湖南省长沙市麓山国际实验学校2024-2025学年高二下学期第一次学情检测数学试卷含答案

第I卷要求的.1.若集合M={x|√x<4},N={x|3x≥1},则M∩N=C.{x|3≤x<16}A.-30B.2018年2019年2020年2021年2022年x12345ymzn34A.2B.7.44.第15届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海举行.本届航展规模空前，AA5.一医疗团队为研究治疗某种疾病的新药能否有助于7天内治愈该疾病病人，在已患病的500例病7天内未痊愈7天内痊愈实验组参考公式及数据,其中n=a+b+c+d.αA.在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关B.在犯错误的概率不大于0.001的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关C.根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关D.根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关A.3125B.1000C.1040A.52πB.64π8.已知函数,若对任意的x₁,x₂,x₃∈(0,+一),都有f(x₁)+f(x₂)-f(x₃)>0B.[-2,4]C.数学试题(LS)第2页(共6页)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列四个命题中正确的是A.已知事件A,B相互独立，7,则B.已知随机变量X~N(μ,o²),若P(X>-2)+P(X>6)=1,则μ=2C.已知随机变量,若D(3X+1)=6,则n=310.已知函数f(x)=x-Inx+a(a∈R),f(x)的图象与直线y=t交于M(x₁,t)、N(x₂,t)两点，且x₁<x₂,则下列说法正确的是B.若g(x)=f(x)-f(2-x),则g(x)无最值D.f(x)的图象在处的切线的斜率大于011.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点(异于坐标原点O),则下列说法正确的是A.以AF为直径的圆与y轴相切D.若OA_OB,则直线l过定点(4,0)答题卡题号123456789第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是13.已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(√3,1),则|a-b|的最大值为14.已知正实数x,y满，,则x³=数学试题(LS)第3页(共6页)数学试题(LS)第4页(共6页)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分13分)已知数列{an}满足(1)求数列{an}的通项公式；16.(本题满分15分)9,且ACLPD,PDLDE.(2)求四面体ACDE的外接球的体积；(3)若平面CAE与平面ADE夹角的余弦值,求DE的长.数学试题(LS)第5页(共6页)17.(本题满分15分)甲、乙两名同学与一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，甲得1分；如果甲输而乙赢，甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6,乙赢机器人的概率为0.5.求：(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列；(3)在(2)的条件下，Y的均值和方差.18.(本题满分17分)已知椭圆C:的左、右焦点分别为F₁,F₂,右顶点和上顶点分别为P,Q且PF₁=3.直线l经过F₁交C于A,B(A在x轴上方)两点，当l垂直于x轴时，直线OA的斜率是直线PQ斜率的√3倍.(1)求C的方程；(2)求△PAB面积的最大值；(3)若直线PA,PB与y轴分别交于M,N两点，问△MF₁F₂的外接圆是否经过点N,请给出你的判断并说明理由.19.(本题满分17分)定义：如果函数f(x)在定义域内，存在极大值f(x₁)和极小值f(x₂),且存在一个常数k,使f(x₁)-f(x₂)=k(x₁-x₂)成立，则称函数f(x)为极值可差比函数，常数k称为该函数的极值差比系数.已知函数(2)是否存在a使f(x)的极值差比系数为2-a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；(3),求f(x)的极值差比系数的取值范围.2024—2025—2学期麓山国际高二第一次学情检测试卷数学参考答案题号123456789DDBACDAC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D【分析】交集的概念及运算求出集合M,N后可求MNN.2.D【分析】求指定项的系数、两个二项由(a+b)⁶展开式的通项公式结合乘法法则即可求解a⁴b³的系数.【详解】(a+b)⁶展开式的通项公式为T+1=Ca⁶b',所以展开式中含a⁴b³的项为a·20a³b³-2b·15a⁴b²=-10a⁴b³,故展开式中a⁴b³的系数为-10.故选：D.3.B【分析】根据样本中心点求参数.根据题意，由回归方程乏=0.52x+1.44过点(x,z),可得n=2,再由z=lny即可求得m.4.A【分析】计算古典概型问题的概率、计算条件概率.记事件A:甲参观珠海国际航展中心，事件B:甲与乙不到同一观展区，求出P(A),P(AB)的值，利用条件概率公式可求得P(B|A)的值，即为所求.【详解】记事件A:甲参观珠海国际航展中心，事件因为每个观展区至少有1人，每人只参观1个观展区，则先将4个人分为3组，再将这3组分配给3个展区，基本事件的总数为n(Ω)=CA³=36,若事件A,B同时发生，若参观珠海国际航展中心有2人，则另外一人为丙或丁，此时，不同的参观情况种数为2A2=4,若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区，此时，不同的参观情况种数为CA2=6种，5.C【分析】卡方的计算、独立性检求出卡方值，和6.635,10.828比较即可根据小概率值α=0.01,α=0.001的独立性检验判断.