2023年统计学笔记精修版

绪论

第一节记录学的含义和作用

一、什么是记录学

1.记录学的含义

记录学是有效搜集、处理、分析和解释数据，发现规律，以便更好决策日勺一门措施论学科。

2.分析数据的措施有描述记录、推断记录。

⑴描述记录

①描述记录是将所搜集的数据处理后,用数值、表格或图形形式体现的有用信息。

②描述记录是基础,它为推断记录、记录征询、记录决策提供必要

⑵推断记录就是根据样本数据特性去估计或检查总体的数据特性。

二、记录学的作用和重要性

1.记录学的作用

人们用数据发现的规律做出更好的决策。

三、要发现规律,对记录数据一般有规定:客观性、合用性、精确性和及时性。

记录学是怎样处理实际问题的？

记录学处理实际问题的基本思绪是：

①提出与记录有关的实际问题；

②建立有效II勺指标体系；

③搜集数据；

④选用或发明有效的记录措施处理、显示所搜集数据的特性；

⑤根据所搜集数据的特性、结合定性、定量知识作出总体特性的合理推断:

⑥根据推断给出更好决策H勺提议;

不处理问题时,反复第②・⑥步。

第二节记录学的基本概念

♦一、总体、单位和样本

1.总体

记录总体是根据一定目确实定口勺，由客观存在口勺、具有某种同质性口勺许多种别事物构成日勺整

体。

⑴同质性是确定记录总体口勺基本原则，它是根据记录的研究目的而定的J。研究目的不一样,

所确定的总体也不一样，其同质性的I意义也随之变化。

⑵记录总体还应具有大量性,即记录总体应应当由足够数量的同质性单位构成。

2.总体单位（简称单位）是构成总体的各个个体。如经典案例1中英军R勺每架战机；事例

4中时每个居民。

3.由总体的部分单位构成的集合称为样本（又称子样）。构成样本的单位称为样品，样本中

样品的数目称为样本容量。

4.记录学处理问题的目的是认识总体的数据特性。不过，当调查是破坏性口勺，或者出于成

本、时间等原因考虑时，不必要或不也许对构成总体的所有单位都进行调查。

二、标志、指标（参数）和记录量

志：

⑴总体单位普遍具有日勺属性或特性称为标志。

⑵标志按其体现分为品质标志和数最标志两种。

①品质标志表明单位属性方面的特性，品质标志的体现只能用非数值来描述.

♦：♦（如：经典案例1中英军战机的类型，事例4中每个居民口勺性别。）

♦②数量标志表明单位数量方面H勺特性，其体现用数值来描述

（如:经典案例1中英军战机的弹孔位置,事例4中每个居民的收入。）

2.参数（标志）

⑴记录总体具有H勺数量特性的概念和数值称为记录指标,也称为参数。

⑵记录指标由两项基本要素构成,即指标的概念和指标的取值。

（指标的概念是对所研究现象本质U勺抽象概括，也是对总体数量特性的I质的规定性。）

（例如事例4中居民人口数100万人,总收入31.4亿元。）

⑶记录指标按表达形式可以分为数量指标和质量指标.

①但凡反应现象总规模、总水平的记录指标称为数量指标，用绝对数来表达。例如事例4中

居民总数100万人、总收入31.4亿元等,

②但凡反应现象相对水平和工作质量的记录指标称为质量指标，用相对数或平均数来袤达.

例如企业职工平均工资5000元、工人出勤率93%等。质量指标是总量指标的派生指标，以

反应现象之间的内在联络和对比关系。

⑷单个指标不能反应总体的全貌，这便需要设置指标体系。记录指标体系是由一系列互相联

络的记录指标构成的有机整体，用以反应所研究现象各方面互相依存互相制约的关系。

3.记录量

⑴记录量是样本观测量的一种已知函数，用来阐明样本的特性。是样本观测量的一种已知函

数，用来阐明样本的特性。

⑵抽取的样本不一样，记录量的观测值也就不一样。如样本平均数、样本方差、样本比例是

记录量，抽取样本后，人们一般用与总体参数对应的记录量观测值，作为总体参数的估计.

（如某汽车制造企业从生产的一批轿车中抽取了16辆轿车，用这些轿车的平均行驶里程值、

合格率值分别作为该批轿车平均行驶里程、合格率日勺估计。）

三、数据

（一）变量与变量值

1.即阐明现象日勺某一事实或数量口勺特性称为变量，将上述标志、指标和记录量的名称进行归

纳就是变量。

2.2.变量II勺详细体现是变量值，数据就是变量及其体现,也可称为反应客观事物的事实或数

量根据。

3.如:收入是一种变量，收入的体现是变量值。

将在特定研究过程中搜集的所有数据集合在一起,称为数据集。

根据变量值确实定与否，变量分为确定性变量（受确定性原因影响，原因是明确的，可解释,

可控制的）与随机变量（受许多不确定原因影响，如员工的起床时间）。

（-）数据口勺计量尺度

搜集数据时需要用到如下四种由低到高的计量尺度：定类尺度、定序尺度、定距尺度和定比

尺度，计量尺度U勺不一样决定了不一样的数据分析与处理措施。

1.定类尺度是阐明客观现象无序类别的计量。定类尺度的重要数学特性是或“W”.如

居民U勺性别是男、女计量，战机的类型是战斗机、轰炸机、侦察机等计量，这一场所的所使

用时数值只作为无序分类的代码。

2.定序尺度是阐明客观现象有序类别的非数值计量。定序尺度口勺重要数学特性是或

“>”.例如，对居民的满意度计量可以分为非常满意、满意、一般、不满意、非常不满意五

类。这一场所11勺所使用的数值只作为有序分类的代码。

3.定距尺度是阐明客观现象数值间距故意义II勺计量。其用确切的数值反应现象之间在量方

面的差异，定距尺度的重要数学特性是.如息量指标是定距尺度计量H勺。

（0不代表不存在）

4.定比尺度是阐明客观现象两个数值比故意义口勺计量。定比尺度日勺重要数学特性是“X”

