数学相交线与平行线单元练习 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第1页（共1页）北师大新版数学七年级下册第2章相交线与平行线一．选择题（共10小题）1．如图，OB⊥OD，OC⊥OA，∠BOC＝30°，则∠AOD为（）A．120° B．130° C．150° D．90°2．如图，图中∠1与∠2是同位角的是（）A．（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）3．如图，点F，E分别在线段AB和CD上，下列条件不能判定AB∥CD的是（）A．∠A+∠ADC＝180° B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠44．一张对边互相平行的纸条折成如图，EF是折痕，若∠EFB＝35°，则①∠C'EF＝35°；②∠AEC＝120°③∠BGE＝70°；④∠BFD＝100°．以上结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．已知：AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝20°，则∠α度数为（）A．60° B．80° C．85° D．75°6．将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1+∠3＝90° B．∠2+∠3＝90° C．∠2+∠4＝180° D．∠1＝∠27．将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°8．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝55°，则∠2﹣∠1＝（）A．35° B．40° C．45° D．55°9．如图，已知直线l1∥l2，若∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2的度数为（）A．35° B．30° C．36° D．0°10．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（）A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90° C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补二．填空题（共6小题）11．如图是小九同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段的长度．12．如图，直线l1∥l2，∠EAB＝125°，∠FBA＝85°，则∠1+∠2＝．13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝55°，则∠1＝°，∠2＝°．14．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）；（1）如图①，图中共有对对顶角；（2）如图②，图中共有对对顶角；（3）如图③，图中共有对对顶角；（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角；（5）若有2022条直线相交于一点，则可形成对对顶角．15．如图：已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数是．16．如图①：MA1∥NA2，图②：MA1∥NA3，图③：MA1∥NA4，图④：MA1∥NA5，…，则第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An+1＝°（用含n的代数式表示）．三．解答题（共9小题）17．已知一个角的余角比这个角的补角的14小1218．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题：（1）如图①，AB∥CD，BE∥DF，直接写出∠1与∠2的关系；（2）如图②，AB∥CD，BE∥DF，猜想∠1与∠2的关系，并说明理由；（3）由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角；（4）应用：两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，求出这两个角的度数分别是多少度？19．如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1＝∠2，∠3＝80°．（1）试证明∠B＝∠ADG；（2）求∠BCA的度数．20．如图，在△ABC中，E、G分别是AB、AC上的点，F、D是BC上的点，连接EF、AD、DG，AD∥EF，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AB∥DG；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝4∠B﹣20°，求∠B的度数．21．已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求证：AB∥CD．（在每步证明过程后面注明理由）22．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠B＝45°）．（1）如图1，若∠DCE＝40°，则∠ACE＝度，∠ACB＝度．（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系，并证明你的结论．（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，①如图2，当旋转至BE∥AC时，则∠ACE＝度．②如图3，继续旋转至BC∥DA时，求∠ACE的度数．23．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）若∠BCD＝110°，则∠ACE＝．（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；（3）若按住三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，试探究∠ACE等于多少度时，CE∥AB，请画出图，并说明理由．24．（1）如图1，已知直线l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在AB上，∠1+∠2＝∠3，则l1和l2的位置关系是．（2）如图2，点A在B处北偏东40°方向，在C处的北偏西45°方向，则∠BAC＝．（3）如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°，试说明：AB∥CD；并探究∠2与∠3的数量关系．25．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．

