高中数学试题：解析几何百题大战

解析几何百题大战

1.若直线1过点(3,4),且(1,2)是它的一个法向量，则直线1的方程为.

2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为李，且G上一点到G的两个焦点

的距离之和为12,则椭圆G的方程为.

3.设m为常数，若点F(0,5)是双曲线--=1的一个焦点，则m=.

4.在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y-3=0被圆(x-2尸+(y+1)2=4截得的弦长

为.

5.过点(1,&)的直线1将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线

1的斜率k=.

6,给出问题：F1(F2是双曲线号—1=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F]的距离等

1620

于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8,由IIPF1|-|PF2||

=8,即|9-|PF2||=8,得|PF21=1或17.

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果

填在下面空格上.

7.若直线1过点(3,4),且(1,2)是它的一个法向量，则1的方程为.

8.已知抛物线y=ax2-l的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形

面积为•

9.当a为任意实数时，直线(a-l)x-y+2a+1=0恒过的定点是.

10.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段FA的中点B在抛物线上，则B到

该抛物线准线的距离为.

11.直线k和％是圆x?+y2=2的两条切线，若k与I?的交点为(1,3),则11与12的夹角

的正切值等于•

12.若集合M={(x,y)|y=V9-x2],集合N={(x,y)Ix-y+b=0},且MnN于0,则b的

取值范围是.

13.已知F是双曲线--^=1的左焦点，A(l,4),P是双曲线右支上的动点，贝|PF|+|PA|的

412

最小值为.

14.已知P、Q为抛物线x2=2y上两点，点P、Q的横坐标分别为4、-2,过P、Q分

别作抛物线的切线，两切线交于A,则点A的纵坐标为.

15.过椭圆1+4=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，0为坐标原点，

54

则A0AB的面积为.

16.如图，丘，F2分别为椭圆提+真=1的左、右焦点，点P在椭圆上，^POFz是面积为V3的

正三角形，则b2的值是.

17.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆，+3=l(a>b>0)的焦距为2c,以点0为圆心，a为

半径作圆M.若过点P(9,0)作圆M的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率

为.

18.己知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称

点都在圆C上，则a=.

22

19.已知双曲线x-y=1,点Fj,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1JLPF2，则

IPF/+IPF2I的值为.

20.双曲线?一卷=1的两个焦点为Fi、F2,点P在双曲线上，若PF11PF2,则点P到x轴

的距离为.

21.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为1,过M(l,0)且斜率为遮的直线与1相交于A,

与C的一个交点为B,若询=而，则p=.

22.己知圆O:x2+y2=5和点A(l,2),则过A且与圆0相切的直线与两坐标轴围成的三角形的

面积等于.

23.已知椭圆E：?+\=l(0<b<2)的右焦点为F.短轴的一个端点为M,直线l：3x—4y=0,

若点M到直线的距离不小于右则椭圆的离心率的取值范围是.

24.在AABC中，AB=BC,cosB=—2.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率

18

25.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为

2a,短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为％、h2,且两个导航灯

在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），

在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为91、/，那么船只已进入该浅水区的判别条件

26.己知双曲线x2-y2=l,点Fi、F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点.若PF11PF2,则

IPF1|+|PF2|的值为.

27.如图，直角坐标系xOy所在的平面为a,直角坐标系x'Oy'（其中y'轴与y轴重合）所在的

平面为ZxOx'=45".

（1）已知平面p内有一点P'（2或,2）,则点P'在平面a内的射影P的坐标

为.

2

（2）已知平面p内的曲线C的方程是（X'-/）+2y'2-2=0,则曲线C在平面a内的

射影C的方程是_______________.

28.若点A的坐标为（3,2）,F为抛物线y2=2x的焦点，点P在该抛物线上移动，

为使得IPA|+|PF|取得最小值，则P点的坐标为.

29.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（l,0）,直线1与抛物线C相交于A,B两点.若

AB的中点为（2,2）,则直线1的方程为.

