高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网

上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的

资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参

考文献中明确列出.

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规

则的行为，我们将受到严肃处理.

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：D

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：XXXXXX___________________________________

参赛队员（打印并签名）：］.XXXXX_________________________________

2._______XXXXX________________________________

3.____________________________________________

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：XXXXXX

日期：2009年9月14日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

一

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

会议筹备最优化

一.摘要

在激烈的市场竞争中，随着市场经济在中国大陆的不断发展，各种新兴行业也在悄

然而起.会议服务公司通过对宾馆客房、租借会议室、租用客车接送代表等几块服务，

让顾客觉得经济、方便同时使满意度达到最高，会议服务公司需要从公司的经济利益和

社会声誉等诸多因素来考虑,在此,我们运用线性规划和概率统计的知识，来解决对宾馆

客房分配问题.会议的经济安排从预定房间的量和安排的合理性来决定;在安排客车接

送会议代表运用运筹学分成几条路线;服务公司的社会声誉在市场竞争中是非常重要的,

在此我们用会议代表对总体的满意度来衡量.我们应用概率统计的知识，得出参加会议

人员大约为661人.根据与会人员对住房的要求，我们设计了第一个模型，且有3个方

案，第一个方案利用Lingo软件计算得其无解，同样利用Lingo软件计算得最优解.通

过调整第一类单人间住房的人数建立模型二，得出所有与会代表住房安排，此时得出住

房费的最少价格为80630元.对模型二进一步优化，通过对宾馆调整，把与会代表集中

按排在①、②、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨宾馆.利用“中心极限”定理，计算得出可能出现

空床费赔偿的概率大约是12%.同样应用“中心地址”的算法确定开会会议宾馆定为⑦、

⑧宾馆.用运筹学的知识确定出接送与会代表路线，并安排出了接送的车辆类型和数量

关键词：线性规划概率统计Lingo中心地址运筹学

二.问题重述

某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为

与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表.由于预计会议规模庞大，

而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散

到若干家宾馆住宿.为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选

择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近.

筹备组经过实地考察，筛选出10家宾馆作为备选，它们的名称用代号①至⑩表示，相

对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1.

根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表2.从以往几届会议情况

看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，相关

数据见附表3.附表2,3都可以作为预订宾馆客房的参考.

需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实际

用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常

被动的局面，引起代表的不满.

会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾

馆租借会议室.由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租

赁公司租用客车接送代表.现有45座、36座和33座三种类型的客车，租金分别是半天

800元、700元和600元.

我们通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定

一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案.

附表110家备选宾馆的有关数据

心客房会议室

规格间数价格规模间数价格（半

号

（天）天）

①普通双标间50180元200人11500元

商务双标间30220元150人21200元

普通单人间30180元60人2600元

商务单人间20220元

②普通双标间50140元130人21000元

商务双标间35160元180人11500元

豪华双标间A30180元45人3300元

豪华双标间B35200元30人3300元

③普通双标间50150元200人11200元

商务双标间24180元100人2800元

普通单人间27150元150人11000元

60人3320元

④普通双标间50140元150人2900元

商务双标间45200元50人3300元

⑤普通双标间A35140元150人21000元

普通双标间B35160元180人11500元

豪华双标间40200元50人3500元

⑥普通单人间40160元160人11000元

普通双标间40170元180人11200元

商务单人间30180元

精品双人间30220元

⑦普通双标间50150元140人2800元

商务单人间40160元60人3300元

商务套房（1床）30300元200人11000元

⑧普通双标间A40180元160人11000元

普通双标间B40160元130人2800元

高级单人间45180元

⑨普通双人间30260元160人11300元

普通单人间30260元120人2800元

豪华双人间30280元200人11200元

豪华单人间30280元

⑩经济标准房（255260元180人11500元

床）

标准房（2床）45280元140人21000元

附表2本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人）

合住1合住2合住3独住1独住2独住3

男154104321076841

女784817592819

说明：表头第一行中的数字1、2、3分别指每天每间120~160元、16「200元、20P300

元三种不同价格的房间.合住是指要求两人合住一间.独住是指可安排单人间，或一人

单独住一个双人间.