北师大新版数学七年级下册第2章相交线与平行线参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CCDBDCBBBC一．选择题（共10小题）1．如图，OB⊥OD，OC⊥OA，∠BOC＝30°，则∠AOD为（）A．120° B．130° C．150° D．90°【分析】先根据OC⊥OA，∠BOC＝30°，即可得出∠AOB＝90°﹣30°＝60°，再根据OB⊥OD，即可得到∠AOD的度数．【解答】解：∵OC⊥OA，∠BOC＝30°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，又∵OB⊥OD，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝60°+90°＝150°，故选：C．【点评】本题主要考查了余角与补角，解题时注意：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．2．如图，图中∠1与∠2是同位角的是（）A．（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）【分析】根据同位角的定义作答．【解答】解：（1）（2）（4）中，∠1与∠2是同位角；图（3）中，∠1与∠2不是同位角，因为这两个角的边所在的直线没有一条公共边．故选：C．【点评】两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在两条被截直线的同侧的两个角是同位角．如果两个角是同位角，那么它们一定有一条边在同一条直线上．3．如图，点F，E分别在线段AB和CD上，下列条件不能判定AB∥CD的是（）A．∠A+∠ADC＝180° B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠4【分析】根据平行线的判定条件进行分析即可．【解答】解：A、当∠A+∠ADC＝180°时，由同旁内角互补，两直线平行得AB∥CD，故A不符合题意；B、当∠2＝∠3时，由内错角相等，两直线平行得AB∥CD，故B不符合题意；C、当∠1＝∠4时，由内错角相等，两直线平行得AB∥CD，故C不符合题意；D、当∠3＝∠4时，由同位角相等，两直线平行得BF∥BE，故D符合题意，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．4．一张对边互相平行的纸条折成如图，EF是折痕，若∠EFB＝35°，则①∠C'EF＝35°；②∠AEC＝120°③∠BGE＝70°；④∠BFD＝100°．以上结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用平行线的性质，折叠的性质对各结论进行分析即可．【解答】解：由折叠可得：∠DFE＝∠D'FE，∠C'EF＝∠GEF，∵AC'∥BD'，∠EFB＝35°，∴∠C'EF＝∠EFB＝35°，故①结论正确；∠C'EF+∠D'FE＝180°，∠C'EF＝∠BGE，∴∠D'FE＝180°﹣∠C'EF＝145°，∠GEF＝35°，∴∠C'EG＝∠CEF+∠GEF＝70°，∴∠BGE＝70°，故③结论正确；∠AEC＝180°﹣∠C'EF＝110°，故②结论错误；∠DFE＝135°，∴∠BFD＝∠DFE﹣∠EFB＝110°，故④结论错误．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．5．已知：AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝20°，则∠α度数为（）A．60° B．80° C．85° D．75°【分析】过点E作EF∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠B+∠BEF＝180°，再根据两直线平行，内错角相等得出∠C＝∠FEC，然后整理即可得解．【解答】解：过点E作EF∥CD，∵∠C＝20°，EF∥CD，∴∠C＝∠FEC＝20°（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），∠ABE＝125°，∴∠B+∠BEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）即125°+∠BEF＝180°，∴∠BEF＝55°，∴∠α＝∠BEF+∠FEC＝75°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，作辅助线构造出平行线是解题的关键．6．将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1+∠3＝90° B．∠2+∠3＝90° C．∠2+∠4＝180° D．∠1＝∠2【分析】根据平行线的性质定理求解．【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，∴选项D不符合题意；∵∠1＝∠2，∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴选项A不符合题意；∴∠2+∠3＝90°，∴选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，但∠3≠∠2∴∠2+∠4≠180°选项C符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．7．将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】根据平行线的性质得到∠ABD＝∠EDF＝45°，则∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC，代入数据即可求出．【解答】解：∵AB∥FC，∴∠ABD＝∠EDF＝45°，又∵∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC，∴∠CBD＝45°﹣30°＝15°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，熟悉一副直角三角板各角的度数是解题的关键．8．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝55°，则∠2﹣∠1＝（）A．35° B．40° C．45° D．55°【分析】由平行得∠DEF＝∠EFG＝55°，由折叠得∠DEG，从而得到∠1和∠2，然后求得∠2﹣∠1．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠DEG，∠DEF＝∠EFG＝55°，由折叠得，∠DEF＝∠GEF，∴∠DEG＝2∠DEF＝2×55°＝110°，∴∠2＝110°，∠1＝180°﹣110°＝70°，∴∠2﹣∠1＝110°﹣70°＝40°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等的性质是解决本题的关键．9．如图，已知直线l1∥l2，若∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2的度数为（）A．35° B．30° C．36° D．0°【分析】由l1∥l2，知∠CEA+∠BFD＝180°，根据∠CEA＝∠CAB﹣∠1，∠DFB＝∠ABD﹣∠2得∠CAB﹣∠1+∠ABD﹣∠2＝180°，继而可得答案．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠CEA+∠BFD＝180°，∵∠CEA＝∠CAB﹣∠1，∠DFB＝∠ABD﹣∠2且∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，∴∠CAB﹣∠1+∠ABD﹣∠2＝180°，∴125°﹣∠1+85°﹣∠2＝180°，∴∠1+∠2＝30°，故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补的性质．10．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（）A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90° C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补【分析】利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断．【解答】解：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠3＝∠FEC，∵∠1+∠AEB+∠3+∠FEC＝180°，∴2（∠1+∠3）＝180°，即∠1+∠3＝90°，故A不符合题意；∴∠2＝90°，故B不符合题意，C符合题意；∵∠1+∠AEC＝180°，∴∠1与∠AEC互补，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了图形的翻折变换，余角，补角的定义，掌握图形的翻折变换的特征是解决问题的关键．二．填空题（共6小题）11．