高考数学复习(讲解 练习)

三角恒等变换

一、两角和与差的正弦，余弦，正切公式及其二倍角公式，辅助角公式。

1、公式的回忆

2、公式的应用

例1、tan(cz+-)=-,(1)求tana的值；(2)求'⑺2a-cosa的值。

421+cos2a

答案；4-1

例2、(I)cos43°cos770+sin43°cos167°=

(2)cot20°cos100+6sin10°tan70°-2cos400=

答案：」,2

2

例3、tancz+cota=—G(―,—),求cos2a和sim2a+工)的值。

2424

答案：弓今切化弦，或者直接正切求解。

例4、化简：(1)3ji5sinx+36cosx；(2)sin(x+—)4-2sin(x--)-cos(--x)

333

答案：(2)0,直接展开，或者诱导公式变化。(结束)

可补充：点P(3cosx,4sinx),直线3x+4y+5=0,求点P到该直线的最小距离及P点

左边。

注意范围的一些三角恒等变换题

4a

1、sina=—,a在第二象限，求cos—的值。

52

答案:

2、sina=gsi出平,且。,尸为锐角，求a+尸

答案：-

4

3、口/WC中，3sinA+4cosB=l,4cosB+3cosA=1,则。二。

答案：30°

23

4、□ABC中，sin(y4+B)=—,cosB=——，求cosA的值。

34

7&+3石

答案:

12

5、0<a<（,（）<〃<:,且3sinp=sin（2a+私,4tan=1-tan2y,求a+尸的

值。

答案：一

4

二、综合应用（结合三角函数，其它的一些公式）

化简三角函数式的常用方法：“切化弦”，“弦化切”来减少函数的种类，采用“配方法”，“降

鬲公式”来逐步降低各项的次数。

三角函数最值问题归类：

1、三角方法，利用正弦，余弦的有界性；

2、代数方法，先变为代数问题，再选用配方法、不等式法，判别式法，单调性法等求解；

3、解析法，利用点线距离公式，斜率公式，直线方程

类型：

（1）y=asinx+〃，一次函数；

(2)y-asin.v+/?cosA+c,辅助角；

(3)y=asin2x+bs\nx+c,给定区间上的二次函数最值问题;

(4)y=asin.¥cosx+b(sinx±cosx)+c.化为二次函数；

(5)y=4tanx+bcotx,化为y="”,判别式;

(6)y=---------,,二角函数的有界性，分离吊数求最值，不等式法求取值，也可以数

csinx+d

形结合。

（7）y=aSmX+h三角函数的有界性，或者万能公式，判别式求解

ccosx+d

、“七八.a,/1-cosaa1-cosa_sina

半角公式sin,=±4——-——,cosy=,...tan

sina1+cosa

2cos4x-2COS2X+—

1、化简--------------------2_

2tan(g-x)sin2(.r+巧

44

答案：一cos2.x

2

[sin—。

2、已知函数/(。)=-,+―'(0<0<乃)。

22sin^

2

（1）将/（。）表示成关于COS。的多项式:

(2)asR,试求使曲线y=acos+a与曲线y=f(0)至少有一个交点时，。的取值范围。

答案：(1)/(6>)=2COS26>+COS6>-1；(2)一3<。<1(约分)

3、设函数/'(X)=cos(2x+巴)+sin?x

3

(1)求函数/(X)的最大值和最小正周期；

(2)设ARC为EMBC的三个内角，若cosB=1,/(C)=-,，且c不为钝角，求sin4.

34

答案：/(x)=---sin2x,C=—,sinA=cosB=-o

2223

解二角形复习

1、正弦定理

」一=»-=q=2R

sinAsinBsinC

变式：a=2/?sin=2/?sinB,c=2/?sinC

siniA=—,sinB=—sinC=-

2R2R2R

67:/?:c=sinA:sinB:sinC

2、余弦定理

cr=b~+C1-2bccosA

Ab~+c--a~

cosA=--------------

2bc

三角形背景下的一些常用公式和基本结论

A+B+C==—a〃sinC,

2

sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,sin---=cos—,cos---=sin—

2222

两边之和大于第三边

两边之差小于第三边

大边对大角，大角对大边

解三角形基本解题方法：

都化为边，都化为角，边角互化

结合三角恒等变换

通过三角函数值的符合判断以及正余弦函数的有界性讨论。

常见题型：

一、简单应用

1、若。，仇c,成等比数列，且c=2。，则cos8=

3

答案：-

4

2、A<B<C(C^-)则以下结论正确的是()

2f

(A)sin4vsinC(B)cosA<cosC

(C)tanA<tanC(D)cotA<cotC

3、判断：a2=〃s+c)nA=2B对

A=2B=>〃2=〃s+c)错

4、在EMBC中，AC=2,BC=hcosC=-.