附表3以往几届会议代表回执和与会情况

第一届第二届第三届第四届

发来回执的代表数量315356408711

发来回执但未与会的代表数89115121213

量

未发回执而与会的代表数量576975104

附图（其中500等数字是两宾馆的距离）

三.模型假设

1.假设模型一中满足所有与会代表的回执要求；

2.假设与会代表参加每组会议是随机的；

3.假设本届与会代表参加会议人数服从往届参加会议人数规律;

4.假设每个与会代表每半天只开一次会议，且会议地点相同；

5.假设每半天所开会议的主题都一致；

7.假设每条路线车辆只搭载同一条路线的与会代表.

四.符号说明

与为第i个宾馆所住的与会代表的第j种类型住房人数；

p为参加会议人数的总频率；

〃（《）为回执且与会代表的频率（i取1,2,3,4）；

〃（2）为未回执且与会代表的比例（i取1,2,3,4）；

M为找宾馆中心地址问题的矩阵；

x人表示a宾馆到b宾馆c会议室的与会人数.

五.建立与分析

模型一：

通过观察附表2可以得到本届回执人数总共为755人，由往届会议代表的回执和与会情

况可得知本届与会人数的概率p.因此我们假定模型如下：

设p为与会的总频率

〃（《）为回执且与会的频率（i取1,2,3,4）

p（2）为未回执且与会的比例（i取1,2,3,4）

与会人数的频率：p=〃（&）+p（b）

有回执且与会人数的频率p（《）

未回执且与会人数的比例p（bj

通过以往一、二、三、四会议代表回执和与会情况，利用统计分析法，可计算出以

往几届参加会议人数的的平均概率，通过平均概率推算本届与会代表的总人数.

本届与会人数：

为了使预定的房间数达到最优，使得空房数量最小，支付空房会达到最小优化.我

们以661人来进行预定房间，我们假设有三种方案.

方案一:我们为了满足各代表的要求,且达到经济，结合表一：

表一

客房价格范围

合住1120-161x21x22x31x41x51x52x71x83

房间数5035505035355040

合住2161-202xllx23x24x32x42x53x62x83

房间数5030352445404040

合住3201-300xl2x64x73x91x93xlOlxl02

房间数30303030305545

单住1120-160x33x61x72

房间数274040

单住2161-200xl3x63x83

房间数303045

单住3201-300xl4x92x94

房间数203030

利用表一:惊们建立模型并求解

约束条件：

单人间：

两人间：

S.t.

运用计算机计算出结果，并对解进行数据分析发现方案一无解.

因为第一种价格范围的单间数和与会人员的回执信息矛盾.例如如在约束条件下则不

能满足与会人员的要求.

宾馆4的单间数在代表要求的房间数数量上不能满足,则我们在考虑到经济和尽

量使与会代表满意的情况下,建议代表住双人间，即方案二:将飞的118人在满足了40人

之后，考虑到与会人员对宾馆的品质要求.把剩下的78名分到如和与3,这样在品质要

求方面让与会人员达到最大的满意，建立模型：

约束条件：

单人间：

两人间：

s.t.

运用计算机软件计算，计算结果见附录表一，并对解进行数据分析。

在尽量使与会代表满意同时使经济可以接受的情况下，我们考虑使离会议室相对集

中以及使会议室与预定宾馆在距离上较近，利用“中心地址”进行预定宾馆。由于③、

④、⑩宾馆在距离上都较远，我们为了方便与会代表参加会议采用就近原则，只在①、

②、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨中选取.即方案三：

约束条件：

单人间：

两人间:

S.t.

运用计算机软件计算，并对解进行数据分析。

考虑到与会人员满意问题，我们可以预算床位数.

考虑实际到会人数在预计人数661人左右，而造成无宾馆床位可以下塌，引起与

会人员的不满，造成会议筹备处的社会声誉受损，可以多定一些床位，以保证到会人员

能安心下榻的概率不小于0.90.因为实际到会人数是一个随机变量4，服从二项分布

~B（755x0.8758,755x0.8758x0.1242）,设预定床位数为k.由于755太大，可以考虑

用中心极限定理，用正态分布去逼近，J的近似分布为

N（755x0.8758,755x0.8758x0.1242）=N（661,9.0622）,

k66i

所以有<k）=①J一叫>090,查表得->1,28,

9.0629.062

得Z:>661+1.28x9.062>672.6故可以考虑预定673个床位.

