2025年高考数学必刷题分类：第4讲、基本不等式及其应用（教师版）

第4讲基本不等式及其应用

知识梳理

1、基本不等式

abab

如果a0，b0，那么ab，当且仅当ab时，等号成立．其中，叫作a，b

22

的算术平均数，ab叫作a，b的几何平均数．即正数a，b的算术平均数不小于它们的几何

平均数．

基本不等式1：若a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时取等号；

ab

基本不等式2：若a，bR，则ab（或ab2ab），当且仅当ab时取等

2

号．

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求

最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一

致．

【解题方法总结】

1、几个重要的不等式

（1）a20aR,a0a0,a0aR.

ab

（2）基本不等式：如果a,bR，则ab（当且仅当“ab”时取“”）．

2

1ab

特例：a0,a2;2（a,b同号）．

aba

（3）其他变形：

2

ab

①a2b2（沟通两和ab与两平方和a2b2的不等关系式）

2

a2b2

②ab（沟通两积ab与两平方和a2b2的不等关系式）

2

2

ab

③ab（沟通两积ab与两和ab的不等关系式）

2

2aba2b2

④重要不等式串：aba,bR即

11

22

ab

调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．

2、均值定理

已知x,yR．

2

xyS2

（1）如果xyS（定值），则xy（当且仅当“xy”时取“=”）．即“和

24

为定值，积有最大值”．

（2）如果xyP（定值），则xy2xy2P（当且仅当“xy”时取“=”）．即积为

定值，和有最小值”．

3、常见求最值模型

nn

模型一：mx2mn(m0,n0)，当且仅当x时等号成立；

xm

nn

模型二：mxm(xa)ma2mnma(m0,n0)，当且仅当

xaxa

n

xa时等号成立；

m

x11c

模型三：(a0,c0)，当且仅当x时等号成

2c

axbxcaxb2acba

x

立；

mx(nmx)1mxnmxn2n

模型四：x(nmx)（)2(m0,n0,0x)，当且

mm24mm

n

仅当x时等号成立．

2m

必考题型全归纳

题型一：基本不等式及其应用

【解题方法总结】

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是

否成立进行验证．

例1．（2024·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种

方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜

边AB上异于顶点的一个动点，设ADa，BDb，用该图形能证明的不等式为（）．

ab2ab

A．aba0,b0B．aba0,b0

2ab

22

abab22

C．a0,b0D．ab2aba0,b0

22

【答案】C

1ababab

【解析】由图知：OCAB,ODOBBDb，

2222

a2b2

在Rt△OCD中，CDOC2OD2，

2

aba2b2

所以OCOD，即a0,b0，

22

故选：C

例2．（2024·全国·高三专题练习）已知x，y都是正数，且xy，则下列选项不恒成立的

是（）

xyxy

A．xyB．2

2yx

2xy1

C．xyD．xy2

xyxy

【答案】D

【解析】x，y都是正数，

xyyx2xy2xy

由基本不等式，xy，2，≤xy，这三个不等式都是当且仅

2xyxy2xy

当xy时等号成立，而题中xy，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；

11

xy2中当且仅当xy1时取等号，如x,y2即可取等号，D中不等式不恒成立．

xy2

故选：D．

例3．（2024·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）

ababab

①已知ab0，求的最小值；解答过程：22；

bababa

2

x521

②求函数y的最小值；解答过程：可化得yx42；

x24x24

222x

③设x1，求yx的最小值；解答过程：yx2，

x1x1x1

22x

当且仅当x即x2时等号成立，把x2代入2得最小值为4．

x1x1

A．0个B．1个C．2个D．3个

【答案】A

ab

【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当ab0，与均为负值，

ba

ababab

此时22，

bababa

ab

当且仅当，即ab0时等号成立，故①的用法有误，故①错误；

ba

1

对②：yx242，

x24

21

当且仅当x4，即x241时取等号，

x24

但x242，则等号取不到，故②的用法有误；

22

对③：x1，x10，yxx11221，

x1x1

当且仅当x12，即x21时取等号，故③的用法有误；

故使用正确的个数是0个，

故选：A.

题型二：直接法求最值

【解题方法总结】

直接利用基本不等式求解，注意取等条件．

例4．（2024·河北·高三学业考试）若x，yR，且x2y3，则xy的最大值为______．

9

【答案】

8

【解析】由题知，x，yR，且x2y3

因为x2y2x2y，

所以32x2y，

9

所以98xy，即xy，

8

33

当且仅当x2y，即x,y时，取等号，

24

9

故答案为：

8

例5．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）若a，b0，且abab3，

则ab的最小值是____________．

【答案】9

【解析】因为abab32ab（当且仅当ab时，等号成立），

所以(ab)22ab30，

所以(ab3)(ab1)0，所以ab3，所以ab9，

所以ab的最小值为9.

