高考数学 立体几何初步难题专项训练 文

年高考数学（文）难题专项训练:立体几何初步

1.（年河南省十所名校高三第三次送考，12,5分）四面体ABCD中，AD与BC互相垂直，且AB+BD

=AC+CD,则下列结论中错误的是（）

A.若分别作aBAD和aCAD的边AD上的高，则这两条高所在直线异面

B.若分别作aBAD和ACAD的边AD上的高，则这两条高长度相等

C.AB=AC且DB=DC

I）.Z.DAB=Z.DAC

2.（北京西城区高三三月模拟，8,5分）如图，正方体加4RG叫中，s是棱4G的中点.

动点P在底面ZBCD内，且二4=4尺，则点尸运动形成的图形是（）

（A）线段（B）圆弧（C）椭圆的一部分（D）抛物线的一部分

3.（北京海淀区一月期末，8,b分）如图，在校长为1的正方体4版。-48£。中，点瓦户分别是

棱8CCC的中点，〃是侧面内一点，若平面在匕则线段4『长度的取值范围是

'：）

用咚.6I)..⑸

4.（山西大学附中十月月考，12,5分已知正方体/8。0-44。。1的棱长为2,长为2的线段A/.V

的一个端点”在棱上运动，另一端点N在正方形.481'。内运动，贝ij.XV的中点的轨迹的面

积（）

A.B.2JTc.XD.y

5.（东北三省四市第二次联考，12,5分）四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD

是正方形且和球心。在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于4+4百，

球0的体积等于（）

4^280167232虎

A.----B.------------乃C------7D.------7

3333

6.（福建省高中毕业班质量检测，11,5分）一只蚂蚁从正方体一四°。一N/IGA的顶点M处出发'经

正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点Ci位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路

线的正视图是（）

7.（沈阳高三模拟，12,5分）一个球的内接正四棱柱的侧面积与上下两底面面积的和之比为4：

1,且正四棱柱的体积是4、2则这个球的体积是（）

A."nB.2v^nC.3m无D.

8.（云南高三二模，12,5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点E、F分别是棱AB、

BC的中点，则异面直线AE与BF所成的角的余弦值等于（）

34

35

D.

9.在正方体ABCD-ABCD中,E、F分别为棱AAgCG的中点,则在空间中与三条直线AD、EF、CD

都相交的直线（）

A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条I）.有无数条

10.（全国I,11,5分）已知三棱柱ABC-ABG的侧棱与底面边长都相等，Ai在底面ABC内的射影为

△ABC的中心，则AB】与底面ABC所成角的正弦值等于（）

12

33

D.

11.已知二面角a-1-0为60。，动点P、Q分别在面a、B内，F到B的距离为、⑶Q到a的距

离为2#，则P、Q两点之间距离的最小值为（）

A.A/2B.2C.2#D.4

12.半径为R的球0的直径AB垂直于平面。，垂足为B,ABCD是平面。内边长为R的正三角形，线

段AC、AD分别与球面交于点11、N,那么M、N两点间的球面距离是（）

14

C3RnR

71D.T5

13.已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为「的球面上，球心。在AB上，SO_L底面ABC,AC=&r.

则球的体积与三棱锥体积之比是（）

A.nB.2nC.3nD.4n

14.若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该

棱柱的体积等于（）

A.蠹2点C.3班D.4A/2

15.已知平面a截一球面得圆立过圆心M且与a成60°二面角的平面3截该球面得圆N.若该

球面的半径为4,圆M的面积为4丸，则圆N的面积为（）

A.7nB.9nC.11nD.13八

16.（辽宁，10,5分）已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点，AB=2,乙ASC=4BSC=45"则

棱锥S-ABC的体积为（）

D.呼

B.¥c.¥

17.如图，模块①=⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.

