高中生高考数学易错点

高中生高考数学易错点

目录

1、集合与简易逻辑........................................................2

易错点1：对集合表示方法的理解存在偏差.............................2

易错点2：在解含参数集合问题时忽视空集.............................3

易错点3：在解含参数问题时忽视元素的互异性........................3

易错点4：充分必要条件颠倒出错......................................3

2、函数与导数.............................................................4

易错点5：判断函数奇偶性时忽视定义域...............................4

易错点6：解”二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论..........4

易错点7：用函数图像解题时作图不准.................................5

易错点8：忽视转化的等价性..........................................5

易错点9：分段函数问题...............................................6

易错点10：误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系................6

易错点11：对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻......7

易错点12：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚.........7

3、数列....................................................................8

S求a

易错点13：由时忽略对"n=l“检验8

易错点14：忽视两个“中项”的区别...............R

易错点15：用错了等差、等比数列的相关公式与性质9

易错点16：用错位相减法求和时项数处理不当......9

易错点17：数列中的最值错误......................9

4、三角函数..............................................................10

易错点18：求解时忽略角的范围....................................10

易错点19：求关于sinx,cosx最值时忽视正、余弦函数值域......10

易错点20：三角函数单调性判断错误...............................11

易错点21：图像变换的方向把握不准...............................11

易错点22：忽视平面向量基本定理的成立条件.....................12

易错点23：忽视“向量数量积运算”与“实数运算”区别.........12

5、不等式................................................................12

易错点24：不等式性质应用不当....................................12

易错点25：忽视等号同时成立的条件，扩大了范围................13

易错点26：去分母时没有判断分母的符号..........................13

易错点27：解含参数不等式时分类讨论不当.......................13

易错点28：忽视均值不等式应用条件...............................14

易错点29：平面区域不明............................................14

易错点30：求目标函数最值时忽视y的系数B的符号..............15

6、立体几何..............................................................15

易错点31：不会将三视图还原为几何体............................15

易错点32：空间点、线、面位置关系不清..........................15

易错点33：平行关系定理使用不当.................................16

易错点34：垂直关系定理使用不当.................................16

易错点35：利用空间向量求线面角的几种常见错误................17

易错点36：二面角概念模糊.........................................17

7、解析几何..............................................................18

易错点37：倾斜角与斜率关系不明.................................18

易错点38：判断两直线位置关系时忽视斜率不存在................18

易错点39：平行线间的距离公式使用不当..........................18

易错点40：误解“截距”和“距离”的关系.......................19

易错点41：忽视直线点斜式和斜截式方程适用范围................19

易错点42：忽视直线截距式方程适用范围..........................19

易错点43：忽视圆的一般方程成立条件............................19

易错点44：忽视圆锥曲线定义中的限制条件..........................20

易错点45：求椭圆标准方程是忽视“定位”分析..................20

易错点46：利用双曲线定义出错......................................20

易错点47：求与抛物线有关的最值问题时忽视定点位置..............21

8、概率统计..............................................................21

易错点48：互斥事件与对立事件关系模糊................................21

易错点49：使用概率加法公式没有注意成立条件.........................21

易借点50；运用古典概率公式解题时计数出错.........................22

1、集合与简易逻辑

易错点1:对集合表示方法的理解存在偏差

【问虺】1：已知4={x|x>0},8={y|y>l}・求彳0“

错就：力08=①

剖析：概念模糊，未能直.止理解集合的相贞.

正确结果：4nB=8

【问曲】2:12知力={川卜=》+2},8={(》,力|『+)？=4}.求力口〃

错解：jn/^={(0,2),(-2.0)}

正确答案：4(18二①

剖析：析题不慎，忽视代我无索,误认为才为点集,

反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”,对其本质的理解存在误区，常见的错误是不

理解集介的及示法,忽视一一的代衣元素

易错点2：在解含参数集合问题时忽视空集

【问题］：已知4={x|20vxva2},s={x|-2vxvl},HAQB,求。的取值范围。

铅解：［-1，0)

