江苏省常州市联盟学校2024-2025学年高一下学期学情调研数学试卷（原卷版+解析版）

常州市联盟学校2024-2025学年度第二学期学情调研高一年级数学试卷2025.03出卷老师：章建明审卷老师：邵亚明本试卷共19大题，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，点，则点坐标为（）A. B. C. D.2.已知，则（）A. B. C. D.3.已知，，，若，，三点共线，则（）A. B.2 C. D.4.在平面直角坐标系中，角与的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．若角的终边与单位圆交于点，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角的终边重合，则（

）A. B. C. D.5.在平行四边形中，，，，，则（）A.12 B.14 C.16 D.186.若函数取最小值时，则（）A. B. C. D.7.已知，则（）A.5 B. C.-5 D.8.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得两次最大值1，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列式子化简正确的是（）A. B.C. D.10.已知，，是同一平面内的三个非零向量，下列命题中正确的是（）A.B.若，则C.若，满足，则与夹角为D.与向量垂直11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是的一个最小正周期 B.是偶函数C.在上单调递减 D.是图象的一条对称轴三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的值为__________．13.若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则的最小值为________．14.已知，，是同一平面内的三个单位向量，且，则的最大值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知角（1）求的值；（2）若求的值．16.已知向量，满足，，．（1）求向量与的夹角；（2）若，求值；（3）若向量在方向上的投影向量为，求的值．17.函数的部分图像如图所示．（1）求的解析式；（2）已知函数，，求最大值．18.在中，满足：，是的中点．（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若是线段上任意一点，且，求的最小值；（3）若点是内一点，且，，，求的最小值．19.阅读下面材料：，解答下列问题：（1）用表示；（2）利用（1）结论，求的值；（3）若函数，，求的值域．

常州市联盟学校2024-2025学年度第二学期学情调研高一年级数学试卷2025.03出卷老师：章建明审卷老师：邵亚明本试卷共19大题，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，点，则点坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量的坐标表示即可得出点的坐标.【详解】设点，由向量的坐标表示可知，，所以，解得，即点的坐标为.故选：A.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接由二倍角的余弦公式即可算出答案.【详解】由二倍角的余弦公式可得.故选：D.3.已知，，，若，，三点共线，则（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据向量加法求出，再利用向量共线的性质列出等式，最后求解.【详解】已知，，则.因为，，三点共线，所以与共线.可得.即.等式两边同时除以（因为，若，则，此时），得到.故选：B.4.在平面直角坐标系中，角与的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．若角的终边与单位圆交于点，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角的终边重合，则（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得，，再利用两角和的余弦公式求解．【详解】由题意可得，，由于，所以．故选：A．5.在平行四边形中，，，，，则（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】【分析】利用向量的加法运算及平行四边形的性质先把用表示，再利用数量积的运算律即可得出答案.【详解】由向量的加法运算及题干条件可知，，所以.故选：C.6.若函数取最小值时，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式化简整理，得到辅助角与的关系，利用三角函数的图像和性质分析函数的最值，计算正弦值即可.【详解】，其中，因为当时取得最小值，所以，故.故选：B.7.已知，则（）A.5 B. C.-5 D.【答案】D【解析】【分析】由角的变换，利用余弦的和，差角公式和展开，从而可得答案.【详解】，则则，即，所以，∴，故选：D8.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得两次最大值1，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数在区间上是增函数，则有，在区间上恰好取得两次最大值1，得，即可求解.【详解】由函数在区间上是增函数，则有，由可得，所以，又函数在区间上恰好取得两次最大值1，得，所以ω>0ω≤352故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列式子化简正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由诱导公式和逆用两角和的余弦公式可得结果；对于B，由诱导公式和逆用二倍角的正弦公式可得结果；对于C，由辅助角公式可得结果；对于D，逆用两角和正切公式可得结果.【详解】对于A，由诱导公式可知，逆用两角和的余弦公式可得，故A错误；对于B，由诱导公式可知，逆用二倍角的正弦公式可得，故B正确；对于C，由辅助角公式可知，故C正确；对于D，逆用两角和的正切公式可得，故D正确.故选：BCD.10.已知，，是同一平面内的三个非零向量，下列命题中正确的是（）A.B.若，则C.若，满足，则与的夹角为D.与向量垂直【答案】ACD【解析】【分析】对A，根据数量积的定义运算推导即可；对B，举反例推导即可；对C，根据画图分析即可；对D，根据两向量垂直的数量积关系，结合数量积的运算律求解判断.【详解】对于A，，又，所以，故A正确；对于B，当为零向量时，可以不为相等向量，故B错误；对于C，因为，所以围成的是正三角形，如图，由平行四边形法则可知与的夹角为，故C正确；对于D，，与垂直，故D正确.故选：ACD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是的一个最小正周期 B.是偶函数C.在上单调递减 D.是图象的一条对称轴【答案】BC【解析】【分析】根据函数周期性定义，奇偶性定义，对称性定义，复合函数单调性，结合诱导公式计算，二倍角公式化简，逐个判断各选项的正误.【详解】根据诱导公式，可得：，所以是的一个周期.下面判断是否为最小正周期：.，所以是的最小正周期，则不是的一个最小正周期，A选项错误.