现从模块①T⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择

方案中，能够完成任务的为（）

模块①

模块④模块⑥

A.模块①:,②,模块①、③，⑤，C.模块②，④，⑤D.模块③,

④，⑤

18.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆

的圆心距等于（）

A.1B.A/2C.4D.2

19.在正四棱柱ABCD-A.B.C,D,中，顶点Bi到对角线BD1和到平面A.BCD.的距离分别为h和d,则下列

命题中正确的是（）

h

若侧棱的长小于底面的边长，则d的取值范围为⑹1）

h他2病

B.若侧棱的长小于底面的边长，则d的取值范围为

若侧棱的长大于底面的边长，则）的取值范围为（与士”2）

C.

若侧棱的长大于底面.的边长，贝A的取值范围为（挛+8）

D.

2（）.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一

些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是（）

A.南

B.北

C.西

D.下

21.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1,线段上有两个动点E,F,且EF=Z则下列结论中

揩误的是（）

A.AC1BE

B.EF〃平面ABCD

C.三棱锥A-BEF的体积为定值

【）.AAEF的面积与ABEF的面积相等

22.如图，M是正方体ABCD-ABGD：的棱DDi的中点，给出下列四个命题:

①过M点有且只有一条直线与直线AB,BC都相交；

②过M点有且只有一条直线与直线AB,BC都垂直；

③过M点有且只有一个平面与直线AB,BC都相交；

④过M点有且只有一个平面与直线AB,BC都平行.

其中真命题是（）

A.②③④B.①@④C.①②@D.①②③

23.与正方体ABCD-ABCD的三条凄AB、CG、AD所在直线的距离相等的点（）

A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D,有无数个

24.（武汉市毕业生4月调研.16、5分）已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点，AB=2.

/ASC=^BSC=45°,则棱锥S-ABC的体积为.

25.（北京东城区模拟，14,5分）已知四棱柱X8CO-44C。中，侧棱

亿，底面46C0,14=2,底面48co的边长均大于2,且ND48=45,点P在底面/SCO

内运动，且在48.4〃上的射影分别为.“，.V,若pH-2,则三棱锥〃〃”丫体积的最大值为

26.（东北三省四市第一次联考，16,5分）如图所示，正方体18co44。。的棱长为6,则以正

方体48（7）-"的中心为顶点，以平面.44"截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全

面积为__________.

27.（高考仿真卷一，16,5分）如图所示，正方体ABCD-ABCD的棱长为6,则以正方体ABCD-ABCD

的中心为顶点，以平面ABD截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的表面积为.

28.如图，正方体AG的棱长为1,过点A作平面ABD的垂线，垂足为点H.有下列四个命题

A.点H是△ABD的垂心

B.AH垂直平面CBD

C.二面角C-BD-G的正切值为祝

3

D.点H到平面ABCD的距离为4

其中真命题的代号是.（写出所有真命题的代号）

29.已知点0在二面角a-AB-3棱上，点P在a内，且乙POB=45°.若对于B内异于0的任意一

点Q,都有乙P0Q245°,则二面角.。-AB-B的大小是.

30.设0A是球。的半径，M是0A的中点，过M且与0A成45°角的平面截球0的表面得到圆C.若

7n

圆C的面积等于4,则球0的表面积等于.

31.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积

3

是这个球面面积的花，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.

32.（.安徽，16,5分）已知点A,B,C,D在同一个球面上，AB_L平面ECD,BC1CD.若AB=6,AC=2J^,

AD=8,则B,C两点间的球面距离是.

33.连结球面上两点的线段称为球的一条弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2々、

4垂，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为.

34.（全国II,16,5分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平

行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件①_；

充要条件②

（写出你认为正确的两个充要条件）

35.对于四面体ABCD,下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点;

③若分别作AABC和aABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；

④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.

36.(山西大学附中十月月考，20.12分)下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图.

(I)若尸为的中点，求证："F面〃CD；

(II)证明8。」面巾.

37.如图，正三棱锥0-ABC的三条侧棱OA、OB、0C两两垂直，且长度均为2.E、F分别是AB、AC

的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱0A、(用、0C或其延长线分别相交于A.,BlxC.,已

3

知0A]=2.

(I)求证:B£_L平面0AH;

(II)求二面角0-AB-G的大小.

