用于高二数学教案：8．4双曲线的简单几何性质

【课题】双曲线的简单几何性质（1）

【教学目标】

1、能用对比的方法分析双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线和离心率）.

2、能说明离心率的大小对双曲线形状的影响，领会双曲线与渐近线的关系.

3、明确标准方程中、、的几何意义.

4、了解等轴双曲线的概念和特征.

5、能运用双曲线发几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程.

【教学重点】双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法.

【教学难点】双曲线的渐近线

【教学过程】

1.复习引入

复习回顾椭圆的几何性质及其研究方法

2.讲解新课

我们依照研究椭圆的简单几何性质的方法和步骤来研究双曲线的简单几何性质。

对于双曲线（。＞0力＞0）的几何性质

（一）范围，昨a,即X》,后-a

由标准方程可知与一个非负数的差等于1,所以>1,由此推得x的范围.

y除受到式子本身的制约外，没有任何限制，说明双曲线位于应a与烂-a的区域内.

（二）对称性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原

点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.

讨论方法是以-y代y,方程不变，所以双曲线关于x轴对称；以-x代x,方程不变，所以

双曲线关于y轴对称；同时以-y代y,以-MU,方程不变，所以双曲线关于原点对称.

（三）顶点：只有两个，即（±。,0）.

讨论方法是令产0,得k士凡因此双曲线和它的一条对称轴一%轴有两个交点

A（-a,0）,A2（a,0）,所以双曲线的顶点是（±«,0）.

令x=0时，解得），2=-按,无实数解，说明双曲线与它的另一条对称轴一），轴没有交点，

故双曲线顶点只有两个.

注意：双曲线3>0力>0）与y轴没有交点，但我们也把Bi（0,

b）,B2（0,b）画在y轴上.

线段4A2叫做双曲线的实轴，线段5B2叫做双曲线的虚轴，实轴的长为2a,虚轴的长为2

b,。是实半轴的长，。是虚半轴的长，焦点始终在实轴上.

（四）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率.e=且e《（l,+

00）,这是因为c>a>0.

（五）渐近线：经过4、Ai作），轴的平行线kta,经过员、3作x轴的平行线尸±6,这四

条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线的方程是产±x,从图中可以看出，

双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.

证明：

先取双曲线在第一象限的部分进行证明，这一部分的方程可写成产（x>a）

设M（x,y）是它上面的点，N（x,y）是直线产x上与“有相同横坐标的点，则产x

'."y==

/.|M7V|=Y-y=

\MN\=

/.\MN]=

设|MQ|是点M到直线产x的距离，则|MQ|<|MN|,当x逐渐增大时，皿朗逐渐减小，x

无限增大，|MN|接近于0,|MQ|也接近于0,就是说，双曲线在第一象限部分从射线ON的下

方逐渐接近于OM

在其他象限内，也可以证明类似的情况.

我们把两条直线产士x叫做双曲线的渐近线.

【注1】等轴双曲线

在方程中，如果a=b,那么双曲线的方程为¥-

丁=比它的实轴和虚轴的长都等于2〃，这时四条直线户±a,产〃围成正方形.渐近线方程为广

母，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴和虚轴等长的双曲线叫等

轴双曲线.

【注2】双曲线的画法

利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图，具体做法：画出双

曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后再过这两个点并

根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分.最后

根据双曲线的对称性画出完整的双曲线.

【注3】离心率与双曲线的张口的大小

有了双曲线的渐近线，我们再来讨论离心率对双曲线张口大小的影响，就方便了.

由等式一”2=力2可得

由上式可以看出，e越大，也越大，即渐近线尸土x的斜率的绝对值越大，这时双曲

线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口就越大.

3.例题讲解

A.（课本110页例1）求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、

离心率、渐近线方程.

解：把方程化为标准方程：

由此可知，实半轴长。=4,虚半轴长b=3.

焦点的坐标是（0,-5）,（0.5）.

离心率

渐近线方程为

,即

【注意】根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种：

1、画出以实轴长、虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线的斜

率的确定.

2、将双曲线标准方程等号右边的1改为0,即得双曲线的渐近线方程，再据此推出广匕

的形式.

