古城墙的高度；(精确到，参考数据：，，，，，)（3）计算的古城墙的高度和实际结果有一定的误差，请提出一条减小误差的合理建议．答案：（1）第一小组和第三小组的方案可行（2）古城墙的高度约为（3）多次测量取平均值(答案不唯一)【小问1详解】解：∵第一组和第三组都可以把分成两个不同的三角形利用解直角三角形的知识解决问题，而第二个只能通过已知求出，与的交点与点A，B组成的三角形的边长和高，而不能求出交点与组成的三角形的高，故不能求出城墙的高度，∴第一小组和第三小组的方案可行；【小问2详解】解：若选择第一小组：如图，过点作于点,,在中，,,,在中，,,,,,即,解得：，答：大同古城墙的高度约为米；若选择第二小组，设与的交点为O，过O点作交于点Q，,在中，,,,在中，,,,,,即,解得：,而题目中的已知没法求出的高，∴无法求出与间的距离，即在城墙的高；若选择第三小组：如图，过点作于点,,在中，,,,在中，,,,,,即,解得：，答：大同古城墙的高度约为米；【小问3详解】解：多次测量取平均值(答案不唯一)．四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23.黄河之滨万物竞茂、豪情满怀．来自世界各地的数万名选手相聚金城，用奔跑释放生命活力，用激情演绎“兰马”精彩．某单位组织甲乙两个代表队参加半马比赛，成绩(精确到分)如下：甲队选手123456成绩96m118106124110乙队选手123456成绩98112102n131119（1）已知该单位12位选手成绩平均数是，其中甲队6名选手成绩平均数是，求m，n的值；（2）求乙队选手成绩的众数及中位数；（3）从队员发挥的稳定程度考虑哪队选手更加优秀？答案：（1），（2）中位数为107，众数为98（3）甲队更优秀【小问1详解】解：，．【小问2详解】解：乙队选手成绩重新排列为98，98，102，112，119，131，∴其中位数为，众数为98．【小问3详解】解：甲队的方差为，乙队的平均数为，乙队的方差为，∵＜，∴甲队更优秀．24.如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，．（1）如图1，求证：是的切线；（2）如图2，若，，求的长．答案：（1）见详解（2）【小问1详解】证明：连接，∵，∴，∴，∵，∴，∵为直径，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴是的切线；【小问2详解】解：连接，由（1）得，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴长为：．25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，当的周长最小时，请直接写出点P的坐标；（3）将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值．答案：（1），（2）（3）或【小问1详解】解：反比例函数的图象过点，，，反比例函数的解析式为，∵反比例函数的图象过点，∴，，，∵一次函数的图象过点，，∴，解得，一次函数的解析式为；【小问2详解】解：如图，作点A关于轴的对称点，连接交轴于，此时，的周长最小，点，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，当时，，点的坐标为；小问3详解】解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，直线解析式为，，，，，解得或．26.【模型建立】（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：；【模型应用】（2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值；【模型迁移】（3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值．答案：（1）见解析；（2）＝；（3）（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：过点N作于点H，，∵四边形是矩形，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴．（3）解：过点C作于点N，交的延长线于点M，连接，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．设，则，设，则，∴，在中，由勾股定理，得，∴，解得(舍去)，∵，∴，∵，∴，∴．27.综合与探究如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点D是x轴上方二次函数图象上一动点．①连接将沿直线翻折，得到，点恰好落在直线l上，请依题意，在图