高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册6 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第三册6.1分类加法计数原理

与分步乘法计数原理

一、单选题

1.某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在

内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家已经被邀请，则组成该评审

委员会的不同方式共有（）

A.30种B.15种C.20种D.25种

2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为

（）

A.6B.5C.3D.2

3.有3名防控新冠肺炎疫情的志愿者，每人从2个不同的社区中选择1个进行服务，

则不同的选择方法共有

（）

A.12种B.9种C.8种D.6种

4.某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（）

A.3种B.6种C.7种D.9种

5.某夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入

驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个

数为（）

A.A；A；B.A；A：C.A；A；D.A：A；

6.四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是（）

A.12B.64C.81D.24

7.已知xe{2,3,7},ye{-3,-4,8},则史了可表示不同的值的个数为（）

A.10B.6

C.8D.9

8.今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没.“三

药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、

化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1

方的方法种数为（）

A.15B.30C.6D.9

9.某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门

做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现

有2名教师和3名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有

（）

A.6种B.12种C.24种D.32种

10.由0,1,2,3,4,5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数

恰好有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是（）

A.144B.216C.288D.432

11.甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次

为10,5,3.竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错

误的是（）

A.第二名、第三名的总分之和为29分或31分

B.第二名的总分可能超过18分

C.第三名的总分共有3种情形

D.第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名

12.过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对

数为（)

A.18B.30C.36D.54

二、填空题

13.某学校有东、南、西、北四个校门.受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校

门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校

园.现有3名教师和4名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有

种.（用数字作答）

14.有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上表示

不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成种不同的信号.

15.2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定

派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每

组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有种（用数字填写

答案）.

16.某医疗队有6名医生，其中只会外科的医生1名，只会内科的医生3名，既会外

科又会内科的医生2名.现在要从医疗队中抽取3名医生支援3个不同的村庄，每个村

庄1人，要求3名医生中至少有一名会内科，至少有一名会外科，则共有

种派遣方法.

17.高三年级毕业成人礼活动中，要求A,B,C三个班级各出三人，组成3x3小方

阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为

三、解答题

18.（1）如果A={0,1,2,3,4,5},那么在平面直角坐标系内，集合{（无,y）|x,y"}中有

多少个不同的点？

（2）如果％e{1,3,5,7},6e{2,4,6,8},那么在平面直角坐标系内，方程好质所表

示的不同的直线共有多少条？

19.甲、乙、丙三位教师指导五名学生。，"c,d,e参加全国高中数学联赛，每位教师至少

指导一名学生.

(1)若每位教师至多指导其中一名学生，求共有多少种分配方案；

(2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案.

20.如图，用红、黄、蓝三种颜色涂图中标号分别为1,2,3,9的9个小正方

形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的

3个小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法共有多少种？

21.某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3

人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？

参考答案:

1.B

根据题意只需再从除甲、乙两位专家外的6人中选2人即可.

【详解】

解：由题意知，甲、乙已经被邀请，相当于只需再从6人中选2人,

则有C；=15种不同的组成方式.

故选：B.

2.B

利用分类加法原理求解即可.

【详解】

选女同学有3种选法，选男同学有2种选法，所以共有5种选法.

故选：B.

本题考查分类加法原理，是基础题.

3.C

根据分步计数原理可求.

【详解】

每名防控新冠肺炎疫情的志愿者都有2种不同的选择方法，根据分步计数原理可知，不同

的选择方法共有23=8（种）.

故选：C.

4.C

根据分类加法计数原理即可求解.

【详解】

分3类，买1本书，买2本书，买3本书，

各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3+3+1=7（种）.

故选：C

5.D

不相邻问题用插空法，先排好小吃类店铺，然后将饮料类店铺进行插空即可.

【详解】

先将6个小吃类店铺进行全排列，有A：种排法，再从这6个小吃类店铺形成的7个空中选

3个进行排列，有A；种排法，故排出的摊位规划总个数为A：A；.

