高中数学必修四教案

第一章三角函数

1.1.1任意角

教学目标

(-)知识与技能目标

理解任意角的概念(包括正角、负南、零角)与区间角的概念.

(二)过程与能力目标

会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角，会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写.

(三)情感与态度目标

1.提高学生的推理能力；2.培养学生应用意识.

教学重点

任意角概念的理解：区间角的集合的书写.

教学难点

终边相同角的集合的表示：区间角的集合的书写.

教学过程

一、引入：

1.回顾角的定义

①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

二、新课：

1.甬的有关概念：

①角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

②角的名称：

③角的分类：

「正角：按逆时针方向旋转形成的角

Y零角：射线没有任何旋转形成的角

l负角：按顺时针方向旋转形成的角

④注意：

⑴在不引起混淆的情况下，“角a”或“Na”可以简化成“a”：

⑵零角的终边与始边重合，如果。是零龟a二0°:

(3)角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角.

⑤练习：请说出角。、£、y各是多少度？

2.象限角的概念：

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限,

我们就说这个角是第几象限角.

例1.如图(1X2)中的角分别属于第几象限角？

例2.在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角.

(1)60°;(2)120°;(3)240°;(4)300°;(5)420°;(6)480°;

答：分别为1、2、3、4、1、2象限角.

3.探究：教材P3而

终边相同的角的表示：

所有与角a终边相同的角，连同a在内，可构成一个集合5={£|j6=a+〃・360°,

〃£与，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整个周角的和.

注意：

(DAez

⑵a是任一角；

(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个，它们相差

360°的整数倍；

(4)角a+k・720°与角。终边相同，但不能表示与角a终边相同的所有角.

例3.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角.

⑴一120°;⑵640°;(3)-950°12;

答：(1)240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；(3)129°48'第二象限角;

例4.写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示).

W：{a|a=90°+/7*180°,nEZ].

例5.写出终边在y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式一360°<£V720°的元素£写出来.

4.课堂小结

①角的定义；

②角的分类：

「正角：按逆时针方向旋转形成的角

v零角：射线没有任何旋转形成的

-,负角：按顺时针方向旋转形成的角

③象限角：

④终边相同的角的表示法.

5.课后作业：

①阅读教材P2-P5；②教材P5练习第1-5题；③教材P.9习题1.1第1、2、3题

a

思考题：已知a角是第三象限角，则2a,—各是第几象限角？

2

解：痢属于第三象限，

二.k・3600+180°<a<k>360°+270°(AGZ)

因此，2公360°+360°V2aV2〃・360°+540°(AGZ)

即(24+1)360°V2aV(2〃+1)360°+180°(A£Z)

故2。是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角.

ct

又4・180°+90°V—V〃・180°+1353(AeZ).

2

ct

当A为偶数时，令A=2〃(〃£Z),则〃・3600+90°<—<n-360°+135°(〃£Z),

2

此时，4属于第二象限角

2

a

当〃为奇数时，令A=2d1(〃£Z),则。・3600+270°<—<n-360°+315°(nGZ),

2

此时，区属于第四象限角

2

a

因此一属于第二或第四象限角.

2

1.1.2弧度制

教学目标

（四）知识与技能目标

理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数.

（五）过程与能力目标

能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的孤长公式及扇形的面积公式，并能运用公式

解决一些实际问题

（六）情感与态度目标

通过新的度量角的单位制（弧度制）的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长

公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美.

教学重点

弧度的概念.弧长公式及扇形的面枳公式的推导与证明.

教学难点

“角度制”与“弧度制”的区别与联系.

教学过程

一、复习角度制：

初中所学的角度制是怎样规定角的度量的？

规定把周角的二一作为1度的角，用度做单位来度量南的制度叫做角度制.

360

二、新课：

1.引入：

由角度制的定义我们知道，南度是用来度量角的，角度制的度量是60进制的，运用起来不太方便.在教

学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度一弧度制，它是如何定义呢？

2.定义

我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.在

弧度制下，1弧度记做1rad.在实际运算中，常常将rad单位省略.

3.思考：

（1）一定大小的圆心角。所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？

（2）引导学生完成P6的探究并归纳：

弧度制的性质：

①半圆所对的圆心角为②整圆所对的圆心角为

③正角的弧度数是一个正数.④负角的孤度数是一个负数.