剖析：忽视4=。的情况。

正确答案：11.2J

反思：由于空集是一个特殊的集合,它是任何集合的r集，因此对于集合力仁8就有可能忽视

rJ=0.导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合向速时，更应注意到当参数在某人范

一内取值时,所给的集合可能是空集的情况。考生由『•思维定式的原因,往往会在解题中遗忘了

这个生介.导致答案错误或答案不全而。

易错点3：在解含参数问题时忽视元素的互异性

【问题】:己知1£{。+2,(a+l)2,/+3a+3}.求次数。的值。

铅解：。=-2,-1.0

剖析：忽视元素的•性,其实当。=-2时，(a+l)2a2+3a+31：当a=-l时，

a+2=a2+3a+3=l：均不符介题意。

正确答案：a=0

反思：集合中的元素具有确定性、互舁性、无序性，集合元素的三性中的互异性对的题的影响最

大，特别是含参数的集合,实际上就隐含着对字母参数的•些要求。解题时可先求出字母拿数的

值，再代入验证.

易错点4：充分必要条件颠倒出错

【问趣】：己知。力是实数，则心a+b>0且曲>0”的

A充分而不必吸条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件

错解：选B

剖析：识记不好,不能真正理解充要条件概念,未能掌握判断充要条件的方法。

正确答案：C

反思:对「两个条件48.如果/=>8,则一是8的充分条件,8是4的必要条件,如果

AoB.则一是B的充要条件。判断充要条件常用的方法”①定义法：②案介法：③等价法。

■时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性,所以在解决这类问题时,•定一分清条件和结

论，根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断,不充分不必要常借助反例说明。

2、函数与导数

易错点5：判断函数奇偶性时忽视定义域

【问题】1：判断函数歹=任二血上»的奇偶性。

Mi）

X'4-1

错解：原函数即j，==L.•・为奇函数

X

剖析：只关注解析式化简，忽略定义域。

正确答案：『奇『偶函数、

【问题】2：判断函数/（幻二，12一1+）一/的奇偶性。

错解：•.•/（T）=/（》）,・•・为偶函数

剖析：不求函数定义域只看表而解析式，只能得到偶函数这•结论,导致错误。

正确答案：既奇IL偶函数:

反思：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，•定是II奇

『偶函数,在定义域关广原点劝称的前提卜如果对定义域内任意'都有/（-幻=一/（工）.则

/⑶为奇函数:如果对定义域内任意X都有/（T）=/（X）,则/（X）为偶函数，如果对定义域

内存在Xo使/（-Xo）W-f（XQ）.则f（X）不是奇函数：如果对定义域内在在天使

*f（XQ）,则f（X］不是偶函数。

易错点6：解”二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论

【问虺】：函数+的图象叮.（轴只。•个交点,求文数川的取值

范陆

铅解：由A=0解封机=0或〃7=-3

剖析：知识残缺,分类诗论意识没亿术考虑〃♦1=0的"况。

正确答案：{-3,0,1}

反思：在：次型函数P=。^+及+0中，当。工0时为•.次函数,N.图缭为抛物线：当〃=0,人力0

时为•次函数，其图象为直线。在处理此类阿盟时，应密切注意X2项的系数是否为0,若不»|

定,应分类讨论,另外化关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如:

ox」+Ar+c>0附集为〃U>a>0.A<0或a=b=0,c>0

ax2+bx+c>0斛％为0Oav0,AS0或n=b=（）,c40

易错点7：用函数图像解题时作图不准

【问题】：求函数/（X）-M的图象。自线/。）=2”的交点个数。

铅解：两个

剖析：忽视指数函数。兄函数增俄速坦快慢对作图的影响，

正确答窠:三个

反思:“数形结合”是血饕思想方法之•,以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数

学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形,不能心观自造,导致图形“失

一”,从而得出错误的答案。

易错点8：忽视转化的等价性

【问题】1：已知方程加/—3》+1=0,且只有•个根在区间(0,1)内,求实数m的取值范

国。

错解：•・•//程〃标一3》+1=0"II.只有•个根在区间((),1)内，.••函数旷二m/-3》+1的图

象。x轴在(0,I)内俏I.只有个交点•・・・/(0)/⑴<0,解得〃Y2

剖析：知识残跳,在将力.程抬化为函数时，应号虑到/⑴=0的情况.

剖析：①在转化过程中,去绝对值时出错,从而得到错误的图象.