30.过双曲线（a>0,b>0）的左焦点，且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N

a2b2

两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于.

31.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A,B两点.设|FA|>

IFBI，则|FA|与|FB|的比值等于.

32.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点，若|AF|=3,则|BF|

33.过点(—1,—2)的直线1被圆x2+y2-2x-2y+l=0截得的弦长为夜，则直线1的斜率

为.

34.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为1,过M(1,O)且斜率为V3的直线与1相交于点A,

与C的一个交点为B.若前=而，则p=.

35.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点0为AD的中点，抛

物线y2=2px(p>0)经过C,F两点，则!=.

36.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的

距离为1,则实数c的取值范围是.

37.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D,且加=

2FD,则C的离心率为.

38.已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足AF=3FB,贝U弦AB的中点到准线的

距离为.

39.已知的方程是x2+y2-2=0,O0,的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向O

0和O0'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是.

40.如图是抛物线形拱桥，当水面在1时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水

面宽米.

IjII[L

二1-L力7II

41.已知双曲线?一《=l(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±?x,若顶点到渐近线的距离

为1,则双曲线方程为.

42.设F是双曲线C:^-g=l的一个焦点，若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的

a2b2

一个端点，则C的离心率为.

43.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，A,B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2),则

△ABF的面积等于.

44.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30。的直线，与抛物线分别交于A、B两

点(A在y轴左侧)，则翳=.

45.己知抛物线的参数方程为F=(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为1,过抛物

ly=2ptl

线上一点M作1的垂线，垂足为E,若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则

P=■

46.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(X],yi)、B(x2,y2)两点，则比+y多

的最小值是.

47.在平面直角坐标系xOy中，双曲线[=1上一点M,点M的横坐标是3,则M到双

曲线右焦点的距离是.

48.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4)、B(0,-2),则圆C的方程

为.

49.某桥的桥洞呈抛物线形(如图)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面

宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为米(精确到0.1米).

50.椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为A,以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角

形，该三角形的面积是.

51.若直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点，贝Im,n满足的关系式

为;以(m,n)为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆9+9=1的公共

点有个.

52.过抛物线y2=2px,p>0的焦点F作倾斜角为45。的直线交抛物线于A,B两点，若线段

AB的长为8,则p=.

53.从点(2,3)射出的光线沿与直线x-2y=0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所

在的直线方程为.

54.设FpFj是双曲线C：W=l(a>0,b>0)的两个焦点，P是C上一点，若IPFJ+|PF2|=

6a,且△PF”？的最小内角为30。，则C的离心率为.

55.已知双曲线^-^=l(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=V3x,它的一个焦点与抛物线

a2b2

y2=16x的焦点相同.则双曲线的方程为.

56.双曲线--^=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么点P到左准线的距离

6436

是.

57.已知两条直线aiX+biy+l=O和a2x+b2y+l=0都过点A(2,l),则过两点Pi(ai，bi),

P2(a2,b2)的直线方程是.

58.已知双曲线?一(=1的右焦点为F,点A(9,2)试在双曲线上求一点M使|MA|+g|MF|的

值最小，则这个最小值为.

59.设P为直线y=-x与双曲线^-^=l(a>0,b>0)左支的交点，F1是左焦点，

PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e=.

60.圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程是.

61.若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4始终有公共点，则k取值范围是.

62.椭圆?+?=1的焦点为Fi、F2,点P为其上的动点，当zFjPFz为钝角时，点P横坐

标的取值范围是.

63.过点A(4,l)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,l),则圆C的方程

为.

64.已知曲线C:x=-尸毛，直线l:x=6.若对于点A(m,0),存在C上的点P

和1上的Q使得AP+AQ=0，则m的取值范围为.

1

65.已知Fi、F2是椭圆C：4+S=(a>b>0)的左右焦点，P为椭圆C上一点，且可_L

四.若APF/z的面积为9,则b=.

66.圆x2+y2=4被直线V3x+y—2V5=0截得的劣弧所对的圆心角的大小

为.