⑤零角的弧度数是零.⑥角a的弧度数的绝对值|a|=」.

r

4.萄度与弧度之间的转换：

①将角度化为弧度：

360。=2%：180°=万：：.

②将弧度化为惫度：

1QA

21=36"；%=180°：1rad=（―）°«57.30°=57°18,：.

冗

5.常规写法：

①田弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少77的形式，不必写成小数.

②弧度与角度不能混用.

6.特殊南的弧度

角

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

度

弧冗nn2乃3万543元

0兀24

度772TT~6~2

7.弧长公式

弧长等于弧所对应的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.

例1.把67°30'化成弧度.

例2.把化成度.

例3.计算：

；⑵tan1.5.

例4.将下列各角化成。到2n的角加上（AW2）的形式：

；（2）-315°.

例5.将下列各角化成2〃“+a（4WZ0WaV2"）的形式，并确定其所在的象限.

解：（1）

而名是第三象限的角，是第三象限角.

6

3\TI/5乃3\TI,**.z.„

（2）=-64+—---------是第二象限

666

角.例6.利用弧度制证明扇形面积公式5」/R,其中/是扇形弧长R是圆的半径

2

证法一：•・,圆的面积为成2,.•.圆心角为［「ad的扇形面积为，又扇形弧长为，，半径为R,

・,•扇形的圆心角大小为工■rad,；・扇形面积.

R

证法二：设圆心角的度数为n,则在角度制下的扇形面积公式为，又此时孤长，工.

可看出弧度制与角度制下的扇形面枳公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多.

扇形面积公式:S=g/R=g|a|R2

7.课堂小结①什么叫1弧度角？②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别.

8.课后作业：

①阅读教材P6-P8；

②教材P9练习第1、2、3、6题；

③教材P10面7、8题及B2、3题.

1.2.1倍感扁的三扁徐敢（1）

教学目的：

知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.已知角a终边上一点，会求角a的各三角函数值；

3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；

（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决

问题的能力。

德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）

的一种联系方式；

（2）学习转化的思想，君养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），

以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。

教学难点，利用与单位圆有关的有向线段，将任意角。的正弦.余弦.正切函数值分别用他们的集合形式表

示出来.

教学过程：

一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？

在RtAABC中，设A对边为a,B对边为b,C对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为

..a.b.a

sinA=—,cosA=—janA=—.

ccb

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课：

1.三角函数定义

在直角坐标系中，设a是一个任意角，a终边上任意一点尸(除了原点)的坐标为a,y),它与原点的距

离为/•(/*==J$+y2>0)，那么

(1)比值上叫做a的正弦，记作sina,即；

r

(2)比值/叫做a的余弦,记作cosa,即；

r

(3)比值上叫做a的正切，记作tana,即；

x

(4)比值土叫做a的余切，记作COla,即；

y

说明：①a的始边与x轴的非负半轴重合，a的终边没有表明a一定是正角或负角，以及a的大小，只表明

与a的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角a,四个比值不以点P(x,y)在a的终边上的位置的改变而

改变大小；

③当时，a的终边在)，轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0,

所以无意义；同理当a=%/EZ)时，无意义；

④除以上两种情况外，对于确定的值，】，比值)、三、上、土分别是一个确定的实数，

rrxy

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

2.三角函数的定义域、值域

函数定义域值域

y=sinaR[-U]

y=cosaR[-1,1]

y=tanaR

注意：

(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.

(2)a是任意角，射线仍是角a的终边，a的各三角函数值(或是否有意义)与。x转了几圈，按什么方

向旋转到0P的位置无关.

(3)sina是个整体符号，不能认为是“sin”与“a”的积.其余五个符号也是这样.

(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别：

锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似(直角)三角形的性质，“r”

同为正值.所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐

标、距离与坐标的比来定义的，它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三

角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.

(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象

限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.

3.例题分析

例1.求下列各角的四个三角函数值：(通过本例总结特殊角的三角函数值)

37r

(1)0；(2)乃；(3)—.