a

如质量指标中日勺相对数、平均数是定比尺度计量的（0代衣不存在）

5数据分类

⑴定类尺度,定序尺度的数据统称为定性数据。定性变量是指带有定性数据的变量。

⑵定距尺度,定比尺度的数据统称为为定量数据。定量变量是指带有定量数据的变量。

根据定量变量值持续出现与否,定量变量分为持续性变量与离散型变量。

①持续型变量是指变量在某一区域内的取值是持续不停的，无法一一列举。如:军机的弹孔位

置，产品日勺寿命等。

②离散型变量是指变量的取值是间断口勺，可以一一列举。例如，产品数等。

（三）数据II勺类型

根据对客观现象观测的角度不一样，记录数据可分为：横截面数据•、时间序列数据和面板数

据。

1.横截面数据又称为静态数据­，它是指在同一时间对同一总体内不一样单位进行观测而获得

的数据。例如,2023年全国各省、市、自治区的居民收入总值就属于横截面数据。

2.时间序列数据又称为动态数据，它是指在某一段时期内准时间次序对同一总体进行观测而

获得的数据％例如，“十二五”期间我国按年份次序的居民收入总值就属于时间序列数据

3.面板数据则是同步在时间和截面空间上获得的二维数

据。例如20231023年30个企业的总产值数据。面板数据

则由30个企业23年的数据构成,共有300个观测值。从某

一年份看,它是由30个企业总产值数

第二章搜集数据

第一节记录调查方案设计

调查方案设计是指导整个调查过程的大纲性文献,其重要内容重要包括如下几种方面：

一、确定调查目日勺

1.调查要到达的详细目的

2.回答“为何调查？”

3.调查之前必须明确

二、确定调查对象和调查单位

1.调查对象:调查研究欧J总体或调查范围

2.调查单位：需要对之进行调查日勺单位。可以是调查对象的所有单位（全面调查）,

也可以是调查对象中H勺•部分单位（非全面调查）

回答“向谁调查？

三、选择合适的调查方式、调查措施

1.调查方式是指调查的组织方式，重要有：普查、抽样调查、经典调查、重点调查和记

录报表制度

调查措施是指搜集记录资料的措施，重要有：问卷法、访谈法、观测法和试验法

四、设计调查项目和调查表

1.调查项目：调查的I详细内容

2.调查表:体现调查项目的表格或问卷。有单一表和一览表两种形式。

3回答“调查什么？”