故答案为：9

例6．（2024·天津南开·统考一模）已知实数a0,b0,ab1，则2a2b的最小值为

___________.

【答案】22

【解析】∵a0，b0，ab1，

1

∴2a2b22a2b22ab22，当且仅当2a2b即ab时取等号.

2

故答案为：22.

题型三：常规凑配法求最值

【解题方法总结】

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．

2、注意验证取得条件．

1

例7．（2024·全国·高三专题练习）若x2，则fxx的最小值为___________.

x2

【答案】0

1

【解析】由x2，得x20，0，

x2

111

所以f(x)xx222(x2)20，

x2x2x1

1

当且仅当x2即x=1时等号成立.

x2

故答案为：0

4

例8．（2024·全国·高三专题练习）已知x0，则2x的最小值为__________.

2x1

【答案】3

4441

【解析】2x2x1122x113，当且仅当2x12，即x

2x12x12x12

时，等号成立.

故答案为：3.

x22x2

例9．（2024·全国·高三专题练习）若x1，则的最小值为______

x1

【答案】254/425

【解析】由x1，则x10.

2

因为x22x2x14x15，

x22x255

所以x142x14254，

x1x1x1

5

当且仅当x1，即x51时等号成立，

x1

x22x2

故的最小值为254.

x1

故答案为：254.

例10．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x的不等式

12b4c

x2bxc0(b1)的解集为R，则的最小值为_________．

b1

【答案】8

b2

【解析】因为不等式x2bxc0(b1)的解集为R，则Δb24c0c，

4

因为b1，所以b10，

12b4cb22b1(b1)24(b1)444

∴(b1)42(b1)48．

b1b1b1b1b1

4

当且仅当b1，即b3时，取到等号．

b1

故答案为：8

题型四：消参法求最值

【解题方法总结】

消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式

进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

例11．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足ab2a20，则4ab的最小值

是（）

A．2B．422C．432D．6

【答案】B

2

【解析】由ab2a20，得a，

b2

888

所以4abb(b2)22(b2)2422，

b2b2b2

282

当且仅当a,b2，即a,b222取等号.

b2b22

故选：B.

11

例12．（2024·全国·高三专题练习）若x,yR，(xy)2(xy)3，则的最小值为

xy

___________.

【答案】2

【解析】

11

因为(xy)2(xy)3且x,yR，则两边同除以(xy)2，得()2xy，

yx

11111111

又因为()2()24xy42xy44，当且仅当xy4，即

xyyxxyxyxyxy

11

x22,y22时等号成立，所以4=2.

xy

故答案为:2

例13．（2024·全国·高三专题练习）已知x0，y0，满足x22xy20，则2xy的最

小值是______．

【答案】6.

2x21x

【解析】由x22xy20，得y，x0,2

2xx2

1x3x13x13

所以2xy2x226.

x22x2x2

3x16

当且仅当即x时等号成立，

2x3

所以2xy的最小值是6.

故答案为：6.

题型五：双换元求最值

【解题方法总结】

若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运

用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．

1、代换变量，统一变量再处理．

2、注意验证取得条件．

例14．（2024·浙江省江山中学高三期中）设a0，b0，若a2b23ab1，则3a2ab

的最大值为（）

A．33B．23C．13D．23

【答案】D

【解析】解：法一：（基本不等式）

设c3ab，则3a2aba(3ab)ac，

条件a2b23ab1a2c23ac1，

所以3ac1a2c22ac，即ac23.

故选：D.

31

法二：（三角换元）由条件(ab)2b21，

24

3

abcos

acos3sin

故可设2，即,，

bb2sin

sin

2

cos3sin05

由于a0，b0，故，解得0

2sin06

acos3sin5

所以，,(0)，

b2sin6

所以3a2ab32sin223,当且仅当时取等号.

4

故选：D.

4ab

例15．（2024·天津南开·一模）若a0，b0，c0，abc2，则的最小

abc

值为______．

【答案】222

【解析】由题意，a0，b0，c0，abc2得：ab2c，

设2cm,cn,(m0,n0)，则mn2，

4ab42c4242

故11

abc2cc2ccmn

mn422nm2nm

()1312+2=2+22，

2mnmnmn

当且仅当m22n2，即m422,nc222时取得等号，

4ab

故的最小值为222，

abc

故答案为：222

11

例16．（2024·全国·高三专题练习）已知a0，b0，a2b1，则取到最

3a4ba3b

小值为________．

【答案】322．

5

1

315

【解析】令a2b(3a4b)(a3b)(3)a(43)b，∴{{，

4322

5

111112312(a3b)3a4b

∴()[(3a4b)(a3b)][]

