高中数学：2-3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第2课时）（分层作业）

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时）

（分层作业）（夯实基础+能力提升）

"【夯实基础】

一、单选题

1.（2021・浙江•高一单元测试）商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售.每天可销售100件，现

准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每

天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（）

A.11元B.16元

C.12元到16元之间D.13元到15元之间

【答案】C

【解析】设销售价定为每件x元，利润为〉元，根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于x的一元二

次不等式，解不等式即可求得每件销售价的范围.

【详解】设销售价定为每件Z元,利润为y元，

贝l］y=（x-8）［100—10（x-l。）］,

由题意可得：（x-8）［100-10（x-10）］>320,

即Y-28尤+192<0,所以（x-12）（x-16）<0,

解得：12<x<16,

所以每件销售价应定为12元到16元之间，

故选：C

2.（2022.全国.高一课时练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价

销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以

上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（）

A.（10,20）B.［15,20）C.（18,20）D.［15,25）

【答案】B

【分析】由题意为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，

可列不等式X［45-3（X-15）］>600同时需要注意最低售价为15元，即.同时满足上述条件，可解得范

围得到答案

【详解】由题意，得x[45—3（x—15）]>600,BR-30^+200<0,A（x-10）（x-20）<0,解得10<x<20.又

每盏的最低售价为15元，...ISWxvZO.

故选：B.

3.（2021.江苏省黄壕中学高一阶段练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2

的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是（）

A.154x430B.12<x<25C.10<x<30D.20<x<30

【答案】C

【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用，表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等

式，即可求出结果.

【详解】设矩形的另一边长为>m,则由三角形相似知，W=

4040

所以y=40-x,因为孙N300,所以x（40-x）N300,

即犬-40x+300W0,解得10WxW30.

故选:C

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题.

二、多选题

4.（2022•全国•高一课时练习）在一个限速40km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，

同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知

甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：S所O.lx+O.Olx2,S乙=O.O5x+O.OO5旧则

下列判断错误的是（）

A.甲车超速B.乙车超速

C.两车均不超速D.两车均超速

【答案】ACD

【分析】设甲的速度为4,解不等式0.1X/+0.014>12得到甲的速度范围；设乙的速度为巧，解不等式

2

0.05x2+0.005x2>10得到乙的速度范围，即得解.

【详解】设甲的速度为4

由题得0.1x7+0.01V>12,

解之得玉<-40或%>30；

设乙的速度为七，

2

由题得0.05x2+0.005x2>10.

解之得%2<-50或%2>40.

由于x>0,从而得xi>30hn/h,X2>40km/h.

经比较知乙车超过限速.

故选：ACD

5.（2020.浙江杭州.高一期末）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为R%（即每销售

100元征税R元），若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的值可以是

（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】BCD

【解析】根据题意直接列出不等式，求解R的取值范围，进而得答案.

【详解】解：根据题意，要使附加税不少于128万元，需（30-3卜160、尺％2128

整理得R2-12R+32W0,解得4WRW8,即Re[4,8].

所以R的值可以是4,7,8.

故选：BCD

三、填空题

6.（2021・全国•高一课时练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与售价P元/件之间的关系为尸

=150—2x,生产龙件所需成本为C=50+3Qx元，要使日获利不少于1300元，则该厂日产量应在_________

范围之内（件）.

【答案】15WXS45,且x为自然数

【分析】根据题干信息，可知存在不等关系xP-CN1300,列不等式求解即可

【详解】由题意得：（150—2尤江一（50+30幻21300

化简得：，-6Qx+675W0

解得：15WXW45,且x为自然数

故答案为：15WXW45,且尤为自然数

【点睛】本题考查了一元二次不等式，根据题意列不等式，并利用一元二次不等式的解法求解

7.（2021・新疆•和硕县高级中学高一阶段练习）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙

长18m,要求菜园的面积不小于216m2,靠墙的一边长为初，其中的不等关系可用不等式（组）表示为

0<x<18

【答案】X

x.(15--)>216

【分析】先求得矩形的边长，结合题意列出不等关系.

【详解】矩形菜园靠墙的一边长为河，则另一边长为二尸111,

0<x<18

gp（15-1x）m,根据已知得，

X

x(15--)>216

0<x<18

故答案为：X

x(15--)>216

8.（2022.全国.高一课时练习）甲厂以元千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求14x（10）,每

小时可获得利润100（5x+l-元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则x的最小值是

【答案】3

【分析】根据题意，由2、10015工+1-£|23000求解.