%P

38.如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD-ABCD的对角线BDi上，记晒A.当乙APC为钝角

时，求A的取值范围.

39.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SDJ_平面ABCD,SD=2a,AD=&a,点E是SD上的点，且

DE=、a(OCW2).

h)求证:对任意的XG(O,2],都有AC_LBE;

(11)设二面角(^^一口的大小为0,直线BE与平面ABCD所成的角为中.若tan。•tane=1,求

40.如图，四棱锥STBCD中，底面ABCD为矩形，SD_L底面ABCD,止也DC=SD=2.点M在侧棱SC

上，4ABM=60°.

'：I)证明:M是侧棱SC的中点；

111)求二面角S-AM-B的大小.

41.如图，直三棱柱ABC-ABG中，AC=BC,AA产AB,D为BBi的中点,E为ABi上的一点,AE=3EB(.

'：I)证明:DE为异面直线ABi与CD的公垂线;

3)设异面直线ABi与CD的夹角为45°,求二面角ALACLBI的大小.

42.如图，ABCD与AMCD都是边长为2的正三角形，平面MCD_L平面BCD,AB_L平面BCD,AB=24.

(I)求直线AM与平面BCD所成角的大小；

(II)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.

43.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L底面ABCD,AB1AD,AC1CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC

的中点.

i|）求PB和平面PAD所成的角的大小;

小）证明.人£_1平面PCD;

51）求二面角APDC的大小.-----------"

44.如图，四棱锥S-ABCD中，AB/CD,BC1CD,侧面SAB为等边三角形.AB=BC=2,CD=SD=1.

（I）证明:SDJ.平面SAB;

，饮…

iII）求AB与平面SBC所成的角的大小.彳々------乂

45.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD_L底面ABCD,E、F分别为AB、SC的

中点.

（I）证明：EF〃平面SAD;

川）设SD=2DC,求二面角A-EF-D的大小.~~%

46.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE〃CF,ZBCF=ZCEF=90a,AD=价，EF=2.

'：I）求证:AE〃平面DCF;

ill）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°?

47.如图，在长方体ABCD-方BCD中,E,H分别是棱AB,DC上的点（点E与R不重合）,且EH〃

AIDL过EH的平面与棱BBI,CG相交，交点分别为F,G.

(I)证明:AD〃平面EFG1I;

（II）设AB=2AAk2a.在长方体ABCD-ABCD内随机选取一点，记该点取自于几何体A.ABFE-D^CGH

内的概率为p当点E,F分别在棱AH,BiB上运动且满足EF=a时,求p的最小值.

48.如图,在平行四边形ABCD中，AB=2BC,4ABe=120°,E为线段AB的中点,将AADE沿直线DE

翻折成aA'DE,使平面A'DE平面BCD,F为线段A'C的中点.

•I）求证:BF〃平面A'DE;

ill）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A'DE所成角的余弦值.

49.如图，在三棱锥P-ABC中，是等边三角形，ZPAC=ZPBC=90°

•I）证明：AB1PC;

（II）若PC=4,且平面PAC_L平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积.

50.如图，在正四棱柱ABCD-ABC）中，AA产2,AB=1,点N是BC的中点，点Y在CG上.设二面角

ALDN-M的大小为0.

⑴当0=90°时,求AM的长;

51.如图所示的几何体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切

cCCC

面向右水平平移后得到的.A,A',B,B'分别为CD'CD'DE'DE的中点，ObO'h0%O'2分别为CD,C，D，,

DE,D'E'的中点.

(I)证明：O\,A\O2,B四点共面；

(11)设6为八八’中点，延长A'O'倒H',使得O'H=A'O'L证明:BO〉，平面H'B'G.

答案

LA2.B3.B4.D5.B6.C7.D8.D9.D10.BII.C12.A13.D

14.B5.D16.C17.A18.C19.C20.B21.D22.C23.D

24.，6x4=再

33

1(V2-I)

25.3

26.18>/2<+24<；

27.(18x1+24)n

28.A、B、C

29.90°

30.8n

1

31.3

4n

32.T

33.5

34.两组相对侧面分别平行:底面是平行四边形;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点

注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案，同样给分.