另外需要注意的是：若已知双曲线的标准方程则可以写出其渐近线方程，但若已知双曲

线的渐近线方程，则不能仅据此确定6的值，只能确定6的关系，这点与离心率是类

同的.

B.（课本110页例2）双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转

所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适

当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.

解：如图8—17,建立直角坐标系xOy,使A圆的直径在x轴上，圆心与原点重合.

这时上、下口的直径CC'、BB'平行于x轴，且=13X2（m）,=25X2(m).

(2)

设双曲线的方程为(a>0,b>0)

令点C的坐标为(13,y),则点B的坐标为(25,y-55).因为点B、C在双曲线上,

所以

解方程组

由方程(2)得(负值舍去).

代入方程(1)得

化简得19b2+2756—18150=0(3)

解方程(3)得b^25(m).

所以所求双曲线方程为：

C,设椭圆与双曲线有共同焦点F1(-4,0),F2(4,0),并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2

倍，试求椭圆与双曲线的交点的轨迹.

解法L设交点为P(x,y),双曲线的实半轴长为a(2<a<4),则椭圆长半轴长为2a,

由半焦距为4,得它们的方程分别为：⑴和=1(2)

(2)x4—(1)得：(3),代入(1)得：。2=2.|

再代入⑶化简得：—5产+/=9或(x+5产+/=9.

解法2：用定义法求解.|FIP|+|F2P|=2||F1P|—F2P||,解得：|FiP|=3x|F2Pl或3x

|FIP|=|F2P|.

即：3或3,

化简得：(x—5产+必=9或(x+5产+/=9.

【备用例题】

D.已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为工的两个焦点分别为Fi,F2,

直线/过Fi且与直线FF2的夹角为a,tga=，/与线段F1F2的中垂线交点为P,线段PF2

与双曲线C的交点为Q,且PQ：QF2=2：1,求双曲线的方程.

解：设双曲线的方程为：=1,焦点为F2(c,0),ab=，直线/的斜率1<=1801=,

."的方程是：y=(x-c)o令x=0,得P(0,c),

==2:1,；.,BPQ()，且c=

将Q点的坐标代入双曲线的方程得：=1，

化简得：16x-41x-21=0,

解得：=3或=-(舍).即b=a(1)

又ab=(2)

由⑴,(2)解得：a=l,b=.

.•.所求双曲线的方程为：=1

E.过双曲线C：3>0力>0)上任意一点P,作x轴的平行线，交双曲线的

两条渐近线于Q、R两点。求证：IPQI-IPRI为定值.

证明：设尸(xo,yo),则=1

双曲线渐近线方程为产士x

由，得/?(yo,yo)

由，得Q(—yo,yo)

：.\PQ\-\PR\=\—泗一xoH泗一Xol

=打。2-yo2l

=|xo2-xo2+a2|=a2

.••|PQ|PR|为定值

4.课堂练习

A.方程mx2+ny2+mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标是B

(A)(0,)(B)(0,)(C)(,0)(D)(,0)

B.下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是D

(A)-y2=1和-=1(B)-y2=l和y2-=1

(C)y2-=1和x2-=1(D)-y2=l和-=1

C.与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一

条渐近线的距离是(C)

(A)8(B)4(C)2(D)1

D,以为渐近线，一个焦点是F(0,2)的双曲线方程为(A)

(A)(B)(C)(D)

E.双曲线kx2+4y2=4k的离心率小于2,则k的取值范围是(C)

(A)(-8,0)(B)(-3,0)(C)(-12,0)(D)(-12,1)

F.已知平面内有一固定线段AB,其长度为4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为D

(A)1.5(B)3(C)0.5(D)3.5

G.已知双曲线b?x2—a2y2=a2b2的两渐近线的夹角为2,则离心率e为(C)

(A)arcsin(B)(C)(D)tg2

H.一条直线与双曲线两支交点个数最多为(B)

(A)l(B)2(C)3(D)4

I.双曲线顶点为(2,—1),(2,5),一渐近线方程为3x—4y+c=0,则准线方程为(D)

(A)(B)(C)(D)

J.与双曲线=l(mn<0)共朝的双曲线方程是(D)

(A)(B)(0⑻

小结

6.课后练习

1.求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程:

⑴N-8y2=32；(2)9/-卢81；(3)x2-y2=-4；(4)

答案：(1)2a=8,26=4;顶点坐标为(4,0),(-40)；焦点坐标为(6,0)

,(-6,0);e=;渐近线方程为y=±x.