【详解】要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则2xl00（5尤+1-£（23000,

3

整理得514——>0,Xl<x<10,

x

所以5--14尤-320,

解得34x410.

故x的最小值是3.

故答案为：3

四、解答题

9.（2021・江苏•高一课时练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件（xwN*）与货价p元/件之间

的关系为P=160-2x,生产x件所需成本为C=500+30x元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300

元？

【答案】20件至45件

【分析】由题设可列不等式(160-2x)x-(500+30x)21300并整理，应用一元二次不等式的解法求解集即可.

【详解】由题意，^(160-2x)x-(500+30x)>1300,ftlWWx2-65^+900<0,解得20WxW45.

该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元.

10.(2022・湖南•高一课时练习)一家汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩

托车数量无(辆)与创收价值》(元)之间有如下关系式：y=-2x2+220x.若这家制造厂希望在一个星期

内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内生产的摩托车数量x应满足什么条件？

【答案】50Vx<60.

【分析】根据已知列出一元二次不等式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.

【详解】由题意可得：>=-2尤2+22。*>60。0一炉-11。》+30。。<0,

解得：50cx<60.

11.(2021・江苏•高一课时练习)如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍，那么明、后两年每年

的平均增长率至少是多少？

【答案】41.4%

【分析】根据题中不等关系列出关于平均增长率的不等式a(l+x%)222a,解不等式，即可得到增长率的范

围.

【详解】设该厂今年的产量为。，明、后两年每年的平均增长率至少是尤％,

2

则”(1+尤％)222a,gp(l+x%)>2A+x0/0>y/2,

x%>V2-l«41.4%,

所以明、后两年每年的平均增长率至少是41.4%.

12.(2021・江苏•高一课时练习)把一块长为80mm、宽为60mm的长方形铁皮的四个角各剪去一个边长相

等的小正方形，做成一个无盖铁盒.求当底面积不小于1500mm2时，小正方形的边长的取值范围.

【答案】小正方形的边长不超过15mm.

【分析】设出小正方形的边长，进而根据题意建立不等式，然后解出答案.

【详解】设小正方形的边长为xmm,贝iJ(80—2x)(60—2x)21500,即/—70x+15*5520,解得它55或立15.

因为60-2x>0,80-2x>0,x>0,解得0<x<30,所以0E15.

答：当底面积不小于1500mm2时，小正方形的边长不超过15mm.

13.(2021・河南.范县第一中学高一阶段练习)国家原计划以2000元/吨的价格收购某种农产品加吨.按规定,

农户向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%).为了减轻农民负担，制定积极

的收购政策.根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税率调低

后，国家此项税收总收入不低于原计划的54%.

【答案】Q<x<4

【分析】根据题意列出不等式，进而解出不等式即可.

【详解】设税率调低后“税收总收入”为y元.

y=2000/7i(l+2x%).(8-x)%(0<x<8).

依题意，得点2000mx8%x54%,

即2000/77(l+2x%).(8-x)%>2000mx8%x54%,

整理得/+42418名0,解得-460x^4.

根据尤的实际意义，知0E8,所以x的范围为0V国.

14.(2021.云南・玉溪市江川区第二中学高一期中)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契

举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每

件售价为25元，年销售8万件.据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的

总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

【答案】每件定价最多为40元.

【分析】设每件定价为/元，依题可知原收入为25x8万元，现收入为(8-、空万元，即可列出不等

式18一^^><0.2卜25x8解出.

【详解】设每件定价为f元，依题意得卜-25x8,整理得

产―65f+1000V0,解得：25^1<40.

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.

15.(2022・全国•高一单元测试)1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2021年，该种

玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.

(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万

欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？

(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高

价格到加欧元/平方米（其中加>25）,其中投入病-600）万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为

固定宣传费用，投入2〃?万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量〃（单位/万平方米）至少达到

多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.

【答案】（1）4。

（2）该种玻璃的销售量〃至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与

2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元.

