8.6.3 课时2 面面垂直的性质定理课件-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3课时2面面垂直的性质定理第八章立体几何初步1.理解平面与平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.能应用面面垂直的性质定理证明相关问题.3.理解“垂直”之间的相互转化.1.二面角及其相关概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．βαlOAB平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°．2.两个平面互相垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β．定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.图形语言表示符号语言表示

a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.线面垂直线线垂直面面垂直3.两个平面互相垂直的判定定理如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究一下其中一个平面中的一条直线与另一个平面具有什么位置关系？探究：如图，设α⊥β,α∩β=a,则β内任意一条直线b与a有什么位置关系？相应地，b与α有什么位置关系？为什么？

αβbab与a平行或相交.当b//a时，b//α;当b与a相交时，b与α也相交.特别地，当b⊥a

时，如图，设b与a的交点为A，过点A在α内作直线c⊥a,αβbacA则b，c所成的角就是二面角α-a-β的平面角.∵α⊥β，∴b⊥c.又∵b⊥a，a和c是α内的两条相交直线，∴b⊥α.平面与平面垂直的性质定理定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.图形语言表示αβal符号语言表示

α⊥β，α∩β=l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α.这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.面面垂直线面垂直

这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题.例如，装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线，只需在墙壁上画出地面与墙壁的交线的垂线即可.⑴定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直．⑵定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；⑶已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．三个条件缺一不可直线与平面垂直平面与平面垂直判定性质注

意定理:两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.

设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，则直线a与平面α具有什么位置关系？

我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直.因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两天直线重合.

如图，设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c．由平面与平面垂直的性质定理可知，b⊥β．因为过一点有且仅有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，因此a

⊂α．

如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．

对于两个平面互相垂直的性质，我们一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系.如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？

下面的例子就是其中的一些结果.【例1】如图，已知平面

⊥平面β,直线a满足a⊥β,

a

,判断a与

的位置关系．解：∴b⊥β，在

内作垂直于

与β交线的直线b，∵

⊥β，又a⊥β，∴a//

．∴a//b.ba

β又a

⊄

,即直线a与平面

平行．

如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．【例2】如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB．分析：要证明BC⊥平面PAB，需证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直线.

由已知条件易得BC⊥PA．再利用平面PAB⊥平面PBC，过点A作PB的垂线AE，由两个平面垂直的性质可得BC⊥AE．PABC【例2】如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB．证明：PABC如图，过点A作AE⊥PB，垂足为E，∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，∴AE⊥平面PBC，∵BC⊂平面PBC，∴AE⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC,又PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB.【例3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF⊥A1D,EF⊥AC，求证：EF//BD1．证明：连接A1C1，由于AC//A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1C1∩A1D＝A1，∴EF⊥平面A1C1D，①∴BB1⊥A1C1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，又∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，CDC1D1B1A1BAEF∵BB1∩B1D1=B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1，同理可证DC1⊥BD1，而A1C1∩DC1=C1，∴BD1⊥平面A1C1D，②由①②可得

EF//BD1．拓展：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，EF⊥A1D,EF⊥AC.求EF的长．解：连接A1C1，由于AC//A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1C1∩A1D＝A1，∴EF⊥平面A1C1D，

∴EF的长等于AC到平面A1C1D的距离，又AC//A1C1，A1C1⊂平面A1C1D，而AC到平面A1C1D的距离等于三棱锥C-A1C1D的高，设高为h,CDC1D1B1A1BAEF

直线、平面之间的位置关系可以相互转化：知识归纳1.两个平面互相垂直的性质定理图形语言表示符号语言表示

定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.α⊥β，α∩β=l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α.αβal2.证明线面垂直的两种方法线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直

证明：如图,设AC∩BD=G,连接EG,FG.又CF⊂平面ACEF，则EF=CG=CE.∴BD⊥平面ACEF，∴四边形CEFG为菱形，∴BD⊥AC.

∴CF⊥EG.∵四边形ABCD为正方形，又EF∥AC，又平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC，∴CF⊥平面BDE.∴BD⊥CF.又BD∩EG=G,解：⑴∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥平面AED.

∴CD⊥AD，又∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，DECAB又∵EA⊂平面AED，∴CD⊥EA.⑵如图