2025年高考数学必刷题分类：第38讲、向量中的隐圆（教师版）

第38讲向量中的隐圆

知识梳理

技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆

乘积型：PAPB

1

定理：平面内，若A,B为定点，且PAPB,则P的轨迹是以M为圆心AB2为

4

半径的圆

11

证明：由PAPB，根据极化恒等式可知，PM2AB2，所以PMAB2，

44

1

P的轨迹是以M为圆心AB2为半径的圆．

4

技巧二．极化恒等式和型：PA2PB2

定理：若A，B为定点，P满足PA2PB2,则P的轨迹是以AB中点M为圆心，

1

AB2

1

2为半径的圆。(AB20)

22

1

AB2

1

证明：PA2PB22[PM2(AB)2]，所以PM2，即P的轨迹是以AB

22

1

AB2

中点M为圆心，2为半径的圆．

2

技巧三．定幂方和型

mPA2PB2n

若A，B为定点，PA2mPB2n，则P的轨迹为圆．

22

mPAnPB

证明：mPA2PB2nm[xc2y2][xc2y2]n

(m1)(x2y2)2c(m1)x(m1)c2n0

2(m1)cc2(m1)n

x2y2x0．

m1m1

技巧四．与向量模相关构成隐圆

坐标法妙解

必考题型全归纳

题型一：数量积隐圆

例1．（2024·上海松江·校考模拟预测）在ABC中，AC3,BC4,C90.P为ABC所

在平面内的动点，且PC=2，若CPCACB，则给出下面四个结论：

4

①的最小值为；②PAPB的最小值为6；

5

3

③的最大值为；④PAPB的最大值为8.

4

其中，正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【解析】如图，以C为原点，CA,CB所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系，

则C(0,0),A(3,0),B(0,4)，

因为PC=2，所以设P(2cos,2sin)，则

CP(2cos,2sin)，CA(3,0),CB(0,4)，

所以CPCACB(3,4)，

2

cos=

2cos=33

所以，即（为任意角），

2sin=41

sin=

2

21

所以cossin

32

543

cossin

655

543

sin（其中sin,cos），

655

55

所以的最大值为，最小值为，

66

所以①③错误，

因为PA(32cos,2sin),PB(2cos,42sin)，

所以PAPB2cos(32cos)2sin(42sin)

4(8sin6cos)

34

410sin()（其中sin,cos）

55

因为1010sin()10，

所以6410sin()14，

所以PAPB[6,14]，

所以PAPB的最小值为6，最大值为14，

所以②正确，④错误，

故选：A

例2．（2024·全国·高三专题练习）若正ABC的边长为4，P为ABC所在平面内的动点，

且PA1，则PBPC的取值范围是（）

A．3,15B．[923,923]

C．[933,933]D．[943,943]

【答案】D

【解析】由题知，

以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，

则B4,0，C2,23，

由题意设Pcos,sin02π，

则PB4cos,sin，

PC2cos,23sin，

PBPC4cos2cossin23sin

31

96cos23sin9223cossin

22

π

943sin，

3

02π，

ππ7π

，

333

π

可得943sin943,943.

3

故选：D

例3．（2024·山东菏泽·高一统考期中）在ABC中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为ABC

所在平面内的动点，且PC＝2，则PAPB的取值范围是（）

A．22,26B．26,22C．30,22D．22,30

【答案】D

【解析】在Rt△ABC中，以直角顶点C为原点，射线CB,CA分别为x,y轴非负半轴，建立平

面直角坐标系，如图，

令角(R)的始边为射线CB，终边经过点P，由PC2，得P(2cos,2sin)，而

B(12,0),A(0,5)，

于是AP(2cos,2sin5),BP(2cos12,2sin)，

因此APBP2cos(2cos12)2sin(2sin5)42(5sin12cos)

12

426sin()，其中锐角由tan确定，

5

显然1sin()1，则22426sin()30，

所以PAPB的取值范围是22,30.

故选：D

变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC是边长为43的等边三角形，其中心为O，

P为平面内一点，若OP1，则PAPB的最小值是

A．11B．6C．3D．15

【答案】A

31

【解析】作出图像如下图所示，取AB的中点为D，则OD432，因为OP1，

23

则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，

2222

PA+PBPAPB2PDAB

则2又为圆上的点到

PAPBPD12.PDOPD

44

的距离，则PDmin211，

∴PAPB的最小值为11.

故选：A.

变式2．（2024·北京·高三专题练习）ABC为等边三角形，且边长为2，则AB与BC的夹角

大小为120，若BD1，CEEA，则ADBE的最小值为___________.

