高中理科数学基础知识归类

中学(理科)数学基础学问归类

一.集合和简易逻辑

L留意区分集合中元素的形式.如：*|)，=lgM一函数的定义域；3y=lgx}一函数的值域；

{(x,y)|y=lgx}—函数图象上的点集.

2.集合的性质：①任何一个集合A是它本身的子集,记为4a4.

②空集是任何集合的子集,记为C=

③空集是任何非空集合的真子集；留意:条件为A=在探讨的时候不要遗忘了A=0的状

况如：A={x|o?-21=0},假如An/T=0,求。的取值.(答：a<0)

④C.(Ari8)=QAUG，8,Q(AB)=QAnQ8;(A'8)|C=A\(B]O;

:AU5)UC=AU(8UO.

@A(\B=A^>A[JB=B<^AcB<^CuBQCuA^Ar\CuB=0^>CuA\jB=R.

⑥AUB元素的个数：card{AUB)=cardA+cardB-card(AC|B).

⑦含〃个元素的集合的子集个数为2”；真子集(非空子集)个数为2〃-1;非空真子集个数为

2”-2.

3.补集思想常运用于解决否定型或正面较困难的有关问题。

如：已知函数/(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-〃+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c，使

/(c)>0,求实数p的取值范围.(答：)

4.原命题：pnq；逆命题：qnp；否命题：-p=>r；逆否命题：r=>r)；互为逆否

的两个命题是等价的.如：“sinawsin/?”是“a手修'的条件.(答：充分非必要条件)

5.若夕且4冷”，则〃是q的充分非必要条件(或4是p的必要非充分条件).

6.留意命题〃=>夕的否定和它的否命题的区分：命题〃=>夕的否定是p=>r；否命题是

命题中的：“〃或夕”的否定是“力且F”；“〃且9”的否定是“力或r”.

如：“若。和b都是偶数，则。+b是偶数"的否命题是“若a和b不都是偶数，则〃+6是奇

数”否定是“若。和人都是偶数，则是奇数”.

原结论否定原结论否定

是不是至少有一一个也没有

个

都是不都是至多有•至少有两个

个

大于不大于至少有〃个至多有n—1

个

小于不小于至多有〃个至少有«+1

个

对全部X,成立存在某X,不成〃或夕r）且f

对任何X,不成存在某心成立〃且夕T)或F函数

1.①映射/:Af8是：⑴

“一对一或多对一”的

对应；⑵集合A中的元素必有象且A中不

同元素在8中可以有相同的象；集合8中的元素不肯定有原象(即象集qB).

②一一映射f：(1)“一对一”的对应；⑵A中不同元素的象必不同，8中元素都

有原象.

2.函数/：Af8是特殊的映射.特殊在定义域A和值域8都是非空数集！据此可知函数图像

和x轴的垂线至多有一个公共点，但和)，轴垂线的公共点可能没有，也可能有随意个.

3.函数的三要素：定义域，值域,对应法则.探讨函数的问题肯定要留意定义域优先的原则.

4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母工0;偶次根式被开方数非负;对数真数>0,底数

>0且。1；零指数幕的底数工0)；实际问题有意义；若/⑴定义域为海向，复合函数4g(刈

定义域由aKg(x)“解出；若/[g(x)]定义域为向，则/(1)定义域相当于时g(x)的值

域.

5.求值域常用方法：①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特殊留意新

元的范围)；④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域;

⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：依据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域;

⑧判别式法(慎用)：⑨导数法(一股适用于高次多项式函数).

6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)；⑵代换(配凑)法；

⑶方程的思想对已知等式进行赋值，从而得到关于/(%)及另外一个函数的方程组。

7.函数的奇偶性和单调性

⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的，确定奇偶性方法有定义法、

图像法等；

⑵若f(x)是偶函数，那么f(x)==定义域含零的奇函数必过原点(/(0)=0);

⑶推断函数奇偶性可用定义的等价形式：”x)±/(-x)=O或；

⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

留意：若推断较为困难解析式函数的奇偶性，应先化简再推断；既奇又偶的函数有多

数个(如f(x)=0定义域关于原点对称即可).

⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单

调性：

⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.