(2)2a=6,2118;顶点坐标(3,0),(-3,0)；焦点坐标(3,0),(-3

,0)；;渐近线方程为产±3x.

(3)2a=4,26=4;顶点坐标是(0,2),(0,-2)；焦点坐标为(0,2),(0,-2

);离心率e=;渐近线方程为4土y.

(4)2a=l0,26=14;顶点坐标是(0,5),(0,-5)；焦点坐标为(0,),(0,

)；离心率e：；渐近线方程为产土X.

5.当渐近线的方程为产士x时，双曲线的标准方程一定是吗？如果不一定

,举出一个反例.

答案：不一定是

反例：双曲线的准线方程为:

y=±x.

【课题】双曲线的简单几何性质(2)

【教学目标】

1、掌握双曲线第二定义，掌握双曲线的准线方程及准线的几何意义，进一步理解离心率的

几何意义

2、能根据所给双曲线的标准方程写出比曲线的焦距，实半轴、虚半轴长，渐近线的方程，

离心率，准线方程等。

3、理解并掌握双曲线的浙近线方程和双曲线方程之间的关系。

【教学重点】

【教学难点】

【教学过程】

F.复习引入

1、复习双曲线的性质：范围，对称性，顶点，实轴，虚轴，离心率等；

2、复习回顾椭圆的第二定义；

G.讲解新课

K.点M(x,y)与定点F(c,o)的距离和它到定直线/：的距离的比是常数

求点M的轨迹.

解：设d是点M到直线/的距离.根据题意，所求轨迹是集合p=,

由此得：

化简得(c2—a2)x2—a2y2=a2(c2—a2).

设c2—。242,就可化为：

这是双曲线的标准方程，所以点M的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.

双曲线的第二定义：

当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个

点的轨迹是双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e是双曲线的离心

率.

准线方程：

其中x=相应于双曲线的右焦点F(c,O);x=一相应于左焦点F'(-c,0).

H.例题讲解

A.已知点，在双曲线上求一点P,使的

值最小。

解：，

设点P到与焦点F相应的准线的距离为d,,则

问题转化为在双曲线上求点P，使P到定点A的距离与到准线的距离的和最小,

即直线PA垂直于准线时合题意。所以

B.双曲线的虚轴长，实轴长和焦距成等差数列，右准线的方程是，且经过点

。求（1）双曲线的离心率；（2）双曲线的右焦点的轨迹方程。

解：（1）由题意可知，

即

（2）设双曲线的右焦点为，由双曲线的第二定义，有

（d为A到右准线的距离）

即

即

【类似练习】

1、一双曲线以y轴为其右准线，它的右支过点M（l,2）,且它的虚半轴、实半轴、

半焦距长依次构成一等差数列.试求：

⑴双曲线的离心率；

（2）双曲线的右焦点F的轨迹方程；

⑶过点M,F的弦的另一端点Q的轨迹方程。

解：⑴依题意，2a=b+c,5a2-4ac=0,

两边同除以得：e=；

（2）设双曲线的右焦点F（x,y）,由双曲线的定义，点M到右焦点的距离与点M到准线的距离

之比为e=,

/.=，二F的轨迹方程为伊-1产+（尸2/=.

⑶设Q（x,y）,点Q到右焦点的距离与点Q到准线的距离之比为，

；.|QF|=，又设点F（xi，yi）,则点F分线段QM的比为=：=x,

xi==，y1==，

代入的一1产十优一2产二,整理得:

点Q的轨迹方程为：9x2-16y2+82x+64y-55=0.