4

(1)求AB的值；(2)求sin(2A+C)的值。

答案：V2,1V7

8

二、三角形的多解判断

A>90度A=90度A<90度

a>b一解一解一解

a=b无解无解一解

a<b无解无解a>bsinA两解

a=bsinA一解

a<bsinA无解

直接利用余弦定理判断三角形角的情况：锐角，钝角和直角

三、判断三角形的形状

已知(a2+b2)sin(A-B)=(f/2-/j2)-sin(>4+B)，则该三角形的形状是

答案：等腰或直角三角形

67sinA=bsinB.acosA=bcosB、acosB=hcosA,^sinB=Z;sinA

四、综合应用

1、已知在DABC中，8=45。，AC=W，cosC==-。

(1)求BC边的长；(2)记AB的中点为D,求中线CD的长。

答案：372,713

2、a=4,b+c=5,tan/I+tanB+\/3=\/3tanAtanB

(1)求角C；(2)求三角形的面积。

答案:同G

3、D是直角。斜边BC上一点，AB=

乙CAD=a、4AB©。,

(1)证明：sina+cos2/7=0；(2)若/C=/

求夕的值。

答案：(I)略(2)B=J

3

五、应用题

一些术语：仰角和俯角，方位角，坡角，坡比(斜率)

1、某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得

塔的最大仰角为3()°,求塔高。

答案：4、在口44。中，AC=2,5C=1,COSC=3.

4

⑴求AB的值；(2)求sin(2A+C)的值。

答案：心(3-百)〃？

3

2、为了竖一块广告牌，要制造三角形支架。三角形支架如图所示，

要求NACB=60°,BC的长度大于1m,且AC比AB长0.5m。为

了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？

当AC最短时，BC长度为多少米？

答案：2+\/3,(1+

3、已知匚A8C是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、

AC上的点，线段MN经过DAAC的中心G,设NAO=a

,乃,-2万、

(—<a<——)

33

(1)试将口AGM,口AGN的面积(分别记为5与S?)表示

为a的函数；

(2)求)，=-1+」的最大值和最小值。

s：s-

把它小csinasina

香案：(1)5.=------------,5,=------------;

7171

12sin(cr+—)12sin(a---)

144717L

(2)y=——--fsin2(tz+—)4-5//?2(«——)1=72(3+cot2a),

siira66

仪=工，或。=二，最大值240；a=~,最小值216

332

8.己知a,6为4ABe的三个内角A,8C的对边，向量

m=(x/3,-l),n=(cosA,sinA).若机_L〃，且acos3+〃cosA=csinC,则角AB

的大小分别为()

n7i2兀兀n7in7i

A.一,—B.—,—C.一,—D.一,一

63363633

答案：c

平面向量复习

一、平面向量的基本概念及线性运算

知识框架

平

运算律平

面

面

向

向

丁W

址

向

的

基

出

坐

的

本

标

线

向心的数乘］定

表

性

理

示

运

算

实

平

际

面

背

向

凫

浙

说明，零向量的方向是不确定的,规定，零向量与任一

向量一平行.

向量线性运算及其几何意义：力口，减，数乘

变式题设如为单位向量，①若。为平面内的某个向量，则

a=\a\aoi②若a与公平行，则a=\a\a»；③若a与斯平行且

|3=1,则。=。（）.上述命题中，假命题个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

答案：D

变式题[2010•福州质现如图32—1,g,冬为互相垂直的单位

向量，向量可表示为（I•）••I

图32—1

A.3e2~etB.-2et—4e2

C,e\—3^2D.3cl—

答案；C

例3[2010•合肥调研1若a,b是两个不共线的非零向量，

。与力起点相同，则当，为何值时，。，山，；（〃+加三向量的终

点在同一条直线上？

答案：1=0.5

例3在△A3C所在的平面内有一点P,满足网+闻+河’

=瓦瓦则△PBC与△ABC的面积之比是（）

答案：C

向量表示的几个例子：

1、（江西理15）如图，在△ABC中，点。是8c的中点，过

点。的直线分别交直线AC于不同的两点W,N,若

丽=mAM,^4C=nAN,则〃?+〃的值为

蕊：2,可以共线和为I来理解或者特殊位置

2、已知等差数列｛七｝的前n项和为S”，若

（TB=1力942有，且A,B,C三点共线（该直线不过原点

O),则§200=

答案：100

又如：在口/WC中，OC=-OA,而二!而，AD与BC交于点M,设殖OB=b.