2

解：（1）因为当a=0时，x=r,y=0,所以

sinO=O,cosO=T,tan0=0♦cotO不存在。

（2）因为当时，x=-r,y=0,所以

sin»=O,cos^=-l»tan乃=0,cot4不存在,

（3）因为当时，x-0,y--r,所以

,,不存在，，

例2.己知角a的终边经过点P（2,-3）,求a的四个函数值。

解：因为％=2,丁=一3,所以〃=巧石产=JB,于是

sinT早二一迹x22V13

cosa=—==------

rV1313rV1313

例3.已知角a的终边过点（〃,20（4。0）,求a的四个三角函数值。

解：因为过点（〃,2。）（。00）,所以x=a9y=2a

2a2a2石xa亚a

当a>洞,sina=2=-----cosa=—=—j^=------tana=2;cot<z=—;

r45\a\~45a5ryJ5a52

2a2a2A/5

当av耐，sina=2==-------；

ry/5\a\~~45a5

xac1

cos<z=­=­l=-------；tana=2;cota

r-\J5a52

4.三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知:

①正弦值上对于第一、二象限为正（y>0/>0）,对于第三、四象限为负（y<0,〃>0）；

r

Y

②余弦值士对于第一、四象限为正（工>0.>0）,对于第二、三象限为负（x<0,r>0）；

r

③正切值上对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第二、四象限为负异号）.

x

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

练W：确定下列三角函数值的符号：

（1）cos250'；（2）；（3）tan（-672°）；（4）.

例4.求证：若sina<0且tana>0,则角。是第三象限角，反之也成立，

5.诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：

sin（a+2k兀）=sina,

cos（a+2k/r）=cosa,其中AEZ.

tan（a+2k兀）=tana,

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为。〜2八间角的三角函数值问题.

例5.求下列三角函数的值：（1）,（2）,

例6.求函数的值域

解：定义域：cosxM，x的终边不在x轴上又「tarixHO...x的终边不在y轴上

当x是第I象限角时，x>0,y>0cosx=|cosxItanx=|tanx|/.y=2

II.............,x<0,y>0|cosx|=-cosx|tanx|=-tanx/.y=-2

，的二一

•IHIV.........,x<>y<Lz|cosx|cosx|tanx|=tanxy=0

四、小结：本节课学习了以下内容：

1.任意角的三角函数的定义；2.三角函数的定义域、值域；3.三角函数的符号及诱导公式。

五、巩固与练习

1、教材P15面练习；

2、作业P20面习题1.2A组第1、2、3(1)(2)(3)题及P21面第9题的(1)、(3)题。

1.2.18恚仔的三隔备敢(2)

教学目的：

知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；

2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理

解。

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。

教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。

教学过程：

一、复习引入：

1.三角函数的定义

2.诱导公式

sin(2A:^+a)=sina(keZ)

cos(2^+a)=cosa(ZGZ)

tan(2^+a)=tana(keZ)

练习l.tan600"的值是___________.D

A.--B.—C.-V3D.石

33

练习2.若5诒夕以九夕>0.同1夕在_________.B

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第一、四象限D.第二、四象限

练习3.若cos6>0,且sin26e0则〃的终边在___C

A.第一象限B.第三象限C.第四象限D.第二象限

二、讲解新课：

当角的终边上一点P(x,y)的坐标满足产万=1时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示一

一三角函数线。

1.有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

有向线段：带有方向的线段。

2.三角函数线的定义：

设任意角。的顶点在原点0,始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(x,y),

当角a的终边不在坐标轴上时，有向线段=于是有

sina=-=-=y=MP,cosa=-=-=x=OM,tana=—==AT

r1r1xOM0A

我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。

说明：

(1)三条有向线段的位置：正弦线为0的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切

线在过单位圆与R轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内,

一条在单位圆外。

(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向二的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂

足；正切线由切点指向与0的终边的交点。

(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与工轴或丁轴同向的为正值，与x轴或丁轴反向的

为负值。

(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

4.例题分析：

例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

1T、冗2斤

(1)-；(2)一；(3)一一-；(4).

363

解：图略。

例2.若0<a<—,证明sina+cosa>1.

2

例3.比较大小：

2424

(1)sin一再sin—万(2)cos—乃与cos一乃

(3)tan—tan—TI

例4.在[0,2m上满足sinxJ的x的取值范围息)

2

A.0,-1B.[-,—'1C.5万

D.——，乃

_6」|_66」|_66

例5.利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围.