如果筹备处允许的空床床位数在5床以内，，则在预定床位673的情况下,至少应该

到达的人数668人,则出现空床的概率为

则筹备处出现空床赔偿的概率大约为12%.

模型二：

应用图论的方法找出其图形的中心点.

0.用Floyd算法求出距离矩阵M=（勺）小

<2>.计算在各点匕设立与会人员接送的最大量服务距离式匕）.

<3>.求出顶点1.使S（u«）=min{s（匕）}.则也就是建立会议场的最佳选择.

5（v7）=5（v8）=1200,根据7,8宾馆的会议室的设置，各选三个会议室，具体为7

宾馆的价格为800元，规模是140人，两个；价格为1000元，规模为200人，一个.8

宾馆价格为1000元，规模为160人，一个；价格为800元，规模为130人，两个.

对于方案二，为了考虑各宾馆的与会代表到会议地点的距离长短，来建立一个总距离目

标函数的线性规划模型：对该模型我们设x人表示a宾馆到b宾馆的c会议室的人数，则目

标函数为：

s.t.

运用计算机软件计算，模型求解见附录表二

类似地方案三所用的总距离：目标函数为：

S.t.

运用计算机软件计算，模型求解见附录表三

方案二所用车费模型:通过对各宾馆会议室路线进行分析，分为到7,8两宾馆的两

条路线.发现对3宾馆的与会代表全部到8宾馆参加会议；5宾馆的与会代表全部到7

宾馆参加会议.分别对3,5的与会人数安排乘车，5宾馆与会代表到7宾馆会议只需安

排一辆3类车和一辆1类车；3宾馆与会代表到8宾馆会议室只需一辆3类车，所需总

费用是2000元.设X,为第z•类型车（I=1,2,3）

Omn表示住在第m宾馆与会代表到第n宾馆会议人数

。67：

根据模型和使用LINGO计算得具体数据，见附录表四

分析求解数据得：

%需要4辆1类车，但不经济，我们进行人为优化，%需要3辆1类车，1辆3类车；

需要费用3000元

如，为7，仇7需要4辆1类车，但不经济，我们进行人为优化，%,27,d7需要3辆1类车，

1辆3类车，需要费用3000元

需要三辆1类车，但不经济，我们进行人为优化，。如心需要2辆一类车和1辆

三类车：需要2200元；

&需要3辆1类车，但不经济，我们进行人为优化，纵需要2辆一类车和1辆三类车:

需要费用2200元；

%需要1辆一类车和1辆三类车:所需总费用1400元

五.模型求解

方案二的最优解：

Globaloptimalsolutionfoundatiteration:17

Objectivevalue:81600.00

VariableValueReducedCost

Xll0.0000000.000000

X1243.000000.000000

X139.0000000.000000

X1420.000000.000000

X2133.000000.000000

X220.00000010.00000

X2353.000000.000000

X240.00000010.00000

X310.00000075.00000

X320.0000000.000000

X3327.000000.000000

X41100.00000.000000

X420.00000010.00000

X5170.000000.000000

X520.00000010.00000

X530.00000010.00000

X61118.00000.000000

X6280.000000.000000

X6330.000000.000000

X640.0000000.000000

X710.0000005.000000

X720.0000000.000000

X730.000000190.0000

X810.0000000.000000

X820.00000010.00000

X8345.000000.000000

X910.00000020.00000

X9230.000000.000000

X930.00000030.00000

X943.0000000.000000

X1010.00000020.00000

X1020.00000030.00000

RowSlackorSurplusDualPrice

181600.00-1.000000

20.000000-160.0000

30.000000-180.0000

40.000000-280.0000

50.000000-70.00000

60.000000-90.00000

70.000000-110.0000

8100.00000.000000

917.000000.000000

1021.000000.000000

110.00000060.00000

1267.000000.000000

1370,000000.000000

147.0000000.000000

1570.000000.000000

16100.00000.000000

1748.000000.000000

180.00000010.00000

190.0000000.000000

2090.000000.000000

210.0000000.000000

2270.000000.000000

2340.000000.000000

240.0000005.000000

250.0000000.000000

2660.000000.000000

27100.00000.000000

2840.000000.000000

2930.000000..000000

3080.000000..000000

3180.000000..000000

320.0000000.,000000

3360.000000..000000

340.00000020.00000

3580.000000..000000

3627.000000..000000

37110.00000..000000

3890.000000.,000000

对方案二求解，把x61调至x93,x91,其余不变.