⑺复合函数单调性由“同增异减”判定.(提示：求单调区间时留意定义域)

如：函数)，=唾；(*+2")而本赢增区间是.(答：(1,2))

8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移“左加右减”(留意是针对x而言)；上

下平移“上加下减”(留意是针对/(X)而言).

⑵翻折变换：/(X)T/(X)I；

⑶对称变换：①证明函数图像的对称性，即证图像上随意点关于对称中心(轴)的对称点仍

在图像上.

②证明图像a和c,的对称性，即证a上随意点关于对称中心(轴)的对称点仍在上,反

之亦然.

③函数y=/(x)和尸/(-x)的图像关于直线x=0(y轴)对称；函数y=f(x)和函数

y=f(-x)的图像关于直线)，=0(x轴)对称；

④若函数y=fM对xwR时，/(a+x)=/(a-x)或/(x)=f(2a-x)恒成立,则y=f[x｝图像关

于直线x=4对称；

⑤若y=f(x)对xeR时，/(a+x)=/s-x)恒成立,则y=/(x)图像关于直线对称；

⑥函数y=f(a+x),y=f(b-x)的图像关于直线对称(由确定)；

⑦函数)=f(x-a)和y=/(匕-幻的图像关于直线对称；

⑧函数y=/(x),y=A-f(x)的图像关于直线对称(由确定)；

⑨函数y=/(x)和y=-/(-x)的图像关于原点成中心对称；函数y=/(x),y=(m-工)

的图像关于点对称；

⑩函数y=/(x)和函数尸尸⑴的图像关于直线y=x对称；曲线G：分2)=0,关于

y=x+a,y=-x+a的对称曲线G的方程为f(y-a,x+a)=O(或f(-y+at-x+a)=O;

曲线G：J'(x,y)=O关于点3,协的对称曲线G方程为：f(2a-x,2b-y)=0.

9.函数的周期性：⑴若y=/(x)对xwR时f(x+a)=/(j—a)恒成立,则/⑶的周期为2|a|;

⑵若)，=/(%)是偶函数，其图像又关于直线X=4对称,则/⑶的周期为2|3；

⑶若)，=/&)奇函数，其图像又关于直线x=a对称,则/㈤的周期为43；

⑷若)，=/(%)关于点30),他0)对称,则/(%)的周期为21a-切;

⑸尸/(x)的图象关于直线x=a,x=b{a*h)对称,则函数y=f(x)的周期为2|"〃|;

⑹)，=/3)对xeR时，/(x+a)=-"x)或，则y=/(x)的周期为2|々|；

n+

10.对数：(1)logab=logo„b{a>09a*>0,/i€/?);(2)对数恒等式)也加=N(a>0,aw1,N>0)；

n

⑶log“(M-N)=logM+log”NAG&M=log”M-logMlogaM=n\ogM;

flNtfa

;⑷对数换底公式(a>0,0l,b>0少工1);

推论:log”b\ogbc•log,a=1=>log,a2.log%%••・log*an=log,,an.

(以上Af>0,A^>0,«>0,a^l,Z?>O,Z?^l,c>O,c*l,apa2,an>0且an均不等于1)

11.方程左=f(x)有解o&e£)(Q为f{x}的值域);a>/(%)恒成立<=><7>"(刈最大依，

aM/(x)恒成立oaM一(切最小值•

12.恒成立问题的处理方法：⑴分别参数法(最值法)；⑵转化为一元二次方程根的分布问

题；

13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两

看法”：一看开口方向；二看对称轴和所给区间的相对位置关系；

14.二次函数解析式的三种形式：①一般式：八幻=加+法+凌"0)；②顶点式：

2

/(x)=U(A-Z0+k(a0);③零点式：/(A)=«(A-Xj)(x-x2)(a0).

15.一元二次方程实根分布:先画图再探讨△>()、轴和区间关系、区间端点函数值符号；

16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若的定义域为他向，其复合函数/侬期的定义域

可由不等式aKg(x)可解出;若f[g㈤]的定义域为卬小求f(x)的定义域，相当于时,

求g⑴的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.

17.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：

/(«)=g(x)u+h(x)>0(或40)(a<u<b)(或);

18.函数y=R(cwOSMc)的图像是双曲线：①两渐近线分别直线户-4(由分母为零确定)

和直线(由分子、分母中工的系数确定)；②对称中心是点(-四，)；③反函数为丁=红也；

y=gccccx-a

19.函数：增区间为，减区间为.