②在图象变换过程中出错，搞错平移方向0

正确答案：【)

反思：等价转化是数学的猿要思想方法之•,处理得当会起到意想不到的效果，但•等价转化的前

提一转化的等价性,反之会出现各种离奇的错队

易错点9：分段函数问题

【问题】1:.己知/(幻=!(2一.*+1是〃卜.的增函数，求a的取值范I丸

[a*x21

错解：(1,2)

剖析：知识残缺,只号虑到各段函数在相应定义域内为增函数,忽视/(1)在分界点附近函数值

大小关系。

正确答案：3,2)

2

【问题】2:设函数/(*)=卜、及+，'4°54°，若〃T)=/(0)J(-2)=—2,求关「X的方程

2,x>().

/(X)=X就的个数。

错解：两个

剖析：居础不实.分类讨论意识没行,未能将方程/(X)=X分两种情况来解。

正确答案：三个

反思：与分段函数相关的问题仃作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇

偶件等等,在解决此类问题时，要注意分段函数是•个函数而不是几个函数,如果自变早取值不

能确定，要对白变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。

易错点10：误解“导数为0”与“有极值”的逻辑美系

易借点10误解“导数为与“有极值”的逻辑关系

【问题】：函数/（x）=x'+a/+尿+。'行\=1处仃极值io.求。.力的值

错解：由/（I）=10,/'（1）=0解得。=4,6=-H或。=-3,6=3

剖析：对“导数为0”叮“行极值”咫辑关系分辨不讯错把/（%）为极值的必要条件当作充要

条件。

正确答案：n=4,b=-U

反思：任使用力数求出数极值时，很容易出现的错i吴於求出使导函数等r（）的点,而没仃

对这些点左右两侧导函数的符号进行判断,误以为使导函数等于o的点就是函数的极值点。出现

这种错误的原因就是对导&'j极值关系不清.可导函数在•由:处的导函数值为。为是这个函数在

此点取到极值的必要条件,充要条件是八/）=on/'a）在与两侧此点。。

易错点11:对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻

【问题】：齐函数/（的=0?-丫在人上为减函数.求实数。的取值范围。

a<0

错解：由,"尸30?-1<0在K上。成立,解得qvO

△=12a<0

剖析：概念模糊.错把/（工）在某个区间上是单调增（然）函数的充分条件当成充要条件。事实

上。=0时满足题意。

正确答案：a<0

反思:•个函数在某个区间上单调个（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上充大（小）

于等于o,ri导函数在此区间的任意产区间上都不恒为o.切记导函数在某区间上恒大（小）于

0仅为该函数在此区向上单调增（减）的充分条件。

易错点12：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清

楚

【问题】:己知函数八、）的导函数U（\）的图象如图所示，则.，•“V）的图象最〈可能的是

错解:选A,B,D

剖析:概念不清,凭空乱猜，正确解法是由于/'(0)=八2)=0,且两边。符号相反，故0和2

为极值点;又因为当xvO和x>2时,/r(x)>0,当0vx<2时,/r(x)<0,所以函数/(x)

在(一oo,0)和(2,+8)卜.为增函数，在(0,2)卜为减函数.

正确答案：C

反思：解答此类题的关键是抓住①导函数的④点、原函数的极值点关系--极值点的导数值为

0：②导函数值的符心叮原函数单调性的关系一一原函数看增减，导函数看正负。

3、数列

S求a

易错点13：由“T1时忽略对"n=l“检验

【问题】:已知数列｛4｝的前11项和s,=/一〃+1,求凡。

错解：由解得勺=2〃-2

剖析：考虑不全而，错误原因是忽略「勺=，,-S”T成立的条件n22,实际上、」n=l时就出现

fSo.而So是无意义的，所以使用a”=Sn-S”।求凡,只能发示第二项以后的各项，而第•项

能否用这个q及东,尚需检验,

正确答案:15=1)

2n-2(n>2yneV)

反思：在数列问题中，数列的通项q,与其前n项和Sn之间关系如下

I(w=1?,在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数

列｛4｝的〃关系时，先令〃=1求出首项然后令〃“求出通项为二^,一%」最

后代入验证。解答此类题常见错误为直接令〃A2求出通项力也不对〃=1进行检

验。

易错点14：忽视两个“中项”的区别

【问题］：b?=ac是。),c成等比数列的()