3a4ba3b3a4ba3b55553a4ba3b

a2b1

322(a3b)3a4b322

，当且仅当{2(a3b)3a4b时，等号成立，

553a4ba3b5

3a4ba3b

11

即的最小值是322．

3a4ba3b5

题型六：“1”的代换求最值

【解题方法总结】

1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为

定值，凑的过程中要特别注意等价变形．

1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．

2、注意验证取得条件．

xy

例17．（2024·安徽蚌埠·统考二模）若直线1(a0,b0)过点2，3，则2ab的最

ab

小值为______．

【答案】743/437

xy

【解析】∵直线1(a0,b0)过点2，3，

ab

23

1．

ab

232b6ab3a

2ab2ab774743，当且仅当b3a，即

ababab

a23，b233时取等号．

2ab的最小值为743．

故答案为：743．

42b1

例18．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知a0,b0,a2b3，则的最

a2b

小值为__________.

7

【答案】

3

【解析】a0,b0,a2b3，

42b1a1111112ba47

1a2b121，

a2ba2b3a2b3a2b33

342b17

当且仅当a2b时取等号，则的最小值为.

2a2b3

7

故答案为：

3

111

例19．（2024·湖南衡阳·高三校考期中）已知x，y2，且3xy7，则

33x1y2

的最小值为______.

【答案】1

【解析】因为3xy7，所以3x1y24，

3x1y2

即1，

44

13x1y2

因为x，y2，所以0,0，

344

11113x1y2

()()

3x1y23x1y244

1y23x111y23x1

21，

44(3x1)4(y2)424(3x1)4(y2)

y23x1

当且仅当，即x1,y4时取等号.

4(3x1)4(y2)

11

所以的最小值为1.

3x1y2

故答案为：1

例20．（2024·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知正实数a,b满

41

足1，则a2b的最小值为___________.

abb1

【答案】8

41

【解析】因为1，

abb1

41

所以a2babb11

abb1

4b1ab4b1ab

411428，

abb1abb1

4b1ab

当且仅当，即a4,b2时，取等号，

abb1

所以a2b的最小值为8.

故答案为：8.

题型七：齐次化求最值

【解题方法总结】

齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用

基本不等式进行求解．

ac3c3

例21．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a，b，c，ab3，则的最

babc1

小值为_______________．

【答案】262/226

(ab)2

【解析】由正实数a，b，ab3，可得3，

3

(ab)2

a2

所以ac3c3a333

c()c3

babc1babc1abc1

4a22abb234ab23

cc()

3abc13b3a3c1

4ab4ab44ab24

而2，当且仅当即a,b时取等号，

3b3a3b3a3ba33

ac3c34233

故c()2(c1)2

babc133c1c1

262，

36

当且仅当2(c1)时，即c1时取等号，

c12

故答案为：262

2a

例22．（2024·全国·高三专题练习）已知a，b为正实数，且2ab1，则的最小值

a2b

为______．

【答案】6

2a4a2ba2ba2ba

【解析】由已知条件得，4246，

a2ba2ba2ba2b

2ba21

当且仅当，即a，b时取等号．

a2b55

故答案为：6.

例23．（2024·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）已知x0,y0，则

2xyxy

的最大值是____________.

x24y2x2y2

【答案】22

3

2xyxy21

x

【解析】x24y2x2y2x4yxy，设t(t0)，

y

yxyx

2

33(t)

212tt3(t2t)

t

所以原式=2242，

4124

ttt4t1t5t4t5

ttt2

2

令ut(t0),u22.

t

3u33322

所以原式=2119.

u1u2223

u224

1

(函数yu在[22,)上单调递增)

u

故答案为：22

3

题型八：利用基本不等式证明不等式

【解题方法总结】

类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得

证明．

例24．（2024·全国·高三专题练习）利用基本不等式证明：已知a,b,c都是正数，求证：

abbcca8abc

【解析】a,b,c都是正数，ab2ab0（当且仅当ab时取等号）；bc2bc0

（当且仅当bc时取等号）；ca2ca0（当且仅当ca时取等号）；

abbcca2ab2bc2ca8abc（当且仅当abc时取等号），

即abbcca8abc.