如：已知函数在区间(-2,田)上为增函数，则实数。的取值范围是(答：).

三.数列

1.由s”求《，4=户5=1).留意验证q是否包含在后面〃”的公式中，若不符合要

[Sn-Sn_Sn>2,neN)

单独列出.如：数列(叫满意，求册(答：).

2.等差数列{4}oa〃-an_x-d{d为常数)o勿〃=an^+%(〃之2,〃cN*)

oa=an+b{a=d、b=q-d)oS=An2+Bn(A=—,B=6r--);

2(2

3.等差数列的性质：①4=q"+(〃-m)d,;

②皿+〃=/+&n册+a〃=q+4(反之不肯定成立)；特殊地，当/〃+〃=2P时，有am+an=2ap;

③若应｝、口是等差数列，则｛机+收｝晨、，是非零常数）是等差数列;

④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即SwS.-s2,”，仍是等差数列；

⑤等差数列㈤｝,当项数为2〃时,S偶-5奇=孙;项数为2〃-1时,

S愣一$奇=〃中=eN*）,S2n,（=（2«-1）可，且；♦=/（«）=>.=f（2n-I）.

Bnbn

⑥首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题,转化为解

不等式

（或）.也可用S“=加2+B〃的二次函数关系来分析.

⑦若an=ni,am=n（m*n）,贝！Jam+n=0;若S”=〃?,Sm=n（m工n）,贝?JSm+n=-（m+〃）;

-

若Sm=S”（加工〃），则0;S33（S2m）;Sin+n=Sm+Sn+mnd.

4・等比数列｛〃"｝o他=q（gw0）o4：=41T之2,〃€N*）<=>a=

ann

5.等二匕数列的性质

①4=a"，；②若｛a“｝、｛〃”｝是等比数列，则｛她｝、｛q也｝等也是等比数列；③

町(g=l)］叫(q=l)

④m+〃=/+k=品勺=。外（反之不肯定成立）；

1一夕1一夕"q

Si=S,.+g=S”+q£.⑤等比数列中§2外（注：各项均不为0）仍是等

比数列.⑥等比数列｛七｝当项数为2〃时，；项数为2〃-1时,.

6.①银如数列｛〃“｝是等差数歹U,则数列｛A，｝（加总有意义）是等比数列；假如数列｛2｝是等比

数列，则数列｛log,,|凡|｝（〃>0,。/1）是等差数列；

②若｛q｝既是等差数列又是等比数列，则应｝是非零常数数列；

③假如两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新

数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；假如一个等差数列和一个等比数列有公

共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列，由特殊到一般的方法探求其通项；

④三个数成等差的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d;

三个数成等比的设法:；四个数成等比的错误设法：（为什么？）

7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.

⑵三知S”（即4+/++♦”=/（〃））求知用作差法：.

⑶三知4•生•〃”=/（〃）求为用作商法：.

⑷若《用-勺=/（〃）求见用迭加法.（5）已知，求4r用迭乘法.

⑹三知数列递推式求用构造法（构造等差、等比数列）：①形如％="i+b,〃“=”1+以

%=以1+〃.〃+小（人力为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为&的等比数

列后，再求生.②形如的递推数列都可以用“取倒数法”求通项.

8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加;

④错位相减；⑤分裂通项法.公式：

1+2+3+…+〃=+;12+21+32+-+n2=-n(n+\)(2n+1);13+23+33+;

262

1+3+5+•+〃=，/；

常见裂项公式:；；—!—一1—］；

«（/»-1X«+1）2/»（«+1）（n+1）（M+2）

常见放缩公式：2（g-历=丁二^<丁口=2（4-g）.

>Jn+\+>Jn\Jnvw+yjn-i

9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题

⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”,

细心计算

“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最终”

解决.

⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金P

)

兀，每期利率为r,则〃期后本利和为：Sn=p(l+r)+p(l+2r)+“(1+〃r)=p(〃+吧丁r)(等差数

列问题)；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)〃元,

采纳分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日，如此下去,分〃期

还清.假如每期利率为「(按复利)，那么每期等额还款4元应满意：

p(l+r)z,=Ml+r)rt-，+x(l+r)n-2++x(l+「)+%(等比数列问题).