五、确定调查时间

1.记录调查时间包括两种涵义:调查时间和调查期限

2.调杳时间:调查资料日勺所属时间（时期或时点）。

调杳期限：进行调查工作的时间,包括搜集资料和报送资料的整个工作所需要的时间

六、调查汇报的撰写

调查汇报的撰写包括:调查过程的描述、根据调查数据所做的决策、对调查成果的评价

【在调查方案中，应给出：提交调查汇报的详细时间，并对调查的精度、费用等提出详细规

定】

七、制定调查工作的组织实行计划

第二节数据搜集来源

一、数据搜集的来源

1.原始数据:必须规定调研者亲自搜集

2.二手数据:调研者需要识别和评估二手数据的有效性

二、二手数据的搜集

1.二手数据的来源

⑴内部二手数据

⑵外部二手数据

2.二手数据搜集的|特点

长处:快捷、成本低、易获取

四、缺陷:有关性差、时效性差、可靠性低

五、二手数据搜集的注意事项

1.二手数据H勺评估重要包括：

2.研究目H勺H勺评估一一调研日勺目口勺是什么

3.二手数据来源评估一一谁搜集了这些资料

4.研究内容评估一一搜集了某些什么样的资料

5.调杳方式、措施评估一一这些资料怎样获得欧I

6.二手数据有关性评估一一这些资料与其他资料H勺一致程度怎样

7.二手数据时效性评估一一这些资料是何时搜集日勺

第三节原始数据的搜集

一、数据搜集的分类

按数据搜集口勺组织方式不一样，分为记录报表和专门调查

记录报表：按照国家有关法规的规定，自上而下地统一布置、自下而上地逐层填报的一

种调查组织方式。

1.专门调查:为了某一特定目的或专门问题而专门组织的调查

按数据搜奥对象包括范围的大小不一样,分为全面调查和非全面调杳

全面调查:对构成调查对象中的所有党委进行一一不漏的调查

非全面调查：是在记录调查过程中，仅对调查中的一部分单位进行调查。包括：抽样调查、

重点调查、经典调查和非全面记录报表

按数据搜集日勺登记时间与否持续，分为常常性调查和一次性调查

2.常常性调查：又称持续性调杳，它是为了观测社会经济现象在一定期期内的数量变化所

进行口勺调查登记或数据搜集

♦一次性调查：又称不持续性调查，它是对所研究日勺社会经济现象间隔一段时间所进行H勺

调查登记或数据搜集

按数据搜集实行主体的不一样,分为政府记录调查和民间记录调杳

♦：♦二、数据搜集的调查方式

1.数据搜集的调查方式，按照组织方式重要有：普查、抽样调查、经典调查、重点调查和

记录报表制度

普查:专门组织的一次性全面调查

普查的特点：

（1）•般是一次性调查，周期性强

⑵全面性调查，搜集的资料全面、系统、精确

⑶普查11勺点多面广,工作量大,投入多

普查应遵照如下原则：

⑴时间统一性原则

⑵登记工作的规范性原则

⑶普查项目统一规定原则

⑷同类普查同周期性原则

抽样调查：从总体中随机抽取一部分单位作为样本进行调查，并根据样本数据推断总体

数量特性的一种非全面调查。

⑴概率抽样：根据随机原则从总体中抽选样本，并根据样本信息对总体的某些特性做出

估计推断，对推断也许出现的误差可以从概率意义上加以控制

非概率抽样:调查组根据自己的以便或主观判断抽取样本的措施

⑵抽样调查优势:经济性、时效性、精确性

①⑶几种详细的抽样方式：

②简朴随机抽样一一是指从总体N个单位中随机抽取n个单位作为样本，使每个也

许的样本被抽中的I概率相等的一种抽样方式。

③分层抽样一一重要特性分层按比例抽样，重要使用于总体中的个体有明显差异。

共同点:每个个体被抽到的概率都相等N/Mo

④整群抽样一一是将总体中各单位归并成若干个互不交叉、互不反复的集合，称之

为群;然后以群为抽样单位抽取样本的一种抽样方式。【应用整群抽样时，规定各群有很好

的代表性,即群内各单位的差异要大,群间差异要小】

等距抽样——首先将总体各单位按一定次序排列，更具样本容量大小确定抽选间隔，然

后随机抽取一种进入样本,直到满足规定为止的一种抽样方式

多阶段抽样一一是指将抽样过程分阶段进行，每个阶段使用的抽样措施往往不一样，即

将多种抽样措施结合使用,其在大型流行病学调查中常用。

第一阶段,将总体分为若干个一级抽样单位,从中抽选若干个一级抽样单位入样；

第二阶段，将入样的每个一级单位提成若干个二级抽样单位，从入样的每个一级单位中各抽

选若干个二级抽样单位入样……，依此类推,直到获得最终样本

3.经典调查：

从调查对象的所有单位中选择少数经典单位进行调查。目”勺是描述和揭示事物的本质特性

和规律。调查成果不能用于推断总体

4.重点调查：

从调查对象的所有单位中选择少数重点单位进行调查。调查成果不能用于推断总体

5.记录报表制度：按照国家有关法规的规定，自上而下地统一布置、自下而上地逐层填报

的一种调查组织方式。

记录报表内容:报表目录、报表表式、填表阐明

记录报表的资料来源:原始记录、记录台账、企业内部报表

三、数据搜集H勺措施

1.问卷法:邮寄调查、调查、电脑辅助调查、网络调查

2.访谈法

长处:广泛地认识客观现象、深入地研究问题、资料搜集可靠和应用面很广

缺陷：必须依赖具的较高素质的访问员、直接交谈会对获取资料的各观性产生负面影响、

在不便问询时访谈无法实行、调杳费用大、时间长，也许会碰到意料不到H勺困难

集体访谈：将•组被调查者集中在调查现场,让他们对调查的主题刊登意见以获得资料

2.【常用"勺有:头脑风暴法、德尔非法（专家意见法）、深度访谈法】

3.个别访谈:调查者对每一名受访者进行一对一单独访谈。

4.观测法：

就调查对象的行动和意识，调查人员边观测边记录以搜集所需信息

调查人员不是强行介入

可以在被调查者不察觉的状况下获得资料

4.试验法

在设定的特殊试验场所、特殊状态下，对调查对象进行试验以获得所

需资料。有室内试验法和市场试验法

第四节记录数据的质量

一、记录数据H勺误差

记录调查误差分为登记性误差和代表性误差

1）登记性误差：由于调查者或被调查者口勺人为原因所导致FI勺误差。理论上讲可以消除

代表性误差：用样本数据进行推断时所产生的误差。一股无法消除，但事先可以进行控制和

计算

第三章整顿和显示数据

第一节数据的整顿与显示问题的提出

1.根据处理问题IJ勺目确实定分组的变量,如经典案例4中分组的变量为收入。

2.确定组数等，如经典案例4中，收入由贫到富分为5组,持续型变量如收入还波及到确定每

组组距、上限和下限。

3.按不重不漏"勺原则对数据进行分组，确定各组频数、频率，经典案例4还波及到每组的收

入值等。

第二节4.用表、图显示整顿的数据，如表3・1、图3・1

第三节定量数据的整顿与显示

一、定量数据的整顿

1.重要采用记录分组来整顿。数据分组后，把每组的个数称为频数。每组个数所占比

例称为频率。

2.记录分组就是指根据记录研究的目的和客观现象的内在特点，按某个变量（或几种

变量）把被研究的总体划提成为若干个不一样性质的组，然后再记录出各组的频数，就形成

了一张频数分布表。

记录分组措施:单变量值分组和组距分组

1）单变量值分组就是将一种变量值作为一组,适合变量值较少的状况。

①例如居民家庭按照人II数进行分组，可分为1口人家庭、2口人家庭、3口人家

庭、4口人家庭、5口人以上家庭H勺组别。

②组距式分组是将变量值的一种区间作为一组，适合于持续变量和变量值较多的离

散型变量状况。组距式分组可采用等距分组，也可采用不等距分组。

③等距分组是指每组组距相等。

等距分组的基本环节有：

第一步：确定组数：一般状况下，一批数据所分的组数不应少于5组且不多于15组。在实

际分组时,可以参照经验公式来确定组数K,即/

第二步:确定组距:组距是•组的上限与下限之差

组距=（最大值-最小值）小组数

第三步:记录出各组的频数并整顿成频数分布表。

［记录各组频数时要注意遵照不重不漏的原则。为处理不重的问题，记录分组时习惯规定

“上组限不在组内”例如100这一数值不能算在“90~100”这一组，而是算在“100~110”

这一组内。】

闭口组:有上、下限值

开口组：“XX如下”及“XX以上”

组中值一一常用作各组的代表值：下限与上限之间的中点值，即:

组中值:下限值+上限值

-2

/（100如下，缺下限）

④（90以上，缺上限）

⑤不等距分组是指并非所有组距都相等。

二、定量数据日勺图示

定量数据常用的记录图重要有直方图、茎叶图、曲线图、散点图等。

三、频数分布图口勺类型

频数分布图则属于其中一种记录图，其重要类型有如下三种。

钟型分布：“两头小,中间大”即中间变量值分布R勺频数多，两端分布频数少,

（III）中,其分布特性是以变量日勺平均数为对称轴,左右两侧对称分布

（I）（II）中为非对称分布，（I）是右偏分布（II）是左偏分布，

U型分布：“两头大，中间小”即中间日勺变量值分布频数少，两端的变量值分布频数多，与钟

型分布刚好相反

J型分布：有两种类型，一种是正J型，即频数伴随变量的增大而增多；另i种则呈反J型，即

频数伴随变量H勺增大而减少

反J型

第四节品质数据的整顿与显示

一、定类数据H勺整顿与图示

（一）定类数据H勺整顿

定类数据整顿重要用频数分布表进行。

（"）定类数据口勺图示

定类数据B勺图示重要有条形图、饼图等

二、定序数据H勺整顿与图示

（一）定序数据H勺整顿

定序数据也是采用频数分析表进行整顿。

还可以计算合计频数和合计频率，合计措施有两种：向上合计和向F合计。

（"）定序数据H勺图示

定序型数据的记录图重要有合计频数分布图和环形图。（P50-51）

第五节图表的合理使用

一、鉴别图形优劣口勺准则

（一）一张好的图形应臬有MJ特性

…1.反应数据分布特性和规律八

...2.便于比较。

...3.有对图形的描述和文字阐明。

（"）鉴别图形优劣的准则

.•.1.与否有助于真实、精确洞察问题的实质。

...2.与否提供完整的信息量，与否使复杂的）观点简朴化。

二、记录表的设计

（一）记录表H勺概念和构造

1.概念

记录表是体现记录资料的一种形式。

2.构造

从形式上看，由四部分构成：

总标题:是表口勺名称,概括记录表中要阐明的内容；

B.横行标题:是各组H勺名称,反应总体各构成部分；

C、纵览标题：是分组标志或指标H勺名称，阐明纵行所列各项资料的内容；

D、指标数值:也称数字资料，是记录表的详细内容。

从内容上看，由主词和宾词两个部分构成。主词是记录表所阐明的总体，总体的I各组或各组

日勺名称。宾词是用于阐明主词的多种指标。一般，记录表的主词列布表的左方，宾词列在表

时右方，如表310所示（P52）

（-）记录表口勺种类

记录表按照总体分组状况不一样，可分为简朴表、分组表和及合表三类。

（三）记录表H勺编制

1.记录表线条的绘制。

一般记录表的上下端以粗线绘制，表内纵横线以细线绘制。表格口勺左右不封口。

2.合计栏的J设置。

记录表各纵列需要合计时，可将合计列放在最终一行，各横行若需要合计时，可将合计列放

在最前一栏或最终一栏。

3.标题日勺设计。

记录表的标题要简要扼要，以简洁而精确H勺文字来概括记录资料的内容、资料所属时间、

空间等。

4.计量单位的列法。

指标数值一般要有计量单位，若只有一种计量单位时，可在表右上端注明。假如计量单位

不统一,可专设计量单位栏。

5.标志值的书写。

标志值应当填写整洁，对准位数。当数值太小可忽视不计时，写上“0”；当缺失某项资料

时,用符号“…”表达；不应有数字时，用符号表达。

6.注解或资料来源的标明。

一般而言，记录表下方应当注明资料来源，以便查考。

第四章数据分布的数字特性

第一节数据集中趋势的测定

一、集中趋势测定问题的提出和作用

（一）问题U勺提出

对于总体中的个体数据，有时会展现出在一定范围内以某个数据为中心上下波动的分布

特性，即数据有时具有它分布日勺中心，我们称之为数据分布的集中趋势。该怎样测定一组数

据的集中趋势呢？

二）集中趋势测定日勺作用

1.集中趋势指标的分类

算术平均数

集数值平均数调和平均数

中

趋儿何平均数

势

指众数

标

位置代表值

中位数

2.集中趋势指标H勺作用

（1）可以反应一组数据分布的中心或一般水平；

（2）可以反应同一现象在不一样步间或空间条件下的发展趋势或差异；

（3）可以用来分析现象之间的依存关系；

（4）样本平均数是记录推断的一种重要记录量。

。二、集中趋势H勺测定

（-）数值平均数

❖数值平均数只合用于定量数据（数值型数据），而不合用于定性数据。

❖1.算术平均数

（1）简朴算术平均数

①简朴算术平均数是根据未分组数据（原始数据）计算的一种平均数，它是招所有

日勺原始数据相加再除以数据总个数得到的。

样本计算的简朴算术平均数的计算公式是:

_今

——

总体数据计算”勺简朴算术平均数II勺计算公式为:

N

ZE

〃=一

N

（2）加权算术平均数

加权算术平均数是根据分组数据计算日勺一种平均数。设样本被分为k组，各组的频数为fi样

本计算的加权算术平均数的计算公式为：

其中，Xi有两种状况：在单变量值分组中，Xi代表各组的变量值；在组距式分组中，Xi代表各

组的组中值，/称作权重：频率）。

总体数据计算日勺加权算术平均数欧I计算公式为：

Z"kf

xz5Zfi

i=li=l

（3）算术平均数的重要数学性质

①各变量值与其算术平均数的离差之和等于零；

即：/

②各变审值与其算术平均数的I离差平方和最小。

Z（x,-ip=min或2（为一工=min

即：0

2.调和平均数

调和平均数加权算术平均数的一种变形。

调和平均数与加权算术平均数口勺关系是：

若已知各组变量值及其标志总量mi（mi=xifi），而缺乏fi的数据时，则加权算术平均数

可通过变形得到fi（fi=mi/xi）后，再以mi为权数的J调和平均数形式来计算。

为=登

乙Xj乙X,

3.几何平均数

几何平均数是n个变量值连乘积曰勺n次方根

（1）简朴几何平均数

当样本数据中各变量值出现的次数都相似时，用简朴儿何平均数公式。

礼=自尸4•…•x〃=麻

式中,xi代表各变量值,n为样本容量,/为连乘符号

（2）加权几何平均数

当样本数据中各变量值出现U勺次数不全相似时，用加权几何平均数公式。

XG」倜叫游喏•…•呼

式中,XI代表各变量值,n为样本容量,/为连乘符号

【假如获得一组总体数据，根据总体数据计算U勺几何平均数〃勺公式与样本数据的基本相

似。】

需要注意的是：

当数据中出现零或负值时不适宜计算几何平均数；

几何平均数是•种合用于特殊数据日勺平均数，当变量值之间具有连乘积关系时，采用几何平

均数愈加合理；

现实生活中，几何平均数重要用于计算现象的平均增长率和平均发展速度（详见本书第九

章）。

（二）位置代表值

1.众数

1）众数（Mode）是一组数据中出现频数最多的变量值，一般用符号表达。

2）众数代表日勺是最常见、最普遍H勺状况。众数不仅可以度量定性数据口勺集中趋势，还可以

度量定量数据的集中趋势。

①众数的特点：

②众数是位置型平均数,它只与位置有关,不受数据中极端值日勺影响；

③从分布形态上看,众数是一组数据分布最高峰点所对应的变量值；

④众数具有不唯一性（可以有一种或多种或没有）

①组距式分组数据中众数H勺求解较为复杂。在组距式分组数据中，求解众数的环节：

②先要确定众数所在组；

③假如是等距分组数据，那么次数最多的那一组就为众数组；假如是不等距分组数

据，那么组密度（组频率/组距）最大H勺组就为众数组。

之后再按照下列公式求解众数的近似值。计算公式如下：

下限公式:/

或上限公式:/

L-众数所在组的卜.限

U-众数所在组的上限

fm~众数所在组的次数

-众数所在组前一组的次数

九.1一众数所在组后一组的次数

〃一众数所在组的组距

2.中位数

1）中位数是一组数据从小到大排序后位于中间位置上的变量值,一般用符号表达。

2）由于中位数和位置有关，因此中位数只能度量定序数据和数值型数据口勺集中趋势;

①求解中位数的环节：

②首先，对数据进行徘序；

3）另一方面,确定中位数的H立置,即中间位置；

4）最终,计算中间位置上的变量值。

①中位数的位置计算公式为：

数据个数n为奇数，

②中位数为:/

③数据个数n为偶数

中位数为:/

④分组数据中位数的求解

对于分组数据而言,不需要再此外排序,直接按照分组日勺次序即可。

分组数据中位数日勺位置计算公式：

岫她跖¥（》,焰缈黝I）

求出中位数位置后,按照卜列公式求解中位数的近似值。

下限公式：

ZjS

Mt%上+—^-------xrf（4.13）

-ftv

或上同公式：

）。所I

MnU——-----------xd（4.14）

t4（看例题P68）

5）中位数特点及应用

6）中位数是位置型度量值,其特点是不受极端值的影响，因此具有稳定性;