C.已知双曲线C过点M(3,8),它的两条渐近线方程是：x+y=O与

x-y=O.(1)求双曲线的方程；(2)设凡、F2分别是双曲线C的左、右焦点，P是该双曲

线左支上一点，P到左准线的距离为d.问是否存在这样的点P,使d,|P&|,|PE|成等比

数列？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)双曲线的渐近线方程可写为：8x2一尸=0

故可设双曲线方程为8x2—y2=k

双曲线过点M(3,8),Z.8X32-82=/c,解得k=8

双曲线方程为：

⑵由⑴知双曲线的离心率e=3,两条准线方程为

若存在满足条件的点P(x°,yo)(x()W—1),则

2

\PFi\=\PF2\d,即

又|P8|-|PFi|=2：.\PF1\=1

即，解得：

•••不存在满足条件的点.

【类似题】己知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线左支上有一点，设

到左准线的距离为，且，，恰成等比数列，试求点坐标.

解：由题，，，，准线方程为，

由双曲线的第二定义，得

V,,成等比数列,

，解得

又•••在双曲线上,点的坐标为

D.设P是双曲线C:=l(a>0力>0)右支上一点，过点P的直线与双曲线的两条

渐近线Zd：及乙2：%x+a)=0分别交于A、8两点.A、B两点的横坐标的积为：

2,其双曲线的离心率为.(1)求双曲线C的方程；(2)已知点M的坐标为(4,3)

，F为双曲线C的右焦点，当尸点在双曲线C上运动时，求|PM|+伊网的最小值.

解：(1)e=即6=,，

/..............①

设A(xi,yi),B(X2,y2)

A点在Li上ayi=0,，yi=

B点在心上.".bx2+ay2=0,•,.y2=-xi

又设P(x,y),由于=2

又.；P(x,)，)在双曲线上

化简得8X1X2=9〃2,由于8・=9〃2

ab-f>②

由①得b=代入②得“2=4故〃=9

所求的双曲线方程为

(2)双曲线的右准线方程为：L.x=

过点P作尸由双曲线第二定义知

故IPM+IPF卜=|PM|+|PN|

故当M、P、N三点共线时，|PM+|PN］最小

且(|PM+|PF|min)=|MN|=

I.课堂练习

(1)双曲线16x2—9/=—144的实轴长、虚轴长、离心率分别为(C)

(4)4,3,(6)8,6,(C)8,6,(4)4,3,

(2)顶点在x轴上，两顶点间的距离为8,e=的双曲线的标准方程为(4)

(J)(B)(<7)(。)

(3)双曲线的两条准线间的距离等于(给

(J)(6)(C)(〃)

(4)若双曲线上一点P到双曲线上焦点的距离是8,那么点尸到上准线

的距离是(〃)

(A)10(皮(02(〃)

(5)经过点火3,—1),且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是(〃)

(J)y—x=8(B)x—y=±8(C)x—y=4(〃)x—y=8

(6)以尸土x为渐近线的双曲线的方程是(〃)

(力)37-2/=6(ff)9y-8x=l(O3y-2x=l(D)9y-4?=36

(7)等轴双曲线的离心率为—；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是—()

(8)从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离

是_.(6)

(9)与有公共焦点，且离心率差的双曲线方程是()

(10)以5/+8/=40的焦点为顶点，且以57+8A40的顶点为焦点的双曲线的方程

是.()

(11)已知双曲线上一点到其右焦点距离为8,求其到左准线的距离(答

案：)

J.小结

K.课后练习

A.下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是(6)

(J)—/=1与y—=1(8)—与

(Oy—=1与x—(D)—y=l与

B.若共扼双曲线的离心率分别为a和即则必有(。)

(J)et-ei(8)fta=l(C)=1(〃)=1

C.若双曲线经过点(6,),且渐近线方程是产土x,则这条双曲线的方程是

(4)(0(C)(。)

D.双曲线的渐近线为片土x,则双曲线的离心率为(C)

(J)(皮2(C)或(〃)或

E.如果双曲线右支上一点尸到它的右焦点的距离等于2,则。到左准线的距离

为9

(J)(6)(C)8(〃)10

F.已知双曲线的一条准线是尸1,则实数A的值是(6)

(4)(皮-91(〃)-1

G.双曲线的离心率ed(l,2),则4的取值范围是

H.若双曲线上的点M到左准线的距离为，则M到右焦点的距离

是.()

I.双曲线的离心率占2,则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比

是.()

