2025年高考数学必刷题分类：第39讲、复数（学生版）

第39讲复数

知识梳理

知识点一、复数的概念

（1）i叫虚数单位，满足i21，当kZ时，i4k1,i4k1i,i4k21,i4k3i．

（2）形如abi(a,bR)的数叫复数，记作abiC．

①复数zabi(a,bR)与复平面上的点Z(a,b)一一对应，a叫z的实部，b叫z的虚

部；b0zR,Z点组成实轴；b0,z叫虚数；b0且a0，z叫纯虚数，纯虚数对应

点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．

ac

②两个复数abi,cdi(a,b,c,dR)相等（两复数对应同一点）

bd

③复数的模：复数abi(a,bR)的模，也就是向量OZ的模，即有向线段OZ的长度，

其计算公式为|z||abi|a2b2，显然，|z||abi|a2b2,zza2b2．

知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则

1、复数运算

（1）(abi)(cdi)(ac)(bd)i

（2）(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i

(abi)(abi)zza2b2|z|2

(注意z2|z|2)

zz2a

22

其中|z|ab，叫z的模；zabi是zabi的共轭复数(a,bR)．

abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i

（3）(c2d20)．

cdi(cdi)(cdi)c2d2

实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都

适用于复数．

注意：复数加、减法的几何意义

以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的

z1,z2OZ1,OZ2OZ1ZZ2OZ

向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．

OZz1z2z1z2Z2Z1

2、复数的几何意义

（1）复数zabi(a,bR)对应平面内的点z(a,b)；

（2）复数zabi(a,bR)对应平面向量OZ；

（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都

表示复数．

（4）复数zabi(a,bR)的模|z|表示复平面内的点z(a,b)到原点的距离．

3、复数的三角形式

（1）复数的三角表示式

一般地，任何一个复数zabi都可以表示成r(cosisin)形式，其中r是复数z的

模；是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数

zabi的辐角．r(cosisin)叫做复数zabi的三角表示式，简称三角形式．

（2）辐角的主值

任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2的整数倍．规定在

02范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作argz，即0argz2．复数的代

数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．

（3）三角形式下的两个复数相等

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．

（4）复数三角形式的乘法运算

①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即

r(cosisin)r(cosisin)rrcos()isin()

111222121212．

②复数乘法运算的三角表示的几何意义

复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果

z1,z2OZ1,OZ2OZ1O2

，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向

20OZ1O2r2

量，表示的复数就是积．

OZOZz1z2

（5）复数三角形式的除法运算

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的

辐角减去除数的辐角所得的差，即r1(cos1isin1)r1．

cos(12)isin(12)

r2(cos2isin2)r2

必考题型全归纳

题型一：复数的概念

例1．（2024·河南安阳·统考三模）已知12iai的实部与虚部互为相反数，则实数a（）

1111

A．B．C．D．

3322

例2．（2024·浙江绍兴·统考二模）已知复数z满足z3i2i，其中i为虚数单位，则z的

虚部为（）

3313

A．B．iC．D．

2222

例3．（2024·海南海口·校联考一模）若复数za24a2i为纯虚数，则实数a的值为（）

A．2B．2或2C．2D．4

35i

例4．（多选题）（2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若复数z，则（）

1i

A．z17B．z的实部与虚部之差为3

C．z4iD．z在复平面内对应的点位于第四象限

2

例5．（2024·辽宁·校联考一模）若z是纯虚数，z1，则的实部为______.

1z

【解题方法总结】

无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，

所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．

题型二：复数的运算

1i

例6．（2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数z，则zz（）

1i

A．1iB．1C．1iD．i

例7．（2024·河北衡水·模拟预测）若i1z2i2i，则z（）

1111

A．iB．i

2222

1131

C．iD．i

2222

例8．（2024·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知复数z满足(z2i)i3i，则z（）

A．1iB．3iC．15iD．13i

例9．（2024·全国·模拟预测）已知复数z满足3zi14iz，则|z|（）

4222

A．2B．C．D．

2555

【解题方法总结】

设，则

z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)

（）

1z1z2ac(bd)i

（）

2z1z2acbd(adbc)i

zacbdbcad

（）1

32222i(z20)

z2cdcd

题型三：复数的几何意义

3i

例10．（2024·河南郑州·三模）复平面内，复数对应的点位于（）

1i2023

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

例11．（2024·全国·高三专题练习）已知复数z1与z3i在复平面内对应的点关于实轴对称，

z

则1（）

2i

A．1iB．1iC．1iD．1i

例12．（2024·湖北·校联考三模）如图，正方形OABC中，点A对应的复数是35i，则顶点

B对应的复数是（）

A．28iB．28iC．17iD．27i

例13．（2024·全国·校联考模拟预测）在复平面内，设复数，z1,z2对应的点分别为Z1(0,2)，

z1

Z2(1,1)，则（）

z2

A．2B．3C．2D．1

【解题方法总结】

复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、

纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．

题型四：复数的相等与共轭复数

例14．（2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知2i（i是虚数单位）是关于x的方程

x2bxc0(b,cR)的一个根，则bc（）

A．9B．1C．7D．2i5

例15．（2024·贵州贵阳·统考模拟预测）已知z1a2i，z22bi，a,bR，若

z1z1z2z2i413i，则（）

A．a2，b3B．a2，b3

C．a2，b3D．a2，b3

例16．（2024·四川宜宾·统考三模）已知复数z34i，且zaz94i，其中a是实数，

则（）

A．a2B．a2C．a1D．a3

例17．（2024·湖北·模拟预测）已知复数z满足zz24i，则z的共轭复数的虚部为（）

A．2B．4C．4D．2

例18．（2024·四川宜宾·统考三模）已知复数z34i，且zazbi9，其中a，b是实

数，则（）

A．a2，b3B．a2，b4

C．a1，b2D．a2，b4

【解题方法总结】

复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)

共轭复数：abicdiac且bd(a，b，c，dR)．

题型五：复数的模

例19．（2024·河南·统考二模）若i1z12，则|z1|_______．

例20．（2024·上海浦东新·统考三模）已知复数z满足z2z2，则z3__________．

例21．（2024·辽宁铁岭·校联考模拟预测）设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1z23i，则

|z1z2|=__________.

【解题方法总结】

|z|a2b2

题型六：复数的三角形式

例22．（2024·四川成都·成都七中统考模拟预测）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函

数和三角函数的关系，并写出以下公式eixcosxisinx（x∈R，i为虚数单位），这个公式在

复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成

立的是（）

2022

13

．iπ．

Ae10Bi1

22

ixix

C．ee2D．2eixeix2

例23．（2024·全国·高三专题练习）任何一个复数zabi(a,bR)都可以表示成

zr(cosisin)(r0,R)的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发

现：[r(cosisin)]nrn(cosnisinn)(nZ)，我们称这个结论为棣莫弗定理．则

(13i)2022（）

A．1B．22022C．22022D．i

例24．（2024·河南·统考模拟预测）欧拉公式eicosisin把自然对数的底数e、虚数单

i

位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足eiz1，则z的

虚部为（）

11

A．B．C．1D．1

22

例25．（2024·全国·高三专题练习）棣莫弗公式(cosxisinx)ncosnxisinnx（其中i为虚数单

位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数

2023

cosisin在复平面内所对应的点位于（）

66

A．第一象限B．第二象限