【详解5,所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，有充分证据推断服用该新药对7天内治愈病人有影响，因此在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关，故C正确，A错误.,所以根据小概率值α=0.001的独立性检验，没有充分证据推断服用该新药对7天内治愈病人有影响，因此在犯错误的概率不大于0.001的前提下，不可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关，故BD错误.根据不邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可.【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.故问题转化为如图A,B,C,D,E五个区域，有5种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题.分为以下两类情况：第一类：A,C,D三个区域涂三种不同的颜色，从5种不同的颜色中选3种按序涂在不同的3个区域上，则有A³种方法，第二步涂B区域，由于A,C颜色不同，有3种方法，第三步涂E区域，由于A,D颜色不同，则有3种方法，由分步计数原理，则共有3×3A³=540种方法；第二类：A,C,D三个区域涂两种不同的颜色，由于C,D不能涂同一色，则A,C涂一色，或A,D涂同一色，两种情况方法数相同.即涂2个区域不同色，从5种不同的颜色中选2种按序涂在不同的2个区域上，则有A?种方法，第二步涂B区域，由于A,C颜色相同，则有4种方法，第三步涂E区域，由于A,D颜色不同，则有3种方法，由分步计数原理，则共有4×3A?=240种方法；若A,D涂一色，与A,C涂一色的方法数相同，则共有2×240=480种方法.由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有540+480=1020种.故选：D.7.A【分析】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题先求出球的半径，再根据球的表面积公式S=4πR²(S为表面积，R为半径)来求解.通过构造直角三角形等方法来求出球半径.【详解】对于正三棱台，设上底面所在圆面半径为r₁,下底面所在圆面半径为r₂.对于正三角形，其外接圆半径r与边长a的关系为则则则则下底面边长a₂=3√3,设球心到上下底面的距离分别为d₁,dz,球的半径为R,因为正三棱台的高h=1,且h=d₁+d₂或h=d₁-d₂.根据R²=di+r²和R²=d2+r2.由R²=x²+22和R²=(1把x=3代入R²=x²+2²,得R²=3²+2²=9+4=13.根据球的表面积公式S=4πR².把R²=13代入可得S=4π×13=52π.8.C【分析】利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题、根据函数的单调性求参数值、基本不等式求和的最小值则令,则因为t>0,所以,当且仅当t=2时等号成立，即即时，函数y在[5,+一]上单调递减，则时，函数y在[5,+一]上单调递增，则由于对任意的x₁,x₂,xs∈(0,+),都有f(x₁)+f(x₂)-f(x₃)>0成立，由题意知，,解得综上可得，k的取值范围为,故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BCD【分析】正态曲线的性质、利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式、二项分布的方差利用独立事件的概率乘法公式和概率加法公式判断A;利用正态分布的对称性判断B,利用二项分布的方差公式和方差的性质判断C,利用全概率公式判断D.【详解】选项A:因为事件A,B相互独立;所以1,A说法错误；选项B:因为随机变量X~N(μ,o²),P(X>-2)+P(X>6)=1,又因为P(X>-2)+P(X<-2)=1,所以P(X>6)=P(X<-2)说法正确；又因为随机变量,所以,解得n=3,C说法正确；选项D:因为,所以所以,D说法正确；10.BCD【分析】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、由导数求函数的最值(不含参)、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题利用导数分析函数f(x)的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围，可判断A选项；利用导数分析函数g(x)的单调性，可判断B选项；分析可知0<x₁<1<x₂,将所证不等式变形为,构造函数,结合函数h(t)的单调性可判断C选项；利用C选项中的结论结合导数的几何意义可判断D选项.【详解】对于A选项，函数f(x)的定义域为(0,+一),所以函数f(x)的单调减区间为(0,1),单调增区间为(1,+一),所以函数f(x)的极小值为f(1)=1+a,当t=0时，函数f(x)有两个零点，所以a+1<0,解得a<-1,A错；对于B选项，若g(x)=f(x)-f(2-x),对于函数g(x),有解得0<x<2,即函数g(x)的定义域为(0,2),当且仅当x=2-x(0<x<2)时，等号成立，所以，函数g(x)在(0,2)上为减函数，函数g(x)无极值，B对；对于C选项，因为函数f(x)的单调减区间为(0,1),单调增区间为(1,+一),则0<x₁<1<x₂,,即证令,则所以，函数h(t)在(1,+∞)上为增函数，当t>1时，h(t)>h(1)=0,对于D选项，因为x₁-Inx₁+a=t=x₂-Inx₂+a,因为所以函数f(x)的图象在处的切线斜率大于0,D对.