（1）用万表示OM；

（2）在线段AC上取点E,在线段BD上取点F,使EF过M

—___11

点，设。OF=qb,求证：——+—=1

7P3q

7.（2009湖南卷文）如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼

在一起，若AQ=xA8+yAC,则x=14-——,y=

解：作。尸_1_钻,设48=4。=1=4。=。E=及，・・・/。•二60°,，3。=

由NDBF=45°解得DF=BF=见义立=立，故x=T+叵，y=®

2222,2

变式题［2010•江南十校联考］如图32—2所示，在△Q4B

中，点尸是线段OK及的延长线所圉成的阴影区域内（含

边界）的任意一点，且5>=x次+）为，则在直角坐标平面内，

实数对（x,刃所表示的区域在直线>=4的下侧部分的面积是

图32-2

1［解析］连接BP,则仍=帅+即=仍+机而+

nAbf其中/n>0,n>0,

即办=（而+1）劭+〃（励一函）=-〃温+Q〃+〃+I）劭，

x=-n,

则

v=/w4-n-t-l,

因此，有，

烂0,

即

x+j-1>0,

x<0,

・・・实数对（X,刃满足的约束条件为104

1>0,

画出约束条件表示的平面区域，得所求平面区域的面积是

|x3x3=~.

10.（06湖南卷）如图1：。加〃A8,点P由射线OM、线段08及A8的延长线围成的阴影

区域内（不含边界）.且OP=M74+yO8,则实数对（乂），）可以是

A』3、92

A・（丁了）

解析：如图，OM〃/W,点P由射线OM、线段（明及人B的延

长线围成的阴影区域内（不含边界）.且加=x演+），丽,

图1

由图知，xvO,当x二一L时，即反二一1况，P点在线段DE

44

上，CD=-OB,CE=-OB,而・・・选C.

44444

几个向量中常见结论：

1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意

运用.

2.两个几何结论的向量表示.

(1)若D为线段AB的中点，O为平面内一点，则①)=；(次

+■)(如图32-3).

图32—3

(2)园=:阕+或+肥)=6为AABC的重心，

特别地，中+用+同=00〃为4人8。的重心.

3.向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行

问题.记住常用结论*A、B、C、三点共线。存在实数人"，

对任意一点0,况=2加+〃次?(2+〃=1).

二、平面向量的基本定理及坐标运算

基本定理.，夹角，正交分解，坐标表示，坐标下的线性运算，平行，垂直

例、在口48。中，A3=3,5C=4,BD为CA边上的中线，则4皮•而二

答案：7

例1如图33—3所示，以向量以=〃，加=b为边作

口0ADB,的=［阮，C7V=1cfo,用a、b表示M、而、疝V.

•J

图33—3

答案：

15

：.O^I=Ob+B^=-a+^b.

00

又01)=a+b,

11i222

^.0\!=0t'+^Cl)=^01)+^01)=^01)=^a+^b,

oZO<5oo

11

=孑一/

变式题已知4(1,-2),3(2,1),C(3,2)和。(一2⑶,以油、

At为一组基底来表示通+砌+cb.

Ab+Bb+Cb=32Ai—22At.

变式题已知向量4=(2,1),力=(1,2),贝！IH+MIGWR)的最小值

为()

A亚R毡n、仁

A.5H・5G5

答案：C

例4设向量Q=(4COSIZ,sina),h=(sinfl94cqs0),c=(cos0,

—4sin0.

(1)求向量方+c的模的最大值；

(2)若tanatan/?=16,求证ta//b.

:.当且仅当sin24=—1时，族+c|有最大值，最大值是

答案：4飞5.

