江苏省苏州市吴江区震泽中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

2024-2025学年第二学期阶段性测试（一）高一数学（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列命题中，真命题是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则2.已知，则（）A. B. C. D.23.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.4.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（）A.是奇函数 B.的图象关于直线对称C.在上单调递增 D.在上的值域为5.已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（）A. B. C. D.7.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则（）A. B. C. D.8.已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（）A.或 B.或1 C.或2 D.1或二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.偶函数B.的值域为C.不存在，使得D.区间上单调递减10.对于函数和，下列说法中正确的有（）A.与有相同的零点 B.与有相同的最大值C.与最小正周期不相同 D.与的图象存在相同的对称轴11.在数学史上，曾经定义过下列两种三角函数：为角的正矢，记作；为角的余矢，记作.则下列说法正确的是（）A.函数在上单调递减B.若，则C.若函数，则的最大值为D.三、填空题：本题共3小题，每小则5分，共15分．12.函数定义域为______．13.已知函数，则函数在上的最大值为_______．14.已知函数的图象关于坐标原点对称，若在的图象上存在一点列：，，满足且，那么满足条件的的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，且．（1）求，的值；（2）求的值；（3）已知，且，求的值．16.已知，（1）若，求值；（2）若，求的值域和单调递增区间.17.已知函数.（1）求的最小正周期及的值；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的解析式；（3）在（2）的条件下，直线与函数的图象分别交于，两点，求的最大值.18.已知函数．（1）当时，求函数的单调增区间；（2）当时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式；（3）当时，若实数使得对任意实数恒成立，求实数值．19.已知函数的最小正周期为．（1）求实数的值；（2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值；（3）设函数证明：有且只有一个零点，且．

2024-2025学年第二学期阶段性测试（一）高一数学（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列命题中，真命题是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】结合正方形可判断A,D项错误；再根据向量既有大小又有方向的特征排除B项，利用相等向量的定义确定C项正确.【详解】对于A，如图正方形中，若，则，但，故A错误；对于B，因向量既有大小，又有方向，故不能比较大小，故B错误；对于C，因两向量相等包括长度相等，方向相同，故C正确；对于D，如上图中，，但，故D错误.故选：C.2已知，则（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.【详解】.故选：C3.已知，，，则，，大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数，对数函数的单调性及特殊角的三角函数值比较大小.【详解】因为在上递增，且，所以，所以，即，因为在上递减，且，所以，即，因为，所以,故选：B.4.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（）A.是奇函数 B.的图象关于直线对称C.在上单调递增 D.在上的值域为【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的变换规则得到解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到，显然不是奇函数，故A错误．因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误．当时，，因为在上不单调，所以在上不单调，故C错误．由，得，则，即在上的值域为，故D正确．故选：D5.已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，结合条件可得，求解即可.【详解】因为，所以，因为函数在区间上至少有3个零点，所以，解得，所以的取值范围是.故选：C.6.如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意求出盛水桶到水面的距离与时间的函数关系式，令即可求解.【详解】设盛水桶在转动中到水面的距离为，时间为，由图可知筒车转动后盛水筒第一次到达入水点的角度小于，又筒车的角速度为2rad/min，所以所需的时间为，故A错误；由题意可得，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系如下：，令，即，解得，又，可得，，故D正确；，，故C错误；又，解得，故B错误；故选：D.7.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数图象平移规则得出的解析式，再由对称性及面积求得交点坐标，可得结果.【详解】如图，不妨取纵轴右侧的连续三个交点，周期也为，可得，由面积为及对称性知，，进而，代入结合，得.故选：B8.已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（）A.或 B.或1 C.或2 D.1或【答案】D【解析】【分析】由题意可得，从而可得的图象关于对称，即得，代入求解即可.