【分析】（1）设出未知数，列不等式进行求解；（2）根据题意，得到“关于〃?的关系式，〃？幽

m3

利用基本不等式进行求解

（1）设该种玻璃的售价提高到无欧元/平方米

[80-2（x-25）]x>2000

解得：25<x<40

所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米

（2）mn?2000500+2m+|（m2-600）

整理得：nm?15002m+—m2

3

除以加得：n2--777+2

m3

由基本不等式得："？幽3m+2匙2、悝2=102,当且仅当些即机=30时，等号成

立，所以该种玻璃的销售量“至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收

入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元/平方米.

16.（2022.新疆.乌苏市第一中学高一开学考试）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某

村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴

影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米.

（1）若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值；

（2）若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.

【答案］⑴15米

(2)864平方米

【分析】(1)根据“矩形草坪的长比宽至少多5米”列不等式，解不等式来求得草坪宽的最大值.

(2)求得绿化面积的表达式，利用基本不等式求得最小值.

⑴设草坪的宽为x米，长为y米，由面积为300平方米，得y=

X

•.•矩形草坪的长比宽至少多5米，.•.迎2尤+5,

AA:2+5X-300<0,解得一20WX〈15,

又x>0,O<x<15,

草坪宽的最大值为15米.

(2)记整个绿化面积为S平方米，由题意可得

S=(2尤+6)(y+4)=(2%+6)+4)=624+8+竺)>614+8x2卜生=864,

当且仅当尤=15时，等号成立，

,整个绿化面积的最小值为864平方米.

17.(2022・湖南•高一课时练习)汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能

停住，这段距离称为“刹车距离刹车距离是分析交通事故的一个重要指标.在一个限速为40km/h的弯道

上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车

距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)分别

22

有如下关系式：^=0.1v+0.01v,52=0.05v+0.005v.fnj：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？

【答案】甲种车型没有超速现象，乙种车型有超速现象.

【分析】根据题意，得到一元二次不等式，结合解一元二次方程的方法进行求解即可.

【详解】因为甲种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)的关系式：1=0.11，+0.011，2,

22

所以由题意可得：i1=0.1v+0.01v>12=>v+10v-1200>0^v>30,或v<T0舍去，即v>30,当v=40

时，=0.1x40+0.01xl600=20>12,

显然甲种车型没有超速现象；

2

因为乙种车型的刹车距离s(m)与车速Mkm/h)的关系式：52=0.05v+0.005V,

所以由题意可得：=0.051^+0.005v2>10v2+v-2000>0v>40,或v<-50舍去，即v>40,因此乙

种车型有超速现象.

18.(2021•贵州黔东南•高一期末)黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3.根据预测，汛期时

水库的进水量S“(单位:nf)与天数的关系是'=5000“5+t)(”W10),水库原有水量为80000m3,

若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水

量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警.

⑴求/的值;

(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理

由.

【答案】(1)/=24

(2)汛期的第9天会有危险，理由见解析

【分析】(1)根据条件可建立方程128000-80000-5000jlx(l+r)=23000,解出即可；

(2)设第九天发生危险，由题意得5000^(«+24)-4000/7>128000-80000,解出此不等式，然后可得答

案.

⑴由题意得：128000-80000-500071x(1+0=23000,

即/=24

⑵由(1)得=5000“5+24)(〃<10)

设第"天发生危险，由题意得5000^(^+24)-4000/1>128000-80000,«2+24«-256>0,得n>8.

所以汛期的第9天会有危险

—【能力提升】

一、多选题

1.(2022.全国•高一课时练习)某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,

要求60WXW120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为+竺1]L,其中左为常数.若汽车以

120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为1L5L,欲使每小时的油耗不想过9L,则速度x的值可为

()

A.60B.80C.100D.120

【答案】ABC

【解析】先利用120km/h时的油耗，计算出％的值，然后根据题意“油耗不超过9L”列不等式，解不等式求

得X的取值范围.

【详解】由汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为U5L,

—左+杖［=11.5,解得：左=100,故每小时油耗为+幽］一20,

由题意得/+-20V9,解得：45<x<100,

X60<x<120,ft60<x<100,所以速度x的取值范围为［60,100］.

故选：ABC

【点睛】关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先

利用120km/h时的油耗，计算出左的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中档题.

二、填空题

2.（2022•上海虹口•高一期末）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形

花园（阴影部分），则其一边长x（单位加）的取值范围是.

【答案】［10,30］

【分析】设矩形的另一边长为九由三角形相似得出x,y的关系，再根据矩形的面积公式建立不等式，解

之可求得答案.