故选：D

6.C

根据分步乘法计数原理，即可求解.

【详解】

先安排一位同学分配到三个车间去劳动，有3种安排方法，

同理，再安排一位同学分配到三个车间去劳动，也有3种安排方法，

依次类推，

因此，根据分步乘法计数原理共有34=81种分配方法.

故选：C

本题主要考查了利用分步乘法计数原理解决实际问题，属于容易题.

7.D

采用分步乘法计数原理进行分析，第一步先从集合｛2,3,7｝中取一个值，得到对应的情况

数，第二步再从集合｛-3,-4,8｝中取一个值，得到对应的情况数，两次的情况数相乘并分析

结果，由此可知xf可表示不同的值的个数.

【详解】

解析：因为从集合｛2,3,7｝中任取一个值共有3个不同的值，从集合｛-3,-4,8｝中任取一个值

共有3个不同的值，

故万V可表示3x3=9个不同的乘法计算，且经检验计算结果均不相同，

所以可表示不同的值有9个.

故选：D.

8.D

根据题意，分析“1药”和“1方”的取法数目，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，

则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，

则恰好选出1药1方的方法种数为3x3=9；

故选：D.

本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题.

9.D

先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式；再用分步乘法原理求得答案.

【详解】

因为学生只能从东门或西门进入校园，

所以3名学生进入校园的方式共23=8种.

因为教师只可以从南门或北门进入校园，

所以2名教师进入校园的方式共有22=4种.

所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有8x4=32种情况.

故选：D

10.C

先从3个奇数中选2个奇数捆绑看成一个整体，然后将它们分别安置在5个位置上，其中

根据这个整体与剩下的一个奇数不相邻，以及。不在首位，也不在最后一个位置，利用分

类加法计数原理和分步乘法计数原理即可求解.

【详解】

先从3个奇数中选2个奇数捆绑看成一个整体，然后将它们分别安置在5个位置上，分别

记为①②③④⑤，其中这个整体与剩下的一个奇数不相邻，以及。不在①号位置，也不在

⑤号位置.

（1）若奇数排在①③号位置,则排法总数为母耳心身=48；

（2）若奇数排在①④号位置,则排法总数为A；&C；M=48；

（3）若奇数排在①⑤号位置,则排法总数为&&团=72；

（4）若奇数排在②④号位置,则排法总数为段&&=24；

（5）若奇数排在②⑤号位置,则排法总数为A；&C；M=48；

（6）若奇数排在③⑤号位置，则排法总数为度=48；

根据分类加法计数原理可知，排法总数为48+48+72+24+48+48=288.

故选：C.

方法点睛：（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在

实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的

位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.

(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制

条件的排列问题的常用方法.

11.C

根据给定条件按甲的得分情况分类，再求出第二名、第三名的得分即可判断作答.

【详解】

依题意，甲的得分情况有两种：10,10,5和10,10,3,

显然3人的总得分为54分，甲得分为10,10,5时，第二名、第三名的总分之和为29

分，

甲得分为10，10,3时，第二名、第三名的总分之和为31分，A正确；

甲得分为10,10,5时，第二名得分有三种情况：5,5,10；5,3,10；3,3,10,总分

分别为20分，18分，16分，

第三名得分对应有三种情况：3,3,3；3,5,3；5,5,3,总分分别为9分，11分，13

分，

甲得分为10，10,3时，第二名得分有三种情况：5,5,10；5,3,10；3,3,10,总分

分别为20分，18分，16分，

第三名得分对应有三种情况：3,3,5；3,5,5；5,5,5,总分分别为11分，13分，15

分，

选项B,D正确，第三名总分有4种情况，C不正确.

故选：C

12.C

根据题意，分棱柱侧棱与底面边、棱柱侧棱与侧面对角线、底面边与侧面对角线、底面边

与底面边、侧面对角线与侧面对角线五类依次计数即可得答案.