【详解】因为，①分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，即，②由①+②，得，由①-②，得，又因为有唯一零点，即有唯一解，因为为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于轴对称，的图象也关于轴对称，所以的图象关于轴对称，所以，即，解得或.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得的图象关于轴对称，从而得到，由此得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.为偶函数B.的值域为C.不存在，使得D.在区间上单调递减【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数定义判断A；换元并利用余弦函数值域判断B；举例说明判断C；利用复合函数单调性判断D.【详解】对于A，函数的定义域为R，，因此为偶函数，A正确；对于B，令，函数是R上增函数，值域为R，函数的值域为，因此的值域为，B正确；对于C，由选项B知，存在唯一使得，则，且，因此存在，使得，C错误；对于D，函数在上单调递增，，而函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，D正确.故选：ABD10.对于函数和，下列说法中正确的有（）A.与有相同的零点 B.与有相同的最大值C.与最小正周期不相同 D.与的图象存在相同的对称轴【答案】BCD【解析】【分析】利用三角恒等变换化简两个函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AD选项；利用正弦型的最值可判断B选项；利用正弦型函数的周期公式可判断C选项.【详解】因为，，对于A选项，对于函数，由，可得，对于函数，由，可得，故函数的零点为，函数的零点为，所以，函数、没有相同的零点，A错；对于B选项，的最大值为，的最大值为，故与的最大值相同，B对；对于C选项，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，这两个函数的最小正周期不同，C对；对于D选项，因为，，所以，函数与的图象存在相同的对称轴，D对.故选：BCD.11.在数学史上，曾经定义过下列两种三角函数：为角的正矢，记作；为角的余矢，记作.则下列说法正确的是（）A.函数在上单调递减B.若，则C.若函数，则的最大值为D.【答案】BD【解析】【分析】对于A求单调减区间即可判断，对于B，代入即可判断，对于C即可求出的最大值，对于D即可判断.【详解】由已知有，，对于A：，令，当时，，所以函数在为减函数，故在上单调递减，在上单调递增，故A错误；对于B：，则，故B正确；对于C：，则最大值为4，故C错误；对于D：，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小则5分，共15分．12.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】要使函数有意义只须，再解不等式可得答案.【详解】由，得，解得故答案为：.13.已知函数，则函数在上的最大值为_______．【答案】【解析】【分析】设，可得出，求出的取值范围为，令，，利用导数即可求出在上的最大值，即为所求.【详解】设，则，所以，，当时，，所以，，则，设，，则，所以函数在上单调递减，，即当时，．故答案为：.14.已知函数的图象关于坐标原点对称，若在的图象上存在一点列：，，满足且，那么满足条件的的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，根据的奇偶性求出，即可得到的解析式，根据正弦函数的性质，优先找使，即可确定，从而得解.【详解】因．又因为的图象关于坐标原点对称，所以函数为奇函数，所以，即，又，所以，所以．因为．又，所以．要求满足条件的的最小值，只需优先找使的点即可．结合的图象，可令．故满足条件的最小整数为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，且．（1）求，的值；（2）求的值；（3）已知，且，求的值．【答案】（1）（2）;（3）.【解析】【分析】（1）利用同角平方公式及象限角确定符号来求值；（2）利用诱导公式化简，即可求值；（3）利用变单角为双角差，再用两角差余弦公式求值即可.【小问1详解】因为，且，所以，即；【小问2详解】由；【小问3详解】因为，，所以，又因为，所以，则.16.已知，（1）若，求的值；（2）若，求的值域和单调递增区间.【答案】（1）（2）值域为，，.【解析】【分析】（1）根据题意，，结合诱导公式，即可求解；（2）根据三角函数恒等变换得，结合正弦函数的性质求解.【小问1详解】因为，，所以，又，故；【小问2详解】因为，所以，所以的值域为，令，解之得，所以的单调递增区间为，.17.已知函数.（1）求的最小正周期及的值；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的解析式；（3）在（2）的条件下，直线与函数的图象分别交于，两点，求的最大值.【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）整理可得，进而可得的最小正周期及的值；（2）根据三角函数图象变换求函数的解析式；（3）根据题意结合三角恒等变换整理可得，结合正弦函数有界性分析求解.【小问1详解】由题意可得：，所以的最小正周期为；.【小问2详解】将函数图象的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到，再向左平移个单位长度得到函数【小问3详解】由题意可知：两点的坐标为，可得，因为，则，可得，所以在时的最大值为.18.已知函数．（1）当时，求函数的单调增区间；（2）当时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式；（3）当时，若实数使得对任意实数恒成立，求实数的值．【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）根据题意得到，结合正弦型函数的性质，即可求解；（2）根据题意得到，求得，得到，结合图象的变换求得，由不等式，即，即可求解；（3）化简得到，求得，转化为，得到方程组，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：当，时，可得函数，令，所以单调增区间为；【小问2详解】解：当，时，可得，其中，因为关于直线对称，可得，即，解得，所以，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，由，即，则解得，所以不等式的解集为；【小问3详解】当，，时，则，可得，则，于是，可化