7）在实际运用中，当数据R勺偏斜程度较大时，用中位数作为该组数据•般水平的代表值比

较合适。

8）分位数

①实际上，测度数据在特定位置上日勺水平，还可以计算四分位数、十分位数和百分位数

等，我们统称它们为分位数。

四分位数的计算措施：

四分位数:定义:一组数据由小到大排序后位于25%位置和75%位置处的变量值。

A.【位于在25%位置处的变量值（即下四分位数，用符号QL表达）和处在75%位置处U勺

变量值（即上四分位数，用符号QU表达）,上、下四分位数之间恰好包括了50%的数

据。】

B.求解四分位数的环节

a）先排序；

b）然后确定上、下四分位数的位置：

最终，求对应位置上的变量值。（看例题P69）

Q位位13.（力蜴据幔）

44

9）箱线图

将中位数、四分位数和其他指标结合起来，可以更详细的反应数据的分布特性。箱线图是由

一组数据的最小值（Xmin）、最大值（Xmax）、下四分位数（QL）、上四分位数（QU）

和中位数（Me）这五个特性值构成。通过箱线图，可以观测数据H勺中心位置、离散程度及

对称性等特性，同步还可以进行多组数据分布的比较。

（三）算术平均数、众数和中位数三者的比较与应用

（1）算术平均数属于数值型平均数，它是根据所有数据计算日勺集中趋势测度值，因此可以综

合反应所有数据口勺信息：众数和中位数属于位置型代表值，它们是根据数据分布的特定位置

确定出的集中趋势测度值，因此不能概括所有数据日勺信息

（2）算术平均数和中位数在任何一组数据中都存在且具有唯一性，但不一定所有数据都存

在众数,且众数也不具有唯一-性。一般状况下，在数据量充足大并且具有明显集中趋势时，计

算众数才故意义：

（3）算术平均数只合用于定量数据，中位数合用于定序数据和定量数据，众数则合用于所有

数据，即定性数据和定量数据均可；

（4）算术平均数受极端值的J影响，因此，当数据偏斜程度较大时（数据中存在极端值），不

适宜用算术平均数来代表数据日勺一般水平。众数和中位数不受极端值的影响，因此，当数据

偏斜程度较大时，可以考虑用众数或中位数来代表数据日勺一般水平；

（5）算术平均数可以估L或推断总体特性值。而众数和中位数不适宜用作此类推断

（6）算术平均数和众数、中位数的数量关系重要取决于数据分布的偏斜程度（非对称程

度）

对于展现单峰分布的数据，假如数据口勺分布是对称的I,则众数M0、中位数Me和算术平均数

X三者相等，即MO=Me=X

假如数据展现左偏（负偏）分布，阐明数据中存在极小值

从而略使中位数偏小，而众数则完全不受极小值大小和位置的影响，因此一般状况下,三者的

关系体现为X<Me<MO

假如数据展现右偏（正偏）分布，则一般有:MOVMeVX

第二节（7）皮尔逊经验公式数据展现偏斜但偏斜程度不大时，算术

平均数、众数和中位数之间存在一定的比例关系，即/

第三节数据离散程度的测定

一、离散程度测定问题的提出和作用

（一）离散程度测定问题的提出

由于差异性是数据口勺本质属性，因此各个数据与其分布中心之间总是存在着不一样程度

的偏离。我们把数据偏离其中心值口勺程度叫做离散程度，离散程度可以阐明数据之间差异程

度的大小，那么怎样测定一组数据H勺离散程度呢？

（二）离散程度测定的作用

离散程度的大小重要通过变异指标来测定。变异指标日勺重要作用有：

1.可以衡量平均指标的代表程度。变异指标值越大，则数据H勺离散程度越大、数据越分

散，继而平均指标H勺代表性就越弱；反之，变异指标值越小，则数据口勺离散程度越小、数

据越集中，继而平均指标的代表性就越强；

2.可以反应数据的稳定性却均衡性。变异指标值越大，则数据的离散程度越大，数据的稳定

性和均衡性就越差；反之,则数据日勺离散程度越小,数据内稳定性和均衡性就越好。

二、离散程度H勺测定

（一）异众比率

异众比率是指非众数组的频数占总频数的I比重,一般用Vr表达,计算公式为：

fn

i.式中:/是众数组的频数；/是变量值的总频数

1）异众比率H勺特点：

可用来衡量众数H勺代表性强弱，即，异众比率越大，则众数欧I代表性越弱；反之，众数的代表

性就越强；

异众比率重要用于测度定性数据日勺离散程度,也可以用于定量数据离散程度口勺测度。

（二）极差、四分位差和平均差

1.极差

1）极差（Range）乂称全龙，是一组数据中最大值与最小值之差，一般用R表达。计算公式

为:/

2）对于原始数据和单变量值分组数据:/为•组数据日勺最大值；/为•组数据日勺最小值。

对于组距式分组数据,极差就用变量值最大组的上限减去变量值最小组日勺卜.限近似得到。

极差的特点：极差是变异指标中最简朴的测度值，其长处是计算简便、易于掌握。但因极差

只运用了•组数据两端的信息，轻易受到极端值的I影响。因此，极差不能全面、稳定地反应

数据的离散程度。

2.四分位差

1）四分位差是指上四分位数（QU）与下四分位数（QL）之差，因此也叫内距或四分间距,

一般用表达。计算公式为:/

①四分位差特点：

②四分位差只能阐明中间50%数据的离散程度，它仍然不能充足反应所有数据的离散

状况。四分位差越大，阐明中间50%数据的离散程度越大；四分位差越小，阐明中间

50%数据的离散程度越小；

在一定程度上,四分位差也可以反应中位数的代表性好坏；

四分位差是一种次序记录量，因此四分位差合用于测度定序数据和定量数据"勺禽散程度。

3.平均差

1）平均差（meandeviation）是各变量值与其算术平均数离差绝对值的平均数。因此，也称平

均绝对离差,一般用M.D表达。

2）平均差的计算有两种状况

①简朴平均法

假如数据是未分组数据（原始数据），则用简朴算术平均法来计算平均差：

M.D=上------（〃为变量值个数）

②加权平均法

假如数据是分组数据,采用加权算术平均法来计算平均差：

二k,-司y;

M.D=q~i--------（左为组数）

①平均差的特点：

♦：♦平均差意义明确,计算成果易于理解，并且运用了所有数据H勺信息,反应了每个变量值与

平均数的平均差异程度。因此能全面地反应一组数据的离散状况。平均差越大，则数据

时离散程度越大；平均差越小,则数据的离散程度越小；

*为了防止正负离差互相抵消日勺现象发生,平均差在计算时给离差加上了绝对值。但由于

绝对值的）出现给计算带来了很大口勺不便,因此在实际应用中受到很大H勺限制。

*（三）方差和原则差

1）方差是各变量值与其算术平均数离差平方的J算术平均数。原则差就是方差的平方

根。

①方差、原则差特点：

2）方差、原则差运用了所有数据的信息,能很好地反应数据日勺离散程度；

3）方差、原则差是通过平方的措施消去离差的正负号，这更便于数学上日勺处理。为此,

方差、原则差是记录中最重要的变异指标，同步也是实际中应用最广泛欧I离散程度

测度值。

4）方差、原则差计算公式

总体数据

①未分组数据（原始数据）的总体方差和标准差的计算公式分别为:

（4.20）

②分组数据的总体方差和标准差的汁算公式分别为：

»（X,-“）2£区（X,-〃）2/

b?=q---------------,b=q-----------------（K为组数）（4.21）

SzVSr/

Z-lIr=l

样本数据

①未分组数据（原始数据）的样本方差和样本原则差的计算公式分别为:

£（%一斤）2忙区一方

S2=----------------S=--------------

77-11W-1

②分组数据H勺样本方差和样本原则差的计算公式分别为:

之（k-/之（X一斤）2/

_/=i/=1_________________

一kiz-i

Ez-i

/=1I（k为组数）

。（四）原则化值（原则分数）

原则化值就是用各变量值与其平均数的离差再除以其原则差。

原则化值U勺计算公式为：

X,-X

zi=---------

S

1）原则化值日勺特点：

2）原则化值具有均值为0,原则差为1的特性。

3）经验法则【3。质量管理法则的原理】

•使用条件:在正态分布或近似正态分布（对称的钟型分布）的条件下

•大概有68%的数据位于均值土1个原则差范围内；

•大概有95%的数据位于均值±2个原则差范围内:

•大概有99%的数据位于均值±3个原则差范围内

4）切比雪夫定理

运用切比雪夫定理来判断有多少的I数据落入以均值为中心的k（原则化值）个原则差

范围内。

•使用条件:任意分布形态的数据：

•根据切比雪夫定理的I内容，至少有（/）的数据落入均值左右k个原则差范围内，其

中k为不小于1的任意数,当然也可认为小数。

•k=2阐明至少有75%欧J数据落入均值±2个原则差范围内；

•k=3阐明至少有89%的数据落入均值±3个原则差范围内；

•k=4阐明至少有94%的数据落入均值±4个原则差范围内。

（五）离散系数

•离散系数也称变异系数（coefficientofvariation）,它是极差、四分位差、平均差或原

则差等变异指标与其算术平均数对比的成果。

•常用的离散系数有极差系数、平均差系数和原则差系数，但应用最广泛的是原则差系

数。

原则差系数的计算公式:

（1）对于总体数据，其标准差系数计算公式为：

va=-（4.25）

4

其中：匕为总体标准差系数，。为总体标准差，〃为总体算术平均数。

（2）对于样本数据，其标准差系数计算公式为：

S

v==（4.26）

X

其中：匕为样本标准差系数，S为样本标准差，又为样本算术平均数。

•离散系数H勺作用

离散系数是测度数据嗡散程度的相对记录量，可用于比较不一样变量值水平或不一样计

量单位的不一样组别数据的离散程度。离散系数大日勺，则该组数据的离散程度就大；离散系

数小I包则该组数据的离散程度就小。

总结:反应数据离散程度的各测定值的应用场所

1）对于分类数据，重要用异众比率来测度其离散程度；

2）对于次序数据,重要用四分位差来测度其离散程度；

3）对于数值型数据,重要用方差或原则差来测度其离散程度.

4）当需要对不•样组别数据的离散程度进行比较时，则使用离散系数。

第三节数据分布形态的测定

一、分布形态测定问题的提出和作用

（一）分布形态测定问题的提出

集中趋势和离散程度是数据分布特性H勺两个重要方面,但要想全面理解数据的分布特点,

我们还需要懂得数据的分布形状,那么怎样测定一组数据日勺分布形状呢？

（二）分布形态测定时作用

通过度布形态日勺测定,我们可以理解数据分布形状的对称性以及分布曲线的扁平陡峭程

度。将这两点结合,我们还可以判断数据与否靠近于正态分布。

二、矩

1.数据分布形态的测度重要是通过偏度系数和峰度系数来实现的。矩又是计算偏度系数

和峰度系数曰勺基础

2.矩可分为总体矩和样本矩

样本距

一般来说,将一组样本Xl/-,Xn与其算术平均数X离差的k次方的平均数称为样本的Jk阶中

心矩，即/

其中，储为各组变量值，为各组变量值的权数。可以看出，一阶原点矩即样本算术平

均数。

算术平均数:一阶原点矩

方差：二阶中心矩

阶数k=3和k=4时，矩则可以反应数据的分布形态特性。矩可以当作是一系列反应数据分布

特性指标时统称。

三、偏度

偏度(skewness)是指数据分布的不对称程度或偏斜程度。偏度也就是对数据非对称程度

和方向的测度。用来测定偏度的记录量是偏度系数，记作SK。

对于分组数据,偏度系数SK的计算公式为：

SK=2

S'

其中，出为样本的3阶中心理，S，为样本标准差的三次方。

①偏态系数性质：

②假如分布是对称的,则SK=O;