【详解】解：设矩形的另一边长为九由三角形相似得三;々2且无>0，y>0，x<40,y<40,

4040

所以40=x+y,又矩形的面积孙与300,所以x（40-“2300,解得10<xW30,

所以其一边长x（单位相）的取值范围是［10,30］.

故答案为：［10,30］.

3.（2022.全国•高一课时练习）某青年旅社有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租；若

将出租费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张.若要使该旅社每晚的收入超过

12万元，则每个床位的定价的取值范围是；

【答案】｛70,80,90,100,110,120,130,140,150,160,170,180）

【分析】设每床每晚的租金提高10的〃倍，由题意可得（50+10〃）（200-10”）>1.2x10000,解不等式可得w

的范围，再计算每个床位的定价的取值范围即可求解.

【详解】设每床每晚的租金提高10的"倍，即为（50+10〃）元，

出租的床位会减少10的〃倍张，即为（200-10”）张，

由题意可得该旅社每晚的收入为（50+10”）（200-10〃）>1.2x10000,

整理可得：,72-15M+20<0

解得：15一•<〃<15+眄,

22

因为neZ,所以〃=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,

此时每个床位的定价50+10we[70,180],

所以每个床位的定价的取值范围是｛70,80,90,100,110,120,130,140,150,160,170,180｝,

故答案为：｛70,80,90,100,110,120,130,140,150,160,170,180）.

4.（2021•全国•高一专题练习）在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，

同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12机，乙车的刹车距离略超过10九又

知甲、乙两种车型的刹车距离si"与车速xkm/h之间分别有如下关系：s尹nO.lx+O.Olx2,s乙=0.05尤+

0.005X2.这次事故的主要责任方为.

【答案】乙车

【分析】依题意，分别列出一元二次不等式，求出各车的最低速度，即可求解.

【详解】解:由题意列出不等式s用=0.1x+0.01N>12,

2

sa=0.05x+0.005.x>10.

分别求解，得

x^<—40或x型>30.

x乙<一50或无乙>40.

由于x>0,从而得x用>3。km/h,x乙>40km/h.

经比较知乙车超过限速，应负主要责任.

故答案为:乙车.

三、解答题

5.（2022・湖南•高一课时练习）某旅店有200张床位.若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；

若将出租收费标准每晚提高lOx元（x为正整数），则租出的床位会相应减少10x张.若要使该旅店某晚的

收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？

【答案】每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）

【分析】由题意可知该旅店某晚的收入为y元，可知（50+10元）（200-10x）>12600,解不等式可求解.

【详解】设该旅店某晚的收入为y元，则

y=（50+10x）（200一10元）,xeN*

由题意y>12600,贝ij（5。+1。尤）（2。。-1Ox）>12600

即10000+1500*-100/>12600,即f-15尤+26<0,

解得：2cx<13,且尤eN*

所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）

6.（202L湖北十堰・高一期中）某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的

长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.

（1）若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值;

（2）若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.

【答案】⑴10米

(2)(424+80#)平方米

【分析】（1）设草坪的宽为尤米，长为y米，则>=理由题意，列出关于x的不等式，求解即可；（2）

求出整个绿化面的长为2x+6米，宽为剪+4米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可.

X

⑴设草坪的宽为X米，长为y米，由面积均为200平方米，得>=剪，

X

因为矩形草坪的长比宽至少多10米，

所以x+10,又x>0,

尤

所以炉+10了一20040,解得0<xW10,

所以宽的最大值为10米；

（2）记整个绿化面积为S平方米，由题意得,

S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)［¥+4J=424+8+号J2424+80卡,当且仅当x=5#米时，等号成立,

所以整个绿化面积的最小值为(424+8076)平方米

7.(2021・全国•高一课时练习)为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络

研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a(a>0)万元，现把研发部人员分成两类：

技术人员和研发人员，其中技术人员有无名(xeN+且45VxV75),调整后研发人员的年人均投入增加4x%,

技术人员的年人均投入为彳相-||1万元.

(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的1。。人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少

人？

(2)是否存在实数机，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总

投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出相的值；若不存在，说明理由.

【答案】⑴75人

⑵存在，7

【分析】(1)根据题意直接列出不等式可求解；

(2)由条件可得加2后+1,m<—+^-+3,分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.