四.三角函数

1.a终边和。终边相同oa=e+2A7r(kwZ);a终边和，终边共线=a=6+版"(keZ);a终边

和夕终边关于x轴对称=a=-6+A;zdeZ);a终边和。终边关于y轴对称

<^>a=7r-0+2k^(keZ);a终边和。终边关于原点对'称。a=;r+6+2A:4(AeZ);

a终边和8终边关于角夕终边对称0a=2/—6+2EdeZ).

2.弧长公式：/=|例/；扇形面积公式：；1弧度(1阳4)-57.3。.

3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦，三切四余弦”.

留意：tanl50=cot75°=2->/3；tan75°=cot150=2+x/5；

4.三角函数同角关系中(八块图)：留意“正、余弦三兄妹

sinx±cosx>sinx-cosx,，的关系.

如(sinx±cosx)2=l±2sinxcosx等.

5.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括;

(留意：公式中始终视a为锐角)

6.角的变换：已知角和特殊角、已知角和目标角、己知角

和其倍角或半角、两角和其和差兔等变换.

如：a=(,a+p)-p\2a=(a+/7)+(a-;勿=(£+a)一(,一a);;

*=(a_g)-(g_£)等；“1”的变换：I=sin2x+8s2x=tanxcotx=2sin3()o=tan45。.

222

7.重要结论：asinx+bcosx=da?+/sin(x+e)其中)；

奇眄A#,1-cos2a2,。,1-cosasina1-cosa

里要公式：sin2a=-;cos~a=;tan-=±---------=----------=---------;

22\1+cosaI+cosasina

i~：-fe।.e、2,e.e.

VI±sin=J(cos-±sin-)'=|cos-±tsin|.

V2222

万能公式:；；.

8.正弦型曲线尸Asin(au十⑺的对称轴；对称中心；

余弦型曲线y=Acos(◎r+e)的对称轴；对称中心；

9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问

题勿忘三内角和等于180。，一般用正、余弦定理实施边角互化；

正弦定理：；

余弦定理：片=9+/_-ccosAcosA=1-J=s+且一J一1；

2hc2hc

正弦平方差公式：sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B)；三角形的内切圆半径；

面积公式:；射影定理：a=bcosC+ccosB.

10.三角式变换主要有：三角函数名互化(切割化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、

运算结构的转化(和式和积式的互化).解题时本着“三看”的基本原则来进行：“看角、看

函数、看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形运用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次.

协助角公式中协助角的确定：asinx+Z?cosx=yja2+Z?2sin(x+3)(其中。角所在的象限由

&6的符号确定，。角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用.尤其是两者系数肯定

值之比为1或6的情形.Asinx+Bcosx=C有实数解<^>A2+B2>C2.

1L三角函数性质、图像及其变换：

y=Asin(3x4-(pAtan(cox+<p)

超调心轴相点争

令邻中心氏・xj=772

★4piitiOiki-x2i=r

★无对称机

无奇对林利：(1)无勇对殊中心,：、

由k4•3bfc由y-0灰无念义魏文西戴国家都柏文.JL桶4卜所

三角函文疝的距离为一个周期！

数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性

(2)三角函数图像及其几何性质：

(3)三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换.

(4)三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法(五点横坐标成等差数列)和变换法.

12.三角形中的三角函数：

(1)内角和定理：三角形三角和为乃，随意两角和和第三个角总互补，随意两半角和和

第三个角的半角总互余.锐角三角形o三内角都是锐角o三内角的余弦值为正值。任两

角和都是钝角后随意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理：—=』=f=2R(R为三角形外接圆的半径).

sinAsinBsine

留意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必留意可能有两

(3)余弦定理：/=6+/_2睨cosA,8s4=从+(-片=S+父一"2-1等,常选用余弦定

2hc2hc

理鉴定三角形的类型.

(4)面积公式：S=g血=』absinC=嗯^.

2Z4/\

13.MBC中,易得：A+B+t(T)sin4=sin(fi+C),cosA=-cos(fi+C),tanA=-tan(B+C).