函数的定义域为，关于原点对称.可得：所以是偶函数，B选项正确.

已知,当时，，根据复合函数单调性，知道在单调递减，故C选项正确.

由于，当，即为图象对称轴，所以不是图象一条对称轴，D选项错误.

故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的值为__________．【答案】2【解析】【分析】利用正切的和角公式进行化简求值.【详解】已知，故，所以故答案为：213.若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则的最小值为________．【答案】##【解析】【分析】求出平移后所得函数的解析式，根据正弦函数的奇偶性可得出关于的表达式，即可得出正数的最小值.【详解】将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，由于函数为偶函数，则，可得，因为，故当时，取最小值.故答案为：.14.已知，，是同一平面内的三个单位向量，且，则的最大值是________．【答案】【解析】【分析】先求出的值，再根据向量模的性质，求出的最大值.【详解】由于，因为是单位向量，所以，则，.已知，代入上式可得：，则.根据向量模的性质，可得：因为是单位向量，所以，可得：当且仅当与同向时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知角（1）求的值；（2）若求的值．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函数基本关系与两角和的正切公式求解，（2）由两角差的余弦公式求解．【小问1详解】因为所以所以.所以【小问2详解】由（1）知，因为，，所以所以的值为；16.已知向量，满足，，．（1）求向量与的夹角；（2）若，求的值；（3）若向量在方向上的投影向量为，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）通过向量数量积的运算律求出，再利用向量夹角公式求出夹角；（2）根据向量垂直的性质列出方程求解；（3）先求出投影向量，再计算.【小问1详解】已知，根据向量数量积的分配律展开可得：,因为，所以；，所以.代入上式可得，即，解得.设向量与的夹角为，，根据向量夹角公式可得：，因为，所以.【小问2详解】因为，可知.同样根据向量数量积的分配律展开可得：将，，代入上式可得：，解得.【小问3详解】向量在方向上的投影向量.则.将，代入可得：.17.函数的部分图像如图所示．（1）求的解析式；（2）已知函数，，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由图象可得到，再分别利用点和求得和即得的解析式；（2）先利用三角恒等变换知识求出的解析式，再结合三角函数的单调性求出的最大值.【小问1详解】由图象可知的最大值是，所以，当时，，可得，又，所以，当时，有最小值，所以，解得，所以；【小问2详解】，可得所以，即时，取得最大值为.18.在中，满足：，是的中点．（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若是线段上任意一点，且，求的最小值；（3）若点是内一点，且，，，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据已知条件结合数量积的运算律分别求出，然后利用向量的夹角公式求解即可；（2）由已知可得，设，则，然后化简，再利用二次函数的性质可求出其最小值；（3）根据题意设，，则由，，可得，，然后化简，再利用正弦函数的性质可求得答案.【小问1详解】因为，所以，因为，所以，，，所以；【小问2详解】因为，，是中点，所以，设，则，因为是的中点，所以所以，当且仅当时，的最小值是．【小问3详解】设，，则，因为，所以，所以，因为，所以，所以