35.①④⑤

36.(I)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形:PA_L面ABCD,PA〃EB.PA=AD=4.

EB=2.

取PD的中点F,如图所示.

:PA=AD,

.,.AF1PD,

又•••CD1DA,CD1PA,PACDA=A,

CD_L面ADP,

/.CD±AF.

又CI)nDP=D,

.,.AF_L面PCD.6分

(II)取PC的中点M,AC与BD的交点为N,连结MN、ME,如图所示.

/.MN=2PA,MN#PA,

.,.MN=EB,MN〃EB,

.•四边形BEMN为平行四边形，.匚M〃BN,

又EMU面PEC,

BN〃,面PEC,

面PEC.-------------12分

37.解法一：(I)依题设，EF是aABC的中位线，所以EF〃BC,则EF〃平面OBC,所以EF〃BC.

又H是EF的中点,所以AH_LEF,则AH_LBC.

因为OAJ_OB,OA_LOC,所以OA_L平面OBC,则OAJLBC,因此OC」平面OAH.

(||)作(^_1_人同于风连GN.

因为0C」平面0AB,根据三垂线定理知，C.NIA.B),乙ONG就是二面角O-AB-G的平面角.

0BiOAix3

作EMlOBi于M,则EM〃OA,则V是0B的中点，则EM=OM=L设03x,由叫=的得，式1=2解

得x=3,BPOBi=OC.=3.

________3OAOB3

OA+OBr1

在RtZXOAB中，AIB>=7II=2^,则0N「A#[=邓

OCj

所以tanL0NCi=ON=x/5,故二面角O-AJ^-Ci的大小为arctanx/5.

解法二：(I)以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Oryz,则A(2,0,0),B(0,

0,2),C(0,2,0),E(l,0,1),F(l,1,0),H(LZ2,

所以Ah=口另)皿的眄=(o2,_2)>

所以Ail.RaO,oh.Bt=o.

所以BC_L平面OAH.

由EF〃BC,

所以B,Ci#BC则BC1平面OAH.

Hl)由已知设R(0,C,Z),

则A；E=G，O，I),E瓦=(_],0Z-1),

由A；E与E"共线得:存在入£R使A；E=、E可得

l=A(z-l)=>z=3,

所以4(0,0,3),

同理:G(0,3,0),

Ai展传。，3)，A4传3,0)

所以

Ai^rni=0«

设m=(xi,yltzi)是平面ABG的一个法向量，则A；Cr\=0,

・：X]+3zi=0,

3

即+2X1+3yi=0,令X1=2得y产Zi=l,

所以m=(2,1,1).

又皿=(0,1,0)是平面OAB的一个法向量,

n']亚

nn

所以cos<m,n2>=liH2I=A/4+1+1=6(

由图可知，所求二面角的大小为arccos

38.由题设可知，以1)入1直、D”为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则有

A(l,0,0),B(l,1,0),C(0,1,0),D.(0,0,1).1,T)得

DIP=ADIB=(X,X,-入),

所以*加i+D；A=(一人,-X,入)+(1,0,-1)

=(1-A，-X,X-1),

p&Pbi+DlJLL-X,X)+(0,1,-i)

=(-入，1-X,X-1).

显然乙APC不是平角，所以4APC为钝角等价于

COSZL/\PC=COS<PA,PC>=|PA|-|PC|<0,

这等价于演•P&0,

gp(l-X)(-X)+(-X)(l-X)+(X-l)

=(A-l)(3X-l)<0,得3c<1.

因此，人的取值范围为G'i).

39.(I)证法一:连结BD,由底面ABCD是正方形可得

AC1BD.

・•・SD_L平面ABCD,/.BD是BE在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理得ACJ.BE.

•II)解法一：•/SD1平面ABCD,CDc平面ABCD,

■••SD1CI).又底面ABCD是正方形.

,.CD1AD.又SDCAD=D,/.CD_L平面SAD.