81600-78X160+30X280+9X260=79860（元）

但还需加车费用10400元,会议费10400元,所以总费用为：

79860+10400+10400=100660（元）

同样利用方案二的解，解答方案三

则住房费用为:81600-78X160—27X150-50X140+50X150+27X160+30X280+9X

260=80630（元）

会议费10400元.而在方案三中，去掉了3,4,10之后距离就很近了，则为了经济节约，就

不需要派车接送与会代表了，可省去车费,所以总费用为：

80630+10400=91030（元）

六.模型检验

通过对模型的求解，由于方案一对第一类房间单人间要求人数共有166人，而符合这

个价位的房间数只有107间，因此方案一无解,所以我们通过对x61的约束条件取消，得

到模型一的第二种方案，得x61要求住118人，而房间数只有40间，所以我们对多余的

78人分到x91,x93,以达到分配的合理.为了满足宾馆数尽量减少和距离集中的条件下，

我们对3,4,宾馆的人数进行调整，x33有27人，将其全部调置到x72中；x41有100

人，将其全部调置到x71中，得到第三套方案.对于第三套方案的是从经济，方便和使

代表满意三方面来考虑建立最优模型，但美中不足的是第三套方案会有部分单人间的代

表要被安排到双人间独住.

七.模型评价

对于方案一，由于宾馆单人间第一类房间少于与会代表的要求数量，所以模型无

解.

对于方案二，从最优经济的角度考虑，是最优模型，但没有从距离考虑，且有少数

代表不能达到要求.

对于方案三，是从经济，方便和使代表满意三方面综合来考虑建立最优模型，但美

中不足的是第三套方案会有部分单人间的代表要被安排到双人间独住.由于各宾馆的

距离最多在450米，所以此方案可以省去租车接送代表的费用，更加的经济.

八是从经济，方便和使代表满意三方面来考虑建立最优模型，但美中不足的是第三

套方案会有部分单人间的代表要被安排到双人间独住.

