第87讲、二项式定理（学生版）-2025年高考数学必刷题5000题

第87讲二项式定理知识梳理知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，（2）二项式的展开式的特点：①项数：共有项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次数从到，每一项中，，次数和均为；④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系数）．（3）两个常用的二项展开式：①（）②（4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项：公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；②字母的次数和组合数的上标相同；③与的次数之和为．注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．2、二项式展开式中的最值问题（1）二项式系数的性质=1\*GB3①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．=2\*GB3②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．=3\*GB3③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．=4\*GB3④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，则，从而得到：．=5\*GB3⑤最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．（2）系数的最大项求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．知识点3、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．（2）若，则①常数项：令，得．②各项系数和：令，得．③奇数项的系数和与偶数项的系数和（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若，同理可得．注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．必考题型全归纳题型一：求二项展开式中的参数例1．（2024·河南郑州·统考模拟预测）的展开式中的常数项与展开式中的常数项相等，则的值为（

）A． B． C．2 D．3例2．（2024·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（

）A．4 B．5 C．6 D．8例3．（2024·全国·高三专题练习）展开式中的常数项为－160，则a＝（

）A．－1 B．1 C．±1 D．2变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中的常数项为，则实数（

）A．2 B．-2 C．8 D．-8变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中第3项是常数项，则（

）A．6 B．5 C．4 D．3【解题方法总结】在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．题型二：求二项展开式中的常数项例4．（2024·重庆南岸·高三重庆第二外国语学校校考阶段练习）已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（

）A．36 B．30 C．15 D．10例5．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）二项式的展开式中的常数项为（

）A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120例6．（2024·北京房山·高三统考开学考试）的展开式中的常数项是（

）A． B． C． D．变式3．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）的展开式中的常数项为（）A．20 B．20 C．－10 D．10变式4．（2024·全国·高三专题练习）若的展开式中存在常数项，则（

）A． B． C． D．变式5．（2024·全国·高三对口高考）若展开式中含有常数项，则n的最小值是（

）A．2 B．3 C．12 D．10【解题方法总结】写出通项，令指数为零，确定，代入．题型三：求二项展开式中的有理项例7．（2024·全国·高三专题练习）在的展开式中，有理项的系数为（

）A． B． C．5 D．10例8．（2024·全国·高考真题）二项式的展开式中系数为有理数的项共有（

）A．6项 B．7项 C．8项 D．9项例9．（2024·江西南昌·高三统考阶段练习）的展开式中所有有理项的系数和为（

）A．85 B．29 C． D．变式6．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考阶段练习）二项式展开式中，有理项共有（

）项．A．3 B．4 C．5 D．7变式7．（2024·安徽宣城·高三统考期末）在二项式的展开式中，有理项共有（

）A．项 B．项 C．项 D．项变式8．（2024·全国·高三专题练习）若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（

）A． B．或 C．或 D．【解题方法总结】先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．题型四：求二项展开式中的特定项系数例10．（2024·四川成都·校联考模拟预测）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（

）A．―4 B．84 C．―280 D．560例11．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）展开式中的系数为（

）A．270 B．240 C．210 D．180例12．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）的展开式中的系数是（

）A．20 B． C．10 D．变式9．（2024·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的系数为（

）A． B．240 C． D．160变式10．（2024·全国·高三专题练习）在二项式的展开式中，含的项的二项式系数为（

）A．28 B．56 C．70 D．112变式11．（2024·北京·高三专题练习）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（

）A．5 B． C．10 D．【解题方法总结】写出通项，确定r，代入．题型五：求三项展开式中的指定项例13．（2024·全国·高三专题练习）在的展开式中，的系数为.例14．（2024·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）展开式中含项的系数为．例15．（2024·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）的展开式中的系数为（用数字作答）．变式12．（2024·福建三明·高三统考期末）展开式中常数项是.（答案用数字作答）变式13．（2024·江苏·金陵中学校联考三模）展开式中的常数项为.变式14．（2024·湖南岳阳·统考模拟预测）的展开式中，的系数为．变式15．（2024·广东汕头·统考三模）展开式中的系数是.【解题方法总结】三项式的展开式：若令，便得到三项式展开式通项公式：，其中叫三项式系数．题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数例16．（2024·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）的展开式中的系数为．例17．（2024·河北保定·高三校联考开学考试）在的展开式中含项的系数是.例18．（2024·江西南昌·高三统考开学考试）展开式中的系数是.变式16．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）的展开式常数项是.（用数字作答）变式17．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知多项式，则.变式18．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）的展开式中含项的系数为．（用数字作答）变式19．（2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）设展开式中的常数项为，则实数的值为.变式20．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）展开式中的系数为.【解题方法总结】分配系数法题型七：求二项式系数最值例19．（2024·山东青岛·统考三模）若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为．（用数字作答）例20．（2024·全国·高三专题练习）二项式的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项是．例21．（2024·人大附中校考三模）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中项的系数为20，则实数的值为.变式21．（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）二项式的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则，展开式中含的项的系数为．变式22．（2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为.变式23．（2024·湖北·校联考模拟预测）在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于．【解题方法总结】利用二项式系数性质中的最大值求解即可．题型八：求项的系数最值例22．（2024·海南海口·海南华侨中学校考一模）在的展开式中，系数最大的项为.例23．（2024·江西吉安·江西省万安中学校考一模）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为.（不用计算，写出表达式即可）例24．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）的二项式展开中，系数最大的项为．变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为．变式25．（2024·全国·高三专题练习）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为．变式26．（2024·全国·高三专题练习）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为.变式27．（2024·安徽蚌埠·高三统考开学考试）若二项式展开式中第4项的系数最大，则的所有可能取值的个数为.【解题方法总结】有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小．题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和例25．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的是（