过点D在平面SAD内作DFLAE于F,连结CF,贝IJCF_LAE,

故乙CFD是二面角C-AET)的平面角，即4CFD=60°.

在RtaADE中，vAD=a,DE=Xa>AE=3A^+1,

AD-E——

于是，DF=F-=J¥+I.

DF-j4—

在RtzXCDF中，由cot60°=CD=VA+1,

得JX+i;号,即」3，+3=3入.

DA,D'JD'S的方向分别作为x,,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则【)(0,0,0),

A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(0,0,Xa),

AC=(-a,a,0),Bfe=(-a,-a,、a),EA=(a,0,-A.a),

Et=(0,a,-Xa).

At•Bfe=(-a,a,0)•(-a,-a,Xa)=a2-a*+0•Xa=0,

即对任意的入£(0,1],都有AC1BE.

ill)解法二:D'C=(0,a,0)为平面ADE的一个法向量.

设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z),

则n±EA,nlEC,

[nEA=0,fx-Az=0,

(nEC=0,即1y1z二0.

取z=l,得n=(',入，1).

22

.,.cos600=lDC|-|n|=v'2A+1<^x：2A+1=2X|.

由入E(0,1],解得X受

40.解法一:(I)作ME〃CD交SD于点E,则ME_L平面SAD.

连结AE,则四边形ABME为直角梯形.

作MF_LAB,垂足为F,则AFME为矩形.

222

AE^ED+AD=A/(2-X)+2,

ME=AE=J(2-X)2+2,FB=2-X.

由MF=FB•tan60。,得\，(2-x)2+Z=、后(2-x),解得x=l

1

即ME=1,从而ME=2DC,所以M为侧棱SC的中点.

（||）MB=JBC2+MC2=2,又乙ABM=60°,AB=2,所以aABM为等边三角形.

又由（I）知卜1为SC中点,

SM=A/2,SA=X/6,AM=2,故SA-AM：ZSMA=90°.

取AM中点G,连结BG,取SA中点H,连结GH,则BGLAM,GH_LAM,由此知Z.BGH为二面角S-AM-B

的平面角.

连结BH.在ABGH中，

BG=¥AM=W,GH&M笠

BG2+GH2-BH2\吊

所以COSZ.BGH=2-BG-GH=-3.

二面角S-AM-B的大小为arccos(%).

解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz.

设A(&,0,0),则B(&,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).

•I）设SM=AMe（入〉0）,则M（°'备ra）,

1他恪磊击）.

又Ah=（o,2,0）,<MRAB〉=60°,

故MB•Afe=MB•Ah|cos60°,

即白」(#)2+(1J+傍/

解得入=1,即sM=Me.所以M为侧棱sc的中点.

G傍另）.

3)由M(0,1,1),A(&,0,0),得AM的中点

又G在傍犯)亦=(0­°,AM=(-V2,1,i).

Gfe・AM=O,MS・AM-O,

所以而J_AM,MS_LAM.

所以<GRMs》等于二面角S-AM-B的平面角.

GhMs范

因为cos<Gh,Ms>=|GhHMs|=，.

所以二面角S-AM-B的大小为arccos

41.解法一：（I）连结MB,记AB与ABi的交点为F.

因为面AABB为正方形，故ABLW,且AF=FB、又AE=3EB〃所以FE=Efk又D为BBi的中点，故

DE//BF,DE±ABi.作CG_LAB,G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.

又由底面ABC_L面AABB,得CG1.面AABB.

连结【町则l）G〃A瓦故DE1DG,由三垂线定理，得DE1CD.

所以DE为异面直线ABi与CD的公垂线.

3）因为DG〃ABi,故乙CDG为异面直线ABi与CD的夹角，ZCDG=45a.

设Ab=2,则A&=2&,DG=&,CG=&,AC=®

作BH1AC,H为垂足.因为底面ABG1面AACC,故BJU面AACC又作HK1AG,K为垂足，连

结BK由三垂线定理，得B/_LA。，因此乙BMH为二面角A「AGF的平面角.