如图是小九同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段BP的长度．【分析】根据垂线段最短解答即可．【解答】解：由图可知，他的跳远成绩是线段BP的长．故答案为：BP．【点评】本题考查的是垂线段最短，熟知从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短是解题的关键．12．如图，直线l1∥l2，∠EAB＝125°，∠FBA＝85°，则∠1+∠2＝30°．【分析】设AB交l1于点M，交l2于点N．由l1∥l2，得∠EMA+∠FNB＝180°．然后根据三角形内角和定理得∠1+∠EMA+∠2+∠FNB＝∠EAB+∠FBA，所以∠1+∠2+（∠EMA+∠FNB）＝210°，故∠1+∠2＝30°．【解答】解：如图，设AB交l1于点M，交l2于点N．∵l1∥l2，∴∠EMA+∠FNB＝180°．又∵∠1+∠EMA＝180°﹣∠EAM＝180°﹣（180°∠EAB）＝∠EAB，∠2+∠FNB＝180°﹣∠FBN＝180°﹣（180°﹣∠FBA）＝∠FBA，∴∠1+∠EMA+∠2+∠FNB＝∠EAB+∠FBA∴∠1+∠2+（∠EMA+∠FNB）＝125°+85°＝210°．∴∠1+∠2+180°＝210°．∴∠1+∠2＝30°．故答案为：30°．【点评】本题主要考查平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝55°，则∠1＝70°，∠2＝110°．【分析】由折叠的性质可得，∠DEF＝∠GEF，根据平行线的性质可得，∠DEF＝∠EFG＝55°，根据平角的定义即可求得∠1，从而再由平行线的性质求得∠2．【解答】解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°，∴∠DEF＝∠FEG＝55°，∠1+∠2＝180°，由折叠的性质可得，∠GEF＝∠DEF＝55°，∴∠1＝180°﹣∠GEF﹣∠DEF＝180°﹣55°﹣55°＝70°，∴∠2＝180°﹣∠1＝110°．故答案为：70；110．【点评】此题主要考查折叠的性质，平行线的性质和平角的定义．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．14．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）；（1）如图①，图中共有2对对顶角；（2）如图②，图中共有6对对顶角；（3）如图③，图中共有12对对顶角；（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成n（n﹣1）对对顶角；（5）若有2022条直线相交于一点，则可形成4086462对对顶角．【分析】由图示可得，（1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角；（2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角，（3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角；（4）依次可找出规律，若有n条直线相交于一点，则可形成n（n﹣1）对对顶角；（5）将n＝2022代入n（n﹣1），可得2022条直线相交于一点可形成的对顶角的对数．【解答】解：（1）如图①，图中共有1×2＝2对对顶角，故答案为：2；（2）如图②，图中共有2×3＝6对对顶角，故答案为：6；（3）如图③，图中共有3×4＝12对对顶角，故答案为：12；（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成n（n﹣1）对对顶角，故答案为：n（n﹣1）；（5）若有2022条直线相交于一点，则可形成（2022﹣1）×2022＝4086462对对顶角，故答案为：4086462；【点评】本题考查对顶角，解答的关键是明确若有n条直线相交于一点，则可形成（n﹣1）n对对顶角．15．如图：已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数是20°．【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∠CDE＝130°，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故答案为：20°．【点评】本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．16．如图①：MA1∥NA2，图②：MA1∥NA3，图③：MA1∥NA4，图④：MA1∥NA5，…，则第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An+1＝180•n°（用含n的代数式表示）．【分析】分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．【解答】解：如图①中，∠A1+∠A2＝180°＝1×180°，如图②中，∠A1+∠A2+∠A3＝360°＝2×180°，如图③中，∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°＝3×180°，…，第个图，∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An+1学会从＝n•180°，故答案为180•n【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是记住平行线的性质，学会从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型．三．解答题（共9小题）17．已知一个角的余角比这个角的补角的14小12【分析】设这个角的度数为x，根据互余的两个角的和等于90°表示出它的余角，互为补角的两个角的和等于180°表示出它的补角，然后根据这个角的余角和补角的关系列出方程求解即可．【解答】解：设这个角的度数为x，则它的余角为90°﹣x，它的补角为180°﹣x，由题意得，90°﹣x=14（180°﹣x）﹣解得x＝76°，答：这个角的度数是76°．【点评】本题考查了余角和补角，熟记余角和补角的概念并列出方程是解题的关键．18．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题：（1）如图①，AB∥CD，BE∥DF，直接写出∠1与∠2的关系∠1＝∠2；（2）如图②，AB∥CD，BE∥DF，猜想∠1与∠2的关系，并说明理由；（3）由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角相等或互补；（4）应用：两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，求出这两个角的度数分别是多少度？【分析】（1）根据平行线的性质易得∠1＝∠3，∠2＝∠3，则∠1＝∠2；（2）根据平行线的性质易得∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，所以∠1+∠2＝180°；（3）由（1）和（2）的结论进行回答；（4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为3x﹣60°，根据（3）的结论进行讨论：x＝3x﹣60°或x+3x﹣60°＝180°，然后分别解方程求出x，则可得到对应两个角的度数．【解答】解：（1）∠1＝∠2．理由如下：∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，∵BE∥DF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2；（2）∠1+∠2＝180°．