高中数学必修一至必修五知识点

高中数学必修一至必修五学问点精选

必修一

1.函数奇偶性：

(1)偶函数：对于函数f(x)定义域内随意一个X,都有f(—x)=f(x).图

象关于y轴对称.

(2)奇函数：对于函数f(x)定义域内随意一个x,都有f(—x)=-f(x).图

象关于原点对称.

奇函数和偶函数的性质：

(1)若函数"X)为奇函数，且在x=0处有定义，则/(。)=0.

(2)奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性一样，偶函数在y轴两侧相

对称的区间增减性相反.

2.分数指数暮的运算性质

3.对数式及指数式的互化：x=logaNoa"=N(a>0,〃w1,N>0).

4.几个重要的对数恒等式

5.常用对数：IgN,即自然对数：InN,即log,N(其中

e=2.71828…).

6.对数的运算性质

(1)log〃M+log“N=log.(MN)(2)log“M-log”N=logfl—

(3)«logflAf=logfl(4)I=N

n(6)log,,N=l°g%~3〉0,且6/1)

(5)log„M=-logoM(b^0,n^R)

blog,a

7.指数函数

(1)定义：形如丁=优(。〉0,且"D的函数，叫指数函数。

(2)指数函数的图象和性质

a>10<a<1

尸a'y

a

图象

一(0,1)

1

性质

定义域R

值域(0,+°o)

过定点(0,1),即当x=。时，y=l

单调性在R上是增函数在R上是减函数

奇偶性非奇非偶函数

8.对数函数

(1)定义：形如y=bgaX(a＞。，且的函数，叫对数函数

(2)对数函数的图象和性质

a>10vav1

图4=1y=logfl%

7一\&0)_

象0心0)X

：7=1。冽4

性质

定义域(0,+°o)

值域R

过定点(1,0),即当x=l时，y=0

单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

奇偶性非奇非偶函数

9.暮函数

(1)定义：一般地，函数＞=/'叫做幕函数，其中x是自变量，。

是常数.

(2)骞函数的性质：

⑴恒过点(1,1),且不过第四象限.

(2)当。＞。时，幕函数在(0,+8)上都是增函数；当以V。时，幕

函数在(。，+8)上都是减函数.

⑶在第一象限内，直线X=1的右侧，图象由上到下，相应的指数

由大变小.

⑷当。为偶数时，＞=/是偶函数；当。为奇数时，＞=%"是奇函数.

10.二次函数/(x)=4+bx+c(aw0)

(1)二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为X=-二，顶点坐标是

2a

b4ac-b2

(2)当a＞0时，抛物线开口向上，函数在(一*-白A上递减，在［-9A,+S)

2a2a

上递增，当X=-，时，篇(x)='E士；当a＜0时，抛物线开口向下,

2a4a

函数在］上递增，在上递减，当冗时，

2a2a2a

2

£/、4ac-b

(3)二次函数/(x)=«x2+/?x+c(aw0)当A="-4ac＞。时，图象及x轴有两

个交点.

11.函数的零点

对于函数y=/(x),把使/(x)=o成立的实数X叫做函数y=/(x)的零

点.

12.函数零点及方程根的关系

函数y=/(X)的零点就是方程/(%)=0实数根，亦即函数y=于(x)的

图象及X轴交点的横坐标。即：方程;•(x)=0有实数根o函数y=〃x)的

图象及X轴有交点o函数y=/(x)有零点.

必修2

1.空间几何体的外表积公式

圆柱的外表积：S=2%"+2万/圆锥的外表积：

S=7irl+nr1

球的外表积：S=4九史

2.空间几何体的体积公式

柱体的体积：V=S^xh锥体的体积：

V。底义方

4③

球体的体积：V=-^R

3.直线、平面之间的位置关系的断定

(1)线面平行的断定定理：假如平面外的一条直线和平面内的一条直线

平行，那么这条直线和这个平面平行。

(2)面面平行的断定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一

个平面，这两个平面平行。

(3)线面垂直的断定定理：假如始终线和平面内的两相交直线垂直，这

条直线就垂直于这个平面。

(4)面面垂直的断定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平

面相互垂直。

4.两条异面直线所成的角

已知a、b是两条异面直线，经过空间随意一点O,分别引直线a'

//a,b'//b,则a'和b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的

角.

