高中数学题型全面归纳（学生版）：第五节直线与圆锥曲线

第五节直线与圆锥曲线

考纲解读

掌握直线与圆锥曲线的位置关系，能熟练运用函数与方程，数形结合，等

价转化和分类讨论思想解题。

命题趋势探究

从内容上看，直线与圆锥曲线位置关系问题是高考的热点，涉及直线与圆

锥曲线关系中的求弦长，焦点弦长及弦中点，取值范围和最值等问题。

从形式上看，以解答题为主，难度较大

从能力上看，要求考生具备数形结合，分析转化及分类讨论的能力

预测在2019年高考中：

题目主要以解答题的形式出现，这类问题的综合性强，注重与一元二次方程

的判别式，韦达定理，不等式相结合，重在考查学生的基本数学素质和数学运算

能力，具有较高的区分度，关注与向量综合的探索性题目，分值基本保持在12-14

分。

知识点精讲

一、直线/与圆锥曲线。的位置关系的判断

判断直线/与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线I的方程Ax+By+c=O

代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=O，消去y(也可以消去x)得到关系一个变量的

Ax+By+c=0.

一元二次方程,，即1/；，消去y后得依2+反+。=0

⑴当。=0时，即得到一个一元一次方程,则/与C相交,且只有一个交点,此时，

若。为双曲线,则直线I与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线,则直线I与抛物线

的对称轴平行

(2)当时，A>0,直线/与曲线C有两个不同的交点；△=(),直线/与曲

线C相切，即有唯一的公共点(切点)；A<0，直线/与曲线C

二、圆锥曲线的弦

连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦

直线/:/(x,y)=O,曲线C:F(x,y)=O,A,B为/与C的两个不同的交点，坐标分别

f（x,y）=0

为4（石，乂）,3（%2,%），则A&,%）,5（%,%）是方程组«的两组解,

F（%,y）=0

方程组消元后化为关于x或y的一元二次方程-2+&+。=0(A2O),判别式

A=B2-4AC，应有△>()，所以玉是方程"2+&+c=0的根，由根与系数关

系(韦达定理)求出％+々=2，所以A,5两点间的距离为

AA

\AB\=J1+\2[X]-X2|=J1+GJ(XI+X2)2-4XJX2=含,即弦长公式,弦长

公式也可以写成关于y的形式

|=yjl+k21%-%|=，1+公+（左彳0）

三，已知弦的中点，研究的斜率和方程

22

（1）是椭圆点+方=l（a>b.O）的一条弦，中点y0），则AB的斜率为

—彳也，运用点差法求的斜率;设4（4乂）3（%2，%）（工产工2）,46都在椭圆

a%

[22

工+£=12222

上，所以a\b\,两式相减得笠丰+"二巨=0

才+婷①b

I/+溟一1

所以（西+々）（3—々）+（必+%）（%-％）=0

7

a22b

空言V-仪,故2-"

a

a（X+%）。为y0

（1）运用类似的方法可以推出；若是双曲线二―3=1（。〉6.0）的弦，中点

ab

加（%,%）,则KB="；若曲线是抛物线歹=2勿（0>0）,贝必的=二

a-y0y0

题型归纳及思路提示

题型147直线与圆锥曲线的位置关系

思路提示

（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联

立方程消元后得到一元二次方程，其中A>0；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线

有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。

（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物

线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。

例10.35已知两点M,给出下列曲线方程

①4x+2y-l=0②x2+y2=3

r2

④L=1

在曲线上存在点P满足=|PN|的所有曲线方程是o（写出所以正确的编号）

变式1对于抛物线C:/=4x,我们称满足儿2<4%的点在抛物线的内部，

若点加（%,%）在抛物线的内部，则直线/：为y=2a+孔）与抛物线C的位置关系是一

变式2设抛物线/=4x的准线与x轴交于点。，若过点。的直线/与抛物线有公共点,

则直线/的斜率的取值范围是

例10.36如图10-26所示，在平面直角坐标系中，过y轴正方向上一点C(0,c)(c>0)

任作一直线，与抛物线、相交于A3两点，一条直线垂直于x轴的直线分别与线段

AB和直线/:y=—c交于P,Q两点.

(1)若出•丽=2,求c的值

(2)若P为线段的中点，求证：QA为此抛物线的切线。

变式1（2017课标II,文20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C、上，过M

X.24

：v+y=1

作X轴的垂线，垂足为N,点P满足而=J5而7（1）求点P的轨迹方程；（2）设点。在直

线％=—3上，且赤•①=1.证明过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.

题型148中点弦问题

思路提示

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高

考的一个热点问题.这类问题一般有以下3种类型：（1）求中点弦所在直线方程

问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率

的问题。首先要考虑是点差法.

即设出弦的端点坐标，根据端点在曲线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐

标与弦的斜率之间的联系.除此之外，最好也记住如下结论：

在椭圆一图10-28z>b>0）中，中点弦的斜率为左，满足左o.%=—-

aa

222

在双曲r线v下-卷中，中点弦的斜率为左，满足热.左二h一.（其中

aba

勺为原点与弦中点连线的斜率）.

在抛物线y2=2px（p>0）中，中点弦的斜率为3满足-%=夕（%为中点

纵坐标）.