4、(天津理10)设两个向量Z=(/l+2,/l2-cos?。)和3=(见'+sina),其中4,机a为实

2

数.若£=涕,则4的取值范围是()

m

A.[-6,1]B.[4,8]C.(-ooJlD.[-1,6]

【答案】A

【分析】由u=(2+2,A2-cos2a),b=(m,—+sina\a=2反可得

2

2+2=2rn5A,,[km+2=Ini,,

,,，设2=火代入方程组可得(，2，消去，〃化

4--cos-a=m+2sinamk'm~-cos-a="?+2sina

简得(盘-1-cos2a=^-+2sina,再化简得

\2-k)1-k

(4A21

2+--------cos2a+---------2sina=0再令-----=/代入上式得

<k-2)k-2k—2

(sin2a-1)?+(16/+⑻+2)=0可得-(\6t2+18f+2)w[0,4]解不等式得/e[-1,」]因而

8

^4」解得-6WE.故选A

k-28

(15)(09天津理科)在四边形ABCD中，AB=DC=(1,1),

|=|8A+=居1°，则四边形ABCD的面积是

答案：上

(09湖南)已如向量a=(sinacos6-2sin8),石=(1,2)。

(I)若a//b,求tan。的值;

(2)若|a|二|B|,0＜。＜万，求6的值。

-„1/、、/171T3n

答案：(l)tan6=—,(2)。=—，或,—

424

4、(天津理10)设两个向量Z=(4+2,/l2-cos?。)和5=(〃z,'+sina),其中4,/几a为实

2

数.若3=汨则2的取值范围是

)

m

A.[-6,1]B.[4,81C.(-oo,l]D.[-1,6]

【答案】A

【分析】由a=(4+2,/V-cos2a),〃=(〃?,一+sina),a=24可得

2

)+2=功，设4b•代入方程组可得*：2=2〃：消去，〃化

A~-cos-a=ni+2sinamk'nr-cos-a=rn+2sina

2

简得(二L1_COsa=—+2sin«,再化简得

\2-k)1-k

(4r?1

2+-----cos2a+----2sina=0再令-----=f代入上式得

Vk-2)k-2k-2

(sin2-1)2+(16/+⑻+2)=0可得-(⑹2+]8f+2)w[0,4]解不等式得/因而

8

T4—^4」解得-6VE.故选A

k-28

1.平面向量的基本定律

⑴平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了

向量与坐标是一一对应的，即

a=(x,」)向量发=^＜点A(X,『).

(2)用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并

运用平面向量基本定理格条件和结论表示成向■:的形式,再通

过向量的运算来证明.

2.向量共线的充要条件有两种形式

(l)all/X=＞/＞=；.a(#0)j

(2)allbox——卬】=。(其中a=(xl9yt)»b=(x2,力))・

向量共线定理常用于解决交点坐标问题和三点共线问题.

3.向量的坐标表示，把点与数联系起来，实际上是向加

的代数表示，即引入平面向量的坐标可以使向量运算完全代数

化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化

为我们熟知的数联算.

三、平面向量的数量积及平面向量的应用举例

数量积定义，几何意义，注意投影有正负，运算律(无结合律)

（2）向量数置积的性质

设或力为两个非零向量，e是与方同向的单位向量，。是

”与e的夹角，则

①-•〃="=Slcos，[

②a_Lg“•〃=（），

③当a与b同向时，a，b=1〃1网弓当a与力反向时，a-b

特别地，a-a="或kzl=a，i:

1ata*b

④COS〃=一1"如t

⑤♦一W二团.

3.向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量历l=a=（xi，Ji）>Ob=b=（x2,y2）»以、

曲间的夹角为夕.

①|1,+用工”®\a|=xf+vit

③油产:LV,+--k（平面内两点间的距离公式〃

a，b*1*2+―

④COS〃=卬•协I=.=+^Y+丁：

⑤aJLb=.rz+vi，=（）.

40.（浙江卷）设向量a,b,c满足a+b+c=0,（a-b）_Lc,a_Lb,若IaI=1,则IaI?+|+IcI?的

值是______

【考点分析】本题考查向量的代数运算，基础题。

，（——>————r————

\（：l-bjc=a^c-h^c=0a•c=b•c

解析：卜一制1。,。1右=><cfb=0=<〃•♦二0

（1赤+正0fl=FI=1

同2=1[_各,=2,所以口『++苗2

=4

aa

22、（辽宁理3文4）若向量。与〃不共线，。力。0,。，则向量〃与c的

ab

夹角为（）

71兀兀

A.0B.—C.—D・一

632

2，

TTT（7TT

解析：因为ac=4-（7=0。=0，所以向量。与c垂直，选D

a-b

（08广东）己知向量a与力不共线，teR,

(1)求Ifa-b|的最小值及相应的t值；

(2)求存在两个正数44,且，尸，2,使|而一向=|，22一向的充要条件。

―♦

答案：(1)，=”,最小值|B|sin。,。为两个向量的夹角：

1。「

|B|cos。⑻cos62|B|COS6

r♦U=/LJ*二?二/

|。|⑷⑷

变式题⑴[2010•湖南卷]在RtZUBC中，ZC=90°,AC

=4,则e・Q等于()