②，，・(§)«>Z?<=>A>B<=>sinA>sinB

④锐角AABC中，，sinA>cosB,cosA<cosB,a?+〃>c。，类比得钝角A4BC结论.

(§)tanA+tanB+tanC=tanAtanfitanC.

14.(小结)角的范围：异面直线所成角(0，］；直线和平面所成角［0二］；二面角和两向量的夹

22

角。川；直线的倾斜角［0,幻；4和，，的夹角。为.留意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.

2

五.平面对量

1.设a=0,y),h=(x2>y2).(1)allh<^>xyy2-x2y1=0;(2)a_LZ?oaZ?=0ox}x2+yty2=0.

2.平面对量基本定理：假如e；和s是同一平面内的两个不共线的向量，那么对该平面内的任

一向量明有且只有一对实数4、4,使々二布十七；.

3.设a=(X|,y),b=(x2,y2),则“.力=|〃忖|856=中2+y必»其几何意义是等于a的长度

和b在〃的方向上的投影的乘积；a在力的方向上的投影我36=32=呼+)'办.

网

4.三点A、B、C共线=人B和AC共线；和A启共线的单位向量.

ab

5.平面对量数量积性质：设a=（%,乂），0=@2,y2）,则cos。==52+产.

1。1闻+£《€+£

留意：S,力为锐角=ab>0,方不同向；S,。〉为直角=a》=0;《〃力）为钝角=。力<0,a,方不

反向.

6・同向或有Oo|a+B|=|a|+|碓卜a|一间=|。一向;。,〃反向或有0

<=>|a-〃|=|a|+|在卜々|一间=|a+〃|;a・1不共线o||a|一间<|a土+|山.

7.平面对量数量积的坐标表示：⑴若〉=（*M，b=（x2,y2）f则。•力=%与+乂M；

IAB|=Ja-犷+（乂-％尸；⑵若a=（%丫），则，=a,a=V+y?.

8.熟记平移公式和定比分点公式.①当点P在线段而上时，4>0；当点P在线段施（或

丽）延长线上时，2<-1或-1”<0.②分点坐标公式：若PF=APP2;且

［（%,%）,P（x,y）Eg，％）；

则，中点坐标公式：.

③片，尸，巴三点共线<=>存在实数;I、〃使得OP=/lOq+〃O6且4+〃=1.

9.三角形中向量性质：①AB+AC过3C边的中点：（&+上）口加一士）；

\AB\\AC\\AB\\AC\

@PG='（PA+PI3+PC）<^GA+GB+GC=0^G^JMBC^jS.^;

3

@PA-PB=PBPCPA-PC

④18clpU|C41PB+|4例PC=0=尸为AABC的内心；所在直线过AABC内心.

⑤设以不,）,以马,%）,.|AB\\AC|sinA=^\ABf\ACf-（AB-AC）2.

⑥。为AABC内一点，则S^OA+5AA“OB+SMOBOC=0.

ff

10.P（x,y）如：皿1平；移一>P（x,y,有（PP'=。）：y=fix）网州用平.移->y-k=f（x-h）.

六.不等式

1.驾驭课本上的几个不等式性质，留意运用条件，另外须要特殊留意：

①若H>0,人则即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要变更.

ab

②假如对不等式两边同时乘以一个代数式,要留意它的正负号,假如正负号未定，要留意

分类探讨.

2.驾驭几类不等式（一元一次、二次、肯定值不等式、简洁的指数、对数不等式）的解法，尤

其留意用分类探讨的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法.

3.驾驭重要不等式，⑴均值不等式：若々,“0,则出姿之空之。之产？（当且仅当。=b时

一十一

ab

取等号）运用条件：“一正二定三相等”常用的方法为:拆、凑、平方等;⑵ahcwR,

a2+〃+c22他+从+的（当且仅当。=b=C符，豉尊号）；⑶公式函意菱形如：

,;⑷若则（真分数的性质）；

4.含肯定值不等式：4b同号或有0o|a+b|=|a|+向之||〃|-网Ra-力|；异号或有0

<=>\a-b\=\a\+\b^a\-\b^=\a+b\.

5.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：A-8K0=A«瓦留意：若两个正数作差比

较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.

基本步骤：要证…需证…，只需证…；⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适

当的放大或缩小以达证题目的.

