高等数学复习题

高等数学

一、填空题

1.设/。）="';〃'，则函数的图形关于对称。

解：/（©的定义域为（-8,+8）,且有

/（-幻=-----------=---=---=JM

L乙乙

即/（X）是偶函数，故图形关于y轴对称。

[sinx-2<x<04

2.若y=（，则y（彳）=____________.

H+i0<A:<22

解：1十――O

4

x2sin—

3.极限lim----工

iosinx

2•1

xsin—.Iy.Iv*

解：lim------=lim（xsin------）=limxsin--lim----=0x1=0

sinxxsinx―。xsinx

注意：limxsin』=0（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）

X

Y111Qinr

lim」一=lim=——：—=-=l,其中lim—=1是第一个重要极限。

x-»°sinx—osinx..sinjr1DX

lim----

x--fx

.....尸+a¥+力_.

4.己知lim------=2,则nila=,b-。

―2厂一工一2

由所给极限存在知，4+2。+人=0,得b=-2a-4,又由

x2+ax+bx+a+2a+4一八，，、

lim-.......=hm--------=-----=2,如a=2,〃=一8

^->2x2-x-2—2X+13

5.已知x-0时，（1+。/户-1与cosx—l是等价无穷小，则常数"

1.（1+at?）'-[

解.,/limA------』------=lim

XT°COSX-1zO

zHz

6.设厂+z~=)g(—)>其中/可微,则二.

)'oy

dz.

—y-z-1

dz,dy

解2oz——=(p+y(p

力y~

az/-/

5y2z-。'

7.设u=exyz123,其中z=z(x,y)由x4-y+z+xyz=0确定的隐函数，则

duI

菽|(o』)=----------°

An()ur，/Kdz

解一=eyz~+2zey—

dx'dx

,ndzdzdz-yz

dxdxdx1+封

里=eW+2zer，上二

dx1+盯

x=(),)，=]时，z=-l

dz,

dx

<o.i)

[K2

8.设z=—f(xy)+yeO+y),f°具有二阶连续导数，则

xdxdy

解：

聂=*^)+，5)+Wa+y)

d2z—1I........

=­J(xy)+-f(xy)+yf(盯)+8(x+y)+y。(x+y)

dxdyx

=y[f(盯)+(P*+j)]+。(x+y)

9.函数/(x,y)=町，一肛2-/y的可能极值点为和

1

.v=-

x=0x=0x=1

解3

y=03=1y=01

y=-

3

-2yl-2y-2x>

H=

人=-2y,fiy=\-2y-2x,f>y=-2x,

\-2y-2x一2x；

«)1-2-r

(0.0)H=不是，10,1)H=不是

J0-i0,

(1。H=不是

r-2/3一1/3、

H=负定,极大值（1,1

「1/3-2/3,

22

10.设/(x,y)=xsiny+(x-l)^n则f'y(h0)=

解：因为/(1,)，)=siny,故G(l,0)=cos)，Jo=l

11.\x2sin2xdx=.

解：原式=J/djgcosZx)=-3/cos2x+jxcos2xtZx-

=--x2cos2x+sin2x)=——x2cos2x+—xsin2x--jsinIxdx

22222

=--x2cos2x+—xsin2x+—cos2x+C.

224

12.在区间［0,乃］上曲线）:=cos/,y=sinx之间所围图形的面积为

解：A=cosx-sin^dx=Jj(cosx-sinx)dx+j(sinx-cosx)dx

=(sinx+cosx)|^+(-cosx-sinx)|^=V2-1+1+V2=272.

13.若「屋也甘，则攵=

|f+00

答案”二J。eAv(lr=lim

b->4cok0kb-Qkk

:・k=2

14.设D：/+<i,则由估值不等式得<jj(x2+4y2+\)dxdy<

D

解f(x,y)=x2+4y2+\<4(x2+y2)+\,又D:x2+y2<\

=>max{/(x,y)}=4x1+1=5>niin{f(x,y)}=1

(,r.y)€D-(x.y)€D

由HUTWjj/(x,y)dcr<Ma,cr=So=^-1=

it

:.7T<I<57V

15.设。由y=y=2x2,y=1,y=2围成(xN0),则jj/(x,y}d(y在直角坐标系下的

两种积分次序为和.