A.-16B.-8C.8D.16

(2)若A48c的外接圆的圆心为0,半径为1,且耐+而

+犹=0,则8♦仍=()

A.1B.0C.1D.

答案：D,D

例2⑴[2010・湖南卷]若非零向量”，。满足团=也|,(2a

+b)・b=0,则。与力的夹角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

⑵设不共线的两个非零向量a=(x,2x),/>=(—3x,2),且a,

力的夹角为钝角，求”的取值范围.

答案：a*(2(f/UH，0)U&+q

变式题⑴[2010•浙江卷]已知平面向量a,B，kz|=b网

=2,a±(«-2#),则|2a+川的值是.

(2)已知aN,尸在A48C所在平面内，且|况1=1防产

\Ot\9隔+而+能=0,且闻♦闻=防屁=卮再，则点。，

N,P依次是△45。的()

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心

C.外心，重心，垂心D.外心，重心，内心

较dhJo(2)C

含茶：

例4[2010•全国卷I]已知圆。的半径为1,m、尸8为该

圆的两条切线，从、5为两切点，那么布•丽的最小值为()

A.-4+\'2B.-34-\；'2

C.-4+2啦D.-34-2^/2

1)I解析)方法一：如图所示，设始=〃6=x(x>0),ZAPO=at则ZAPS

P0=J1+x2»sin«=,'1^2•

x4—x2x2+r-Sr2+l+2

2

P4P«=|E4HPBkos2a=?(l-2sina)=-^pYP+T=7+i-

=(x?+l)+p^Y-322\%：+1p^Y-3=2\,2-3»

当且仅当x2+l=?^p即1=加-1时，取“=”号,

故丽丽的最小值为-3+班，此时x="2-1.

0(.

方法二：以点O为坐标原点，。尸为X轴建立直角坐标系，

则圆。的方程为f+y2=l,设A(X[,Ji),B{Xi，—Ji),P(xo,O)>

则中•协=(X1-Xo，Xo»-2MXo+x：­y；・

,/AO-LPAt即温_L耳，(xpjiHxi—x0>yi)=O,

即X；-X1X()+)彳=0=工点()=1.

PA*Ph=x\-2+/一(1—x])=2xf+—3>2VlxfXo_3=

2也一3,故中•闻的最小值为一3+23，此时x="2—1.

方法三：设NAPB=0,0V〃V7T,则I或1=1瓦|=一^,

tan]

边

ICOS2°

邦•两=|南||两|cos〃=-才cosO=-^1—2sin弓

tan]sin2^

1-sin2^l_2sin：2

=,

AM

令工=§环)，0<x<1,

-

EI—»—±(1X)(l-2JC),1r-

则AMPBn1----------------i=2^+--3>2^2-3.

例：如图所示，在[ABC中，A8=3,8C=7,AC=2,若0为□ABC的外心，则

AOAC=；AOBC=

答案：2,--

2

一个综合题

己知抛物线y=V上两点AB满足而=2而，4>0.其中点尸(0,1),OM=OA+OB,

O是坐标原点，求：

(1)N4OB的大小：

(2)四边形OAMB的面积S的最小值。

答案：(1)90°；(2)2=1,最小值为2.

小结：

1.两个平面向量。，力的数量积。•力是一个实数，而不是

向盘，它的值为这两个向爱的模与其夹角e的余弦的乘积，

即。6=HIW|cos〃，其中计算数量积的关键是正确确定6,。的

取值范围是[0,n].

2.求向量的夹角时注意向量的方向，要把两向量平移使

其起点重合，尤其在三角形中，如计算池"W向量的夹角为

ZBAC,计算会，8时向量的夹角为n-ZBAC.

3.向量。在方方向上的投影为|Q|COS/也可以记为喘.