放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：7771>|a|;即后〉〃,②将分子或分母放大（或

缩小）

I

③利用基本不等式，如：.④利用常用结论:yjk+1—y[k

Jk+1+&

2。L_=_L，(程度大)；3。口(程度小)；

kk+\(k+l)jtk-(k-l)kk-\kkk-12k-\Ar+1

⑹换元法：_换元的目的四是削减不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元

有三角换元、代数换元.如：知f+V=/,可设x=acosay=asin。；知f+产小，可设

x=rcos^,y=rsinO(0<;*<1);矢口，可设x=acosay=bsin。；已矢口，可设x=aseca)，=btan。.

⑺最值法，如：a>/(x)城大值，则。>/㈤恒成立.a</(x)最小值，则a<f(x)恒成年/\

七.直线和圆的方程

1.直线的倾斜角a的范围是［0,m;

2.直线的倾斜角和斜率的变更关系［如右图)：。~)

3.直线方程五种形式：\\

⑴点斜式：已知直线过点(厮,%)斜率为3则直线方程为)，-k=加-即)，它不包括垂直于x

轴的直线.⑵斜截式：已知直线在)，轴上的截距为b和斜率左，则直线方程为y=h+〃，它

不包括垂直于x轴的直线.⑶两点式：已知直线经过片(和,)、鸟(七,内)两点，则直线方程为,

它不包括垂直于坐标轴的直线.⑷截距式：已知直线在x轴和)，轴上的截距为，则直线方

程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成

Ar+5)，+C=0(A,B不同时为0)的形式.

提示：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截

距式呢？)

⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等O直线的斜率为-1或

直线过原点；直线两截距互为相反数。直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距肯定值相

等O直线的斜率为±1或直线过原点.

⑶截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.

4.直线4:Ax+4y+G=0和直线4：4》+&y+G=0的位置关系：

⑴平行<=>=0(斜率)且与。2-鸟。尸0(在y轴上截距)；

⑵相交o\B2-0；(3)重合oA员-44=。且4c2-EG=0.

5.直线系方程：①过两直线4：然+町+&=0,/2：4x+&y+G=o.交点的直线系方程可设

为/V+4y+G+〃4x+82y+G)=o；②和直线/：加+冷+c=o平行的直线系方程可设为

Ar+By+ni=0(mwc);③和直线/:AY+By+C=0垂直的直线系方程口J设为-Ay+〃=0.

6.到角和夹角公式：⑴乙至此的角是指直线6围着交点按逆时针方向转到和直线，2重合所转

k

的角凡6c(0,乃)且tan。=❷'(k]k2N—1);

1+毕2

(2儿和/，的夹角是指不人于直角的角且

1+k&

7.点P(x。,%)到直线Ar+8y+C=0的距离公式；

两条平行线Ax+By+G=0和Ar+By+G=0的距离是.

8.设三角形&46c三顶点4(芭,y),3(.”2)，。(下，为)，则重心6卢+；+*3,%+,+%).

9.有关对称的一些结论

⑴点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对称点分别是(a,-b),(-a,b),-b),(Z?M).

⑵曲线/(x,y)=0关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点(〃,份:f(2a-x,2b-y)=0;

②x轴：/(x,-y)=0;③y轴：fi-x,y)=0;④原点：f(-x,-y)=0;⑤直线y=x:

/(y,x)=0;⑥直线y=-x:/(-y,-x)=0；⑦直线x=a:f(2a-xyy)=0.

10.⑴圆的标准方程：(*-。)2+(y-b)2=产.

⑵圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=^D2+E2-4F>0).

特殊提示：只有当4+£2-4/>0时,方程f+V+m+母+尸=0才表示圆心为,半径为的圆

2222

(二元二次方程Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=A=C^0fS.B=0,D+E-4AF>0).

⑶圆的参数方程：(。为参数)，其中圆心为(〃向，半径为「.圆的参数方程主要应用是三角

换元：x2+y2=r2->x=rcosO,y=rsin0;x2+y2=t2^x=rcos0,y=rsin^(0^r<.x/t).

⑷乂4(Xi，y)、8(工2，必)为直径的圆的方程。-内)。-工2)+(〉-X)(丫-%)=。；

IL点和圆的位置关云的推断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点P(%,y0)及圆的方程

(x-d)2+(y-b)2=r2.①(及一〃/+(%-4/0点?在圆外；

22

②(％-4+(y0-Z>)<r=点尸在圆内；③产+(%-6)2=/=点?在圆上.