J.在双曲线的一支上有不同的三点4(X1,力)，B(,6),C%,V3)与焦点F间的

距离成等差数列，则yi+y3等于.(12)

【课题】双曲线的简单几何性质（3）

【教学目标】要求掌握双曲线的焦半径公式及推导和应用

【教学重点】

【教学难点】

【教学过程】

1.复习引入

1、复习双曲线的性质：范围，对称性，顶点，实轴，虚轴，离心率等;

2、复习双曲的第二定义；

2.讲解新课

双曲线的焦半径公式：若是双曲线上任意一点,则

证明：设双曲线，是其左右焦点

则由第二定义：，

同理

即焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：

同理焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：

（其中分别是双曲线的下上焦点）

点评:双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值,

需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号）

3.例题讲解

L.（2004重庆）已知双曲线的左，右焦点分别为

点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为：（）

ABCD

解：设，因为P在双曲线的右支上，所以

又

M.在双曲线的一支上有不同的三点

它们与焦点的距离成等差数列，求

解：因为,不妨设A,B,C三点都在双曲线的上支,

由焦半径公式,

所以有：，

即

N.求证：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点的距离的比例中项。

证明：设等轴双曲线的方程为，双曲线上任一点P的坐标为

则P到中心的距离为，

等轴双曲线的离心率是，所以点P到两焦点的距离分别为

所以

0.已知双曲线的方程为，直线/通过其右焦点F2,且与双曲线的右支交于4B

两点，将A、8与双曲线的左焦点Fi连结起来，求|F/|•|FiB|的最小值.

解：设A%,yi）,8（X2,力）/到双曲线的左准线x=-=-的距离d=|xi+|=xi+,

由双曲线的定义,=e=

|>4F1|=（X1+）=Xi+2洞理，|BF1|=X2+2,

|Fi4|♦|FiB|=(Xi+2)(X2+2)=X1X2+(XI+X2)+4(1)

双曲线的右焦点为F2(,0),

⑴当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x-),由：

消去y得：(l^lk2)x2+8k2x-20k2-4=0,

/.Xl+X2=,X1X2=-,代入⑴整理得：

|F3|•|FiB|=+4=+4=+4=+

由双曲线的方程可知，双曲线的渐近线方程为：，

要使过焦点的直线与双曲线交于右支上的两点，必须且只须：

A|Fi4|•|FiB|>;

⑵当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AFZ|=|BF2|=,

A|/\Fi|=|BFi|=2a+=(双曲线的第一定义)，二|F3|•|F]8|=

由⑴,(2)得:当直线AB垂直于X轴时|FiA|•|Fi8|取最小值.

4.课堂练习

5.小结

6.课后练习

【课题】双曲线的简单几何性质(4)

【教学目标】

1、要求掌握双曲线系方程与共貌双曲线的概念及简单的应用；

2、理解并掌握双曲线的渐近线方程的简单性质及应用。

【教学重点】

【教学难点】

【教学过程】

7.复习引入

1、复习双曲线的性质：范围，对称性，顶点，实轴，虚轴，离心率等；

2、复习双曲的第二定义；

8.讲解新课

1、共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一

定是：或写成。

2、共扼双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共甑双曲

线。

区别：三量a,b,c中不同(互换)c相同。

共用一对渐近线；双曲线和它的共辄双曲线的焦点在同一圆上。

确定双曲线的共辗双曲线的方法：将1变为一1。

9.例题讲解

P.⑴求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线方程

(2)已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为12,求它的方程.

解：⑴设所求双曲线方程为，把代入方程，得，

故所求的双曲线方程为

⑵设所求双曲线方程为

①若焦点在轴上，则（6,0）在双曲线上，可得，，方程为

⑵若焦点在轴上，则。6）在双曲线上，可得，二方程为

Q.已知双曲线的共扼双曲线的离心率为2,求原双曲线的离心率。

解：设原双曲线为，则它的共朝双曲线的方程为：，

所以

所以

故所求的双曲线的离心率为：

R.经过双曲线的右焦点F的直线与一条渐近线1垂直于4交另一条

渐近线2于B,求证：线段A8被双曲线的左准线平分。

解:

