2025版数学中考《二轮总复习微专题学案》二轮讲义38 简单几何证明与计算含答案或解析

微专题38简单几何证明与计算类型一与三角形有关的证明与计算1.如图，已知△ABC是锐角三角形，过点A作AD⊥BC于点D，延长DA至点E，使DE＝BC，点F在边AC上，连接DF，EF，使∠CDF＝∠BAD，FD＝AB.求证：FE＝AC.第1题图2.（2024浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.（1）求BC的长；（2）求sin∠DAE的值.第2题图3.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE⊥DF，∠DEF＝45°.第3题图（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）若AD＝1，AF＝2，求EC的长.类型二与四边形有关的证明与计算（2021.23）考向1与图形性质有关1.如图，在正方形ABCD的外侧，以CD边为腰作等腰△CDE，使得DE＝CD，连接AE.（1）求证：∠DAE＝∠DEA；（2）若DE＝4，∠CDE＝30°，求∠DAE的度数和△ADE的周长.第1题图2.（2024东莞一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，∠EAB＝∠EBC.（1）求证：△ABE∽△BEC；（2）若AB＝4，DE＝3，求BE的长.第2题图3.如图，在△ABC中，D是AB上一点，DE垂直平分AC，交AC于点E，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接CD，AF，BE.（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若∠ABC＝90°，BE＝5，BC＝6，求△BDC的面积.第3题图考向2与图形变化有关（2021.23）1.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，C'为点C的对应点，C'B与AD交于点E.（1）求证：BE＝DE；（2）若BE＝2EC'，求∠DBC的度数.第1题图2.（2024梅州模拟）如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝3，PB＝2，PC＝1.将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP'，连接AP'，PP'；（1）求证：△PBC≌△P'BA；（2）求∠BPC的度数.第2题图3.在正方形ABCD中，BD为对角线，点E在BD上（不与点B，D重合），作点E关于直线AB的对称点F，连接DF，且G为DF的中点，连接AG，EG.（1）若DF平分∠ADB，求证：EG⊥DF；（2）若DE＝4，求线段AG的长.第3题图

类型一与三角形有关的证明与计算1.证明：∵AD⊥BC，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠ADF＋∠CDF＝90°，∵∠CDF＝∠BAD，∴∠ABD＝∠ADF，在△ABC和△FDE中，AB＝∴△ABC≌△FDE(SAS)，∴FE＝AC.2.解：(1)∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，∴由勾股定理，得BD＝AB2－∵tan∠ACB＝1，∴CD＝AD＝6，∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14；(2)∵AE是BC边上的中线，∴BE＝CE＝7，∴DE＝BD－BE＝1，在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE＝AD2＋∴sin∠DAE＝DEAE＝373.(1)证明：∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠BDE＋∠BED＝180°－∠B＝135°，∵∠DEF＝45°，∴∠BED＋∠CEF＝180°－∠DEF＝135°，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEF；(2)解：如解图，过点E作EH⊥AB，垂足为点H，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∵∠DEF＝45°，∴DE＝DF，∵∠ADF＋∠EDB＝90°，∠ADF＋∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠EDB，∵∠A＝∠EHD＝90°，∴△ADF≌△HED，∴AD＝EH＝1，AF＝DH＝2，∵∠BHE＝90°，∠B＝45°，∴BH＝HE＝1，∴BE＝2BH＝2，AB＝AD＋DH＋HB＝4，∵BC＝2AB＝42，∴EC＝BC－BE＝32.第3题解图类型二与四边形有关的证明与计算考向1与图形性质有关1.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∵DE＝CD，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA；(2)解：如解图，过点D作DF⊥AE于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝120°，由(1)知，∠DAE＝∠DEA，AD＝DE＝4，∴∠DAE＝∠DEA＝30°，AF＝32AD＝23，AF＝EF∴AE＝2AF＝43，∴△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝8＋43.第1题解图2.(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，又∵∠EAB＝∠EBC，∴△ABE∽△BEC；(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝4，∵DE＝3，∴CE＝1，由(1)知△ABE∽△BEC，∴ABBE＝BE∴BE2＝AB·CE＝4×1＝4，∴BE＝2(负值已舍去).3.(1)证明：∵DE垂直平分AC，∴AE＝CE，∠AED＝∠CEF＝90°，∵CF∥AB，∴∠DAE＝∠FCE，在△AED和△CEF中，∠DAE∴△AED≌△CEF(ASA)，∴DE＝FE，∴四边形ADCF是平行四边形，∵DE⊥AC，∴四边形ADCF是菱形；(2)解：∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，∴AE＝CE＝BE＝5，∴AC＝10，在Rt△ABC中，AB＝AC2－BC由(1)知，四边形ADCF是菱形，∴AD＝CD，设BD＝x，则AD＝CD＝8－x，在Rt△CDB中，CD2＝BD2＋CB2，即(8－x)2＝x2＋62，解得x＝74，即BD＝7∴S△BDC＝12BD·BC＝12×74×6考向2与图形变化有关1.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB，由折叠的性质得，∠CBD＝∠C'BD，∴∠DBE＝∠ADB，∴BE＝DE；(2)解：∵BE＝DE，BE＝2EC'，∴DE＝2EC'.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，由折叠的性质得，∠DC'E＝∠BCD＝90°，∴在Rt△DEC'中，sin∠EDC'＝EC'DE＝∴∠EDC'＝30°，∴∠DEC'＝60°，∴∠BED＝120°，∵BE＝DE，∴∠DBC＝∠DBE＝12(180°－∠BED)＝302.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP'，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，BP＝BP'，∠P'BP＝90°，∴∠P'BA＋∠ABP＝∠ABP＋∠PBC，∴∠P'BA＝∠PBC，在△PBC和△P'BA中，BP＝∴△PBC≌△P'BA(SAS)；(2)解：由(1)知，△PBC≌△P'BA，∵PA＝3，PB＝2，PC＝1，∴P'A＝PC＝1，PP'＝2PB＝22，∴P'A2＋P'P2＝1＋8＝32＝PA2，∴∠AP'P＝90°，∵BP＝BP'，∠P'BP＝90°，∴∠BP'P＝45°，∴∠BPC＝∠AP'B＝∠AP'P＋∠BP'P＝90°＋45°＝135°.3.(1)证明：如解图，连接EF交AB于点H，由对称的性质，得EF⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥AD，∴AD∥EF，∴∠ADF＝∠F.∵DF平分∠ADB，∴∠ADF＝∠BDF，∴∠F＝∠BDF，∴△DEF为等腰三角形.又∵G是DF的中点，∴EG⊥DF；第3题解图(2)解：如