2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系（7）教学教学设计 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系（7）教学教学设计新人教A版必修4主备人备课成员设计意图亲爱的同学们，今天咱们一起探索三角函数的奇妙世界。🌟我们要深入挖掘同角三角函数之间那些神秘而美丽的关系，比如正弦、余弦和正切之间的关系。📈通过本节课的学习，我们不仅要在纸上舞动函数的曲线，更要让这些曲线在我们的脑海中跳跃、舞动，形成一幅幅生动的三角函数画卷。💡这节课，让我们一起感受数学之美，探索三角函数的奥秘吧！🔍💪核心素养目标在本节课中，我们旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模等核心素养。通过探究同角三角函数的基本关系，学生将学会从几何直观到代数表达，锻炼逻辑思维，同时运用三角函数模型解决实际问题，提升数学建模能力。在合作探究和自主反思中，学生将更加深刻地理解数学与生活的联系，增强数学学习的自信心和成就感。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

同学们在进入本节课之前，已经学习了基本的三角函数概念，包括正弦、余弦和正切等，以及它们在直角三角形中的几何意义。此外，对函数的基本性质和图像也有一定的了解。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学的兴趣因人而异，但普遍对三角函数这类具有直观性和逻辑性的内容表现出一定的兴趣。在能力方面，学生的数学基础参差不齐，部分同学能够较好地理解和运用三角函数知识，而部分同学可能还在理解这些概念的本质。学习风格上，有的同学更倾向于通过图形直观理解，有的则更偏好通过代数推导来掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习同角三角函数的基本关系时，学生可能会遇到以下困难和挑战：一是对三角函数关系的理解和记忆，二是从几何直观过渡到代数表达时的思维转换，三是解决实际问题时的应用能力。此外，部分同学可能对函数图像的变化规律感到困惑，难以把握不同函数之间的关系。针对这些挑战，教师需要提供恰当的引导和帮助。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源-白板或投影仪

-三角函数图形计算器

-多媒体课件（包含三角函数图像和公式）

-直角三角形模型

-互动式电子白板软件

-线上教学平台账号

-教材《高中数学新人教A版必修4》

-纸质三角板和量角器

-学生练习册和习题集教学过程一、导入新课

1.老师提问：同学们，我们已经学习了正弦、余弦和正切等基本三角函数，它们在直角三角形中都有具体的几何意义。今天，我们要进一步探讨这些函数之间的关系，揭开它们神秘的面纱。

2.学生回答：正弦是直角三角形中对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值，正切是对边与邻边的比值。

3.老师总结：非常好，同学们已经对三角函数的基本概念有了清晰的认识。接下来，我们要通过一些实际例子，了解同角三角函数的基本关系。

二、新课讲授

1.老师展示一个直角三角形，引导学生回顾正弦、余弦和正切之间的关系。

2.学生观察并回答：在直角三角形ABC中，若∠A为直角，则sinA=BC/AB，cosA=AC/AB，tanA=BC/AC。

3.老师提问：如果∠A变为∠B，那么sinB、cosB和tanB分别表示什么呢？

4.学生思考并回答：同理，sinB=AC/AB，cosB=BC/AB，tanB=AC/BC。

5.老师总结：同学们观察得很仔细，我们发现在一个直角三角形中，只要角度不变，对应的正弦、余弦和正切之间的关系是固定的。这就是同角三角函数的基本关系。

6.老师引导学生思考：在一般情况下，如何表示sinA、cosA和tanA之间的关系？

7.学生回答：sin²A+cos²A=1，tanA=sinA/cosA。

8.老师讲解：同学们回答得非常准确。这里，我们用到了三角函数的平方关系和商的关系。这两个关系在解决三角函数问题时非常有用。

9.老师举例说明：比如，已知一个直角三角形中，∠A为45°，那么sinA、cosA和tanA各是多少？

10.学生回答：sinA=cosA=√2/2，tanA=1。

11.老师提问：同学们，我们如何利用同角三角函数的基本关系解决实际问题呢？

12.学生思考并回答：可以通过建立函数模型，利用三角函数关系进行计算。

13.老师讲解：非常好，同学们已经掌握了同角三角函数的基本关系，并且能够将其应用于解决实际问题。接下来，我们将通过一些练习题来巩固所学知识。

三、课堂练习

1.老师展示练习题，要求学生独立完成。

2.学生认真审题，思考解题方法。

3.老师巡视课堂，解答学生疑惑。

4.学生完成练习，上交作业。

四、课堂小结

1.老师提问：同学们，今天我们学习了同角三角函数的基本关系，有哪些收获呢？

2.学生回答：掌握了三角函数的平方关系和商的关系，能够利用它们解决实际问题。

3.老师总结：同学们回答得非常好。通过今天的学习，我们不仅掌握了同角三角函数的基本关系，还学会了如何将所学知识应用于实际问题。希望大家在课后认真复习，巩固所学知识。