A充分不必要条件B必要不充分条件C充妥:条件D既不充分有不必嘤条件

错解:C

剖析：思维不纸密,没有注意到当官=。。时，4,析C可能为0

正确答案:B

反思：若0,aC成等比数列,反。为。和C的等比中项•由定义可知只有同号的两数才有等比中

项，-b2=ac”仅是“人为。和C的等比中项”的必要不充分条件,在解题时务必要注意此点.：

易错点15:用错了等差、等比数列的相关公式与性质

【问题】:一知等差数列｛4)的俏n】项和为30,附2【】】项和为100,求它的前3m项和S.

错用•：17()

剖析:盾础不实.记钳性质,误以为力,闻.同“成等差数列.

错就：；130

剂折：期础不实,误以为鼠~2.,$3.满足凡■=5.+3一

正确答案:210

反思：等差、等比数列各自有•些。―公式和性质(略)，这些公式和性质是解题的根本,用错

了公式和性质,自然就火去「力晌解决这类问题的•个珞本出发点就她考虑问题要全面,把各

种可一性都考虑进去，认为正确的命题给F证明，认为不无确的命JB举出反例:以说明，

易错点16：用错位相减法求和时项数处理不当

【问题】：求和S”=1+3。+5企+…+(2〃-1)/。

剖析：①考虑不全而,。对a进行讨论,丢掉。=1时的情形。

②将两个和式错位和设元，成等比数列的项数弄错’

③将两个和代个和式流后,丢掉最后•项。

w*(。=1)

正确答案：$“12a(l-a"，2”-1“7］、

:—+—^—^-:+-——/(awl)

\-a(1-tz)*\-a

反思：如果•个数列为•个等差敷列和•个等比数列对应项积所得到的，那么该数列可用错位和

减法求和g木方法是设这个和式为在这个和式的两端同时乘以等比数列的公比得到另一

个和式，将这两个和式错位相求，行到一个新的和式，该式分三部分①原来数列的第一顶：②一

个等比数列的前ml项和;③原来数列的第n项乘以公比的相反数。在用错位相减法求和时务必

要处理好这三个部分，特别是等比数列的项数.有时含原来数列的第•项共〃项,有时只有〃-1

顶。另外,如果公比为字母需分类讨论。

易错点17：数列中的最值错误

【问题】：花等差数列｛4｝中,a,=25,S9=Si6,求比数列的前几项和最大。

剖析:①解题不细心,在用等差数列前n和求解时，解得n=12.5,误认为n=12.5。

②号忠不全而，在用等差数列件质求解得出演=°时,误认为只有与最大.

正确答案：生?或《3

反思:数列的通项公式与而n项和公式都是关「•止整数n的函数，要善了•用函数的观点认识和理

解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点,有时即使考虑了n为正整数，但对于n

为何值时，能够取到最值求解出错花关于正整数n的：次函数中共取最值的点要根据正整数距

离：次函数的对称轴远近而定。

4、三角函数

易错点18：求解时忽略角的范围

【问题]|：在A48(、4,sinAcosB=工.求cosA，sinB的值

513

4I?

错解：cosA±—»sinB±—

513

剖析：基础不实,忽视开力时符号的选取。

4|2

正确答案：cosA=—,sinB一

513

【问题】2:在&48C中.力、8为锐用,ILsin/=正,4118=叵•求4+8的值。

510

错解：先求出sin(4+8)=立,VA+lie(0,]).+工或包

244

剂析：知识残缺，山「48为锐力.所以4+〃€(0,〃)乂山广止弦函数在(0,%)上不是

单调函数.所以本题不宜求sin(/+8)，立改求cos(4+8)或t“n(4+3)。

正确答案：J+/?=-

4

【问题】1：作AJ/"'中.L2^lla=x/2,1.6,卜?•求加A

错解:用止弦定理求得sin/=①，・・・4=工或包

244

剖析：加础不牢.忽视Qa条件82a出铅。

正确答案：A=-

4

反思：•:一曲数中的平方关系是三加变换的核心,也是易错点之•。解题时,务必，视“根据E

知角的范围和一加函数的取值，精确确定未知角的范南，并进行定号”。

易错点19：求关于sinx,cosx最值时忽视正、余弦函数值域

【问题】：己知sinx+siny=§,求siny-cosx的最大值。

2

错解：令f=sinx.sinj-cos2x=r-t——(-14141),通过配方、作图解也siny-cos?x

3

的最大值为？4

3

剖析：本题虽注意到sinx的值域,倡木考虑到sinxLjsiny相互制约,即由EWsinyWl.

-1<sinx<I

/.sinx必须同时演足〈j

-1<—sinx<I

3

4

正确答案:-

9

反思：求关Jsinx,cosx最值的常规方法是通过令/=sin.v(或(PSX)将一：加函数的以值问题

转化为关于/的•.次函数问题求解(Hillfil\余弦曲数值域限制，/只能在某•特定范用内取

(ft.解题时务必要注意此点。

易错点20：三角函数单调性判断错误

【问题】：(2知函数尸cosi?・2x),求它的单调减区间。

错解：2k加&±-2、&2k冗+冗

4

剖析：概念混淆,错闪在J•把复合函数的单调性。基本的数的单调性概念相混淆应化成

y=cos(2x--)求解iE确答案：(k7r+-9k7r+—)(k6Z)

488

反思：对J函数歹=/sin(5+°)来说,当。>0时,由「内层函数〃=④¥+/是单调递增的.

所以函数y=彳sin(au+0)的单调性1J函数y=sinx的单调性相同，故可完全按照函数

y=sinx的单调性来解决：但.当0Vo时，内层函数〃=<yx+°是单调递减的，所以函数

y=彳sin(tut+>)的单调'上。函数y=sinx的单调性正好HI反.就不能按照函数y=sinx的单

调忖来就淡般来说,卮根据透导公式将x的系数化为正数加以就决.句广带不绝对值的"]

函数宜根据图象从史规上加以解决。

易错点21:图像变换的方向把握不准

【问题】：要行到函数y=sinx的图象,只就将函数y=cos(x-g的图象()

A向公平档四个单位B向右平移四个单仅C向4平•移四个单位D向人：平•移四个中工

6336

错解•：C

剖析：知识残缺,未将函数化成同名函数.

铅解：：D

剖析：基础不牢,弄错了平移方向。

正确答案：A

反思：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的俄不同，

y=s\nx->y=sin(x+双卬>。)平移的一为网，

1*1

y=sinx->y=sinwx->y=sin(wx+°)(w>0)平移的址为—。

vv

易错点22：忽视平面向量基本定理的成立条件

【问题】：F列各组向职中,可以作为基底的是

①］(0.0),1=(1.-2):②7=(-1,2).h=(5.7);

③1(3.5),b=(6,10):④7=(2,-3),h=(4,-6):

错解：选①或③或④

正确答案:②

剖析：概念模糊，根据日底的定义，只行非零H•不共线的向量才可以作为平面内的塞底。

反思：如果：、了拈同•平而内的两个不共线向.那么时该平面内的任•向小'有II.只有•

《寸次数口•\2.使；而向俄知识体系中,从卜"」［；口：,工税间求定理

是一耍|：具。考牛.在学习这部分知识时,务必要注意这两个定理的作用和成立条件。

易错点23：忽视“向量数量积运算”与“实数运算”区别

-2

【问题］：一知向Qa=(x.x+§)与/)=(2尤-3)的夹用为钝仙,求比数x的取值范困为

铅附：——,<A,<2

2

剖析：概念慢糊，错i吴地认为(。,可为钝加。。/<0

小：确答案：-，vxv2rLrwO

2

反思：而为饨用o力<。且£与坂不共线or吊+‘必<0

5、不等式

易错点24：不等式性质应用不当

【问题】：一知0<av;r,,求出a-夕的取值范IbL

错解：*.*0<a<,--<P<—,/.0-(--)<a-/7<^--,/.a-^e(—,—)

424242

剖析：套用错误,不等式具有同向相加性质,一两边不能分别和减。

正确答案：(-2，空)

24

反思:不等式柒本性质是不等式的基础,有些性质是条件不等式,在使用这些性质解题时,务必

要检验成立条件，不能想当然套用，忽视了就会出错。

易错点25：忽视等号同时成立的条件，扩大了范围

【问题】：L1知函数/*)=⑪2+瓜,II.14/(—1)42,24/(1)44,求/(一2)的取值范|立

铅斛：先山14/(-1)02,2&/⑴&4求出a.b的范IU，再用不M弋件质求出/(—2)的范：|1|为

|5.1小

剖析：知识残缺,多次使用同向相加性质,从而扩大了取值范怖

正确答案:利用待定系数法或线性规划求解,/(-2)的范惘为⑶10］。

反思：在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同,造成累积误差，结果使变瞅

范国犷人为了避免这类常误，必须注4检查傩次使用性质时等号成立的条件是否相同：②尽

可能多的使用等式,

易错点26：夫分母时没有判断分母的符号

—r—6

【问题】：解不等式X~^--->0

A--I

错解：Vv—Vp6>0./.X2-X-6>0,解得卜阵一2,时>3}

剖析：一础不实,没有考虑分母x-1的符号,直接去分母,应对x-1进行分类讨论，或用数轴

标根法求解，

正确答案；(2,I)U(3,too)

反思：解分式不等式的依据是分式的基本性质a>b.c>0=>ac>bc：a>b.c<0nac<bc。解分式

不等式基本思想是通过去分母将分式不等式转化为整式不等式;但在去分母之前必须对分母的符

♦进行判断.必要时要对分母进行讨论。

易错点27：解含参数不等式时分类讨论不当

［问虺］：解关fx的不等式|2x-l|^a-2

错解•：原不等式等价解褥一q+3«工4^-,

2222

剖析：炭础不实，出接利用绝对值不等式的解集公式,而忽视对相2进行分类讨论。

错解二:当。一2v0时,原不等式不成立。

"ia-2>0时，燃小号」弋等价「-2)S2x—I$—2•解阳----i-x-----

剖析：技能不熟，没有对a-2=0进行时论。

正确答案:当0-2<0时，不等式解集是当0-2NO时,不等式解集是

H।L3-aTa-1］

反思：含参数不等式的解法是不等式问题的难点。解此类不等式时定要注意对字母分类讨论,

讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到人进行整合。

易错点28：忽视均值不等式应用条件

2

【问题】I：x＜0.求函般f（\）=x+—的最（|*（。

X

铅解：当、=0时,仙）取得最小值2上

剖析:密础不实,一木不等式a+622J防成立条件为。＞0力＞0,本题中x＜0,不能直接使

用公式。

正确答案,最大值为-20,无最小值。

4

【问题】：i殳0vxv万，求函数/（x）=sinx+------的及小值。

sinx

4r.4~

错解：/（x）=sinx+———22sinx»———=4

sinxVsinx

4

剖析:知识残缺,因为上述解法取等号条件是sinx=——.sinx=±2,而这是不可能的。

sinx

正确答案:最小值为5

23

【问题】3：设。＞0力＞0,lla+b=1,求函数f（\）=—+—的最小值。

ab

错解：•.•2+：=（。+力）（2+，）2=I遥,，函数f（\）的最小值为1遍

ahahVah

剖析：技能不熟,上述解法似乎很巧妙,但两次使用均值不等式时取等号的条件不•样，因此取

不到4n

正确答案:最小俏.为5+2新

反思：均值不等式6而（。＞0力＞0）取等号的条件是“•正,:定,一：相等”

在解题过程中,务必要先检躲取等号的薪翻1是否成立•常规的解法是①如果积或和不是—

设法构造“定值”：②—是。＞0力＞0不能保证,可构造“正数”或利用导数求解:③若法等

号不能成立,可根据“对勾函数”图象,利用单调性求解。

易错点29：平面区域不明

【问题】：（x-2y+lXx+y-3）＜0衣示的平面区域是（）

错解一：选A计算错误

错解二：选B思维不纨密

错解三：选D审题粗心,未注意到不含等号。

正确答案：C

反思：・釜目线/:4r+协+C=0（45不全为零）把平面分成两个半Tiiil,在每个半、1’•向内的

点（、，、）使&+妁，+（'值的符'，；•致。鉴「此，作不筑式对应的平面区域方法址画线定#,

取点定域,若含等号画实线,否则画虚线。

易错点30：求目标函数最值时忽视y的系数B的符号

T，

【问题】：7；变幻涡足约束条件<x+yNO,求III小函数z=x-2卜的最大值

x--2<0,

错斛：先作可行域,在平他口:线/:x-2y=，得最优解（・1,1）.所以去、=-3

剂析：识i*卜工,%、的系数小「。时,使川H线/长、轴卜做外出人的可行册,是IIM函及以

得僦小值的最优解.