--<x<1l<x<>/2

解D：(X—型)=。|+。2，

fWyW2

1W)，Wlx1

1=jl_泣广于(x,y)dy+J；dx\l/(x,y)dy

16.设D为0W），Wl—x,0WxW1,则JJ7（产公力的极坐标形式的二次积分为

04”工T,

解：D：{-,/=底def"+cos〃/⑺曲

0^r<----!----

sinO+coN。

001

17.设级数2工收敛，则常数p的最大取值范围是.

〃=1

仔1

解:由〃级数的敛散性知，仅当2+〃>1即〃>-1时，级数收敛，其他情形均发

1〃

散.

・C广1八X2X4X’一

18.IX（1-----1---------F…）.

J。1!2!3!

V2r4r6工

解：因为1-----1---------1•…=e',所以原积分

1!2!3!

19.方程一/:H—=0的通解为arcsini+arcsiny=c;

Jl一厂也一y~

5

20.微分方程4y〃-2()y'+25=()的通解为y=(q+QX)^”.

21.3n=时，方程y+p*)y=4。))，”为一阶线性微分方程。

解n=0或1.

22.若4x4阶矩阵A的行列式为|A|=3,A是A的伴随矩阵，则|A|=.

答案：27

23.设4海与/兀曲均可逆，则c=八「也可逆，且C"=•

“T0、

答案:

<0B-'>

24.设31,且AX-E=3X,则X二

3

1

O-

答案•2

10

-2-12

25.矩阵402的秩为.

0-33

解答：将矩阵化成阶梯形，可知填写：2。

26.向量。二(一1,0,3,-5),p=(4,-2,0,1)淇内积为.

答案：一9

27.n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是.

答案：尸n,或|A|W0;

28.给定向量组四=(1I1)。2=(。()人)。3=(132),,若%,%,见线性相关，

则。，。满足关系式.

答案：a-2b=0

29.已知向量组(1)与由向量组(II)可相互线性表示，则”)与r(U)之间向量个数的大小关系

是.

答案：相等；

30向量y=(2,l)T可以用与夕二。,3尸线性表示为.

答案：y=—5a+2#；

31.方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的条件.

答案：必要不充分;

32.设A为mXn矩阵，非齐次线性方程组Av=》有唯一解的充要条件是r(A)

r(A\b)=.

答案：r(A)=r(A:Z?)=/r；

33.已知元线性方程组有解，且r(A)<n,则该方程组的一般解中自由未知量的个

数为.

解答；n“八)

34.设20是方阵A的一个特征值，则齐次线性方程组(4七-人k=0的都是A的属

于4的特征向量.

答案：非零解；

35.若3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,则川的特征值为.

答案：1」,」；

23

36.设A是n阶方阵，|A|WO,A•为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵，若A有特征值儿,则

(万丁+2E必有特征值;1=.

答案：(*尸+2.

37.a,夕分别为实对称矩阵A的两个不同特征值乙,4所对应的特征向量，则a与尸的内枳

(a,。)=.

答案：0

38.二次型/(xl,x2,x3,x4)=xlx4+12巧的秩为.

答案：4.

‘420、

39.矩阵A=242为正定矩阵，则4的取值范围是.

<04b

答案：大<£

40.二次型/区,工2，与)=21；+3石+戊；+2中2+2工/3是正定的，则/的取值范围是.

3

答案：t>-

5

41.A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为4B+8C+AC.

42.事件A、B相互独立，且知P(A)=0.2,P(B)=0.5则P(AU8)=.

解：・・抽、8相互独立，：.P(AB)=P(A)P(B)

：.P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.5-0.1=0.6

43.若随机事件A和B都不发生的概率为p,则A和B至少有一个发生的概率为.

解：P（；4+^）=|-P（A+5）=1-P（AB）=1-/?

44.在相同条件下，对目标独立地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.6,

那么击中目标k次的概率为（0<A:<5）.

解：设X表示击中目标的次数，则X服从二项分布，其分布律为：

45.设随机变量X服从泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},则P{X=3}=.

e~AAk

解：：X服从泊松分布，其分布律为P{X=M=-----（^=0,1,2,­••,A>0）

k\

由已知得：-——=-一求得；1=2

1!2!

e~22

・•・P{X=3}=—

x0<x<1

46.设随机变量X的分布密度为—x则。=.