112___

例10.37已知过点“（5q）的直线/与椭圆r豆+丁2=1交与A,3两点，且加k=

白丽+西（。为坐标原点），求直线/的方程.

r2

变式】已知椭圆方程为E+/=1.。）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程;

（2）过点尸⑵1）的直线/与椭圆相交，求被/截得的弦的中点的轨迹方程.

例10.38如图10-29所示，在平面直角坐标系X0V中，已知椭圆?+5=1,过

坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过尸作x轴的垂线,

垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点3,设直线心的斜率为左.求证：对任

意左〉0,都有必，PB

图10-29

例10.39已知椭圆宁+(■=1,试确定加的取值范围，使得对于直线/:y=4%+加,

椭圆c上有两个不同的点关于这条直线对称.

变式1如图10-30所示，已知椭圆E经过点A（,3）,对称轴为坐标轴，焦点K,

R在x轴上，离心率e=’.

2

（1）求椭圆E的方程；

（2）求NEAR的角平分线所在直线/的方程；

（3）在椭圆E上是否存在关于直线/对称的相异两点？若存在，请找出；若

不存在，请说明理由.

尤2

变式2已知A,用C是椭圆W:1+>2=1上的三个点，。是坐标原点.

（1）当点3是W的右顶点，且四边形0A3C为菱形时，求此菱形的面积；

（2）当点3不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

题型149弦长面积问题

思路提示

在弦长有关的问题中，一般有三类问题:

(1)弦长公式：|+k2卜-|=Jl+k2

(2)与焦点相关的弦长计算，利用定义;

(3)涉及到面积的计算问题.

例10.40过抛物线V=2Px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于

43两点，若线段A3的长为8,则〃=.

变式1已知椭圆C:=+/=1,过椭圆C的左焦点F且倾斜角为三的直线I与椭

26

圆C交与43,求弦长卜

例10.41已知椭圆G:?+_y2=i,过点（见0）作圆V+y2=1的切线/交椭圆G

与A,3两点.

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（2）将卜固表示为根的函数，并求出的最大值.

变式1已知椭圆。：・+方=1（。〉6〉0）经过点〃（1,1）,其离心率为

（1）求椭圆。的方程；

（2）设直线/：y=丘+根（网・；）与椭圆C相交于两点，以线段04,

为邻边作平行四边形0AP3,其中顶点P在椭圆C上，。为原点，求|OP|的

取值范围.

变式2已知椭圆。：=+?=1（。〉。〉0）的右顶点4（2,0）,离心率为且，O

a-b2

为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）已知尸（异于点A）为椭圆C上一个动

点，过。作线段AP的垂线/交椭圆C于点E,D.如图10-31所示，求里目的

图10-31

22

例10.42已知R,R是椭圆土+匕=1的左右焦点，AB是过点R的一条动

43

弦，求△A3F2的面积的最大值.

22

变式I已知椭圆M：/Y+2v=Ka〉'〉。)的离心率?为\/2:‘且椭圆上一点与椭

圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4忘.

(1)求椭圆〃的方程；

(2)设直线/交椭圆M交与点A,B,且以A3为直径的圆过椭圆的右顶点C,

求△ABC面积的最大值.

X

例10.43(2017福建三明5月质检)已知椭圆「：二+

a

椭圆「的左，右顶点分别为M,N.过点尸的直线与椭圆交于CD两点，且AMCD的面

积是ANCD的面积的3倍.

(I)求椭圆『的方程；

(II)若与轴垂直，A3是椭圆「上位于直线两侧的动点，且满足

ZACD=ZBCD,试问直线A5的斜率是否为定值，请说明理由.

最有效训练题46（限时45分钟）

22

1.已知椭圆土+匕=1的左右焦点分别为R,R,过己且倾斜角为45°的直线/

42

交椭圆于点A,B,以下结论中：①的周长为8；②原点到/的距离为1；

③|A3|=|,正确结论的个数为（）.

A.3B.2C.1D.0

22

2.斜率为2的直线/过双曲线=-\=l（a〉O力〉0）的右焦点，且与双曲线的左

ab

右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）.

A.（1,0）B.（1,A/3）C.（1,A/5）D.（右,+OO）

3.抛物线V=©的焦点为R过R且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方

的曲线交于点A,则AR的长为（）.

A.2B.4C.6D.8

4.过点P（0,2）的直线/与抛物线V=4x交于点A,5则弦A3的中点M的轨迹方

程为（）.

A./-2y-2x=0（y<0或y>4）B.y2-2y-2x-Q

C.y2-2y-4x=0D.y2-2y-4x-0（y<0）

22

5.椭圆土+匕=1的一条弦被A（4,2）平分，那么这条弦所在的直线方程是

369

（）.

A.x—2y=0B.2x+y—10=0

C.2x—y—2—0D.%+2y—8=0

22

6.已知45P是双曲线谷=1上不同的三点，且A,3连线经过坐标原点，

ab

9

若直线以，P3的斜率乘积场.左PB=§,则该双曲线的离心率为（）.

A布R娓「万力屈

A.------£）.------Cz.vZly.------

223

7.椭圆以2+勿2=1与直线y=1—x交于4,B两点，过原点与线段AB中点的直线

的斜率为无，则q的值为_________.

2b一

8.已知抛物线丁=4%,过点P(4,0)的直线与抛物线交于A&,%),3(%,%)两点，

则城+£的最小值是.

9.抛物线C:_/=2px(p>0)与直线/: