因式分解课件北师大版数学八年级下册2

第四章

因式分解4.1

因式分解学习目标1.解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.

(重点)2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.

(难点)新课导入复习引入

问题1:

21能被哪些数整除?1,3,7,21.问题2:

你是怎样想到的?因为21=1×21=3×7.思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗?可以

.讲授新课

一

、因式分解的概念探究引入

问题：99³-99能被100整除这个吗?99³-99=99×99²-99×1=99(99²-1)

=99×9800=98×99×100想一想：993-99还能被哪些整数整除?所以，993-99能被100整除.O问题探究

如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗?方法一：m(a+b+c)方法二：ma+mb+mc整式乘法m(a+b+c)=ma+mb+mc·根据左空，解决下列问题：x²-2x=(

x)(

x-2)x²-y²=(

x+y

)(

x-y)x²+2x+1=(

x+1

)²完成下列题目：x(x-2)=

x²-2x(x+y)(x-y)=

x²-y2(x+1)²=

x²+2x+1做一做问题1:

观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系?联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式.区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多

项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.问题2:

右边一栏表示的正是多项式的因式分解，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗?把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.总结归纳提

示：判定

一

个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式

.

(2)右边是积的形式

.

(3)右边的因式全是整式

.C.y²-1=(y+1)(y-1)D.ax+by+c=x(a+b)+cE.2a3b=a2·2abF.(x+3)(x-3)=x²-9A.x(a-b)=ax-bx

XB.x²-1+y²=(x-1)(x+1)+y²辩一辩

判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：义

×

义e×计算下列各式：(1)3x(x-1)=

3x²-3x

(2)m(a+b+c)=ma+mb+mc (3)(m+4)(m-4)=m²-16根据左面算式填空：(1)3x²-3x=

3x(x-1)(2)ma+mb+mc=m(a+b+c)(5)a³-a=a(a+1)(a-1)(5)a(a+1)(a-1)=

a³-a

(3)m²-16=(m+4)(m-4)(4)(x-3)²=x²-6x+9(4)x²-6x+9=(x-3)²做一做二、因式分解与整式乘法的关系想一想：由a(a+1)(a-1)

得到a³-a的变形是什么运算?由a³-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?由a(a+1)(a-1)

得

到a³-a的变形是整式乘法，由a³-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.想一想：整式乘法与因式分解有什么关系?是互为相反的变形，

即x²-1=(x+1)(x-1)

等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积整式乘法因式分解(x+1)(x-1)x²-1典例精析例若多项式x²+ax+b分解因式的结果为a(x-2)

(x+3),

求a,b

的值.解：∵x²+ax+b=a(x-2)

(x+3)=ax²+ax-6a.∴a=1,b=-6a=-6.方法归纳对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算

是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是(B)A.x²-y²B.-x²+y²C.x²+y²D.-x²-y²练一练跟踪练习

1.下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是

(C)A.a(a+b-1)=a²+ab-a

B.a²-a-2=a(a-1)-2C.-4a²+9b²=(-2a+3b)(2a+3b)2.下列从左到右的变形中，是因式分解的有

③⑥①24x²y=4x·6xy②(x+5)

(x-5)=x²-25③x²+2x-3=(x+3)

(x-1)④9x²-6x+1=3x(x-2)+1

⑤x²+1=x

⑥3xn+2+27x=3xn(x²+9)53.把多项式x²+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n),则m+n

的值为

2

●解析：由题意可得x²+4mx+5=(x+5)(x+n)=x²+(n+5)x+5n,5n=5,4m=n+5.4.2004²+2004能被2005整除吗?解：∵2004²+2004=2004(2004+1)=2004×2005∴2004²+2004能被2005整除.5.若多项式x⁴+mx³+nx-16含有因式(x-2)

和(x-1),求mn的值.解：∵x⁴+mx³+nx-16

的最高次数是4,∴可设x⁴+mx³+nx-16=(x-1)(x-2)(x²+ax+b),则x⁴+mx³+nx-16=x⁴+(a-3)x³+(b-3a+2)x²+(2a-3b)x+2b比较系数得2b=-16,b-3a+2=0,a-3=m,2a-3b=n

解得a=-2,b=-8,m=-5,n=20.∴mn=-5×20=-100.6.甲、乙两个同学分解因式x²+ax+b时，甲看错了b,分解结果为(x+2)(x+4);乙看错了a,分解结果为(x+1)(x+9),

求a+b的值.解：分解因式甲看错了b,但a是正确的，其分解结果为x²+ax+b=(x+2)(x+4)=x²+6x+8,∴a=6,同理，乙看错了a,

但b是正确的，分解结果为x²+ax+b=(x+1)(x+9)=x²+10x+9,∴b=9,∴a+b=15.定义：把一个多项式化成几个整式的积

的