0其它

解：由性质匚/（龙心=1

即10d.x++「（〃-工心+£0公

=0+牛+«司+0

1CC1.1

=—+2a-2-a+—=a-\=\

22

解得:a=2

47.若二维随机变量（X,Y）的联合分布律为

解：:X,丫相互独立

尸（x=i,r=i）=p（x=i）p（r=i）

....1（13Y1]

即：——=—+—0——+a

1611616人16）

.3

••67=----

16

又7ZU1

fJ

,13,,

・・---卜----a+b=\

1616

・・.一

16

48.设X的分布密度为力工），则y=X'的分布密度为.

解：•・•p{yw），}=p（x3w），）=p（x<y7）=E（y7）

・•・y=x3的分布密度为

。。）=母（#）'）=（>3/3），产。

49.二维随机变量（X,Y）的联合分布律为

二1

1Ct0.2

2Q0.3

则。与/?应满足的条件是,当X,Y相互独立时，a=.

解:ZZq=10+4+0.2+0.3=1即有a+夕=0.5

/j

当x,y相互独立・・・P(X=I,y=i)=p(x=i)p(y=i)

，〃=(〃+0.2)(〃+夕)Aa=0.2

50.设随机变量X与Y相互独立，且乂~/7(1,2),丫~"(0』).令Z=-Y+2X+3,则

D(Z)=.

解，:x与y相互独立，o(z)=o(—y+2x+3)=zx—r)+o(2x+3)

=(-l)2O(y)+4D(X)=1+4x2=2。

51.已知随机变量X的数学期望E(X)=1,E(X2)=4.令Y=2X-3,则

o(y)二.

解D(D=D(2X-3)=4D(X)=4{E(X2)-[E(X)]2]=4(4-l2)=12o

二、单项选择题

1.设/a)=x+i,则f(fa)+i)=().

A.xB.x+1C.x+2D.x+3

解由于/(x)=x+l,得/(/(x)+1)=(/(x)+1)+1=/(x)+2

将f(x)=x+1代入，得/(/(x)+l)=(x+l)+2=x+3

正确答案：D

2.下列函数中，()不是基本初等函数.

A.y=(-)rB.y=Inx2C.y=D.y=

ecosA:

解因为y=ln/是由y=in〃，〃=/夏合组成的，所以它不是基本初等函数.

正确答案:B

3.下列各对函数中，()中的两个函数相等.

xln(l一幻,In(l-x),2」…

A.y=----；——^与8=-----B.y=InX?与g=21nx

x~x

C.y=V1-sin2x与g=cosxD.y=个x(x-1)与y=«'(戈-1)

解：A

4.设f(x)在x=/处间断，则有()

(A)/(x)在x=x()处一定没有意义；

(B)f(x0-0)*f(x+0);(即lim/(x)Alim/(x))；

x—>.r0x—>.tQ

(C)limf(x)不存在，或limf(x)=co；

与x-».t0

(D)若/(幻在X=/处有定义，则XfX。时，/(x)-/(%)不是无穷小

答案：D

1-,V1+2.x

5.函数/*)=-x-'在x=0处连续，则上=().

k,x=0

A.-2B.-IC.1D.2

答案：B

X

6.若/*)=°一"，x=()为无穷间断点，x=l为可去间断点，则。=().

x(x-1)

(A}1(R)0(Hp.(〃)e

解•:由于工=（）为无穷间断点，所以（/一。）|…w（）,故awl.若。=0,则x=l也是无穷

间断点.由x=l为可去间断点得a=e.故选（0.

7.函数2=必（了2+）理-2）+"4-"2一32的定义域为（）.

A.1+V工2B./+y2w4c./+),2N22<x2+y2<4

解：z的定义域为：

X2+/-2>0

=>2<x2+y2<4选D

4-X2-/>0

8.二重极限limEr()

sox+y

v->0

（C）等于1

(A)等于0(B)等于I（D）不存在

2

D)

解:=与女相关，因此该极限不存在

:呼/+），1+公

9.利用变量替换…T，一定可以把方程啜+y导z化为新的方程

（）.

dzdz

(A)U—=Z(B)v(C)u—=z(D)

dudv

dz

V—=Z

du

解z是x,y的函数，火u=x,u可得x=〃，y=uv,故z是〃，u的函数，又〃=x,

x

U=£故z是苞)，的复合函数，故包=包.1+竺？，^=^.0+^.1,从而

xdxdudvx~oyonovx

力vi,dzdzdzydzydzdzdz

左以二x——+y——=x------+——=x—=u——

dxdyduxdvxdvdudu

因此方程变为：〃生=2

cu

选A

10.若f(x)=-/(-x),在(0,+8)内f'(x)>0,/‘‘(x)>0,则/(x)在(-00,0)内().