理由如下：∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，∵BE∥DF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠1+∠2＝180°；（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；故答案为：相等或互补；（4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为3x﹣60°，当x＝3x﹣60°，解得x＝30°，则这两个角的度数分别为30°，30°；当x+3x﹣60°＝180°，解得x＝60°，则这两个角的度数分别为60°，120°．综上所述：这两个角的度数分别为30°，30°或60°，120°．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．19．如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1＝∠2，∠3＝80°．（1）试证明∠B＝∠ADG；（2）求∠BCA的度数．【分析】（1）由CD⊥AB，FE⊥AB，则CD∥EF，则∠2＝∠BCD，从而证得BC∥DG，即∠B＝∠ADG；（2）由CD∥EF，则∠3＝∠BCG．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD，∴BC∥DG，∴∠B＝∠ADG；（2）解：∵DG∥BC，∴∠3＝∠BCG，∵∠3＝80°，∴∠BCA＝80°．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．20．如图，在△ABC中，E、G分别是AB、AC上的点，F、D是BC上的点，连接EF、AD、DG，AD∥EF，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AB∥DG；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝4∠B﹣20°，求∠B的度数．【分析】（1）根据AD∥EF可得∠BAD+∠2＝180°，根据等量代换可得∠BAD＝∠1，再根据平行线的判定方法“内错角相等，两直线平行”即可求解；（2）根据平行线，角平分线的性质可得∠1＝∠GDC＝∠B，再根据∠2＝4∠B﹣20°，∠1+∠2＝180°进行计算即可求解．【解答】（1）证明：∵AD∥EF，∴∠BAD+∠2＝180°，又∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD＝∠1，∴AB∥DG．（2）解：∵DG是∠ADC的平分线，∴∠1＝∠GDC，∵AB∥DG，∴∠GDC＝∠B，又∵∠1＝∠GDC，∴∠1＝∠GDC＝∠B，∵∠2＝4∠B﹣20°，∠1+∠2＝180°．∴180°﹣∠1＝4∠B﹣20°，∴180°﹣∠B＝4∠B﹣20°，∴∠B＝40°．【点评】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质的综合，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．21．已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求证：AB∥CD．（在每步证明过程后面注明理由）【分析】结合图形，利用平行线的性质及判定逐步分析解答．【解答】证明：∵∠1与∠CGD是对顶角，∴∠1＝∠CGD（对顶角相等），∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠CGD+∠2＝180°（等量代换），∴AE∥FD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），又∵∠A＝∠D（已知），∴∠BFD＝∠D（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【点评】本题利用了平行线的判定和性质，还利用了对顶角相等，等量代换等知识．22．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠B＝45°）．（1）如图1，若∠DCE＝40°，则∠ACE＝50度，∠ACB＝140度．（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系，并证明你的结论．（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，①如图2，当旋转至BE∥AC时，则∠ACE＝45度．②如图3，继续旋转至BC∥DA时，求∠ACE的度数．【分析】（1）根据三角板中的特殊角，以及互余的意义可求答案；（2）利用∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE，得出结论；（3）①由平行线的性质，得出两直线平行，内错角相等可得答案；②利用平行线的性质和三角板的特殊角以及角的和差关系得出答案．【解答】解：（1）∵∠DCE＝40°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝50°，∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝50°+90°＝140°，故答案为：50°，140°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°，理由是：∵∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE，∴∠ACB+∠DCE＝180°；（3）①∵BE∥AC，∴∠ACE＝∠E＝45°；故答案为：45°；②∵BC∥DA，∴∠A+∠ACB＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠BCE＝90°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝120°﹣90°＝30°．【点评】本题考查平行线的性质，三角板的特殊内角，掌握平行线的性质和三角板的内角度数是解决问题的关键．23．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）若∠BCD＝110°，则∠ACE＝70°．（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；（3）若按住三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，试探究∠ACE等于多少度时，CE∥AB，请画出图，并说明理由．【分析】（1）依据∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；（2）依据∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．【解答】解：（1）∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°，∵∠BCD＝110°，∴∠ACE＝70°，故答案为：70°；（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；（3）分两种情况：①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝30°，∴∠A＝∠ACE＝30°，∴AB∥CE．②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，∴∠BCE＝∠B＝60°，∴AB∥CE．综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．24．（1）如图1，已知直线l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在AB上，∠1+∠2＝∠3，则l1和l2的位置关系是l1∥l2．（2）如图2，点A在B处北偏东40°方向，在C处的北偏西45°方向，则∠BAC＝85°．（3）如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°，试说明：AB∥CD；并探究∠2与∠3的数量关系．【分析】（1）在图1中，作PM∥AC，利用平