2023九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计（新版）新人教版

2023九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计（新版）新人教版课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、课程基本信息1.课程名称：九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计（新版）新人教版

2.教学年级和班级：九年级（1）班

3.授课时间：2023年10月25日星期三上午第二节课

4.教学时数：1课时

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亲爱的同学们，大家好！今天我们要一起走进数学的奇妙世界，探索一元二次方程的根与系数之间的关系。这节课，我们将运用所学知识，揭开一元二次方程的神秘面纱。让我们一起期待这精彩的数学之旅吧！🚀🎉二、核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过探究一元二次方程的根与系数的关系，学生能够理解数学概念的本质，提升逻辑思维能力；通过建立数学模型，学生能够学会用数学语言描述现实问题，增强数学建模能力；同时，通过计算和推导，学生能够提高数学运算的准确性和效率。三、学情分析进入九年级，同学们已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程有一定的了解。在这个阶段，学生的数学思维逐渐从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，能够开始理解和运用代数符号进行数学表达。然而，学生在知识、能力、素质和行为习惯方面仍存在以下特点：

1.知识层面：大部分学生对一元二次方程的基本概念和求解方法有一定的掌握，但对根与系数的关系这一部分内容可能存在理解上的困难，需要教师引导和启发。

2.能力层面：学生的数学运算能力、逻辑推理能力和问题解决能力在逐步提高，但仍需加强。在解一元二次方程时，部分学生可能会遇到运算错误或逻辑混乱的问题。

3.素质层面：学生的自主学习能力和合作学习能力较强，但在课堂参与度和积极性方面存在差异。部分学生可能对数学学习缺乏兴趣，需要教师激发他们的学习热情。

4.行为习惯：学生在课堂上的纪律性较好，但部分学生存在注意力不集中、参与度不高的问题。此外，部分学生书写不规范，对数学符号的使用不够熟练。四、教学方法与策略1.采用讲授法与小组讨论相结合的教学方法，确保学生对一元二次方程的根与系数关系有清晰的理解。

2.设计互动式教学活动，如小组合作完成方程根与系数关系的推导，以及通过实例分析来加深对理论的应用。

3.利用多媒体教学工具，如PPT展示方程的图像变化，帮助学生直观理解根与系数的关系，同时使用数学软件进行计算演示，提高学生的实践操作能力。五、教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：同学们，还记得我们之前学过的二次函数吗？今天我们要探讨的是二次函数的另一个重要特性——根与系数的关系。这个特性可以帮助我们更好地理解二次函数图像，还能解决一些有趣的问题哦！

-回顾旧知：在上节课中，我们学习了二次函数的图像和性质，那么谁能告诉我，二次函数的一般形式是什么？它的图像是什么样的？

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：首先，我们来明确一下今天要学习的内容。一元二次方程的根与系数的关系是指，方程ax^2+bx+c=0的根x1和x2与系数a、b、c之间存在一定的关系。这个关系可以用以下公式表示：

x1+x2=-b/a

x1*x2=c/a

-举例说明：接下来，我将通过几个例子来帮助大家理解这个关系。比如，对于方程x^2-5x+6=0，我们可以计算出它的两个根，然后验证它们与系数的关系是否符合上述公式。