(A)r(x)<0,/M(x)<0;(B)/,u)<o,/,,a)>o；

(or(x)>o,r'(x)vo,(O)/'(x)>0,/MW>0,

选(0.

11.设/(x)在x=()的某个邻域内连续，且八0)=0,lirn"幻=1,则在点％=0处

v->°2sin2-

2

fM().

3)不可导QB)可导，且/'(())♦09取得极大值(〃)取得极小值

解:因为lim=1,则f(x)>0=/(0)在x=0的邻域内成立，所以/(0)为f(x)

t->°2sin2-

2

的极小值.故选(〃).

12.设函数/(x),g(幻是大于零的可导函数，且r(x)g。)—/(x)g'(x)<0,

则当avxvb时，有().

(力)f(x)g(b)>f(b)g(x)(8)f(x)g(a)>f(a)g(x)

(C)f(x)g(x)>f(b)g(b)(〃)f(x)g(x)>f(a)g(a)

解：考虑辅助函数F(x)=上立,则F'(x)=/二)«(工)一人工),(工)vo,

g(x)g'(x)

则/(x)严格单调减少函数.当X<胡寸,>华，

g(x)g(b)

即有了(x)g®>g(x)f(b).应选(A).

13.设/V)是连续函数且2x)=「'/⑺川,则/x)=().

(A)-e-xf(e-x)-f(x)⑺-e-xf(e-x)+f(x)

(C)e~xf(e-x)-f(x)(〃)e-xf(e-x)+f(x)

解：由积分上限函数的导数可得尸'(幻=-6一、/(小、)-/(©，故选(力).

14.设/(幻在［1,2］上具有连续导数，且/(I)=1,/(2)=1=-1,

则=().

(A)2(B)19-1(〃)-2

解：因为「？'(幻公=『网〃此=?(工)|："f'fMdx=2/(2)-/(l)-[2f(x)dx

=2-1-(-1)=2,故应选(/O

15.设/(幻在上二阶可导，且/(x)>0,/'(幻<0,/〃(大)<0.记

b

S,={f(x)dxS2=f(b)(b-a),邑="")+/(")(〃_〃)，则有().

Ja2

(J)51〈S2Vs3(B)52Vs3Vsi(OS3<Sl<S2(〃)<S3<S2

解：依题意，函数在上严格单调减少，且其图形是向上凸的曲线.依据几何图形可得

S2Vs3<与,故选(曲.

16.设品级数£%(工一1)"在工=一1处收敛.则此级数在工=2处().

n=\

(A)绝对收敛(B〉条件收敛

(C)发散(。)收敛性不能确定

解：选(A).

17.下列命题中，正确的是().

(J)若级数£〃“与£匕的一般项有〃“〈乙(〃=1,2…),则有<£匕

〃=1〃=1〃=1n=l

(B)若正项级数Sx满足殳51(〃=1,2，…)，则发散

M露M

8

(。若正项级数收敛，则lim皿<1

⑺)若哥级数£为V的收敛半径为/?(()</?<+8),则lim2=R.

.…《x"

解：由&NI(〃=I,2,…)有〃“之对>0(〃=1,2,…)，因此从而£您发散.

故选(皮.

18.设级数£(一1)"42”收敛，则级数.

/1=1n=l

(力)绝对收敛(B)条件收敛(。)发散(力敛散性不确定

解：因为£(一1)%”2"收敛，即辕级数”/在x=-2处收敛，由Able定理知，某级数

〃=1n=l

在X=1处绝对收敛，亦即Z4绝对收敛•故选(月).

«=1

19.微分方程(1+“公-心')=公+力的通解是()

(A)x+y+ln(x+y)=c;(B)x-y+ln(x+)，)=c;

(C)x+y-ln(x+y)=c;(D)x-y-ln(x+y)=c

解：D

20.设y=/(x)满足微分方程)，〃-5y'+5y=0,若/(方)<0,)=0,则函数/(A)在

点/()

(A)取极大值；(B)取极小值;

(C)附近单调增加；(D)附近单调减少.

解：B

21.函数y=y(x)在点x处的增量满足

yAx

Ay=4-⑶-0)

\+x2

且)(o)=7i、贝ijMD二(D)

(A)2肛(B),T;(C)e4;(D)欢4.