%瓦小凡)2

BiH=Aici

AA〔・HC12月

AC产j2?+(我2=yf7fHK=-=3^7,

B〔H

tanZBiKH=HK=V14,

所以二面角Ai-AC（-Bi的大小为arctan^l^.

解法二：（I）以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.

又设C(l,0,c),贝IJEfE=GG，°[B]A=(2,一2,0),D‘C=(1,7,c).

于是D,E•B；生0,D'E・D'C=0,

故DE_LBADEIDC,

所以DE为异面直线AB.与CD的公垂线.

(Il)因为＜B；A,D'C》等于异面直线AB,与CD的夹角，

故B；A.D‘C=|B；A|.|DC|cos450,

即2&X必办*=4,

解得c=&,故A'C=(-1,0,A/2).

^AA1=B61=(0(2,0),

所以AC]=A*C+AAI=(T,2,a).

设平面AAC的法向量为m=(x,y,z),

则m•八。=0,m.AA[=O,

即-x+2y+&z=0且2y=0.

令x=或，则z=l,y=0,故m=(&.0,1).

设平面ABC的法向量为n=(p,q,r),

BA

则n・A《=0,n•i=0,

即-p+2q+&r=0,2p-2q=0.

令p:包则q=$，r=-l,故n=("熄，-1).

所以cos<m,n>=|m||n[=J15.

由于<m,n>等于二面角ALACLBI的平面角，

足

所以二面角ALACLBI的大小为arccos

42.解法一：（I）取CD中点0,连OB,0M,则OB_LCD,OM±CD.

又平面MCD_L平面BCD,则MO_L平面BCD,所以MO〃AB,A、B、0、M共面.

延长AM、BO相交于E,则4AEB就是AM与平面BCD所成的角.bOB=MO=#,MO#

EOMO1

AB,则定二池二2,EO=OB=^,

所以EB=2展AB,故乙AEB=45°.

•.直线AM与平面BCD所成角的大小为45。.

(ll)CE是平面ACM与平面BCD的交线.

由(I)知，。是BE的中点，则BCED是菱形.

作BFJ.EC于F,连AF,则AF_1.EC,乙AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为。.

因为乙BCE=120°,所以4BCF=6(T.

_AB2J5

BF=BC•sin60°=\l^,tan0=BF=2,sin0=□.

所以，所求二面角的正弦值是寸.

解法二:取CD中点0,连OB,OM,则OBJ_CD,0M1CD,

又平面MCD1平面BCD,则MO1平面BCD.

以。为原点，直线0C、BO、0M为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图.

0B=0M=A^,则各点坐标分别为0(0,0,0兀C(l,0,0),M(0,0,屿，B(0,-乖，0),A(0,-乖,

2®(I)设直线AM与平面BCD所成的角为□.因AM=(0,

-G),平面BCD的法向量为n=(0,0,1).则有sina=

AMn

Icos<AM>n>l=|AM|.|n|

所以a=45°.

二直线AM与平面BCD所成角的大小为45°.

(ll)C^(-l,0,闻%-l,g2褥.

设平面ACM的法向量为n产(x,y,z),由

色1%,水+履=0,

In^CA得卜x-J加+2辰=0,

解得x八后z,y=z,取m=(小，1,1).平面BCD的法向量为

n.]

n=(0,0,1).则cos〈m,n>=lnillnf=75.

设所求二面角为0,则sin

2代

所以，所求二面角的正弦值是F".

43.(I)在四棱锥P-ABCD中，因PAJ■底面ABCD,ABc平面ABCI),故PA1AB.

又AB_LAD,PAGAD=A,从而AB_L平面PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA,从而乙APB为PB和平

面PAD所成的角.

在RtaPAB中，AB=PA,故乙APB=45°.

所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°

底面ABCD,CDu平面ABCD,故CDJ.PA.

由条件CD_LAC,PAAAC=A,J.CDJ.平面PAC.

又AEu平面PAC,AE1CD.

由PA=AB=I町zCABC=60°,可得AC=PA.

.JE是PC的中点，/.AE1PC.