4.几个考查热点的向量形式与坐标形式的比较

已知两个非零向量。=(勺，yi),b=(x2,%)，〃是向量

b的夹角.

向量表示坐标表示

向母。的模1a1=>/a,ala1=/r；+

".6的数加积a•b=|a11b|cosOa•b=xijr24-jij2

a与力共线

b^=>b=Xaa〃b㈡.一不加=0

(a#0)

。与垂I'laJ_£K=>a•h=0

a•bAnz+y”

a.b的夹角cost/I.I.Icosa=­，—~厂

«l\b

数列复习

一、数列的概念与简单表示

二、等差数列及其前n项和

1.等…卷数列定义

①4〃+|・4〃一”（吊数）,（〃eN*）,这是证明一

个数列是等差数列的依据，要防止仅由

前若干项，如。3・。2=。2・〃1=4（常数），就说

｛册｝是等差数列这样的错误，判断一个

数列是否是等差数列，还可由

%+。〃+2=2%+1，即册+2■册+尸%+广明来判断•

2.等差数列的通项为②士妃竺必.可整

理成〃〃=〃[+（〃]-d）,当dWO时，。〃是关于〃的一

次式，它的图象是一条直线上〃为自然数的点

的集合.

3.等差数列广义通项公式。=（+（〃-”）△

4.等驾（列的前〃项和公式SF@中〃二

⑤必土丝止何以整理成s〃=1/+（%.3）〃,当

dNO时,S〃$J一个常数项为0的三次式.

5.若a,b,c三个数成等差数列，则♦叫―

。的等差中项，此时2人=⑤4+C”

L等差数列的判定方法.

①定义法：对于数列｛“〃｝,若叫+/a〃=d（常

数），则数列｛%｝是等差数列；

②等差中项法：对于数列｛%｝,若

2%+广。〃+%+2,则数列｛许｝是等差数列.

③通项公式法：%=p〃+q（p、q为常

数）=｛%｝是等差数列；

④前〃项和公式法：S”=A*+Bn（A、

B是常数）。｛%｝是等差数列.

2.方程思想和基本量思想：在解有关等差数

列的问题时可以考虑化归为4和d等基本

量，通过建立方程（组）获得解.

3.用函数的思想理解等差数列的通项公式和

前〃项和公式，从而解决最值问题.

几个常用结论

（1）设｛6』，｛"｝都为等差数列，S",S'”分别为他们的前n项和，则产二5~；

"m32w-l

（2）等差数列｛。〃｝中，若%=加,册=n,则am+n=0；

（3）等差数列｛%｝中，若"二九Sm=n（mwn）,则Slfl+Ii=~（m+n）:

（4）等差数列｛%｝中，若Sn=S<m丰〃）,则S,i=0；

2.（2010.苏州模拟）在数列｛许｝中,若4=1,

。2二，—=—+—N*）,则该数列的通项

为」^・

4.（2010京徽师大附中）观察下表:

1

234

34567

45678910

则第1006行的各数之和等于201F

5.（2010萧京一模）已知命题:“在等差数列

｛%｝中，若4%+《0+4）=24,则与为定值”

为真命题，由于印刷问题，括号处的数据模

糊不清，可推得括号内的数为18

素材1等差数列｛4｝中，闷=瓦3|=30,033=15,

求使4K0的最小自然数几

答案：63

例2已知数列，首项4=3,且2%=SttxSr\(〃>2).

1_L:是等差数列,

⑴求证:并求其公差；

(2)求应｝的通项公式.

/3(72=1)

许=18、「

](3〃-5)(3〃-8)N*)

答案:

素材2已知数列｛4｝满足/=3,4m

(1)求°2，“4；

(2)求证：数列是等差数列，并写出数列

4一11

2n+1

所以见=

答案:2n-1

＞题型三等差数列的综合应用

例J3等差数列｛〃“｝的首项与公差均大于零，

S”是数列｛2｝的前〃项和，对于任意〃wN*,者IS

有S〃+，=@〃+')2成立.

22

(1)求数列｛〃〃｝的公差和，的值；

⑵设〃=〃2+加比-753bsN*\且数列也｝

的前〃项和7；的最小值为心求。、〃的值.