【答案】33

【解析】因为ABC是边长为2的等边三角形，且CEEA，则E为AC的中点，故BEAC，

以点B为坐标原点，BE、EA分别为x、y轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，

则A3,1、E3,0、B0,0，设点Dcos,sin，

BE3,0，ADcos3,sin1，

所以，ADBE3cos333，当且仅当cos1时，等号成立，

因此，ADBE的最小值为33.

故答案为：33.

变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知圆Q:x2y216，点P1,2，M、N为圆O上两个

不同的点，且PMPN0若PQPMPN，则PQ的最小值为______.

【答案】335/533

【解析】解法1：如图，因为PMPN0，所以PMPN，故四边形PMQN为矩形，

设MN的中点为S，连接OS，则OSMN，

2222

所以OSOMMS16MS，

22

又PMN为直角三角形，所以MSPS，故OS16PS①，

2222

设Sx,y，则由①可得xy16x1y2，

2

1227

整理得：xy1，

24

133

从而点S的轨迹为以T,1为圆心，为半径的圆，

22

33335

显然点P在该圆内部，所以PSPT，

min222

因为PQ2PS，所以PQ335；

min

解法2：如图，因为PMPN0,所以PMPN，

2222

故四边形PMQN为矩形，由矩形性质，OMONOPOQ，

2

所以16165OQ，从而OQ33，

故Q点的轨迹是以O为圆心，33为半径的圆，

显然点在该圆内，所以PQ33OP335

Pmin.

故答案为：335.

题型二：平方和隐圆

例4．（2024·全国·高三专题练习）已知a,b,c,d是单位向量，满足

ab,ma2b,|mc|2|md|220，则|cd|的最大值为________．

【答案】25

5

【解析】依题意，a,b可为与x轴、y轴同向的单位向量，设

a1,0,b0,1,ccosx,sinx,dcosy,siny

2222

m1,2,|mc|2|md|220cosx1sinx2cosy1siny2

化简得：4cosx2sinxcosy2siny

1π

运用辅助角公式得：45sinx5siny,tan,0,

22

4xyxy

sinxsiny2sincos，

522

xy2

cos

即得：2xy，

5sin

2

xy44

cos2

故22xy5；

5sin

2

22xy

cdcosxcosysinxsiny22cosxy44cos2

2

425

44.

55

故答案为：25

5

uuuv

222

例5．（2024·上海·高三专题练习）已知平面向量PA、PB满足PA|PB|4，|AB|2，

uuuvuuvuuv

设PC2PAPB，则PC________.

362362

【答案】,

22

222222

【解析】因为ABAPPBPAPB2PAPB2且PAPB4，所以PAPB1；

222

又因为PAPBPAPB2PAPB6，所以PAPB6；

222

由ABPBPAPAPB2，所以PAPB2；

31

根据PC2PAPBPAPBPAPB可知：

22

3131

PAPBPAPBPCPAPBPAPB，

2222

左端取等号时：P,A,B三点共线且P在线段AB外且P靠近B点；右端取等号时，P,A,B三

点共线且P在线段AB外且P靠近A点，

362362362362

所以PC，所以PC,.

2222

362362

故答案为：,.

22

例6．（2024·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A2,0，B0,2，圆

222

C:xay21，若圆C上存在点M，使得MAMB12，则实数a的取值范围为（）

A．1,122B．122,122

C．1,122D．12,12

【答案】B

【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范围.

设M(x,y)，则(x2)2y2x2(y2)212，

所以(x1)2(y1)24，

所以点M的轨迹是一个圆D,

由题得圆C和圆D相交或相切，

所以1(1a)2123，

所以122a122.

故选：B

变式4．（2024·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:xya0与点

22

A(0，2)，若直线l上存在点M满足MAMO10（O为坐标原点），则实数a的取值范

围是（）

A．51,51B．[51,51]

C．221,221D．[221,221]

【答案】D

【解析】设Mx,xa，

22

∵直线l:xya0与点A0，2，直线l上存在点M满足MAMO10，

22

∴x2xax2xa210，

2

整理,得4x222a2xa2a2100①，

22

∵直线l上存在点M,满足MAMO10，

∴方程①有解，

∴0，

解得：221a221，

故选D.

变式5．（2024·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习）设A2，0，B2，0，O为坐标原点，

点P满足PA|2PB|216，若直线kxy60上存在点Q使得PQO，则实数k的取

6

值范围为（）

，，，

A．4242B．4242

，55，5，5

C．D．

2222

【答案】C

【解析】设Px，y，

PA|2PB|216，

22

x2y2x2y216，即x2y24．

点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．

若直线kxy60上存在点Q使得PQO，

6

则PQ为圆x2y24的切线时PQO最大，

OP21

sinPQO，即OQ4．

OQOQ2

6

圆心到直线kxy60的距离d4，

1k2

55

k或k．

22

故选：C．

变式6．（2024·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：

2

x1y22，点A2,0，若圆C上存在点M，满足MA2MO210，则点M的纵坐标

的取值范围是___________.