正确答案：3

及思：杆线件规划问位的"方法1即附法JBX）时,刈工”/：〃+妁，="|：、•轴上的极I小

越儿II标函数z=Ar+小值越大,故即越小,II标函数值越小：反之,“iB<0时，动H线

/:祗+加=/作、•轴卜出即越大,II标函数z=4t+母他越小，假即越小,II标函数值越大

其中y的系数8的符号m的您的关选,也是同学们经常忽略的地不

6、立体几何

易错点31：不会将三视图还原为几何体

【问题】:n某空间［何体的三视图如图所示.

求该几何体的体枳.

错解：刻图该几何体是底面为边长6正方形•商为1

的枝柱•・•・该几何体的体枳为夕=（52）2xl=2

剖析：iR图能力欠缺，由三视图还原几何体时出播.

正确谷案:V1

反思：在由一视图还朦空间几何体时,要根据•:个视图综合号虑,根据一视图的规则，可见轮廓

线在三视图中为实线•不可见轮廓线为实纹.在还凰几何体形状时,•股是以正视图和俯视图为

I:.结介侧视图进行综介号虑。

易错点32：空间点、线、面位置关系不清

【问题】:给定下列四个命题:

I)若一个平面内的两条直线与另•个平面都平行，那么这两个平面相互平行:

②若•个平面经过另一•个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直:

③垂直于同•直线的两条直线相互平行:

④若两个平面垂度,那么个平面内与它们的交线不垂直的巨线与另•个平面也不垂直.

其中为我命跑的是

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

错解：A

剖析：①空间想象能力欠缺,不会借助身边的几何体作出判断:

②空间线而关系模糊，定理不熟悉或定理用错

正确答案：D

反思:空间点、线、面位置关系的组合判断是号内学t对空间点、纹、而位置关系判断和性质学

握程度的垂.要题型。解决这类问题的范本思路行两条：-是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个

进行逻辑证明作出肯定的判断:二是结合长方体模型或实际空间位置(如教空、课桌、灯管)作

出判断.但要注意定理应用准确,考虑问题全面细致。

易错点33：平行关系定理使用不当

【问题】：正方体ABCD-AiBiGDi中,M,N,Q分别是梭DiG，AiD).BC的中点，P在对

用线BDi上，11.5万给出下列四个命题：(1)MN〃面APC：(2)CiQ//iftlAPC：(3)

A.P.M三点共线：(4)面MNP〃而APC.正确序号为()

A、(1)(2)B.(1)(4)C、(2)<3)D、(3)(4)

错解：A.B.D

剖析:空间线面关系模糊，定理不熟悉,未能推出MN在平面APC内而导致错误。

正确答案:C

反思：证明空间平行关系的基本思想是转化和化归，但要正确应用定理并注意定理的应用条件。

如在证明电线a//平面a时,不能忽略直线a在平面a外。证明有关线线,线面,而而平行时使

用定理应注意找足条件，书写规范,推理严谨。

易错点34:垂直关系定理使用不当

【问题】：一知一.棱锥P-ARC中.PALABC.ABJAC.PA=AC='；AB.N为ARrA.AB=

4AN.M、S分别为PB、BC的中点。p

①证明：CM1SN：介\

②求SN。平而CMN所成用的大小./[

剖析：①在利用线而垂直的判定定理ilE明两个平面日相垂出时.大片

只证明『该线*I,mADT向内的商条H线.没〃说明这的/，拳歹k

条百.线是分相交，不符合定理的条件：②在求线而加时，漫行B勿X

说明找角的过程.

反思：证明空间垂直关系的基本思想是转化和化归如在证明线线垂直时,可先把其中一条直线

视为某平面内II-J直线,然后再利用线面垂直的性质定理和判定定理证明另•条直线垂直于这个平

而•进而达到i正明线线垂仃的11的

易错点35：利用空间向量求