答案：(1)—+2^<x<—+2^,A:GZ(2)--+2k^<x<-+2k7r,keZ；

666;6

三、巩固与练习：P17面练习

四、小结：本节课学习了以下内容：

1.三角函数线的定义；

2.会画任意角的三角函数线；

3.利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。

五、课后作业：作业4

参考资料

例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

1。与2。与

解：如图可知：

2万4兀

>tan—<tan—

35

例2.利用单位圆寻找适合下列条件的0。到360。的角

30o<a<90°或210o<a<270°

补充：I.利用余弦线比较cos64,cos285的大小;

2.若，则比较sing、cos。、tan。的大小；

3.分别根据下列条件，写出角。的取值范围:

(1)；(2)；(3)

1.2.2同的三命留政的壅本关备

教学目的：

知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；

2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

能力目标：牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的

思维能力；

教学重点：同角三角函数的基本关系式

教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用

教学过程：

一、复习引入：

1.任意角的三角函数定义：

设凭a是一个任意角，a终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为

+|川2=//+),2>o)那么：，，，

2.当角a分别在不同的象限时，sina>cosa、tga的符号分别是怎样的？

3.背景：如果，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；

4.问题：由于Q的三角函数都是由x、y、1■表示的，则角a的三个三角函数之间有什么关系？

二、讲解新课：

(-)同角三角函数的基本关系式：

(板书课题：同角的三角函数的基本关系)

1.由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：(1)商数关系：(2)平方关系：sin2a+Wa=l

说明：

①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如si/zia+cos24a=1等；

k冗

②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tana-cola=l(awL/wZ)；

2

③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用(正用、反用、变形用)，如：

cosa=±Jlsin2a»sin2a=1-cos2a,等。

2.例题分析：

一、求值问题

例1.(1)已知，并且a是第二象限角，求cosa,tana,cola.

(2)已知，求sina,tana.

2o195

解：(1)Vsin-a+cos-a=l,Acos2a=l-sin2a=\-(—)2=(—)2

1313

又是第二象限角，Acosa<0,即有，从而

(2)Vsin2a+cos2a=l,sin2a=l-cos2a=l-(——)2=(-)2,

55

又・・・，・♦・a在第二或三象限角。

当a在第二象限时，即有sina>0,从而，；

当a在第四象限时，即有sinavO,从而，.

总结：

1.已知•个角的某•个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终

边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。

2.解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时,

漏掉了负的平方根。

例2.已知tana为非零实数，用tana表示sina,cosa.

解：：sin?a+cos2a=1,,

/.(cosa-Luna)2-t-uus2a=uus2a(l+lan2a)=1,艮［J有,

又,..tana为非零实数，・・・a为象限角。

当a在第一、四象限时，即有cosa>0,从而cosa='1，=Jl+taiy。

Vl+tan~a1+laira

.tanajl+tan2a

sina=tana•cosa=-------------------

1+tana

当a在第二、三象限时，印有cosa<0,从而cosa=-1——=一业粤应

V1+tanal+tana

tanavl+tan2a

sina=tana-cosa=-

l+tan2«

例3、已知sina=2cosa,求

/2sir)2a+2sinacosa-cos2a.

解：vsina=2cosatana=2

sina-4cosatana-4-21

.=--;------------=----------=----=---

5sina+2cosa5tana+2126

强调(指出)技巧：1。分子、分母是正余弦的一次(或二次)齐次式

注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以cosa，将分子、分母转化为tana

的代数式;2。“化1法”

可利用平方关系sir？a+cos2a=1,将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为tana的

分式求值；

小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：

(1)尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；

(2)尽量使分母不含三角函数式；

(3)根式内的三角函数式尽量开出来；

(4)能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形,

二、化简___________

练习1.化简，1—sin’440.

解：原式=-sin2(360+8。)=J1-sir?8。'=晒而=.

练"化简乒"+乒丝

\l+cos6v1-cos^2

三、证明恒等式

例4.求证：.

证法一：由题义知cosxwO,所以l+sinxwO,1-sinxwO.

,.cosx(l+sinx)cosx(l4-sinx),

左边t=-----------------=------------右边•

(I-sinx)(l+sinx)cos-x

・•・原式成立.