异面直线所成的角的求法：通过直线的平移，把异面直线所成的角转

化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：0°<«<90°;

5.直线及平面所成的角

一条直线及平面相交于A,在直线取一点P(异于A点)，过P作

平面的垂线，垂足为O,则线段AO叫做直线1在平面内的射影，直线1

及射影A。所成角就叫做直线1及平面所成的角。直线及平面所成角的范

围：0°<c<90°

6.直线的斜率

把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写

字母女表示，即k=tana.

7.直线的斜率公式

y—Vi

已知直线过两点Pi(xi,yi),P(x,y),则其斜率等=2(xi已X2).

222X2—Xi

8.直线方程的几种形式

(1)点斜式：直线/经过点且斜率为左，则直线方程为

y—九=-%一/)

(2)斜截式：直线/的斜率为左，且及y轴的交点为(0,切，则直线方程

为y=kx+b

A

(3)一般式：Ax+By+C=0(当时，斜率为-£)

B

9.两条直线的位置关系

已知直线li：y=kix+bi及直线卜：y=k2x+b2.

⑴L//12=ki=k2且bi#=b2.(2)11_(_12=氏•1<2=

-1.

10.两点间的间隔公式

已知平面上的两点P1(X1,yj,P2(x2,yj则它们的间隔IP1P21=

小(%2-X])~+(%-X)-

11•点到直线的间隔公式

|Ax+By+C|

点P(x0,yo)到直线1：Ax+By+C=0的间隔d=00

^A2+B2

12.两条平行直线间的间隔公式

两条平行直线li：Ax+By+Ci=0及12:Ax+By+C2=0之间的间隔d

」Ci—C2I

-^A2+B2'

13.圆的方程

(1)圆的标准方程：(x—a产十①一加2=产其中圆心为[a,6),,半径为

z(/>0).

⑵圆的一般方程:A2+/+止+号叶尸=。(其中02+"—4屈>0).圆心

DE1,----------------

为(一不,_m，半径为W4+严一4户

14.点及圆的位置关系

已知点及圆心的间隔为d,圆的半径为r,则

(1)d>r,点在圆外；(2)d=r,点在圆上；(3)d<r,

点在圆内.

15.直线及圆的位置关系的断定方法

设圆的半径为r,圆心到直线的间隔为d,则

①直线及圆相交=衣为②直线及圆相切=d=r;③直线及圆相

离=d>r.

16.圆及圆位置关系的推断

设两圆的半径分别为用、运，两圆的圆心距为/,则

(1)当/＞彳+厂2时，圆G及圆相离；(2)当/=4+厂2时，圆G及圆

C2外切；

(3)当|々一「21＜，＜彳+「2时,圆G及圆c?相交；(4)当/=|八-%I时，圆G及

圆c2内切；

(5)当/＜|彳-七1时，圆g及圆。2内含;

17.空间两点间的间隔公式：已知空间中两点,zx),p2(x2,y2,z2),

贝I]|pg1=J(无2-再产+⑴一%产+❷一疗

必修3

L古典概型的概率公式

；人包含的根本领件的个数

P()=一根本领件的总数一•

2.几何概型的概率公式

构成事务Z的区域长度面积或体积

P()=试验全部结果所构成的区域长度面积或体积

必修4

1.象限角的定义

在直角坐标系内，使角的顶点及原点重合，角的始边及x轴的非负半

轴重合，则终边在第几象限就是第几象限角.

2.终边一样的角

全部及角a终边一样的角可表示成尸=a+k360°,k£Z.

3•角的弧度数的计算

假如半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为1,那么，角a的弧度数

的肯定值是|a|=£

4.一些特殊角及弧度数的对应关系.

120135150180270360

度30°45°60°90°

oooooo

弧兀71n712兀3K5n3K

n2K

度64323462

5.扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为尺，弧长为Aa为其圆心角的弧度数，则

11

⑴扇形的弧长l=aR(2)扇形的面积S=-1R=~

a贬

6.同角三角函数根本关系式

sina

(1)平方关系：sin2C7+cos2<7=1.(2)商数关系：-----=tana(<7

cosa

兀

w知+弓，k£Z).

7.诱导公式

(1)sin(2kn+a)=sina;cos(2左兀+a)=cosa;tan(2左兀

+a)=tana.

(2)sin(K+a)=—sina;COS(K+a)=—cosa;tan(兀

+a)=tana.

