2025年高考数学必刷题分类：第9讲、指数与指数函数（学生版）

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第9讲指数与指数函数

知识梳理

1、指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中(n1，nN)，记为na，n称

为根指数，a称为根底数．

(2)根式的性质：

当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.

当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是幂运算an(a0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位

于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数幂的分类

n个

0

①正整数指数幂n；②零指数幂a1(a0)；

aaaaa(nN)

1

③负整数指数幂an(a0，nN)；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指

an

数幂没有意义．

(5)有理数指数幂的性质

①amanam+n(a0，m，nQ)；②(am)namn(a0，m，nQ)；

mmmm

nm

③(ab)ab(a0，b0，mQ)；④aan(a0，m，nQ)．

2、指数函数

yax

0a1a1

图

象

性①定义域R，值域(0，)

质②a01，即时x0，y1，图象都经过(0，1)点

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③axa，即x1时，y等于底数a

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤x0时，ax1；x0时，0ax1x0时，0ax1；x0时，ax1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【解题方法总结】

1、指数函数常用技巧

(1)当底数大小不定时，必须分“a1”和“0a1”两种情形讨论．

当时，，；的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．

(2)0a1xy0a

当时，；的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．

a1xy0a

1

(3)指数函数yax与y()x的图象关于y轴对称．

a

必考题型全归纳

题型一：指数运算及指数方程、指数不等式

73

37

【例】（海南省直辖县级单位统考模拟预测）（）

12024··

27

13

A．9B．C．3D．

99

【对点训练1】（2024·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（）

43

．设则．若8，则8

Aa0,a3a4aBm2m2

114

．若1，则．4

Caa3a2a25D22

13

0.52

44

【对点训练】（全国高三专题练习）923322（）

22024··(2π)2

1633

A．πB．2πC．4πD．6π

【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x的方程2xb2xc0，甲

17

写错了常数b，得到的根为x2或x=log，乙写错了常数c，得到的根为x0或x1，

24

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则原方程的根是（）

A．x2或xlog23B．x1或x1

C．x0或x2D．x=1或x2

【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）若关于x的方程9x3x1m10有解，则实数

m的取值范围是（）

5

A．1,B．,C．,3D．1,3

4

3(x1)

x22x31

【对点训练5】（2024·上海青浦·统考一模）不等式2的解集为______．

2

【对点训练6】（2024·全国·高三专题练习）不等式10x6x3x1的解集为___________.

【解题总结】

利用指数的运算性质解题.对于形如af(x)b，af(x)b，af(x)b的形式常用“化同底”

转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a2xBaxC0或

a2xBaxC0(0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.

题型二：指数函数的图像及性质

a

【例2】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）函数fx2xaR的图象可能为（）

2x

A．B．C．

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D．

2

【对点训练7】（2024·全国·高三专题练习）已知f(x)3x2axa1的定义域为R，则实

数a的取值范围是______．

【对点训练8】（2024·宁夏银川·校联考二模）已知函数fx4x2x21，x0,3，则其

值域为_______．

【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxaxa0,a1在1,2内的最大

fx1,x11

值是最小值的两倍，且gx，则gg2______

log3x1,0x13

【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）函数y(a2)2ax是指数函数，则（）

A．a1或a3B．a1C．a3D．a0且a1

2

【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）函数fxeaxb的大致图像如图，则实数

a，b的取值只可能是（）

A．a0,b1B．a0,0b1

C．a0,b1D．a0,0b1

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-

【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ax4+1（a0且a1）的图

12

象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程mxny4m0,n0，则的最

mn

小值为（）

A．8B．24C．4D．6

【对点训练13】（多选题）（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，

n

“直接推算法”使用的公式是PnP0(1k)(k1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口

数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则（）

A．当k1,0，则这期间人口数呈下降趋势

B．当k1,0，则这期间人口数呈摆动变化

1

C．当k,P2P时，n的最小值为3

3n0

11

D．当k,PP时，n的最小值为3

3n20

2x

【对点训练14】（多选题）（2024·山东聊城·统考二模）已知函数fx，则（）

2x1

A．函数fx是增函数

1

B．曲线yfx关于0,对称

2

1

C．函数fx的值域为0,

2

1

D．曲线yfx有且仅有两条斜率为的切线

5

【解题总结】

解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，

从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.

题型三：指数函数中的恒成立问题

【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)2x,xR，若不等式f2(x)f(x)m0

在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.

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2x2x

【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）设fx，当xR时，

2

fx2mxf10恒成立，则实数m的取值范围是____________.

【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知不等式4xa2x20，对于a(,3]恒

成立，则实数x的取值范围是_________．

【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）若x[1,)，不等式4xm2x10恒成立，

则实数m的取值范围是______．

3xb

【对点训练18】（2024·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试）已知函数fx是定

3x1

义域为R的奇函数.

(1)求实数b的值，并证明fx在R上单调递增；

3

(2)已知a0且a1，若对于任意的x、x1,3，都有fxax22恒成立，求实数a

1212

的取值范围.

【解题总结】

已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系

中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．

题型四：指数函数的综合问题

121

【例4】（2024·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知函数fx1，

2x24x4x1

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则不等式f2x3fx2的解集为（）

A．2,11,B．1,13,

1

C．,13,D．3,13,

2

11

【对点训练19】（2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）