解令Arf0,得y=ce"-,c=万，)()二碇7,故选(D)O

y1+JT

22.若含有s个向量的向置:组线性相关，且该向量组的秩为r,则必有().

(A)r=s(B)r>s(C)r=s+l(D)r<s

答案：D;

23.已知向量组T二(1,1』,0),%=(0/，0,1)，%=(2,2,0,1),%=(0,0,2,1)线性相关，则

k=()

(A)-1(B)-2(C)0(D)1

答案:(C)

24.向量组%,％，…,4线性相关的充分必要条件是()

(A)4中含有零向量

(B)«,%，…，％中有两个向量的对应分量成比例

(C)①,。2,…,4中每一个向量都可由其余S-1个向量线性表示

(D)4中至少有一个向量可由其余sT个向量线性表示

答案:(D)

25.对于向量组,因为0%+0%+…+0%=0,所以名，见,…，％是[].

(A)全为零向量；(B)线性相关；

(C)线性无关；(D)任意.

答案：D;

26.设A,B均为n阶矩阵，^LAB=O,则必有()

(A)A=O或8=0⑻|力|=0或|6=0(C)A+B=O(D)|川+剧=0

答案：B

27.若非齐次线性方程组4叱〃乂=》的(),那么该方程组无解.

A.秩(A)=nB.秩(4)=〃？

C.秩(A)w秩(A)D.秩(4)=秩(A)

解根据非齐次线性方程组解的判别定理，得A〃KX=/;无解。秩(A)工秩(彳)

正确答案：C

722

28.若线性方程组的增广矩阵为囚=则当；1=()时线性方程组有无穷

<2I4

多解。

1

A.IB.4C.2D.

2

解将增广矩阵化为阶梯形矩阵,

42(\X2、

<214101-2X0>

此线性方程组未知量的个数是2,若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2,即

1-2九=0,从而/l=L,即正确的选项是D。

2

29.设X=2是非奇异矩阵A的特征值,贝I」(；A?)T有一个特征值是

)

(A)I

(B)-(O2⑻-

244

答案：c

30.若二次型

/(2,孙电)=(&+1)4+(上一2濯+(女一3温正定，则()

(A)k>-1(B)k>\(C)k>2(D)k>3

答案：(D)

211

31.已知a=(l,&1)7是矩阵A=121的特征向量，则Z=()

J12

(A)1或2(B)-1或-2(C)1或一2(D)一1或2

答案：(C)

32.在随机事件A,B,C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表

示为()

(A)ACUBC(B)ABC(C)ABCUABCUABC(D)AUBUC

解由事件间的关系及运算知，可选(4)

33.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的

概率为()

5

-

od

解基本事件总数为C：,设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数

为。；=5,故尸(4)=备

故应选(。)。

34.设A、B互为对立事件，且P(A)>(),尸(3)>0,则下列各式中错误的是()

(A)P(B|A)=O(B)P(A|B)=O(C)P(AB)=O(D)P(A(JB)=1

解：因为A、B互为对立事件，所以P(A+8)=1,P0B)=O,又P(A)>0,P⑻>0,

所以巨=A,因而P(万|A尸P(A|A)=1,故选(A)

35.离散型随机变量X的分布列为P{%=1,2,3,4.则。=()

(A)0.05(B)i).1(C)0.2(D)0.25

4

解：由概率分布性质可知，常数4应满足gP(X=6=1,・•・a+2a+3a+4el,即有

Zr-l

a=O.l,故应选(8)。

36.设随机变量X的分布函数为产(工)=〃+­!■arctanx(-8<x<8,。为常数)则

冗

P\--<X<y/3\=()

3

(A)-(B)-(C)-(D)-

6323

141(乃)111

=­X------------X=1=—,故应选（C）。

乃3乃16)362

37.设随机变量X服从N（〃,4），则?{XV2+〃},的值（）

（A）随〃增大而减小；（B）随〃增大而增大；

（C）随〃增大而不变；（D）随〃减少而增大.