67.短轴长为2遥，离心率e=|的椭圆的两焦点为Fi，F2,过Fj作直线交椭圆于A,B两点,

则ZkABF2周长为.

68.在空间直角坐标系中，正方体ABCD-AiBigDi的顶点A(3,-l,2),其中心M坐标为(0,1,2),

则该正方体的棱长为.

69.过椭圆C：号+叁=l(a>b>0)的一个顶点作圆x2+y2=b2的两条切线，切点分别为A,B,

ab

若ZAOB=90°(0是坐标原点)，则椭圆C的离心率为.

70.椭圆9+Y=1的焦点为Fl',点P在椭圆上，若|PF/=4,则|PFzl=;

NF1PF2的大小为.

71.已知a>0,若平面内三点A(l,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线，则a=.

72.已知双曲线?-\=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行双曲线的一条渐近线的直线

与双曲线交于点B,则AAFB的面积为.

73.设AB是椭圆r的长轴，点C在「上，且ZCBA=若AB=4,BC=V2,贝lj「的两个

4

焦点之间的距离为.

74.过原点的直线与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程

为•

75.设m6R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于

点P(x,y),则|PA|-|PB|的最大值是.

76.过点P(2,4)且在两坐标轴上的截距之和等于0的直线方程为.

77.已知直线1过双曲线的左焦点F,且与以实轴为直径的圆相切，若直线1与双曲线的一条渐近

线恰好平行，则该双曲线的离心率是.

78.经过点(1,2)的光线射到y轴上，反射后经过点(4,-3),则反射光线所在直线的方程

是.

79.设F为抛物线C:y2=4x的焦点，过点P(-l,0)的直线1交抛物线C于A,B两点，点Q为

线段AB的中点，若|FQ|=2,则直线1的斜率等于.

80.椭圆r：4+S=l(a>b>0)的左右焦点分别为Fi，F2,焦距为2c,若直线y=V5(x+c)与

椭圆r的一个交点M满足NMF#2=2NMF2F1，则该椭圆的离心率等于.

81.设F是椭圆<+<=1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点R(i=1,2,3…)使

|FP1I,|FP2|,|FP3|,-组成公差为d的等差数列，贝I」d的取值范围为.

82.在直角坐标系xOy中，直线1过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点，

其中点A在x轴上方.若直线1的倾斜角为60。，则4OAF的面积为.

83.如图，F］、F2分别是双曲线嗒一卷=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线与双曲

线的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,则双曲线的离心率

为.

84.已知Fi、F2分别为双曲线1的左、右焦点，点A在曲线C上，点M的坐标

为(2,0),AM为NF1AF2的平分线.则|AF2|=.

85.椭圆1+%=1(a为定值，且a>V5)的左焦点为F，直线x=m与椭圆

a25

相交于点A、B,AFAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是.

86.如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,O),C(c,O)；点

P(O,p)在线段AO上的一点(异于端点)，设a,b,c,p为非零常数.设直线BP,CP分别

与边AC,AB交于点E,F.某同学己正确算得OE的方程是g-J)x+g-i)y=0,那么直

87.椭圆捺+5=l(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=的对称点Q在椭圆上，则椭圆

的离心率是.

88.在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,O),C(c,O)；点P(O,p)

在线段AO上(异于端点)，设a,b,c,p为非零常数.设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点

E,F.某同学已正确算得OE的方程是g-1)x+(i-j)y=O,那么直线OF的方程

为.

2

89.设Fi，F2分别为椭圆y+y=1的焦点，点A,B在椭圆上，若帝=5印，则点A的坐

标是.

90.已知F是双曲线C:x2-^=1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,6V6),当△APF周长最

小时，该三角形的面积为.

91.如图所示，直线x=2与双曲线=1的渐近线交于Ei、E2两点，记遍=可，

理=可，任取双曲线r上的点P,若OP=ae7+be；(a,bGR),则a、b满足的一个等式

是.

y

92.过原点0作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q,则线段PQ的

长为.

93.在平面直角坐标系xOy中，AiABB为