2025版数学中考《二轮总复习微专题学案》二轮讲义29 与圆有关的位置关系含答案或解析

微专题29与圆有关的位置关系考点精讲构建知识体系考点梳理1.点与圆的位置关系点在圆外d＝OA①r点在圆上d＝OB②r点在圆内d＝OC③r2.直线与圆的位置关系(2024年首次涉及考查)位置关系相离相切相交d与r的关系d④rd⑤rd⑥r交点的个数没有公共点有且只有一个公共点有两个公共点示意图3.切线的性质与判定(6年6考)(1)性质定理：圆的切线⑦于过切点的半径(或直径)(2)性质：①切线和圆只有一个公共点；②圆心到切线的距离等于圆的半径；③切线垂直于过切点的半径；④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(3)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(4)判定方法：①直线与圆公共点已知：连半径，证垂直；②直线与圆公共点未知：作垂直，证半径4.切线长与切线长定理图示切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点与⑧之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长切线长定理从圆外一点可以引圆的⑨条切线，它们的切线长⑩，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.(探索并证明切线长定理*选学)5.三角形的内切圆(1)定义：与三角形各边都相切的圆(2)圆心O：内心(三角形的内切圆圆心或三角形三条⑪的交点)(3)性质：三角形的内心到三角形⑫的距离相等(4)角度关系：如图③，图④，∠BOC＝90°＋12∠【知识拓展】任意三角形的内切圆直角三角形的内切圆图③图④利用等面积法可得：r＝2利用等面积法可得：r＝ab利用切线长定理可得：r＝a练考点1.已知☉O的半径为3，P为平面内一点，OP＝4，则点P在☉O.(填“内”“上”或“外”)2.已知圆的半径为3，圆心到某直线的距离为2，则此直线与圆的位置关系为.(填“相交”“相切”或“相离”)3.如图，AC是☉O的直径.(1)若BC是☉O的切线，则∠ACB＝°；(2)若AB＝5，BC＝4，AC＝3，则BC与☉O.(填“相交”“相切”或“相离”)第3题图4.如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，连接AB，OA，OB，PO，PO交☉O于点C，交AB于点D，∠OAB＝30°.第4题图(1)∠APB的度数为；(2)若OA＝4，则OP的长为.5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝.第5题图6.如图，△ABC的外接圆半径为5，其圆心O恰好在中线CD上，若AB＝CD，则△ABC的面积为.第6题图高频考点考点与切线有关的证明及计算(6年6考)一、切线的判定(6年4考)方法解读1.利用平行证垂直：当需要证明的切线有一条垂线时，可证明过切点的半径与这条垂线平行.2.利用等角转换证垂直：题干中直接给出角度关系或给出切线与弦的夹角等于某个圆周角时，常通过等角代换来证明.3.利用三角形全等证垂直：常在“共点双切线型”图形中运用，通过连接圆心与两条切线的交点构造全等三角形来证得垂直.4.作垂直，证半径：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径.方法一连半径、证垂直例1(利用平行证垂直)核心设问如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的☉O交BC于点E，过点E作EF⊥AB于点F.求证：EF是☉O的切线.[2019广东24(2)题考查]例1题图例2(利用等角转换证垂直)如图，AB是☉O的直径，C是圆上一点，过点C的直线CD交BA延长线于点D，且∠DCA＝∠B，求证：CD是☉O的切线.例2题图例3(利用三角形全等证垂直)核心设问如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作☉O，交AB于点D，点E为AC上一点，连接DE.若DE＝CE，求证：DE是☉O的切线.[2020广东22(1)题考查]例3题图方法二作垂直、证半径例4核心设问如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC上一点O为圆心，OC长为半径作☉O，连接BO，若BO平分∠ABC，求证：AB是☉O的切线.[2024广东17(2)题考查]例4题图二、切线性质的相关证明及计算(6年2考)方法解读1.证明角相等的方法：(1)根据直角三角形中两锐角互余，进行等量代换找到对应的角；(2)根据平行线与等腰三角形的性质，进行等量代换找到相对应的角；(3)通过证明两个三角形全等，得到对应的角相等.2.求线段长的方法：(1)若题干中含有30°，45°，60°等特殊角度或出现三角函数sin、cos、tan时，考虑利用三角函数求线段长；(2)若题干无特殊角或三角函数，观察图形发现已知边与所求边分别所在的三角形存在相似关系，考虑作辅助线将所求线段转化到直角三角形中，利用相似三角形求线段长.3.证明线段平行的方法：(1)通过角之间的等量代换，利用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的方法证明两直线平行.(2)设法将两条线段放在同一个三角形中，利用中位线(或等分点)的性质证明两直线平行.例5如图①，在△ABC中，∠A＝90°，E是BC上一点，以BE为直径的☉O与AC相切于点D，连接BD，DE.例5题图①(1)求证：∠ABD＝∠CDE；(2)求证：BD平分∠ABC；(3)若∠ABD＝30°，AD＝3，求OC的长；(4)如图②，若F为CD的中点，连接EF，∠C＝30°，求证：EF∥AB.例5题图②真题及变式命题点切线的判定及性质(6年6考) 1.(2020广东22题8分)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是☉O的直径，CO平分∠BCD.(1)求证：直线CD与☉O相切；(2)如图②，记(1)中的切点为E，P为优弧AE上一点，AD＝1，BC＝2.求tan∠APE的值.第1题图2.(2019广东24题9分·北师九下习题改编)如图①，在△ABC中，AB＝AC，☉O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交☉O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF.(1)求证：ED＝EC；(2)求证：AF是☉O的切线；(3)如图②，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长.第2题图新考法3.[真实问题情境]陀螺(如图①)是中国民间最早的娱乐工具之一，历经千年发展成为备受世界喜爱的一项运动.玩木制陀螺时需要掌握一定的技巧，其中发动陀螺尤为重要.某数学兴趣小组画出如图②所示的示意图，陀螺的截面图记作☉O，将鞭绳缠绕陀螺后余下的鞭绳为AC，点C为接头，绳杆为PC，发动陀螺时需将手放在优弧AB处固定陀螺，连接AB，AP，AP交☉O于点D，连接BD且∠ABC＝∠ADB.(1)求证：PC与☉O相切；(2)实践中发现，当AC与☉O相切于点A，且AC⊥PC时，发动陀螺更加稳定，若陀螺半径r＝4cm，∠BAP＝30°，求绳杆CP的长度.第3题图

考点精讲①＞②＝③＜④＞⑤＝⑥＜⑦垂直⑧切点⑨两⑩相等⑪角平分线⑫三条边练考点1.外2.相交3.(1)90；(2)相切4.(1)60°；(2)85.16.32高频考点例1证明：如解图，连接OE，∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠C.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠OEC＝∠B，∴OE∥AB.∵EF⊥AB，∴EF⊥OE，∵OE是☉O的半径，∴EF是☉O的切线.例1题解图例2证明：如解图，连接OC，∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.又∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO，∵∠DCA＝∠B，∴∠DCO＝∠ACO＋∠DCA＝∠CAB＋∠B＝90°，即CD⊥OC.∵OC是☉O的半径，∴CD是☉O的切线.例2题解图例3证明：如解图，连接OD，OE，在△ODE与△OCE中，OD＝∴△ODE≌△OCE(SSS)，∴∠ODE＝∠OCE＝90°，即OD⊥DE，∵OD是☉O的半径，∴DE是☉O的切线.例3题解图例4证明：如解图，过点O作OD⊥AB于点D，∴∠ODB＝∠OCB＝90°，∴OC⊥BC，∵BO平分∠ABC，∴OD＝OC，∵OC是☉O的半径，∴OD是☉O的半径，∴AB是☉O的切线.