2

12,圆上一点的切线方程：点P(%,%)在圆/+,2=/上，则过点P的切线方程为：xox+yoy=r；

过圆+()，-匕)2=产上一点PG，%)切线方程为

2

(%-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r.

13.过圆外一点作圆的切线,肯定有两条,假如只求出了一条,那么另外一条就是和x轴垂直

的直线.

14.直线和圆的位置关系,通常转化为圆心距和半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三

角形解决弦长问题.①相离②d=ro相切③小广。相交

15.圆和圆的位置关系，常常转化为两圆的圆心距和两圆的半径之间的关系.

设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为广，心

d>R+ro两圆相离；d=R+ro两圆相夕卜切；|R—〃|vdvR+ro两圆相交；d=jR—r|o两圆

相内切；d<|R-川—两圆内含；4=0=两圆同心.

16.过圆G：f+V+Ax+gy+E=0,G：1+,2+如+玛y+居=0交点的圆(相交弦)系方程为

2222

(x+y+D1x+E,y+f；)+2(x+y+D2x^E2y+^)-0.冗一一1时为两圆相交弦所在直线方程.

17.解决直线和圆的关系问题时•，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦

心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).

18.求解线性规划问题的步骤是：(1)依据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,

写出目标函数(推断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置，从而获得最优解.

八.圆锥曲线方程

1.椭圆焦半径公式：设P(x。,%)为椭圆上任一点，焦点为小-c,0),5£0),

贝！J|p用=。+"0,|「用=。一为(”左力口右减”)；

2.双曲线焦半径：设PC%,%)为双曲线上任一点,焦点为£(-c,0),鸟(c,0),

则：⑴当尸点在右支上时，|PKI=a+"°,|PEI=-〃+⑵当P点在左支上时，|M|=-。-/，

\PF2\=a-ex^;(e为离心率).另：双曲线的渐近线方程为.

3.抛物线焦半径公式：设P®,%)为抛物线)，2=2px(p>0)上随意一点，尸为焦点，则

；y2=_2*(p>0)上随意一点，尸为焦点，贝IJ.

4.共渐近线的双曲线标准方程为(4为参数，2。0).

5.两个常见的曲线系方程：⑴过曲线工(x,y)=0,&(x,y)=0的交点的曲线系方程是

工(.“)+延0")=0。为参数).⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中

k<max{a2,b2},当k<rmn{a2,b2}时,表示椭圆；当min{a2,Z?2)<k<max{«2,Z?2}时,表示双曲线.

6.直线和圆锥曲线相交的弦长公式I阴=_/)2+(,_%)2或IA5|=ViTFIX-毛I

=J(l+公)KN+毛)2-4中2]=J1+qIX->21(弦端点4(X，y),必)，由方程消去

)，得至1」收2+法+c=0,A>0,%为斜率).这里体现了解几中“设而不求”的思想；

7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为手，焦准距为，抛物线的通径为2p,焦准距为p;

双曲线的焦点到渐近线的距离为一

8.中心在原点，坐标轴为对称粕的椭圆，双曲线方程可设为加2+/2=1（对于椭圆

A>0,5>0）;

9.抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦（过焦点的弦）为血从即%）、8（当,%），则有如下结论：

z

（1）|A8|=X]+W+p；（2）,yxy2=-p^（3）.

10.椭圆左焦点弦|AB|=2a+e（玉+x2）.右焦点弦|AB|=2a-e（x+%2）・

11.对于y2=2px（p±0）抛物线上的:点的坐标可设为，以简化计算.

12.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆中，

以P&,%）为中点的弦所在直线斜率；在双曲线中，以P（%,%）为中点的弦所在直线斜率；在

抛物线丁=2川（〃>0）中，以P（%,%）为中点的弦所在直线的斜率.

13.求轨迹方程的常用方法；

⑴干脆法：干脆通过建立x、y之间的关系，构成尸（x,y）=0,是求轨迹的最基本的方法.

⑵待定系数法：可先依据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数，代回所列的

方程即可.