八.参考文献

陶谦坎汪应洛《运筹学与系统分析》全国高等教育自学考试指导委员会机械

工业出版社1999年7月

杨启帆等《数学建模》高等教育出版社2004年12月

王兵团《数学建模基础》清华大学出版社

九.附录

附表一

Zmin=90*xl1+110*xl2+180*xl3+220*xl4+70*x21+80*x22

+90*x23+100*x24+75*x31+90*x32+150*x33+70*x41

+100*x42+70*x24+75*x31+90*x32+150*x33+70*x41

+180*x63+110*x64+75*x71+160*x72+300*x73+90*x94

+130*xl01+140*xl02

x33+x61+x72=145

xl3+x63+x83=84

xl4+x92+x94=53

x21+x22+x41+x51+x52+x71+x82=203

xll+x23+x24+x32+x42+x53+x62+x81=133

xl2+x64+x73+x91+x93+xl01+xl02=43

xll<=100

xl2<=60

xl3<=30

xl4<=20

x21<=100

x22<=70

x23<=60

x24<=70

x31<=100

x32<=48

x33<=27

x41<=100

x42<=90

x51<=70

x52<=70

x53<=40

x62<=80

x63<=30

x71<=100

x72<=40

x73<=30

x81<=80

x82<=80

x83<=45

x91<=60

x92<=30

x93<=60

x94<=30

xl01<=110

xl02<=90

Globaloptimalsolutionfoundatiteration:17

Objectivevalue:81600.00

VariableValueReducedCost

Xll0.0000000.000000

X1243.000000.000000

X139.0000000.000000

X1420.000000.000000

X2133.000000.000000

X220.00000010.00000

X2353.000000.000000

X240.00000010.00000

X310.00000075.00000

X320.0000000.000000

X3327.000000.000000

X41100.00000.000000

X420.00000010.00000

X5170.000000.000000

X520.00000010.00000

X530.00000010.00000

X61118.00000.000000

X6280.000000.000000

X6330.000000.000000

X640.0000000.000000

X710.0000005.000000

X720.0000000.000000

X730.000000190.0000

X810.0000000.000000

X820.00000010.00000

X8345.000000.000000

X910.00000020.00000

X9230.000000.000000

X930.00000030.00000

X943.0000000.000000

X1010.00000020.00000

X1020.00000030.00000

RowSlackorSurplujsDualPrice

181600.00-1.000000

20.000000-160.0000

30.000000-180.0000

40.000000-280.0000

50.000000-70.00000

60.000000-90.00000

70.000000-110.0000

8100.00000.000000

917.000000.000000

1021.000000.000000

110.00000060.00000

1267.000000.000000

1370.000000.000000

147.0000000.000000

1570.000000.000000

16100.00000.000000

1748.000000.000000

180.00000010.00000

190.0000000.000000

2090.000000.000000

210.0000000.000000

2270.000000.000000

2340.000000.000000

240.0000005.000000

250.0000000.000000

2660.000000.000000

27100.00000.000000

2840.000000.000000

2930.000000.000000

3080.000000.000000

3180.000000.000000

320.0000000.000000

3360.000000.000000

340.00000020.00000

3580.000000.000000

3627.000000.000000

37110.00000.000000

3890.000000.000000

附表二

min=300*xl7l+300*xl72+300*xl73+500*xl81+500*xl82+500*xl83+450*

X271+450*X2724-450*X273+650*X281+650*X282+650*X2834-1200*X371+12

00*x372+1200*x373+1000*x381+1000*x382+1000*x383+950*x471+950*x

472+950*x473+1150*x481+1150*x482+1150*x483+300*x571+300*x572+3

00*x573+500*x581+500*x582+500*x583+300*x671+300*x672+300*x673+

500*x681+500*x682+500*x683+200*x781+200*x782+200*x783+200*x871

+200*x872+200*x873+350*x971+350*x972+350*x973+150*x981+150*x98

2+150*x983;

xl71+xl72+xl73+xl81+xl82+xl83=72;

X271+X272+X273+X2814-X282+X283=86;

x371+x372+x373+x381+x382+x383=27;

x471+x472+x473+x481+x4824-x483=100;

x571+x572+x5734-x581+x582+x583=70;

X671+X672+X673+X6814-X682+X683=150;

x771+x772+x773+x781+x782+x783=0;

x871+x872+x873+x881+x882+x883=45;

x971+x972+x973+x9814-x982+x983=lll;

xl71+x271+x371+x471+x571+x671+x771+x871+x971<=140;

100<=X171+X271+X3714-X471+X571+X671+X771+X871+X971;

xl72+x272+x372+x472+x572+x672+x772+x872+x972<=140;

100<=xl72+x272+x372+x472+x572+x672+x772+x872+x972;

X173+X273+X373+X4734-X573+X673+X773+X873+X973<=200;

100<=xl73+x273+x373+x473+x573+x673+x773+x873+x973;

X181+X281+X3814-X481+X5814-X681+X781+X881+X981<=130;

100<=xl81+x281+x381+x481+x581+x681+x781+x881+x981;

xl82+x282+x382+x482+x582+x682+x782+x882+x982<=130;

100<=xl82+x282+x382+x482+x582+x682+x782+x882+x982;

xl83+x283+x383+x483+x583+x683+x783+x883+x983<=l60;

100<=xl83+x283+x383+x483+x583+x683+x783+x883+x983;

Globaloptimalsolutionfoundatiteration:17

Objectivevalue:288350.0

VariableValueReducedCost

X17117.000000.000000

X1720.0000000.000000

X1730.0000000.000000

X18155.000000.000000

X1820.0000000.000000

X1830.0000000.000000

X27124.000000.000000

X2720.0000000.000000

X2730.0000000.000000

X2810.0000000.000000

X2820.0000000.000000

X28362.000000.000000

X3710.000000400.0000

X3720.000000400.0000

X3730.000000400.0000

X3810.0000000.000000

X3820.0000000.000000

X38327.000000.000000

X47129.000000.000000

X4720.0000000.000000

X47371.000000.000000

X4810.0000000.000000

X4820.0000000.000000

X4830.0000000.000000

X57170.000000.000000

X5720.0000000.000000

X5730.0000000.000000

X5810.0000000.000000

X5820.0000000.000000

X5830.0000000.000000

X6710.0000000.000000

X672121.00000.000000

X6