-互动探究：现在，请大家拿出纸笔，尝试自己解一元二次方程x^2-4x-12=0，并找出它的根与系数的关系。完成后，我们可以一起讨论并验证。

3.巩固练习（约15分钟）

-学生活动：现在，请大家完成以下练习题，加深对根与系数关系的理解。

1.对于方程2x^2-3x-2=0，求出它的两个根，并验证它们与系数的关系。

2.对于方程x^2+4x+4=0，求出它的两个根，并讨论这个方程的根与系数的关系有什么特点。

-教师指导：在学生练习的过程中，我会巡视课堂，观察他们的解题过程，对于遇到困难的学生，我会给予个别指导。

4.拓展与应用（约10分钟）

-学生活动：现在，请大家尝试将根与系数的关系应用到实际问题中。比如，一个长方形的面积是20平方厘米，长和宽的乘积是15平方厘米，求这个长方形的长和宽。

-教师指导：在学生尝试解决问题的过程中，我会鼓励他们运用所学知识，并引导他们思考如何将根与系数的关系与实际问题相结合。

5.总结与反思（约5分钟）

-总结：今天我们学习了什么内容？一元二次方程的根与系数的关系有什么意义？

-反思：大家在学习过程中遇到了哪些困难？如何克服这些困难？通过今天的课程，你们有什么收获？六、拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《一元二次方程的实际应用》：介绍一元二次方程在物理学、工程学、经济学等领域的应用实例，让学生了解数学知识在现实生活中的重要性。

-《数学之美：一元二次方程的演变史》：讲述一元二次方程的历史起源、发展过程以及在不同文化中的表现，激发学生对数学历史的兴趣。

-《解一元二次方程的技巧与方法》：探讨解一元二次方程的不同方法，如配方法、因式分解法、公式法等，帮助学生掌握多种解题策略。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试用根与系数的关系来解决一些实际问题，如计算抛物线的顶点坐标、求解二次函数的零点等。

-鼓励学生查阅相关资料，了解一元二次方程的数学背景和数学意义，提升对数学知识的深入理解。

-组织学生进行小组讨论，分享他们在自主学习和探究过程中遇到的问题和解决方法，提高学生的合作能力和沟通能力。

-鼓励学生尝试用根与系数的关系来推导二次函数的对称轴公式，以及二次函数的极值点公式，进一步拓展数学知识。

3.设计课后作业和实践项目：

-课后作业：完成教材中关于根与系数关系的练习题，并尝试解决一些开放性问题。

-实践项目：学生可以选择一个与二次函数或一元二次方程相关的生活场景，如设计一个抛物线运动的小程序、分析一个物理现象中的二次函数模型等，通过实际操作来加深对知识的理解。七、反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.创设情境教学：在讲解一元二次方程的根与系数关系时，我尝试通过实际生活中的案例来引入，比如讨论抛物线运动中的实际问题，这样不仅能够激发学生的学习兴趣，还能让学生体会到数学知识的实际应用价值。

2.多媒体辅助教学：我使用了PPT和数学软件来展示一元二次方程的图像变化和解题过程，这样可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生参与度不均衡：在课堂讨论和互动环节，我发现部分学生积极参与，而有些学生则显得较为沉默。这可能是由于学生的性格差异和课堂氛围的影响。