⑶代入法（相关点法或转移法）.

⑷定义法：假如能够确定动点的轨迹满意某已知曲线的定义，则可由曲线的定义干脆写

出方程.

⑸交轨法（参数法）：当动点Pa/）坐标之间的关系不易干脆找到，也没有相关动点可用时,

可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得一般方程.

14.解析几何和向量综合的有关结论：

⑴给出直线的方向向量〃=。&）或〃=（肛m.等于已知直线的斜率k或2；

m

⑵给出苏+丽和A8相交,等于已知苏+而过A8的中点；

（3）给出丽+丽=6,等于己知产是MN的中点；

⑷给出42+的=〃帆+即），等于己知尸,。和43的中点三点共线；

⑸给出以下情形之一：①而〃就；②存在实数/I,使AB=/iAC；③若存在实数a,尸，

且a+尸=1;使0。=0。4+仅用，等于已知4反。三点共线.

⑹给出，等于已知P是而的定比分点，4为定比,即而=力方

⑺给出总赢=0,等于已知即是直角，给出诵•砺=加<0,等于已

知是钝角或反向共线,给出苏・丽=机>0,等于已知ZAMB是锐角或同向共线.

⑻给出，等于已知MP是ZAM8的平分线.

⑼在平行四边形ABCD中，给出（而+心）•（而-而）=0,等于已知/WCD是菱形.

⑩在平行四边形ABCD中，给出|AB+AO|=|48-|,等于已知ABCD是矩形.

（11）在AA8C中，给出6V=OB=OC\等于己知。是AA8C的外心（三角形的外心是外接圆

的圆心,是三角形三边区直学2线的交点）.

（⑵在AA8C中，给出而+而+了=6,等于已知。是AA3C的重心（三角形的重心是三角形

三条中线的交点）—

（13）在AA8C中,给出万J•丽=丽・历•苏，等于已知0是A48c的垂心（三角形的垂心

是三角形三条高的交曳.

（14）在AABC中，给出而=3十（九£?）等于已知前通过AABC的内心.

（15）在AABC中，给出〃.次+Z?•而+c.云=0等于已知。是AABC的内心（三角形内切圆

的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）.

⑯在AA8C中，给此等于已知AO是AA8C中3c边的中线.

九.直线、平面、简洁几何体

1.从一点。动身的三条射线04、08、OC.若ZAO8=ZAOC,则点A在平面80c上的射影在

ZBOC的平分线上；

2.立平斜三角余弦公式：（图略）成和平面所成的角是%AC在平面内，AC和他的射影A4

成4,设NBAC=q,贝！］cosacos62=cosa；

3.异面直线所成角的求法：⑴平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条

的平行线.

⑵补形法：把空间图形补成熟识的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等,

其目的在于简洁发觉两条异面直线间的关系；

4.直线和平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.

5.二面角的求法：⑴定义法；⑵二垂线法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面积射影公式

S射—S科cos0

其中。为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；

6.空间距离的求法：⑴两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直

作出公垂线,然后再进行计算.⑵求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解.

⑶求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂

面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.

7.用向量方法求空间角和距离：

⑴求异面直线所成的角：设a、b分别为异面直线〃、力的方向向量，则两异面直线所成

的角.

⑵求线面角：设/是斜线/的方向向量，〃是平面a的法向量，则斜线/和平面7所成的角.

⑶求二面角（法一）在a内a_L2,在夕内/>_!_/,其方向如图（略），则二面角a-/-〃的平面

角.（法二）设小%是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个

指向外侧，则二面角-尸的平面角.

（4）求点面距离：设〃是平面a的法向量，在a内取一点&则4到a的距离

d=|AB||cos昨四回（即痛在〃方向上投影的肯定值）.

1«1

8.正棱锥的各侧面和底面所成的角两等,记为氏则及COS，=S底.

——Eh?八Ft、，\ULrl.HzJ-Earccos▲

9.正四面体（设棱长为〃）的性质：（如图）3

①全面积S=&2；②体积；

③对棱间的距离；④相邻面所成二面角；

⑤外接球半径；⑥内切球半径；

⑦壬四面体内任一点到各面距离之和为定值.

⑧壬四面体和正方形（如图）

10.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体关于侧棱、

侧面、对角面、平行于底的