分析本题含有。〃与S〃的关系式，一般先用4川=

s“+i-s〃，再利用恒成立问题的解题方法・

2

G।1_Cafl+t）

解析⑴因为《*2-2J-”

I1_（册+1+，）2

6Q+1十三一Y

）2

两式相减得为讨=

又｛&｝为等差数列，设公差为"，

则上式化为2%+]="（4+]+a〃+2，）.

26

又因为=a〃+d，所以2（l—d）q=2H—（2—d）d

对任意的。〃都成立，

\—d—0.,J

则，所r以42.

2td-d(2-d)=0

d=\

（2）因为"=。乂2"+/”4一75（小beN”）,且等差数列

｛4｝的通项为〃“=〃+；,所以数列也｝为递增数列.

又因为数列也J的前〃项和7；的最小值为"，则有

b6<0,b-j>0,

a•2$+〃•（6+。）-75Vo

即<

a•2'+〃・（7+三）-75〉0

乙

而a,hGN\所以。=1,b=1.

素材3（2oi（m津和平模拟）已知等差数列｛/｝

的前三项为1,4,2%记前〃项和为S”.

（1）设&=2550,求〃和他勺值；

（2）设求4+&+4]+…+公_]的值.

n

答案:所以a=3,k=50.

所以4+2+4I+…+。4”-1=2〃2+2”.30

12010•湖北省试题改编)已知函数以)=「_

ax+b(a,b£R)的图象经过坐标原点，且

f(1)=1，数列｛为｝的前〃项和S=j[n)(neN*).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛2｝满足log31奇十10g3〃=10g32，r〃

为数列｛九｝的前〃项和，是否存在〃、

q£N*,且pWq,使得7；+,/是72〃和心,/的等差

中项？并证明你的结论.

解析(1)因为//U)的图象过原点，所以

«x)三好-ar.

由(X)=2X-Q,得，(1)=2・。=1，解得〃=1.

所以兀¥)=/-%,即S〃字(〃)=/-4

当〃三2时，

22

a=St-Sfl_｝=n-n-[(n-l)-(n-l)]=2n-2,

乂%=Si=0,也满足上式.

所以数列｛〃〃｝的通项公式为为=2/z.2(〃£N*).

(2)由log3；*log3/叫3%

得么产一九(九£N*),

北二d+%+•・•+》〃

2

=y(l+2+…+〃)

??(；?+1)

—一3一.

假设存在p、产N*(p#q),使分是％和％

的等差中项，

则%+%-27q

_2p(2p+l)2g(2q+l)2(p+9)(p+4+l)

--------------------十---------------------------------------------------

333

_4〃2+2〃+4/+2乡-2(p2+/+2〃q+〃+q)

-3

2p'.4pq+2q-

一3

=g(P-q>

=0,

即p=9，与pH夕矛盾，所以不存在p、

qN*(p丰口使人是乙〃和耳的等差中项.

三、等比数列及其前n项和

等比数歹J

(1)等比数列定义

①甘~二。(非零常数)・(〃金N*),这是证明一

个数’冽是等比数列的依据，也可由

%4+2=%+/来判断.

(2)等比数列的通项公式为②4尸田•/」.

(3)对于G是。、力的等比中项，则&=

ab.G=®

(4)特别要注意等比数列前〃项和公式应

分为q=1与qW1两类,当夕=1时,

当户1时,S『⑤安干或S"甘产.

1.方程思想的应用.在等比数列的五个

基本量中，"知三求二，一般

是运用通项公式和前〃项和公式列方程，

通过解方程求解.

2.等比数列的判定常用定义法和等比

中项法；而证明不是等比数列时，只需举

反例（常从前几项入手）.

1.（2010HE台模拟）已知2,&b,C,4成等比数列,

则实数b等于（A）

A.272B.-2V2

C.±V2D.8

进一步：abc-?

4.（2010♦江苏漂水模拟）等比数列｛%｝

中，S〃是数列｛许｝的前〃项和，5产3%，

则公式方一；或1.

素材1（2010肮州模拟）已知等比数列｛q｝中，

q=2,%+2是％和4的等差中项，求数列｛为｝的通

项公式及前〃项和S..

2（1—2"）

S"下二=2+1-2.

例2（2010・都昌模拟）已知数列｛许｝满

ya^n（〃为奇数）

足吗j即+产［an-2n（艘为偶数）.

（1）求。2，。3，。4，〃5；

⑵设求证:数列｛2｝是等比数列;

（3）在（2）的条件下,求数列｛%｝的前100项中

所有偶数项的和.

（1）因为。