【点睛】利用导数解决函数零点问题的方法：(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；(3)参变量分离法：由f(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线y=a与函数y=g(x)的图象的交点问题.11.AD【分析】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质由图，利用两点坐标表示直线斜率之积为-1可得NA⊥NF,即可判断A;易知当直线l的斜率不存在时|AB|=4;当斜率存在且不为0时，设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长即可判断B;由三角形面积关系可得|y₁I=2|y₂|,分类讨论y₂<0、y₂>0两种情况，利用两点表示斜率公式求出点A,B坐标，结合两点求弦长即可判断C;分类讨论斜率存在与不存在两种情况，直线方程联立抛物线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示计算即可判断D.则y²=4x1,,所以所以NA_NF,所以以AF为直径的圆与y轴相切，故A正确；对于B,当直线L的斜率不存在时，因为直线l过点F,得A(1,2),B(1,-2)或A(1,-2),B(1,2),所以|AB|=4;当直线L的斜率存在且不为0时，设直线的方程为y=kx—k(k≠0),设A(xi,y₁),B(x₂,y₂),对于C,设A(x₁,y1),B(x₂,y₂),不妨设点A在x轴上方，则y₁>0由直线l的斜率为2,①当y₂<0时，设y₁=2m,y₂=-m(m>0),所以A(m²,2m),B(),所以,解得m=2,②当y₂>0时，设y₁=2m;所以,解得,所以9.结合①,②可得|AB|=3√5,故C错误；对于D,当直线L的斜率不存在时，因为OA_OB,所以∠AOx=∠BOx=45°,易得A(4,4),B(4,-4)或A(4,-4),B(4,4),则直线L的方程为x=4,过点(4,0);当直线l的斜率存在且不为0时，设直线的方程为y=kx+b(k≠0),则,所以,因为OA⊥OB,所以OA·OB=0,所以x₁x₂+yy₂=0,所以,又A,B两点异于坐标原点O,所以b≠0,得b=-4k,所以直线L的方程为y=kx-4k=k(x-4),则直线l过点(4,0),故D正确.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于xy的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x1x₂,x1+x₂或y1y₂,y₁+y₂,最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程(或函数),从而可求定点、三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.设A₁=“抽到第一袋”,A₂=“抽到第二袋”,B=“随机抽取2份，恰娓捷到愚读积灰等的邮备表各1份”,根据题意求出P(A₁),P(A₂),P(B|A₁),P(B|A₂),然后利用全概率公式可求出结果；【详解】设A₁=“抽到第一袋”,A₂=“抽到第二袋”,B=“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1则由全概率公式得13.3【分析】由正弦(型)函数的值域(最值)求参数、辅助角公式、已知数量积求模.对|a-b|先平方再开方，然后利用辅助角公式及三角函数的有界性计算即可.所以|a-b|的最大值为3.本题主要考查平面向量的坐标运算、三角函数的性质以及辅助角公式，属于常考题.14.√2【分析】对数的运算性质的应用、基本(均值)不等式的应用、对数的运算.【详解】由题设可得,当且仅当x=4y时取等号，即In考点：函数方程思想及基本不等式的运用条件.【点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知变形为,然后再运用基本不等式得到lnxy≥2√xy-2,再用取得等号时的条件,使得问题获解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1)根据数列的递推式即可求数列的通项公式.(2)利用错位相减求和法求数列的前n项和.,(2)因为所以(1)利用勾股定理以及线面垂直的判定定理证明即可得出结论；(2)依题意可通过构造长方体得出四面体ACDE的外接球的直径，即可求出外接球的体积；(3)以D为坐标原点建立空间直角坐标系，再根据两平面夹角的向量求法列方程计算可解得【详解】(1)根据题意由AC=1,得AC²+CE²=AE,所以AC_CE,又ACLPD,且CE,PDC平面PDE,因此AC⊥平面PDE;(2)因为AC⊥平面PDE,DEC平面PDE,所以AC_DE;所以AC,PD,DE两两垂直，所以四面体ACDE的外接球即为以DE,AC,CD为长，宽，高的长方体的外接球，该球直径为AE,因此四面体ACDE的外接球的体积为(3)由(1)得AC,PD,DE两两垂直，以D为坐标原点，DE,DP所在直线分别为x,y轴，过点D且垂直于平面PDE的直线作为z轴建立空间直设,在Rt△CDE中由勾股定理可易知D(0,0,0),,E(t,0,0)可设平面CAE的法向量为m=(x₁,y1,z1),则令,则y₁=t,所以设平面ADE的法向量为n=(x₂,y₂,≈2),解得x₂=0,令y₂=-1,则所以因此可得解得.可得解得.17.【分析】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差(1)确定X的可能值并求出对应的概率，即可写出分布列.(2)首先确定Y的可能值并求出对应的概率，写出分布列.(3)利用(2)中分布列结合均值和方差的公式即可求出Y的均值和方差.【详解】(1)由题设，X的可能取值为-1,0,1,P(X=0)=0.6×0.5+(1-0.6)×(1-0.5P(X=1)=0.6×(1-0.5)=0.3.X的概率分布列为X01P(2)由题设，Y的可能取值-2,-1,0,1,2,P(Y=-1)=0.2×0.5+0.5×0.P(Y=0)=0.2×0.3+0.3×0.2+0.5×0.P(Y=1)=0.5×0.3+0.3×0.P(Y=2)=0.3×0.3=0.09.Y的概率分布列为Y012P(3)所以E(Y)=-2×0.04+(-1)×0.2+0×0.37+1×0.3+2×0.09=0.2.D(Y)=(-2-0.2)²×0.04+(-1-0.2)²×0.2+(0-0.2)²×0.37+(1-0.2)²×0.3+(2-0.=4.84×0.04+1.44×0.2+0.04×0.37+0.64×0.3+