）A．展开式中所有项的二项式系数的和为B．展开式中所有奇次项的系数的和为C．展开式中所有偶次项的系数的和为D．例26．（多选题）（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．例27．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则（

）A．B．C．D．变式28．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．变式29．（多选题）（2024·山东日照·三模）已知，则（

）A． B．C． D．变式30．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．变式31．（多选题）（2024·河北·统考模拟预测）已知．则（

）A． B．C． D．变式32．（多选题）（2024·全国·校联考三模）若在中，，则（

）A． B．C． D．变式33．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，若，则有（

）A．B．C．D．变式34．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．变式35．（多选题）（2024·安徽芜湖·统考模拟预测）已知，下列说法正确的有（

）A． B．C． D．变式36．（多选题）（2024·福建宁德·统考模拟预测）若，则（

）A． B．C． D．变式37．（多选题）（2024·广西柳州·统考模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．变式38．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）若，则（

）A． B．C． D．【解题方法总结】二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：．系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：．题型十：求奇数项或偶数项系数和例28．（2024·北京东城·高三北京二中校考阶段练习）设，则．（用数字作答）例29．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设多项式，则.例30．（2024·新疆·高三八一中学校考开学考试）已知，若，则．变式39．（2024·全国·模拟预测）在的展开式中，的所有奇次幂的系数和为，则其展开式中的常数项为．变式40．（2024·全国·高三专题练习）已知，则的值为．变式41．（2024·安徽·高考真题）已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于．变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小，则．变式43．（2024·全国·高三专题练习）已知，则的值为.【解题方法总结】，令得系数和：=1\*GB3①；令得奇数项系数和减去偶数项系数和：=2\*GB3②，联立=1\*GB3①=2\*GB3②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．题型十一：整数和余数问题例31．（2024·河北·高三校联考期末）除以1000的余数是．例32．（2024·全国·高三专题练习）若，则被5除所得的余数为．例33．（2024·浙江金华·模拟预测）除以100的余数是．变式44．（2024·辽宁沈阳·统考一模）若，则被5除的余数是．变式45．（2024·全国·高三专题练习）写出一个可以使得被100整除的正整数.变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知能够被15整除，其中，则.题型十二：近似计算问题例34．（2024·全国·高三专题练习）用二项式定理估算.（精确到0.001）例35．（2024·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）（精确到0.01）例36．（2024·全国·高三专题练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是.变式47．（2024·全国·高三专题练习）的计算结果精确到0.01的近似值是．变式48．（2024·全国·高三专题练习）（小数点后保留三位小数）．题型十三：证明组合恒等式例37．（2024·全国·高三专题练习）求证：例38．（2024·全国·高三专题练习）证明：．例39．（2024·全国·高三专题练习）证明：．变式49．（2024·全国·高三专题练习）求证：.变式50．（2024·全国·高三专题练习）（1）设、，，求证：；（2）请利用二项式定理证明：.变式51．（2024·江苏·校联考模拟预测）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.（1）根据恒等式两边的系数相同直接写出一个恒等式，其中；（2）设，利用上述恒等式证明：.题型十四：二项式定理与数列求和例40．（2024·北京·高三强基计划）设n为正整数，为组合数，则（

）A． B．C． D．前三个答案都不对例41．（2024·全国·高三专题练习）（

）A． B． C． D．例42．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（

）A． B． C． D．变式52．（2024·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．变式53．（2024·湖南邵阳·高三统考期末）已知，展开式中的系数为，则等于（

）A． B． C． D．变式54．（2024·北京·高三强基计划）设，对于有序数组，记为中所包含的不同整数的个数，例如．当取遍所有的个有序数组时，的平均值为（

）A． B． C． D．题型十五：杨辉三角例43．（多选题）（2024·海南·海南中学校考三模）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学