例4题解图例5(1)证明：∵BE为☉O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠ADB＋∠CDE＝90°，∵∠A＝90°，∴∠ABD＋∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠CDE；(2)证明：如解图①，连接OD，∵AC是☉O切线，∴∠ODC＝90°，∵∠A＝90°，∴AB∥OD，∴∠ABD＝∠ODB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ABD＝∠OBD，∴BD平分∠ABC；例5题解图①(3)解：如解图①，连接OD，由(1)知∠ABD＝∠CDE，由(2)知∠ABD＝∠OBD，∵∠A＝90°，∠ABD＝30°，AD＝3，∴∠OBD＝∠ODB＝∠CDE＝30°，BD＝23，∴∠DOC＝60°，∵AC与☉O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∴∠C＝90°－60°＝30°，∴∠CDE＝∠C，∴DE＝CE，∵∠BDE＝90°，∴BE＝33cos30°＝4，DE＝12BE∴CE＝DE＝2，∴OC＝4；(4)证明：如解图②，连接OD，由(2)得∠ODC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠DOC＝60°，∵OD＝OE，∴△ODE为等边三角形，∴∠ODE＝60°，∴∠CDE＝90°－60°＝30°，∴∠CDE＝∠C，∴CE＝DE＝OE，∴点E是OC的中点.∵点F是CD的中点，∴EF是△ODC的中位线，∴EF∥OD，由(2)知，OD∥AB，∴EF∥AB.例5题解图②真题及变式1.(1)证明：如解图①，过点O作OE⊥CD于点E，∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠OBC＝90°，∴∠OBC＝∠OEC，∵CO平分∠BCD，∴∠1＝∠2，又∵CO＝CO，∴△BOC≌△EOC(AAS)，∴OE＝OB，∵OB为☉O的半径，∴OE为☉O的半径，又∵OE⊥CD，∴直线CD与☉O相切； (3分)(2)解：如解图②，连接OD，OE，由(1)得OE＝OB，∴OE＝OA，∵∠OAD＝∠OED＝90°，OD＝OD，∴Rt△AOD≌Rt△EOD(HL)，∴DE＝AD＝1，∠3＝∠4＝12∠AOE∴∠APE＝12∠AOE＝∠3由(1)得△BOC≌△EOC，∴CE＝BC＝2，∴CD＝DE＋CE＝3. (5分)过点D作DF⊥BC，垂足为点F，则四边形ABFD为矩形，∴CF＝BC－BF＝BC－AD＝1，在Rt△DFC中，DF＝CD2－C∴OA＝12AB＝12DF＝∴tan∠APE＝tan∠3＝ADOA＝12＝22. 第1题解图一题多解法如解图③，连接BE，AE，并延长AE交BC的延长线于点F，由题意得∠APE＝∠ABE，∵∠DAB＝90°，AB为☉O直径，∴AD与☉O相切，∴DE＝AD＝1，同理可得CE＝CB＝2，∵AD∥BC，∴AEFE＝DECE＝12，即FE＝2AE， ∵AB是☉O的直径，∴BE⊥AF，∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠FBE＝90°，∴∠BAE＝∠FBE，∴△ABE∽△BFE，∴AEBE＝BEFE＝BE2AE，即BE2＝∴AEBE＝22(负值已舍去∴tan∠APE＝tan∠ABE＝AEBE＝22. (8第1题解图③2.(1)证明：如解图①，∵AB＝AC，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3.∵∠3＝∠4，∴∠2＝∠4，∴ED＝EC； (2分)第2题解图①(2)证明：如解图②，连接OA，OB，OC，∵OB＝OC，AB＝AC，∴AO是BC的垂直平分线，∴AO⊥BC.∵由(1)得∠2＝∠3，∴AB∥DF.∵AB＝AC＝CF，∴四边形ABCF是平行四边形，∴AF∥BC，∴AO⊥AF.∵OA是☉O的半径，∴AF是☉O的切线； (5分)第3题解图②(3)解：如解图③，连接AG，∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，∴∠1＝∠5.∵G是△ADC的内心，∴∠7＝∠8，∵∠BAG＝∠5＋∠7，∠6＝∠1＋∠8，∴∠BAG＝∠6，∴AB＝BG.∵∠3＝∠3，∠1＝∠5，∴△ABE∽△CBA，∴ABBE＝CB∴AB2＝BE·BC＝25，∴AB＝5(负值已舍去)，∴BG＝5. (9分)第3题解图③3.(1)证明：如解图①，连接OA，OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵∠ADB＝12∠AOB＝12(180°－2∠OBA)＝90°－∠∴∠ADB＋∠OBA＝90°，∵∠ABC＝∠ADB，∴∠ABC＋∠OBA＝90°，∴∠OBC＝90°，即OB⊥PC，∵OB是☉O的半径，∴PC与☉O相切；第3题解图(2)解：如解图②，连接OA，OB，OD，∵AC与☉O相切于点A，OA是☉O的半径，∴AC⊥PC，由(1)知，OB⊥BC，∴∠