代入渐近线方程;（注意渐近线方程的写法）

得.设AB中点的坐标为（xo，出）,

则Xo=（XA+XB）=-.左准线方程为xu-AB被左准线平分。

S.已知双曲线的离心率，一条准线方程为，直线/与双曲线右

支及双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点，四个点的顺序如图所示。

（1）求该双曲线的方程；（2）求证：|AB|=|CD|；

（3）如果|AB|=|BC|=|CD|,求证：ZXOBC的面积为定值。

解：（1）由己知

...所求双曲线的方程为才一必=1。

(2)设/：x=my+b,(mW±l)

由得

由得

•".AD中点坐标为

由得(m"—1)y2+2mby+b—1=0

/.BC中点坐标为

，AD中点与BC中点为同一点，又A、B、C、D四点共线,

A|AB|=|CD|

(3)设，a>0,b>0

V|AB|=|BC|=|CD|

即

...点C在双曲线上

又

.'.△OBC的面积为定值。

【类似题】己知直线/和双曲线交于4、B两点,和双曲线的渐近线交于C、。两点。

求证:\AC\=\BD\

证明：若直线/平行于坐标轴，则根据图形的对称性，依0=山£>|显然成立.

一般情况下，设/的方程为产公:+加(公,),双曲线方程为从V

“2)?=//，渐近线方程为人—a2y2=0.

由得

—a2k2）x~—2a2kmx—a2m~-a2b2=O

.*.X1+X2=

A5中点M的横坐标XM二

由得

（h—〃2攵2）X—2a2kmx—〃2加2二。

.*.X3+X4=

・・・CQ中点的的横坐标物，=

・_f

•.•M和”在同一条直线上

，"和^重合

：.\AC\^=\BD\

【课题】双曲线的简单几何性质(5)

【教学目标】直线与双曲线

【教学重点】

【教学难点】

10.复习引入

1、复习双曲线的性质：范围，对称性，顶点，实轴，虚轴，离心率等；

2、复习双曲的第二定义；

11.讲解新课

直线与双曲线的位置关系，一般通过解直线的方程与双曲线的方程组成的方程组，对解

的个数进行讨论，有两组不同的解，即时，直线与双曲线相交；有两组相同的解，即

时，直线与双曲线相切；无实数解，即时，直线与双曲线相离。

但当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，注意，此时，

不能说是直线与双曲线相切。

12.例题讲解

(-)直线与双曲线的位置关系

T.经过点且与双曲线仅交于一个点的直线的条数是()

A、4条B、3条C、2条D、1条

解：A

U.已知不论6取何实数，直线y=kx+b与双曲线¥

2)2=1总有公共点，试求实数k的取值范围.

解：联立方程组消去y得(2k2-l)/+4k6x+262+l=0,

当时，直线与双曲线的渐近线平行，当时，有一个交点

当时，没有交点，所以不合题意。

当时，

依题意有4=(4kZ»)2—4(2k2—1)(2ft2+l)=^(2k2—2/?2—1)>0,对所有实数6恒成立,

/.2k2—1<0,得

所以

V.过点（0,3）的直线/与双曲线，只有一个公共点，求直线/的方程.

解：设直线/的方程为：y^kx+3

将其代入双曲线中，得：

化简整理，得（3—4R）%2—24日―48=0

当3—44时,

△=（一24%）2-4（3—44）（一48）=576k2-768尸+576=-192k?+576=0

&2=3

即依士时，直线与双曲线只有一个公共点

当3

4尸=0时，即:士时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线也只有一个公共

点.

二所求直线/的方程为：y=±x+3或y=±x+3

【类似题】求经过且与双曲线仅有一个公共点的直线方程.

解:当斜率存在时，设所求直线方程为，代入双曲线方程

整理得

⑴当时，方程（*）变为一次方程，且有唯一解，因而直线和双曲线仅有一个公共点,

故得直线方程为

⑵当时,得直线方程为

⑶当直线和双曲线相切时，仅有一个公共点，此时

即

解得，故所求直线方程为

当斜率不存在时,因为点在直线上，故也满足要求.