(3)sin(—a)=—sina;cos(—a)=cosa;tan(—<7)

=—tana.

(4)sin(K—a)=sina;cos(兀一a)=—coscz;tan(K—

a}=—tana.

冗

(5)sin(y—a)=cosa;cos(y—a)=sina.

(6)sin(y+a)=cosa;cos(y+a)=—sina.

8.三角函数的定义

在平面直角坐标系中，设a是一个随意角,它的终边及单位圆交于

点Rx,力那么：

⑴尸叫做a的正弦，记作sin<7,即sina=y;

(2)x叫做a的余弦，记作costz,即cosa=x;

(3)一叫做a的正切，记作tan<7,即tana=—(xwO).

X

9.已知a的终边上随意一点P的坐标是(x,y),它及原点的间隔是

r\r=Jx2+y2>01,贝!!sina=),cosa=—,tantz=w0).

\/rrx

10.三角函数在各象限的符号

口诀：“一全正，二正弦,三正切,四余弦”.

11.正弦函数和余弦函数的图像及性质

y=sinxy=cosx

定义域R

值域[-1,1]

周期性最小正周期为2兀

y1y

1

图象52TT1

上a________X

-1-i

奇偶性奇函数偶函数

nn在［2k?i—冗,2k?i］(kCZ)上是增函数；

在［2k兀-J,2k兀+j］(keZ)上是增

单调性

在［21<兀，2k兀+兀］仅CZ)上是减函数

函数；

K3

在［2k兀+弓,2k兀+弓兀］(k€Z)上是减

函数

n

对称轴x=k7i+-(k€Z)x=kn(k€Z)

n

对称中心(k兀，0),(k€Z)(k兀+5,o)(kez)

71

x=2如+弓(左CZ)时，y=l;

maxx=2kn时,%=1;x=2H+兀时,

最值1ax

nJ/min=-1

x=2如一JKCZ)时，ymin=-l

12.正切函数尸tanx的图象及性质

解析式y=tanx

_TT

图象一pJ-TfJ___

0A

n

定义域{x|x€R,且处i,KWZ}

值域R

周期n

奇偶性奇

13.函数受Zsin(w+协和y=Atan(ax+0)的周期

、.27r―

(1)y=Zsin(Gx+°)的最小正周期为T=;-(2)y=Ztan(Gx+0的最

兀

小正周期为T=—.

I0

14.平面对量的夹角：已知两个非零向量a和5,作d=a,OB=b,则

NZC归=6叫做向量a及b的夹角./4

15.向量的坐标运算/

已知4=(为，yj,b={x2,y2),贝i］Ai_________.

0bB

(1)a+b=[xx+x2,K+乃)；(2)a-b=[xr-x2,-y2);

Aa=(AxlfXy^.

16.向量平行和垂直的断定

已知a=(x-yj,b=(x2,y2),贝U

(1)a//b^xxy2-x2yx=0(2)alb^xxx2+yxy2=o

17.平面对量的数量积

已知两非零向量a及b,它们的夹角为e,则把数量Ia|IMcose

叫做a及b的数量积(或内积)，记作a",即a"=|a|Iblcosa

常用结论：

a-b

(i)a±b<^a-b=0;(2)a-a=|a|2;(3)cos0=~,—..,.;

\a\\b\

⑷|a"|w|a||b|.

18.平面对量数量积的坐标表示

设向量a=(xi,yj,b=(x2,力，a及b的夹角为6,则

(2)|a|=)上+人.

(l)a-b=xix2+yiy2

a■bXiXg+y斗

(3)cos0=

Ia|•|b|彳+%•^/xi+yi'

19.两角和及差的正弦、余弦和正切公式：

(1)cos(<7+^=cos<7cos[3-sinosin/3;(2)cos(a—⑶

=cos<7cos"+sinasin13.

(3)sin(o+=sinacos"+cosasin/3;(4)sin(<7—

=sinczcos〃+cosasin0.

tan<7+tanB

(5)tan(a+/3)=-~;(6)tan(a—y0)

1—tancztan0

tan<7—tan/3

1+tanatan(3

20.二倍角正弦、余弦和正切公式：

(1)sin2cz=2sinacosa;(2)cos2<7=cos2<7—

sin2(7=2cos2a-l=l—2sin2<7