【详解】

解：如图，分以下几类：

棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有：3x2=6对；

棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有：3x2=6对；

底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有：6x2=12对；

底面边与底面边之间所构成的异面直线有：3x2=6对；

侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有：气一=6对；

所以共有6+6+12+6+6=36对.

故选：C.

本题考查棱柱的结构特征，异面直线的判断，分类加法计数原理，解题的关键在于根据题

意合理分类，做到不重不漏，进而解决，是难题.

13.128

根据分步乘法计数原理即可求出.

【详解】

•••学生只能从东门或西门进入校园，，4名学生进入校园的方式共2"=16种.

\♦教师只可以从南门或北门进入校园，名教师进入校园的方式共有23=8种.

，3名教师和4名学生要进入校园的方式共有16?8128种情况.

故答案为：128.

14.39

根据给定条件分成每次升1面、升2面、升3面旗3类，求出各类表示的信号数，再将各

类信号数相加即得.

【详解】

每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3x3=9种不同的信号；每次升

3面旗可组成3x3x3=27种不同的信号，

根据分类加法计数原理，共可组成3+9+27=39种不同的信号.

故答案为：39

15.180

分为两类：第一类是一组3人，另一组5人，第二类是两组均为4人，然后根据人数分

组，再进行排列即可.

【详解】

分配的方案有两类，

第一类：一组3人，另一组5人，有©-1）应=110种；

第二类：两组均为4人，有七-A；=70种，

A2一

所以共有"=110+70=180种不同的分配方案.

故填:180

本题考查了分类计数原理和分步计数原理以及排列组合数的计算，属于中档题目，解题中

需要注意分组的条件要充分考虑到，防止重复和遗漏.

16.114

根据医生的情况，分从只会外科的人中选1人和从只会外科的人中选0人两类求解.

【详解】

由题知，有2名医生既会外科，也会内科，只会外科的1名，5名会内科，

以选出只会外科的人数进行分类:

从只会外科的人中选1人：ClAl=60,

从只会外科的人中选。人：（C；-C；）团=54,

所以共114种.

故答案为：114

17.—.

140

根据题意，由排列、组合数公式计算“三个班级各出三人，组成3x3小方阵”和“来自同一班

级的同学既不在同一行，也不在同一列”的排法，由古典概型公式计算可得答案.

【详解】

根据题意，A,B,C三个班级各出三人，组成3x3小方阵，有瑞种安排方法，

若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有团=6种，

第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；

第一行的每个位置的人员安排方法有3x3x3=27种，第二行的每个位置的人员安排有

2x2x2=8种，第三行的每个位置的人员安排有lxlxl=l种，

_6x2x27x81

则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率尸=一用一=—;

故答案为：

本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力,

属于中档题.

18.(1)36；(2)16

(1)利用分步相乘计数原理即可得解；

(2)利用分步相乘计数原理即可得解.

【详解】

(1)根据题意，确定集合｛(%刈兑丫€可中的点，需分两步完成：

第1步，确定》有6种方法；第2步，确定，有6种方法；

根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为6x6=36.

所以集合中共有36个不同的点.

(2)根据题意，确定方程＞=区+》所表示的直线，需分两步完成：

第1步，确定斜率％有4种方法；第2步，确定截距匕有4种方法；

根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为4x4=16.

所以方程、=辰+8所表示的不同的直线共有16条.

19.(1)125

(2)4805

(1)甲、乙、丙三位教师各指导了一名学生，进而根据排列求解即可;

(2)先分一名学生给甲老师，剩余学生按要求分两组并分给另两名老师.

⑴

解：因为每位教师至少指导一名学生，且每位教师至多指导其中一名学生，

所以甲、乙、丙三位教师各指导了一名学生，

所以甲、乙、丙三位教师各有5种选择，故有53=125种.

所以，满足条件的分配方案有125种.

⑵

解:从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，有C；=5种，

乙、丙两位教师各有25-1=31种选择，

所以，根据分步乘法原理，分配方案共有5x31x31=4805种.

所以，满足条件的分配方案有4805种.

20.