25x25

(1)依题意可得调整后研发人员人数为100-x,年人均投入为(l+4x%)a万元,

则（100-尤）［1+（4%）％］。2100。，（a>0）

解得0WxW75,

又45VxV75,xeN+，所以调整后的技术人员的人数最多75人;

(2)假设存在实数机满足条件.

2元

由技术人员年人均投入不减少有。2解得加卷+1

由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有

两边同除以〃元得(竺1『+卷］2机-F，

Ix八25)25

整理得机工竺°+二+3,

x25

生+2%1/100x.

故有17+1(加工——+—+3，

25x25

因为吧+二+322、陛二工+3=7,当且仅当x=50时等号成立，所以〃三7,

x25\x25

2x

又因为45WxV75,xwN+，所以当工=75时，石+1取得最大值7,所以〃止7,

即存在这样的根满足条件，其范围为{7}.

8.（2021•吉林・长春市实验中学高一阶段练习）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产

的总成本y（万元）与年产量X（吨）之间的关系式为丁=弓-48》+8（）00,已知此生产线年产量最大为220

吨.

（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；

（2）经过评估，企业定价每吨产品的出厂价为40万元，且最大利润不超过1660万元，由该生产线年产量

的最大值应为多少？

【答案】（1）年产量为200（吨）时每吨平均成本最低，最低成本为32万元；（2）210吨.

【分析】（1）平均成本等于总成本除以年产量，得到的式子符合乘积为定值，利用基本不等式求出最小值;

（2）表示出利润得到关于x的二次不等式，求出范围即可.注意实际问题下取值范围的限制.

【详解】解：（1）设每吨的平均成本为W,

则T衿T7jy=—X+-8-0--0-0---48>2C--X----8-0--0-0---48"c=3.2（0/c<x<220）

x5xv5x

当且仅当：=幽，即乒200（吨）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元.

5x

（2）由题意得，

40x-y<1660nd-440x+48300>0,

解得，行230或左210

,.'0<%<220

.".0<x<210

当最大利润不超过1660万元时，年产量的最大值应为210吨.

9.（2021•黑龙江•双鸭山一中高一阶段练习）某单位在对一个长800m、宽600m的草坪进行绿化时，是这

样想的:中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之

一，则花坛宽度的取值范围是多少?当花坛宽度为多少时，绿草坪面积最小？

【答案】当花坛的宽度在0<xV100之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，花坛宽度为100m

时，绿草坪面积最小.

【分析】设花坛宽度为由，则草坪的长为（800-2x）m,宽为（600-2尤）m,（0<x<300）,由题列不等式

（800-2x）（600-2x）>|x800x600,解不等式可得》的范围，再由二次函数的性质求（8。。-2%）（600-2x）最

值即可.

【详解】设花坛宽度为池，则草坪的长为（800-2x）m,宽为（600-2x）m,（0<x<300）.

根据题意得（800-2尤X600-2x）>|x800x600,

整理得x2-700.x+60000>0,

解不等式得x>600（舍去）或x<100,

因止匕0<尤4100.

故当花坛的宽度在0<xV100之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.

绿草坪的面积S=（800-2尤）（600-2x）=4x2-2800%+480000,

对称轴为》=一令^=350,开口向上的抛物线，所以在（0,100］上单调递减，

/xq

所以当x=100时，=（800-2X100）（600-2x100）=600x400=240000,

所以当花坛宽度为100m时，绿草坪面积最小.

10.（2021•江苏・徐州市第七中学高一期中）2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县

序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县

全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得

知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可

创造利润0.15万元.若进行技术指导，养羊的投资减少了无（%>0）万元，且每万元创造的利润变为原来的

（l+0.25x）倍.现将养羊少投资的x万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为

0.15（a-0.875x）万元,其中。>0.

（1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求X的取值范围；

（2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求。的最大值.

【答案】（1）%的取值范围为0<x46；（2）。的最大值为6.5.

【解析】（D由题意得0.15（1+0.25x）（10-x"O」5xlO,解不等式可得结果；

（2）由题意得0.15（a-0.875x）xW0.15（l+0.25x）（10-x）恒成立，分离出参数。得aW生+3+1.5恒成立，

8x

只要利用基本不等式求出乎+W的最小值即可

8x

【详解】解：（1）由题意，no.15（1+025x）（10-X）>0.15X10,

整理得元2-6x40,解得0WxW6,又x>0,故0<x46.