77

【答案】,

22

【解析】解析：设Mx,y，

2

因为MA2MO210，所以x2y2x2y210，

化简得x2y22x30，

则圆C：x2y22x10与圆C：x2y22x30有公共点，

1

将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为x

2

2277

代入xy2x30可得y，

22

77

故答案为：,.

22

题型三：定幂方和隐圆

例7．（2024·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）已知点A1,0，B2,0，直线l：kxy5k0

上存在点P，使得PA22PB29成立，则实数k的取值范围是______.

1515

【答案】,

1515

【解析】由题意得：直线l:yk(x5)，

因此直线l经过定点(5,0)；

22

设点P坐标为(x0，y0)；PA2PB9，

2222

y0(x01)2y02(x02)9

22

化简得：x0y02x00，

因此点p为x2y22x0与直线l:yk(x5)的交点．

所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径

|4k|

1

k21

1515

解得：k[,]

1515

1515

故答案为k[,]

1515

例8．（2024·浙江·高三期末）已如平面向量a、b、c，满足a33，b2，c2，bc2，

222

则的最大值为（）

abacabac

A．1923B．192C．48D．43

【答案】B

【解析】如下图所示，作OAa，OBb，OCc，取BC的中点D，连接OD，

r

以点O为圆心，a为半径作圆O，

bc1

cosBOCcosb,c，0BOC，BOC，

bc23

所以，BOC为等边三角形，

D为BC的中点，ODBC，所以，BOC的底边BC上的高为OD2sin3，

3

rruuruuuruur

abOAOBBA，acOAOCCA，

所以，abacBACAABACABACcosBAC，

222222

所以，

abacabacABACABACcosBAC

2

2，

ABACsinBAC2S△ABC

由圆的几何性质可知，当A、O、D三点共线且O为线段AD上的点时，

ABC的面积取得最大值，此时，ABC的底边BC上的高h取最大值，即

1

hAOOD43，则S△24343，

maxABCmax2

2222

因此，的最大值为

abacabac443192.

故选：B.

例9．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量e1，e2的夹角为60°，

3

向量满足2，若对任意的，记的最小值为，则的最

cc2e1e2c0tR|cte1|MM

2

大值为

131333

A．B．C．1D．13

2424

【答案】A

2

2

232e1e2

【解析】由推出2e1e231，所以

c2e1e2c0c

22244

2ee1

121

c，如图，c终点的轨迹是以为半径的圆，设OAe1，OBe2，OCc，

222

ODte1，所以|cte1|表示CD的距离，显然当CDOA时|cte1|最小，M的最大值为圆

1123

心到OA的距离加半径，即Msin60，

max224

故选：A

变式7．（2024·江苏·高三专题练习）已知a，b是两个单位向量，与a，b共面的向量c满

2

足c(ab)cab0，则c的最大值为（）

A．22B．2C．2D．1

【答案】C

【解析】由平面向量数量积的性质及其运算得(ca)(cb)，设DAa,DCb,DCc，

则caAC,cbBC，则点C在以AB为直径的圆O周上运动，由图知：当DC⊥AB

2

时，|DC|≥|DC′|，设ADC，利用三角函数求c的最值．由c(ab)cab0得：

(ca)(cb)0，即(ca)(cb)，

设DAa,DCb,DCc，

则caAC,cbBC，

则点C在以AB为直径的圆O上运动，

由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，

设ADC，

则DC|DO||AO|sincos2sin，

4

所以当时，|DC|取最大值2，

4

故选：C．

变式8．（2024·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）已知a、b、e是平面向量，e是单

222222

位向量．若a4ae2e0，b3be2e0，则a2ab2b的最大值为_______．

【答案】7

222

【解析】因为a4ae2e0，则a2e2，即a2e2，

22

因为b3be2e0，即beb2e0，

uuurr

作OAa，OBb，OEe，OC2e，则a2eCA2，

beb2eEBCB0，则EBCB，

固定点E，则E为OC的中点，则点B在以线段CE为直径的圆D上，

点A在以点C为圆心，2为半径的圆C上，如下图所示：

22222222

a2ab2babbBAOBBC2OB，

设BCE，则BCcos，

uuur2222

因为OC2，OBCBCOCB2CBCOcosCO43cos2，

22222

故a2ab2bBC2OBcos243cos2

2

22，

2cos22cos62cos77

2

222

当cos时，等号成立，即a2ab2b的最大值为7.

2

故答案为：7.