又PCnCD=C,综上得AE_L平面PCD.

川I)过点E作EM_LPD,垂足为虬连结AM.由(II)知，AE_L平面PCD,AM在平面PCD内的射影是

EM,则AM_LPD.

因此乙AME是二面角A-PD-C的平面角.

由已知，可得乙CAD=30°.设AC=a,可得

PA=a,AD=^"a,PD=^Fa,AE=%.

在RtAADP中，AM1PD,/.AM-PD=PA•AD,则

PAAD尔2J7

AM=PD=33=/a.

AE^14

在RtZkAEM中，sinZAME=AM=I-.

所以二面角A-PD-C的大小是arcsin日二

44.解法一：（I）取AB中点E,连结DE,则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2.-J

连结SE,则SELAB,SE=#.

又SD=1,故ED'SE4SD；

所以乙DSE为直角.（3分）

由ABIDE,ABJ.SE,DEnSE=E,得ABJ.平面SDE,所以AB_LSD,

SD与两条相交直线AB、SE都垂直，

所以SD_L平面SAB.（6分）

1II）由AB_L平面SDE知，平面ABCD_L平面SDE.

SDxSE、/3

作SF_LDE,垂足为F,则SF_L平面ABCD,SF=~HE-.

作FG_LBC,垂足为G,则FG=DC=L

连结SG,贝IJSG1BC.又BC_LFG,SGGFG=G,故BC«L平面SFG,平面SBC1平面SFG.（9分）

作FHJLSG,H为垂足,则FH_L平面SBC.

SFxFG避@

FH=SC=。7,即F至ij平面SBC的距离为7.

由于ED〃BC,所以ED〃平面SBC,E到平面SBC的距离d也为7~.

d①

设AB与平面SBC所成的角为a,则sina=EB=7~t

a=arcsin7.(12分)

解法二：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.

设1)(1,0,0),则A(2,2,0)、B(0,2,0).

又设S(x,y,z),则x>0,y>0,z>0.

।|)AS=(x-2,y-2,z),BS=(x,y-2,z),D'S=(xT,y,z),

由府=|盥得

J(x-2)2+(y-2)2+z2

222

=A/x+(y-2)4-zj故x=l.

由ID'S®得y2+z2=l,

又由|由1=2得x2+(y-2)2+z/=4,

1

即y2+z2-4y+l=0,故y=2,z=Z(3分)

于是s(i'2¥),

A』1,耳阴,

例

B»S=(1厂1劣应(a3,»S•AS=0,DS・B»S=0.

故DS_LAS,DSXBS,又ASABS=S,所以SD_L平面SAB.(6分)

ill)设平面SBC的法向量a=(m,r,p),

则a_LBS,a_L而，a,BS=0,a•席=0.

Ca(0,2,0),

m-9n+gp-0,

故2n=0.（9分）

Aba也

取p=2得a=（-唬0,2）.又曲=（-2,0,0）,cos<ARa>=泌1刎=工

故AB与平面SBC所成的角为arcsi小厂.（12分）

45.解法一：（I）作FG〃DC交SD于点G,则G为SD的中点.

故FGAE,AEFG为平行四边形.

EF〃AG,又AGu平面SAD,EFQ平面S,AD,所以EF〃平面SAD.（4分）

ill）不妨设DC=2,则SD=4,DG=2,Z\ADG为等腰直角三角形.取AG中点H,连结DH,则DH_LAG.

又ABJ.平面SAD,所以AB_LDH,而ABCAG=A,所以［出_1面4££

取EF中点M,连结MH,则HM_LEF.

连结DM,则DMJ.EF.

故乙DMH为二面角A-EFT）的平面角.（10分）

DH必

tanZDMH-HM-1~=^.

所以二面角A-EF-D的大小为arclan&.（12分）

解法二：（I）如图，建立空间直角坐标系D-xyz.

设A（a,0,0）,S（0,0,b）,则

B（a,a,0J,C（0,a,0）,

Ejfa,(J,/.

取SD的中点G

则而=80切.