2.教学节奏把握不够精准：在讲解过程中，我发现有时过于详细，导致学生消化吸收的时间不足；有时又过于简略，学生未能充分理解。

3.评价方式单一：主要依靠课堂表现和作业完成情况来评价学生的学习效果，缺乏多元化的评价手段，可能无法全面反映学生的学习情况。

反思改进措施（三）

1.优化课堂互动设计：为了提高学生的参与度，我将设计更多层次、形式的互动环节，如小组讨论、角色扮演等，确保每个学生都有机会表达自己的观点。

2.优化教学节奏：我会根据学生的反馈和学习进度，调整教学节奏，确保教学内容既深入浅出，又能够让学生有足够的时间消化吸收。

3.实施多元化评价：除了传统的评价方式，我还将引入课堂观察、同伴评价、自我评价等多种评价手段，以更全面地了解学生的学习情况，并据此调整教学策略。

4.加强个性化辅导：对于学习有困难的学生，我将提供个性化的辅导，帮助他们克服学习障碍，提高数学学习兴趣。

5.拓展课外学习资源：我会推荐一些优质的数学学习网站和书籍，鼓励学生在课外进行自主学习，丰富他们的数学知识体系。八、课后作业1.实践题：

对于方程x^2-6x+9=0，求出它的两个根，并验证它们与系数的关系。

解：首先，我们可以通过因式分解来求解这个方程：

x^2-6x+9=(x-3)^2

因此，方程的根为x=3。由于这是一个完全平方的二次方程，所以两个根是相同的，即x1=x2=3。

验证根与系数的关系：

x1+x2=3+3=6

x1*x2=3*3=9

根据公式x1+x2=-b/a和x1*x2=c/a，我们可以看到-(-6)/1=6和9/1=9，因此根与系数的关系得到了验证。

2.应用题：

一个长方形的面积是36平方厘米，长和宽的乘积是24平方厘米，求这个长方形的长和宽。

解：设长方形的长为x厘米，宽为y厘米，则有以下方程组：

xy=24

xy=36

从第一个方程中，我们可以得到y=24/x。将y代入第二个方程中，得到：

x*(24/x)=36

24=36

x=6

将x=6代入y=24/x，得到y=4。

因此，长方形的长是6厘米，宽是4厘米。

3.推导题：

推导并证明一元二次方程ax^2+bx+c=0的根与系数的关系。

解：设一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个根为x1和x2，根据韦达定理，我们有：

x1+x2=-b/a

x1*x2=c/a

这里不需要具体证明，因为韦达定理是数学中的一个基本定理。

4.分析题：

分析以下方程的根的性质：x^2-5x+6=0。

解：这个方程可以通过因式分解来求解：

x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0

因此，方程的根为x=2和x=3。这两个根都是实数，并且互不相等。

5.综合题：

一个二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(2,-1)，且该抛物线经过点(0,4)。求该二次函数的表达式。

解：设二次函数的表达式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。根据题目信息，我们有：

h=2,k=-1

因此，函数表达式可以写为y=a(x-2)^2-1。

由于抛物线经过点(0,4)，我们可以将这个点的坐标代入函数表达式中求解a：

4=a(0-2)^2-1

4=4a-1

5=4a

a=5/4

因此，该二次函数的表达式为y=(5/4)(x-2)^2-1。板书设计①一元二次方程的根与系数的关系

-根与系数的关系公式

x1+x2=-b/a

x1*x2=c/a

-公式推导的必要条件

a≠0

-公式的适用范围

一元二次方程ax^2+bx+c=0

②根与系数关系的应用

-判断根的实数性

Δ=b^2-4ac

当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；

当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；

当Δ<0时，方程没有实数根。

-求根的和与积

通过公式直接计算根的和与积，无需解方程。

③教学案例

-方程x^2-5x+6=0

根：x1=2,x2=3

关系：x1+x2=5,x1*x2=6

-方程x^2+4x+4=0

根：x1=x2=-2

关系：x1+x2=-4,x1*x2=4

④注意事项

-确保系数a≠0

-正确使用公式进行计算

-理解公式背后的数学原理课堂课堂评价是教学过程中不可或缺的一环，它有助于教师了解学生的学习情况，及时调整教学策略，同时也能激发学生的学习兴趣和积极性。以下是我对课堂评价的具体实施策略：

1.提问评价

提问是课堂评价的重要手段，通过提问可以检验学生对知识的掌握程度和理解深度。以下是我常用的提问评价方法：

-开放性问题：鼓励学生发散思维，提出自己的观点和见解。

-应用性问题：让学生将所学知识应用于实际问题，检验其解决问题的能力。

-分析性问题：引导学生分析问题，培养其逻辑思维能力。

-创新性问题：激发学生的创造力，鼓励他们提出新颖的解决方案。

2.观察评价

观察评价是对学生在课堂上的行为、态度和参与度的评价。以下是我观察评价的几个方面：

-学生参与度：观察学生是否积极参与课堂讨论，是否主动提问或回答问题。

-学习态度：观察学生是否认真听讲，是否积极参与课堂活动。

-学习习惯：观察学生的笔记记录、作业完成情况等，了解其学习习惯。

3.测试评价

测试评价是检验学生学习成果的重要手段。以下是我常用的测试评价方法：

-课堂小测验：在课堂教学中穿插小测验，检验学生对知识的即时掌握情况。

-课后作业：布置与课堂内容相关的作业，检验学生对知识的长期掌握情况。

-期中、期末考试：通过期中和期末考试，全面评价学生的学习成果。

4.及时反