五、布置作业

1.老师布置课后作业，要求学生独立完成。

2.学生认真记录作业内容，准备回家完成。

六、课后反思

1.老师回顾本节课的教学内容，分析教学效果。

2.老师反思：同学们对本节课的同角三角函数基本关系掌握程度如何？是否能够在实际问题中灵活运用？

3.老师总结：本节课通过导入、新课讲授、课堂练习、课堂小结和课后作业等环节，帮助学生掌握了同角三角函数的基本关系，并能够应用于解决实际问题。在今后的教学中，我将继续关注学生的学习情况，努力提高教学质量。知识点梳理1.三角函数的定义：

-正弦函数：在一个直角三角形中，一个锐角的正弦值是对边与斜边的比值。

-余弦函数：在一个直角三角形中，一个锐角的余弦值是邻边与斜边的比值。

-正切函数：在一个直角三角形中，一个锐角的正切值是对边与邻边的比值。

2.三角函数的图像和性质：

-正弦函数的图像是周期性的波形，在第一象限和第二象限为正值，在第三象限和第四象限为负值。

-余弦函数的图像是周期性的波形，在第一象限和第四象限为正值，在第二象限和第三象限为负值。

-正切函数的图像在第一象限和第三象限为正值，在第二象限和第四象限为负值。

3.三角函数的基本关系：

-正弦、余弦和正切的平方和恒等式：sin²θ+cos²θ=1。

-正弦和余弦的商的关系：tanθ=sinθ/cosθ。

-正弦和余弦的互余关系：sin(90°-θ)=cosθ，cos(90°-θ)=sinθ。

4.三角函数的周期性：

-正弦和余弦函数的周期为2π，即sin(θ+2π)=sinθ，cos(θ+2π)=cosθ。

-正切函数的周期为π，即tan(θ+π)=tanθ。

5.三角函数的诱导公式：

-正弦和余弦的诱导公式：sin(π-θ)=sinθ，cos(π-θ)=-cosθ。

-正切和余切的关系：tanθ=1/cotθ，cotθ=1/tanθ。

6.三角函数的应用：

-在直角三角形中，利用三角函数计算未知边长或角度。

-在非直角三角形中，利用三角函数解决实际问题，如测量、导航等。

-在解析几何中，利用三角函数描述曲线和图形的性质。

7.三角函数的极限：

-当θ趋近于0时，sinθ和cosθ都趋近于θ。

-当θ趋近于π/2时，tanθ趋近于正无穷或负无穷。

8.三角函数的积分和微分：

-正弦和余弦函数的积分：∫sinθdθ=-cosθ+C，∫cosθdθ=sinθ+C。

-正切函数的积分：∫tanθdθ=-ln|cosθ|+C。

-正弦和余弦函数的微分：d/dθ(sinθ)=cosθ，d/dθ(cosθ)=-sinθ。

9.三角函数的复合函数：

-利用三角函数的加法、减法、乘法和除法，构造复合函数。

-复合函数的图像和性质可以通过分解复合函数来分析。

这些知识点是高中数学第一章三角函数的基础，对于后续的学习和应用至关重要。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.回顾本节课的学习内容，强调同角三角函数的基本关系和三角函数的图像与性质。

2.强调三角函数在直角三角形中的应用，以及如何利用三角函数解决实际问题。

3.总结三角函数的周期性、诱导公式和复合函数的相关知识。

4.提醒学生注意三角函数的极限、积分和微分的基本性质。

5.鼓励学生在课后复习和巩固所学知识，为后续课程打下坚实的基础。

当堂检测：

1.选择题：

-在直角三角形ABC中，∠A为锐角，若sinA=1/2，cosA=√3/2，则tanA的值为：

A.1/√3

B.√3

C.2

D.1/2

2.填空题：

-已知sinθ=3/5，且θ在第二象限，则cosθ的值为______。

3.计算题：

-在直角三角形ABC中，∠A为锐角，若AB=5，AC=12，求BC的长度。

4.应用题：

-一艘船在海上航行，船速为每小时15海里，风向为东北方向，风速为每小时10海里，求船相对于地面的速度大小和方向。

5.简答题：

-简述三角函数在解析几何中的应用。

检测结束后，教师应及时批改并讲解答案，帮助学生巩固所学知识，发现并解决学习中存在的问题。同时，教师可以针对学生的答题情况，调整后续的教学策略，确保教学目标的达成。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学法的引入：在讲解同角三角函数的基本关系时，我尝试通过具体的案例来帮助学生理解，比如使用生活中的实际问题来引入三角函数的应用，这样可以让学生更加直观地感受到数学与实际生活的联系。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体课件展示三角函数的图像和性质，以及一些典型的解题步骤，这样可以增加课堂的生动性和直观性，提高学生的学习兴趣。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生基础差异较大：在教学过程中，我发现学生的数学基础存在较大差异，这导致在讲解三角函数的基本关系时，部分学生难以跟上进度。

2.学生参与度不足：在课堂练习环节，我发现一些学生参与度不高，可能是由于对三角函数的理解不够深入，或者是对课堂练习的重视程度不够。

3.教学评价单一：目前的评价方式主要依赖于作业和考试，缺乏对学生学习过程和能力的全面评价。

反思改进措施（三）改进措施

1.针对学生基础差异，我将尝试分层教学，针对不同层次的学生设计不同的学习任务和练习，确保每个学生都能有所收获。

2.提高学生