综上所述,符合题意的直线为：，，和

(二)中点弦问题

W.已知双曲线方程为.(1)过定点作直线交双曲线于、两点，使

是的中点，求此直线方程.(2)过定点能否作直线，使与此双曲线相交于两点

、，且是的中点?若存在求出的方程，若不存在说明理由.

解：⑴若直线没有斜率,则直线与实轴垂直，的中点在实轴上，不可能是点

，所以所求直线一定有斜率，设直线方程为

由消去整理得

又是中点的充要条件是

由(2)得，把代入(1)得4>0,，

所求的直线方程为，即

(2)假设这样的直线存在，设，则有

，又、在双曲线上，二

两式相减得，即

若直线没有斜率，则不可能是的中点,

所以直线有斜率，于是斜率

直线的方程为，

把的方程代入

得,△=16—24<0,

这就是说，直线与双曲线没有公共点，这样的直线不存在.

(三)弦长问题

X.直线与双曲线相交于、两点.

⑴当为何值时，以为直径的圆过原点？

(2)当为何值时，、两点分别在双曲线的两支上?当为何值时，、两点在双曲线的

同一支上？

解：直线与双曲线相交于、两点,等价于方程组

有两组不同的实数解；

将⑴代入⑵,整理得⑶

⑴，⑵组成的方程组有两组不同的实数解,等价于方程⑶有两个不同的实数根，故不等式组

成立，即，且

⑴设，，由题，则，即

由⑶知，

又

A，即

•••，故满足，且，从而

⑵要使直线与双曲线分别交于两支，必有

要使直线与双曲线交于同一支,必有

/.或

Y.已知双曲线M的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点。

(1)求双曲线M的方程；(2)斜率为k()的直线/与双曲线M交于C、D两点,

与圆交于A、B两点，若A、B为线段CD的三等分点，求直线/的方程。

解：(1)双曲线M的离心率为，设所求双曲线方程为

双曲线M过点，

所求双曲线方程为

(2)设所求直线/的方程为

依题意

设

又

设

依题意，线段AB与线段CD的中点相同

所以得

,则，此时直线方程为，又

,即解得

检验:

所求直线方程为

Z.已知人、/2是过点P(，0)的两条互相垂直的直线，且/1、与双曲线—

3=1各有两个交点，且分别为4、田和4、B2.

(I)求八的斜率心的取值范围；

(2)若A恰是双曲线的一个顶点，求H2B2I的值.

(3)若，求的方程。

解：(1)据题意，/|、/2的斜率都存在

因为6过点尸(-,0),且与双曲线有两个交点，故方程组

①

有两个不同的解，在方程组①中，消去y,整理得

伏|2-1)炉+2krx+2k\2—1=0②

若婷一1=0,直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，与题设矛盾.

故婷一19,即心|r1,

方程②的判别式为：Ai=(2ki2)2—4(k\2—l)(2^i2—l)=4(3A：i2—1)

设b的斜率为42,因为b过点P(,0),且与双曲线有两个交点，故方程组

③

有两个不同的解，在方程组③中消去)，，整理得

(它-1)/+2fa2x+2fo2—1=0(4)

同理有后一1#)4=4(3代2—1)

因为所以有八依=—1,于是h/2与双曲线各有两个交点的充要条件是：

解得

(一,-l)u(-1,-)U(,1)U(1,)

(2)双曲线＞2一/=1的顶点为(0,—1),(0,1),取4(0,1)时有：

k\=：解得心=

/.fa=—代入方程④得：x2+4x+3=0⑤

/2与双曲线的两个交点上(汨田)、B2(X2J2),

则Xl+X2=—4,X|X2=3

.••依2&|=

当取4(0,—1)时，由双曲线_/一/=1关于x轴对称知小&仁

过双曲线的一个顶点时，\A2B2\=

(3)令得出

........©

由②④可知：

把它们均代入⑥的变形:

并化简得

另解:

当时

当时

13.课堂练习

14.小结

15.课后练习

【课题】双曲线的简单几何性质⑹

【教学目标】双曲线的综合应用

【教学重点】

【教学难点】

16.复习引入

1、复习双曲线的性质：范围，对称性，顶点，实轴，虚轴，离心率等；

2、复习双曲的第二定义；

17.例题讲解

2、双曲线的综合应用

（四）关于直线对称问题

AA.双曲线3『一V=1上是否存在关于直线y=2x对称的两点A、B?若存在，试求出4、B

两点的坐标；若不存在，说明理由.