•假如SKWO,阐明分布是非对称的，

当SK>0时,表明分布是右偏分布(正偏分布)；

当SK<0时，表明分布是左偏分布（负偏分布）。SK的数值越大，表明数据的偏斜程度越

大。

四、峰度

1.峰度（kurtosis）是指数据分布曲线的陡峭或扁平的程度。

对峰度的度量一般以正态分布曲线为原则进行比较,假如比正态分布曲线愈加尖峭，称

为尖峰分布；假如比正态分布曲线愈加扁平,称为扁平分布。

测度峰度日勺记录量是峰度系数,记作Ko

对于分组数据,峰度系数K的计算公式为：

K=2・3

S4片中.4为样本的4阶中心矩.S"为样本标准参的四次方，

•峰态系数性质：

•当K=0时，阐明分布为正态分布；

当K>0时，阐明曲线是尖峰（陡峭）分布，即数据比正态分布更集中，K的数值越大，则曲线

越陡峭；

当K<0时，阐明曲线是扁平分布，即数据比正态分布更分散，K的数值越小,则曲线越平缓。

第五章抽样分布

第一节抽样分布基本概念

一、样本容量和样本个数

1.总体是研究口勺所有个体构成的集合，常用表达

二、从中随机抽取部分个体构成一种样本，构成样本H勺个体的数目，常用n表达，称为样

本容量，也称样本量。

三、参数和记录量

1.参数是用来描述总体数量特性H勺,如总体均值U、总体比例n、总体方差。2等

2.记录量是用来描述样本数量特性日勺,是由样本构造的函数,如样本均值X、样本比例P、

样本方差S2等

3.由于总体是唯一的、固定不变H勺，故参数往往是一种未知时常数；而样本不唯一，且一

旦抽取出来,就成为已知,故记录量是随机变量,其取值伴随样本日勺变化而变化。

4.抽样的目的就是要根据样本记录量去估计或推断总体参数。

四、抽样分布

1.记录量是随机变量。抽样分布就是记录量的概率分布

2.样本均值的概率分布、样本比例的概率分布、样本方差的概率分布等都称为抽样分

布。

五、现实世界中，我们面对日勺总体往往很大，进而样本数目将很可观，不也许将所有的样

本都抽取出来。因此抽样分布实质上是一种理论分布。它也许是精确的某已知分布，也

也许是以某已知分布为极限U勺极限分布。

六、抽样分布理论在准断记录中具有重要的作用，它是后续参数估计和假设检查的

理论根据和基础。

七、抽样分布的数字特性

（-）样本均值的数字特性

设总体的平均数为U,方差为。2,采用反复抽样的方式，从中抽取独立同分布

的样本：XI,…，Xno根据数学期望和方差的性质，可推出样本均值X数学期望（平均

数）、方差与总体的平均数、方差之间的J关系

E（又）=〃丫=〃b鳖

X101520253035404550

Pj_2_2£^£211

例题:252525252525252525

样本均值的J平均数

121750

〃=10x—+15x—+--+50X—=—=30

'25252525

总体均值

/7=1X（10+20+30+40+50）=30

样本均值U勺方差

《啕中-[丽闫卿确刑

总体方差

An=2

由式（5.1）可知：牙的平均数为4,

方差为0%。随着〃的增大，其方差越来越

小，从而牙的取值越来越向着4堂拢，故用

1》去估计〃理论依据成立。]

2.以上结论均建立在反复抽样情形下，

若是在不反复抽样情形下，方差需要用系数进行修正，从而样本均值的数字特性为:

（-）样本比例的数字特性

比例：总体（或样本〕中具有某种属性的个体数与所有个体数之比，总体比例记为冗。

根据数学期望和方差的性质，可推出样本比例P日勺数学期望、方差与总体的平均数、方

差之间口勺关系：

E（p）=%=兀b：=不（1一乃）

n

用P估计”理论根据成立

以上结论均建立在反复抽样情形卜，若是在不反发抽样情形卜，当样本容量很大时,方差

需要用系数进行修正,从而样本比例的数字特性为：

E（p）=-L个子

（三）样本方差的数字特性

设总体X方差为。2,采用反复抽样

的方式，从中抽取独立同分布H勺样本：X1…，Xn根据数学期望和方差的性质，可推出样本

方差的数学期望、方差与总体H勺方差之间的关系为：

/I—1

以上结论均建立在反复抽样情形下，若是在不反复抽样情形下，方差需要用系数进行修

正,从而样本方差的数字特性为

r・■.，

2a41N-n।

E(S2)=cr2cr2,=

〃工'二L：

（四）原则误（重点）

•记录量抽样分布的原则差,称为记录量的原则误，也称原则误差

•原则误可用于阐明抽样误差的大小。抽样误差是指由抽样的随机性引起的样本成果

与总体的真实值之间的差异，它描述的是所有样本也许的成果与总体真值之间的平均性

差异。若总体原则差未知,可用样本原则差替代，此时I向原则误称为估计原则误。

•样本均值的原则误为。x

•样本比例口勺原则误为。P

•样本方差H勺原则误为。s：

第二节几种常见的抽样分布

一、样本均值的抽样分布

1.样本均值的抽样分布,就是采用反复抽样的I方式,选用容量为的所有样本，由样本均值

所有也许的取值形成的概率分布。

2.分两种状况来讨论样本均值的抽样分布类型。

1)总体服从正态分布

a)正态分布的再生定理；若总体变量X〜N(口，。2),从这个总体中抽取容量为n的样本,

则样本均值X〜N(U,o2/n)

b)什么是正态分布

1

/(.V)=―)Le统一8VKV400

若X的概率密度函数为：727rb

其中,U和。都是参数,且。＞0,则称X服从参数为U和。的正态分布,记作

X〜N”，02)。

正态分布的概率密度曲线是一条对称的钟型曲线。U决定了图形的中位置，。决定了图形

中曲线的陡峭程度。

2)当参数U=0,。=1时，这样的正态分布为原则正态分布，记为N(0,1),其概率密度函

数为:/

3)总体服从非正态分布

独立同分布中心极限定理表明：无论总体服从何种分布，只要其平均数和方差

存在，那么从中抽取的独立同分布样本XI,…Xn,,其均值在当n很大时，就会近似

服从正态分布X〜N(U,02)o

大样本:n230

总体（"b?）

JE态分布j态分徐

人样本小样本

总结:烧伞箕谢D"非正态分布

❖二、样本比例的抽样分布

1.样本比例是一种特殊的样本均值。从而，根据样本均值的抽样分布理论可得样本比例

的抽样分布

2.大样本：同步满足npWS和n（1-p）N5

当样本容量很大时,样本比例P的抽样分布为:

-4)、

P~/V

n

在不反复抽样情形下,当样本容量很大时,样本比例的抽祥分布为:

万(1-4)N-n

P~万,

nN-1?

•需要修正:对于有限总体,要用修正系数修正

不需要修正：无限总体/此时N很大而抽样比时，修正系数趋于1,方差可以按反复抽样情

形时（即不用修正）的公式计算

♦：♦三、样本方差的抽样分布（不考）

样本方差S2的抽样分布,就是采用反复抽样的方式，选用容量为n的所有样本，由样本方差

S2的所有也许的取值形成的概率分布。

设总体服从均值为U,方差S2的正态分布,XI…,Xn为来自该总体的样本,则样本方差S2K

抽样分布为:

称（〃一1卜服从自由度为n-1的X?分布（卡方分布）。

卡方分布的数字特性，可得：

ES）=