证法二：由题义知cosxwO,所以l+sinxwO』-sinxwO.

又：(1-sinx)(l+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosxcosx,

证法三：由题义知cosxwO,所以1+sinx于0,1—sin工于0.

_cosx-cosx-（l+sinx）（l-sinx）

=,

（l-sinx）cosx

•••

总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）

从一边开始，证明它等于另一边；

（2）证明左右两边同等于同一个式子；

（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立，

四、小结：本节课学习了以下内容：

1.同角三角函数基本关系式及成立的条件；

2.根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；

五、课后作业：

参考秘_______________

化简5/1-2sin40cos40.

解：原式=Jsii?40+COS?40-2sin40,cos40

=^/(sin40-cos40)2=|cos40。-sin40|=cos40-sin40.

1.3诱导公式（二）

教学目标

（一）知识与技能目标

⑴理解正弦、余弦的诱导公式.

⑵培养学生化归、转化的能力.

（二）过程与能力目标

（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五.

（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明.

（三）情感与态度目标

通过公式四、五的探究，培系学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探

索精神等良好的个性品质.

教学重点

掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式.

教学难点

运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明.

教学过程

一、复习：

诱导公式（一）

sin(36Qo&+a)=sinacos(360%+a)=cosatan(360%+a)=tana

诱导公式(二)

sin(180o+a)=-sinacos(180°+a)=-cosortan(180°+a)=tana

诱导公式(三)

sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=-tan«

诱导公式(四)

sin(180°-a)=sinacos(180°-a)=-coscrtan(180°-a)=-tana

对于五组诱导公式的理解：

①公式中的a可以是任意角；

②这四组诱导公式可以概括为：

2k7i+a(keZ),-a,乃+a,»-a,的三角函数值，等于它的同名

三角函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。

总结为一句话：函数名不变，符号看象限

练习1：P27面作业1、2、3、4O

2：P25面的例2:化简

二、新课讲授：

rrjr

1N诱导公式(五)sin(-----a)=cosacos(--a)=sin«

22

2、诱导公式(六)sin(—+a)=cosacos(^+a)=-sina

22

总结为一句话：函数正变余，符号看象限

例1.将下列三角函数转化为锐南三角函数：

(1)tan—,(2)sin^^,(3)cos519°,(4)sin(-—^).

5363

练习3：求下列函数值：

(l)cos—,(2)sin(--),(3)sin6700,(4)tan580°).

64

例2.证明：(1)

(2)

.,、,71、,1\7t、

sin(2^-cr)cos(?r+a)cos(—+a)cos(-------a)

例3.化简：------------------------2-----------春——.

cos(7r-a)sin(3;r-a)sin(-a—))sirK5+。)

例4.已知tan(乃+a)=3,

求.2COS（T-a）-3sin（乃+a）的值

4cos（-a）+sin（2乃-a）

解：tan（万+a）=3,「.tana=3.

-2cosa+3sina-2+3tana-2+3x3_

原式二--------------------=---------------=------------=7.

4cosa-sina4-tana4-3

小结：

①三角函数的简化过程图:

②三角函数的简化过程口诀：

负化正，正化小，化到锐角就行了.

练习4：教材P28页7.

三.课堂小结

①熟记诱导公式五、六；

②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；

③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数.

四.课后作业：

①阅读教材；

1.3诱导公式(三)

教学目标

(一)知识与技能目标

⑴理解正弦、余弦的诱导公式.

⑵培养学生化归、转化的能力.

(二)过程与能力目标

(1)能运用公式一、二、三的推导公式四、五.

(2)掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明.

(二)情感与态度目标

通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探

索精神等良好的个性品质.

教学重点

掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式.

教学难点

运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明.

教学过程

一、复习：

诱导公式(一)

sin(360%+a)=sinacos(360%+a)=cosatan(360Qk+a)=tana

诱导公式(二)

sin(180°+a)=-sinacos(180°+a)=-cosatan。80°+a)=tana

诱导公式(三)

sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=-tana

诱导公式(四)

sin(n-a)=sinacos(兀一a)二一cosatan(7i-a)--tana

诱导公式(五)

sin(---a)=cosa-a)=sina

2

诱导公式(六)

..71、

sin(—+a)=cosacos(y+a)=-sina

二、新课讲授：

练习1.将下列三角函数转化为锐南三角函数：

(l)tan—,(2)sin^-^,(3)cos519°,(4)sin(--.TT).