解：•・•X〜N（〃，4）・•・尸［XW2+〃］二尸与幺W"尸£=i=0（］）,而。⑴

值不随〃的变化由•变化，/.P{XW2+〃}值随〃增大而不变，故应选（C）。

38.设随机变量X〜NT，/）,则丫=。乂+人服从（）

(A)N(N，£)(B)N(O,1)(C)N幺,(2产22

(D)N(a/.i+b>a(y)

14b

解选(D),■:E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=ap+b

D(^=D(aX+b)=crD(X)=a2b2

丫〜N（a〃+〃，a2（J2）o

39.对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72,则

每次射击的命中率等于（）

（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4

解选（。）；由题意知：X〜3（3,〃），而。（X尸3・〃・（1-〃尸0.72

〃=0.4。

1

-/\x\<a

40.设随机变量X的概率密度为/（幻=《局£—4,〃>（）,则七（x）=（）.

0\x\>a

（A）-1（B）0（C）1（D）以上结论均不正确

解选（8）；:凤X）:1%*（工）办=『一而被积困数为对称区间上的奇

7r\la2-x2

函数，£(%)=()。

三、解答题

a+x2x<0

1.设/*)=1x=0,已知/(x)在x=O处连续可导,

ln(/?+x2)x>0

试确立4,/?并求f\x)

22

解limf(x)=limIn(b+x)=In/?,limf(x)=lim(a+x]=atvf(x)在-=0

47

.t->0.r->0+''x->0~XT。-'

处连续，ln〃=a=l,即a=l,/?=e。

当x>0时,

当R<0时,f\x)=2x,

当x=0时，/；(())=lim=lim1伞+/片=(),

x->04xfX

,/\y(o+A)—y(o)..14-X"-1

fr"(0n)=hm--------匕3=hm--------=0n,故

x->0-x.r->0+x

2x,x<0

7(x)=42x°

e+x

o2

2.设z=/(2x-y,ysin/),其中/(〃,□)具有二阶连续偏导数，求三石.

dxoy

解：等=2/+ycosV；,

dx

z

——=2(-/u+sinVP)+cosx/；+ycosx(-f^+sinxf^)

dxoy

=-2yM+(2sinx-ycosx)力2+cos^>4-ysinACOS^2.

XV2八

3.设〃a)=2工°讨论f(x，y)在(°，°)

0,.v2+y2=0

(1)偏导数是否存在。

(2).是否可微。

解：(I)6(0.0)=lim/(—，0)-/(0,0)=出口2z2=o

Av-*0&VAx->0At

同理可得力(0,0)=0,偏导数存在。

(2)若函数/在原点可微，则

Az-必=/(()+Aa0+Ay)-/((),())-faW))Ax-力」((),())Ay=,呼

心2+42

应是较「高阶的无穷小量，为此，考察极限limA*=lim-产J,由前面

。-»0p(Ar.Ay)->(0.0)2kv-+A)-

所知，此极限不存在，因而函数了在原点不可微。

4.在过点尸(1,3,6)的所有平面中，求一平面，使之与三个坐标平面所围四面体的体

积最小.

解：设平面方程为A¥+8y+Cz=l,其中均为正，则它与三坐标平面制成

四面体的体积为丫=!_!—,且A+33+6C=l,令

6ABC

F(A,C,2)=ABC+A(A+3B+6C-1),则由

竺

=BC+2=0

A=-

aVA3

而=AC+32=0_p.

,求得ZHB=-.由于问题存在最小值，因此所求平面方程为

"

一=AB+6A=0

朋C=—

18

A+33+6C=l

-++—=1,fiV=-x3x9xl8=81.

3918mimn6

5.仁xcos2Adr

■一12],一.

解：2xcos2.uk=—xsin2x---2sin

J。202」。

=0+kos2x02=27

4

6.jj|x2+/-4klo-,其中D为圆域d+Vw9。

解：将区域。分为外。2,其中A={(x,y)|f+y2K4},。2={(工3)|44%2+/49}。

于是

jj|x2+y2-4|dcr=jj(4-x2-y2Xlc+jj(x2+y2-4)do-

DD2

2JT22开3

=j呵(4-r)rdr+J呵(r2-4)rJr

0002

二2乃(2/一;/)|+2小;/一2产)J;

41

=—71

2

7.设/(x,y)在/+y241上连续，求证：]im」yJJ/(x，y)"b=4(。，°)。

zRa%肥

证明。=(*,)，)|犬+)，24RZ)

由重积分中值定理，驾,)，)€。，使得4/(尤)，川。=/(5)，)(7=知/?2/侑,)，)，当R->0时,

D

&y)f(0,0)

由/的连续性，知lim/C，y)=f(O,O),从而有：

=hm3成打&y)=乃lim