E^=AG,EF〃AG,AGu平面SAI),EFQ平面SAD,所以EF〃平面SAD.(4分)

ill)不妨设A(l,0,0),则B(l,1,0),C(0,1,0),S(0,0,2),

F窿1).

EF中点M(另力疝》见㈠,0,1),M'D・EJo,MD1EF.

"A=(°，-；°}EA.ELO,EAIEF.

所以向量M'D和脸的夹角等于二面角A-EF-D的平面角.（10分）

M'DEA也

cos<MD,EA>=1MUHEA|=J.

所以二面角A-EF-D的大小为arccos3.（12分）

46.解法一：（I）证明:过点E作E（」CF交CF于G,连结DG.

可得四边形BCGE为矩形.

又ABCD为矩形,

所以ADEG,从而四边形ADGE为平行四边形,

故AE#DG.

因为AEQ平面DCF,DGc平面DCF,

所以AE〃平面DCE.

(II)过点B作BH1EF交FE的延长线于H,连结AH.

由平面ABCD_L平面BEFC,AB_LBC、得

AB_L平面BEFC,

从而儿H1EF,

所以乙AHB为二面角A-EF-C的平面角.

在RtZkEFG中，因为EG=AD=的EF=2,所以乙CFE=60°,FG=1.

又因为CEJ.EF,所以CF=4.

从而BE=CG=3.

：八3

于是BH=BE-sinZBEH="2".

因为AB=BH・tan^AHB,

9

所以当AB为2时，二面角A-EF-C的大小为60°.

解法二:如图，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标

系C-xyz.

设AB=a,BE=b,CF=c,

则C(0,0,0),A(晌0,a),0,0),E(6,b,0),F(0,c,0).

•I)证明:AE=(0,b,-a),席=(#,0,0),Bfe=(o,b,0),

所以曲・A30,Cfe.Bfe=0,从而CB_LAE,CB±BE,

所以CB_L平面ABE.

因为CB_L平面DCF,

所以平面ABE〃平面DCF.

故AE〃平面DCF.

3)因为熊(-抬，c-b,0),品(4,b,0),

所以EF・Cfe=0,|EF|=2,从而

-3+b(jb)=0,

J3+(c-b)2=2,

解得b=3,c=4.

所以E(W,3,0),F(0,4,0).

设n=(l,y,z)与平面AEF垂直，

则n•Afe=0,n•Efe=0,

解得n=(l,1需.

又因为BA_L平面BEFC,BA=(0,0,a),

呼n|3中]

所以cos<n,BA>|=|BA|-|n|=aV4a"+27=2,

9

得至ija=2

9

所以当AB为2时，二面角A-EF-C的大小为60°

47.解法一：（I）证明:在长方体ABCD-ABCD中，AD〃AD.

又•「EH〃AD,.，AD〃EH.

.ADC平面EFGH,EHu平面EFGH、

（II）设BC=b,则长方体ABCDABCD的体积

b

的B禺F）

V=AB・AD・AA尸2a几何体EBJ'-HCiG的体积V.=BICI=2F：B,・BF.

,、2EB；+BFa2也

•.-EBi+BiF2=a\」.ER-BFW-2~=2当且仅当EB产BF=Zi时等号成立.

a2b

a2bV］三7辿7

从而，VW?-.故p=l-V»l-在S,当且仅当EB产BF=》a时等号成立.所以，p的最小值等于8

解法二：（I）同解法一.

2

•II)设BC=b,则长方体ABCD-ABCD的体积V=AB-AD-AAi=2ab>几何体EBF-HGG的体积

EBBF

V,=(2I-I)•BiC^EB,•B,F.设Z.B1EF=O(O°W0<90°),则EB产acos0,B1F=asin0.

a2a2

故EBi・BF=a2sin0cos9=2sin28WZ当且仅当sin2。=1即0=45°时等号成立.从而,

a2b

VW丁.

a2h

V】手77

•.p=l-V^1-23^5,当且仅当sin20=1即（）=45。时等号成立.所以，P的最小值等于8