例25．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知x，y，z为正数，证明：

111x2y2z2

(1)若xyz2，则；

xyz2

(2)若2xy2z9，则x2y2z29．

2y2z2

【解析】（1）因为xyz2，所以yz，

x2

2x2z22x2y2

同理可得，，

y2z2

222y2z2x2z2x2y2111x2y2z2

所以，故，

xyz222xyz2

当且仅当xyz时等号成立．

112

（2）x2y2z2221222x2y2z22xy2z，

99

因为2xy2z9，所以x2y2z29，当且仅当x2yz时等号成立．

例26．（2024·四川广安·高三校考开学考试）已知函数fx2x1xm，若fx3

的解集为n,1．

(1)求实数m，n的值；

12

(2)已知a,b均为正数，且满足2m0，求证：16a2b28．

2ab

【解析】（1）因为fx3的解集为n,1，所以f(1)3，即3|1m|3，所以|1m|0，

又|1m|0，所以1m0，即m1.

所以f(x)|2x1||x1|，

11

当x时，f(x)2x1x13x3,得x1，则1x，

22

11

当x1时，f(x)2x1x1x23，得x1，

22

当x1时，f(x)2x1x13x3，得x1，不成立，

综上所述：fx3的解集为[1,1]，

因为fx3的解集为n,1．所以n1.

12

（2）由（1）知，m1，所以2(a0,b0)，

2ab

121221

所以22，当且仅当a，b2时，等号成立，

2ab2abab2

所以ab1，

1

所以16a2b2216a2b28ab8，当且仅当a，b2时，等号成立.

2

题型九：利用基本不等式解决实际问题

【解题方法总结】

1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．

2、注意定义域，验证取得条件．

3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．

例27．（2024·全国·高三专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节

能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，

把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为

600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为

1

yx2200x80000，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

2

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多

少元才能使单位不亏损？

【解析】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为

y180000180000

x2002x200200；

x2x2x

180000

当且仅当x，即x400时等号成立，

2x

故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.

（2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则

121212

S100xy100xx200x80000x300x80000x30035000，

222

因为x400,600，则S80000,40000，

故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.

例28．（2024·贵州安顺·高一统考期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化

碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，

月处理成本f(x)（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为

1

f(x)x2200x80000．

2

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？

(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本

最低是多少元？

【解析】（1）该单位每月的月处理成本：

11

f(x)x2200x80000(x200)260000，

22

因100x600，函数f(x)在区间[100,200]上单调递减，在区间(200,600]上单调递增，

从而得当x200时，函数f(x)取得最小值，即f(x)minf(200)60000.

所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.

1

（2）由题意可知：f(x)x2200x80000(100x600)，

2

fxx80000x80000

每吨二氧化碳的平均处理成本为：2002200200

x2x2x

x80000

当且仅当，即x400时，等号成立.

2x

所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．

例29．（2024·湖北孝感·高一统考开学考试）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒

的感染人数突破44200000人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.

(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.

已知这种新药在注射停止后的血药含量ct（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）.的变

kt1

化用指数模型ctc0e描述，假定某药物的消除速率常数k0.1（单位：h），刚注射

这种新药后的初始血药含量c02000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于

1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有

疗效的时长大约为多少小时？（精确到0.01，参考数据：ln20.693，ln31.099）

(2)为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a

平方米(a0)，侧面长为x米，且x不超过8，房高为4米.房屋正面造价400元/平方米，侧

面造价150元/平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？

kt0.1t

【解析】（1）由题意得，c(t)c0e2000e，

设该药在病人体内的血药含量变为1000mg/L时需要是时间为t1，

0.1t1

由c(t)2000e0.1t11000，得e1，

12

ln2

故0.1tln2，t6.93h．

0.1

该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h．

48a48a

（2）由题意，正面长为米，故总造价y400421504x，即

xx

76800a

y1200x,0x8.

x

76800a76800a76800a

由基本不等式有y1200x21200x，当且仅当1200x，即

xxx

x8a时取等号.

故当8a8，即a1，x8a时总价最低；

当8a8，即a1时，由对勾函数的性质可得，x8时总价最低；

综上，当0a1时，x8a时总价最低；当a1时，x8时总价最低.

题型十：与ab、平方和、ab有关问题的最值

【解题方法总结】

利用基本不等式变形求解

例30．（多选题）（2024·重庆·统考模拟预测）若实数a，b满足a2b2ab1，则（）

23

A．ab1B．ab

3

11

C．abD．ab

33

【答案】BC

【解析】a2b2ab1,

当ab0时，a2b22abab12abab1，当且仅当ab1或ab1时等号成

立，得0ab1，

22133

当ab0时，ab2abab12abab，当且仅当a,b或

333

331

a,b时等号成立，得ab0，

333

当ab0时，由a2b2ab1可得a0,b1或b0,a1

1

综合可得ab1，故C正确，D错误；

3

a2b22ab1ab(ab)21ab1(ab)2ab，

1142323

当ab时，1(ab)2(ab)2ab，故A错误，B正确；

33333

故选：BC.

1

例31．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知a0,b0，且a