变式9．（2024·四川达州·高二四川省大竹中学校考期中）已知a，b，e是平面向量，e是

2

单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则ab的最小值是

ae3bb5eb40

_______．

【答案】536

4

【解析】由2得，，

b5eb40(b4e)(be)0

故(b4e)(be)，或be或b4e，

设OAe，OBb，以O为原点，OA的方向为x轴正方向，建立如图所示坐标系，

则A(1,0)，令C(4,0)，则beAB，b4eCB，

由(b4e)(be)，或be或b4e，

53

得B点在以(,0)为圆心，为半径的圆上，

22

又非零向量与的夹角为，则设的起点为原点，则终点在不含端点的两条射线

ae3a

y3x，(x0)上，

5

则ab的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离，则其最小值为圆心(,0)到直线的

2

距离减去半径，不妨以y3x为例，

5

3

则ab的最小值为3536

2

224

故答案为：536

4

变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量a、b、c、e，满足ab，a2b，cab，

212

e1，若a6ae80，则cec的最大值是_________.

3

【答案】3107

6

222

【解析】因为a6ae80，即a6ae9e1，可得a3e1，

rr

2

设e1,0，ax,y，则a3ex3,y，则x3y21，

x3cos

设，则a3cos,sin，

ysin

sin3cossin3cos

因为ab，a2b，则b,或b,，

2222

sin3cos

因为cab，则c3cos,sin或

222

sin3cos

c3cos,sin，

222

22

235235

令cm,n，则m3n或m3n，

2424

2

235

根据对称性，可只考虑m3n，

24

2

121221323

由cecmmnmn，

33324

22

333332

记点A3,、B,0、Pm,n，则AB3，PA1，

22222

325

所以，PBPAABPAAB，

2

2

235

当且仅当点M为线段AB与圆x3y的交点时，等号成立，

24

22

22

所以，113231313253

cecmnPB

332434324

3107

.

6

3107

故答案为：.

6

rrr

变式11．（2024·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知a、b、e是平面向量，e1，若非

π2

零向量a与e的夹角为，向量b满足b4be30，则ab的最小值是__________.

3

【答案】31/13

πrrrrπ122

【解析】设ax,y,e1,0,bm,n，则由a,e得aeaecos,xxy，

332

可得y3x，

22222

由b4eb30得mn4m30,(m2)n1，

r

r22

因此，abxmyn表示圆(m2)2n21上的点m,n到直线y3x上的

点x,y的距离；

23

故其最小值为圆心2,0到直线y3x的距离d3减去半径1，即31.

2

故答案为：31

题型四：与向量模相关构成隐圆

例10．（2024·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知a,b,c是平面内的三个单位向量，

若ab，则a2c3a2b2c的最小值是__________．

【答案】25

22

【解析】a,b,c均为单位向量且ab，不妨设a1,0，b0,1，cx,y且xy1，

a2c2x1,2y，3a2b2c32x,22y，

2222

a2c3a2b2c2x14y32x22y

22

1232

2xyxy1，

22

13

a2c3a2b2c的几何意义表示的是点x,y到,0和,1两点的距离之和的

22

2倍，

13

点,0在单位圆内，点,1在单位圆外，

22

1313

则点x,y到,0和,1两点的距离之和的最小值即为,0和,1两点间距离，

2222

2

132

所求最小值为20125.

22

故答案为：25.

例11．（2024·上海·高三专题练习）已知a、b、c、d都是平面向量，且|a||2ab||5ac|1，

若a,d，则|bd||cd|的最小值为____________．

4

【答案】292

【解析】

作图，aOA，则2aOB，5aOC，

因为2ab1，所以b起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上；

同理，5ac1，所以c起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上，

所以的最小值则为BDCD2，

|bd||cd|min

因为a,d，BDBD，当B，D，C三点共线时，

4

BDCDBC522229，所以BDCD2292.

minmin

故答案为：292.

例12．（2024·上海金山·统考二模）已知a、b、c、d都是平面向量，且a2ab5ac1，

若a,d，则bdcd的最小值为__________.

4

【答案】292/229

【解析】如图，设OA2a，OM5a，OBb，OCc，ODd，

则点B在以A为圆心，以1为半径的圆上，点C在以M为圆心，以1为半径的圆上，

π

NOM，所以点D在射线ON上，

4

所以bdcdDBDCDA1DM1DADM2，

π

作点A关于射线ON对称的点G，则DGDA，且GOA，

2

所以DADMGM42529（当且仅当点G,D,M三点共线时取等号）

所以bdcd的最小值为292，

故答案为：292.

变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知线段MN是圆C:(x1)2y28的一条动弦，且

MN23，若点P为直线2xy80上的任意一点，则PMPN的最小值为

__________.

【答案】25

【解析】如图，P为直线2xy80上的任意一点，

过圆心C作CDMN，连接PD，由MN23，

2

2MN

可得CDCN5，

2

由PMPN2PD2PCCD，当C,P,D共线时取等号，

又D是MN的中点，所以CPMN，

208

所以|PD|min55.

221

则此时PMPN2PD25，

PMPN的最小值为2