解：设A8：产一x+m,代入双曲线方程得11炉+43~4（m2+l）=0,

这里△=（4m）2vxi1L—4（m2+l）］=16（2m2+ll）＞0恒成立，

设A（xi，力）,8（4”）,AB的中点为M（孙儿）

贝!lxi+X2=-，/.X0=—，泗=—xo+m=,

若A、B关于直线）=2x对称，则M必在直线上，

=—；得m=1,

由双曲线的对称性知，直线产一x与双曲线的交点的4、8必关于直线产2r对称.

存在/、8且求得4（，一），6（-，）

（五）最值问题

BB.已知Fi、F2为双曲线的左右焦点，为双曲线内一点，点A在双

曲线上，则的最小值为。

解：如图，连结交双曲线右支于点

因为

要求的最小值,

只需求的最小值。

当A点落在时,最小,

最小值为

CC.在双曲线上求一点，使它到直线的距离最短，并求最

短距离。

解：与直线平行的双曲线的切线可设为

代入双曲线方程并令，可得

根据题意，取，因而,易得切点为

由于两平行线间的距离为

所以双曲线到直线的最短距离为

(六)双曲线的综合问题

DD.已知A、B是椭圆的一条弦，M(2,1)是AB中点，以M为焦点

,以桶圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB交于N(4,—1).

(1)设双曲线的离心率e,试将e表示为椭圆的半长轴长的函数.

(2)当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆的方程.

(3)求出椭圆长轴长的取值范围.

解：(1)设A(xi,yD,B(X2,y2),贝(ki+'2=4,yi+y2=2

在椭圆上，两式相减，得

kAH=

即加=2按，

y.a^^+c2,.,.Z?2=c2

椭圆的离心率然=，设椭圆的右准线为1,过N作何VJJ于V,则由双曲线定义及题

设知，

e=

⑵：e==

a=3或。=

当a=3时，b2=9,椭圆方程为

当用时，椭圆方程为

而此时点M(2,1)在椭圆外，不可能是椭圆弦AB的中点，舍去.

故所求椭圆方程为

⑶由题设知A3:y=—x+3,椭圆方程为/+2y2—〃2=0,

联立

得3/一12r+18—6/2=0,应有

zf=122—12(18—«2)>0,即标>6a>

由⑵知e=且存2.

当Va<2时，e=>1,

解得2—2<“，<a<2;

当a>2时，e=>1,

解得“V2+2,.\2<a<2+2

故2a的取值范围是(2,4)U(4,4+4)

EE.设k和r是实数，且r>0,使得：直线尸Q+1既与圆相切，又与双曲线/—产=5有

两个交点.

(1)求证:—k2=l,JEIkI^1;

(2)试问：直线y=kx+l能否经过双曲线/_/42的焦点?为什么？

解⑴因为直线y=kx+1与圆/+卢3相切，

所以有=r.=巴\'r2^0,—k2=l,

又由于直线产kx+1与双曲线启一产二产相交，

故交点坐标(x,y)满足方程组，

将①代入②得(1一142)/—210—(1+2=0③

因直线与双曲线有两个交点，且对任意实数k,直线不平行)，轴，

故③有两个不同的实数根，因此1-^4...|kIn

(2)双曲线的过点是Fi(—r,0),F2(r,0),若直线尸kx+1过点Fi,

则一rk+l=O,BPk=,

又由⑴结论一k2=l得k2=l与|kI声1矛盾.

故直线y=kx+1不可能过双曲线/一产=心的左焦点，

同理可得，直线产k肝1也不可能过双曲线y=/的右焦点.

(七)双曲线的应用

FF.运用双曲线定义解方程I|x-3I—|x+3II=2

解：该方程的解是以(一3,0),(3,0)为焦点，2为实轴长的双轴线与x轴交点的横坐标

，其方程为/—=1,令产0得户±1,即原方程的解为尸±1.

GG.运用双曲线图形解无理不等式:2