5363

练习2：求下列函数值：

(l)cos—,(2)sin(--),(3)sin6700,(4)tan580°).

64

例1.证明：(1)

(2)

..、.7t.1ITT

sin(2^-a)cosvr+a)cos(—+a)cosf----a)

例2.化简：------------------------Z----------5------.

94

cos(7T—a)sin(37r—a)sin(—a-7r)sin(5+a)

例3.已知tan(万+a)=3,求：生亚生*二@的值。

4cos(-a)+sin(2〃-a)

解:•「tan(%+a)=3,tana=3.

-2cosa+3sina-2+3tana-2+3x3_

原式=----------------=------------=----------=7.

4cosa-sina4-tana4-3

42sin(a-")+3tan(3%-a)

例4,已知sin(a+;r)=—，且sinacosav0,求的值

54cos(a-3/r)

小结：

①三角函数的简化过程图:

②三角函数的简化过程口诀：

负化正，正化小，化到锐角就行了.

练习3:教材P28页7.

•sin(a-2万)•cos(2v-a);

tan(3600+a)

(2)cos2(-a)-

sin(-a)

例5.

三.课堂小结

①熟记诱导公式五、六；

②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；

③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数.

四.课后作业：

①阅读教材的双基训练.

1.4.12花、会修留敬的④臬

教学目的：

知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出），=sinx,x£R的图象，明确图象的形状；（2）根据

关系，作出y=cosx,xeR的图象：（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，

并利用图象解决一些有关问题；

能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；（2）理解并掌握用“五点法”

作正弦函数、余弦函数的图象的方法；

德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；

教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；

教学难点：作余弦函数的图象。

教学过程：

一、复习引入:

1.弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2.正、余弦函数定义：设a是一个任意角，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

p与原点的距离=JW+序=，/+/>o）-Ax,y）

则比值上叫做a的正弦记作：

比值已Y叫做a的余弦记作：

r

3.正弦线、余弦线：设任意角a的终边与单位圆相交于点P（x,y）,过P作x轴的垂线，垂足为M,则

有

9

向线段MP叫做角a的正弦线，有向线段0M叫做角a的余弦线.

二、讲解新课：

1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函

数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数.在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度

应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识.

（1）函数y=sinx的图象

第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点以。|为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆

分成n（这里n=12）等份.把x轴上从0到2n这一段分成n（这里n:12）等份.（预备：取自变量x值一弧度制

下角与实数的对应）.

7T7TTT

第二步：在单位圆中画出对应于角0,一，一，…，2JT的正弦线正弦线（等价于“列表”）.把角

632

X的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与X轴上相应的点X重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象

上的点（等价于“描点”）.

第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx,xe[o,2兀]的图

象.

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距

离为2无，就得到y=sinx,x£R的图象.

把角x（xeR）的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨

探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？

根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移工单位即得余弦函数y=cosx的图象.（课件第

2

三页“平移曲线”）

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.

思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？

2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数丫=5]然，xG[O,2兀]的图象中，五个关键点是：@0)(£,1)(兀,0)(多，-1)(2n,0)

余弦函数丫=。。$乂xe[0,2扪的五个点关键是哪几个？(0,1)(g,0)(九,T)(当，0)(2K,1)

22

只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和

余弦函数的简图，要求熟练掌握.

优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以

3、讲解范例：

例1作下列函数的简图

⑴y=l+s力7必xG[0,2n],(2)y=~COSx

•探究2.如何利用尸sinx,xG(0,2n)的图象，通过图形变换(平移、翻转等)来得到

(1)y=l+sinx,xe(0,2n)的图象；

(2)y=sin(x-兀/3)的图象？

小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

•探究3.

如何利用y=cosx,xe(0,2北)的图象，通过图形变换(平移、翔转等)来得到y=-cosx,

xe(0,2Ji)的图象？

小结：这两个图像关于X轴对称。

•探究4.

如何利用丫=慎$乂，xG(0,2n)的图象，通过图形变换(平移、翻