（2）由题意知网店销售的利润为015（a-0.875x）x万元，

技术指导后，养羊的利润为0.15（1+0.25x）（10-力万元，

则0.15（a—0.875x）x40.15（l+0.25尤）（10—尤）恒成立，

又0<x<10,a<-----1----H1.5恒成立，

8x

又¥+12^5,当且仅当x=4时等号成立，

•,.0<a<6.5,即。的最大值为6.5.

答：（1）尤的取值范围为0<x〈6；（2）。的最大值为6.5.

【点睛】关键点点睛：此题考查利用数学知识解决实际问题，考查不等式的解法，第2问解题的关键是由

0.15（a-0.875x）xW0.15（l+0.25x）（10—x）恒成立，转化为aW2+3+1.5恒成立，然后利用基本不等式求

8x

的最小值即可，属于中档题

11.（2021.江苏•高一）科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础.某

科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用.经调研,该企业生产此设备获得的月利润。（x）（单

位：万元）与投入的月研发经费尤（154x440,单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元

时，。（同=-金炉+"-90；当投入月研发经费高于36万元时，p（x）=0.4x+54.对于企业而言，研发利

润率y=e@xioo%,是优化企业管理的重要依据之一，y越大，研发利润率越高，反之越小.

X

（1）求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费尤的值；

（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%,求月研发经费》的取值范围.

【答案】（1）30万元，最大值200%；（2）{x|25<x<36}.

【解析】（1）分别写出15触36与36〈工,40时研发利润率》关于月研发经费x的函数，再由基本不等式及函

数的单调性求最值，取最大值中的最大者得结论;

（2）由（1）可得应付利润率关于研发经费x的解析式，列不等式求解x的范围即可

【详解】（1）由已知，当15WXW36时,

1,

——X2+8X-90

1织+8V8-2,L1x亚90=2・

y=_10__________----x-

X10龙10x

当且仅当白1％=390，即户30时，取等号；

10x

0.4x+54_.54

当36<%04。时，y=------------=0.4+—.

xx

因为y=0.4+>在（36,40］上单调递减，所以><。.4+||=1.9.

因为2>1.9,所以当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%.

（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%,

由（1）可知，此时月研发经费15（x436.

于是，令y=-51%-生90+821.9,

10%

整理得尤2—61X+900W0,解得25W36.

因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是{x|25WxW36}.

【点睛】思路点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事

例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为

数学模型进行解答.

12.（2020.湖北.高一期中）经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度V（千米

/小时）之间有函数关系：y=23>。）.

V+5坐V+1…000

（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？

（2）为保证在该时段内车流量至少为12千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

【答案】（1）10加千米/小时；（2）应控制在20千米/小时到50千米/小时范围内.

【分析】（1）利用基本不等式等号成立的条件求得y取得最大值时对应的V的值.

（2）解一元二次不等式求得汽车的平均速度的控制范围.

900v900

【详解】(1)12+5V+1000，,।10001s,

“幽厘二2。标，

vVv

900,900180

-_

"V+1222+5-20A/W+54A/W+1-

V

当且仅当"=幽，即v=10加时等号成立.

V

当汽车的平均速度v=ioj市千米/小时时车流量y最大.

9001，

(2)令>12,贝IJ可化为声一70丫+100040,

V2+5V+1000

即(v-20)(v-50)<0,解得20Vv〈50.

汽车的平均速度应控制在20千米/小时到50千米/小时范围内.

【点睛】本小题主要考查基本不等式、一元二次不等式.

13.（2021.江苏•高一课时练习）国家为了加强对烟酒生产的管理，实行征收附加税政策.现在某种酒每瓶

70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征收R元（叫做税率为

R%）,则每年产销量将减少10R万瓶.要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R应怎样确定？

【答案】2<R<8.

【分析】设产销量为每年尤万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收附加税为70»R%万元，并且x=

100-107?,由题意得70（100—10R>R%N112,解不等式即得解.

【详解】设产销量为每年尤万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收附加税为7QvR%万元，并且x=

100-107?,由题意，70（100-12,

即/?2-107?+16<0,

解得2<7?<8,

:・税率定在2%〜8%（包括2%和8%）时，可使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元.

【点睛】本题主要考查函数的应用和不等式的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

14.（2022•全国•高一课时练习）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千