2025年高考数学必刷题分类：第55讲、立体几何中的压轴小题（学生版）

第55讲立体几何中的压轴小题

必考题型全归纳

题型一：球与截面面积问题

例1．（2024·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）已知三棱锥PABC的四个顶点在球O

的球面上，PAPBPC，ABC是边长为62的正三角形，PA3PE，BA3BF，

CEF90，过点E作球O的截面，截面面积最小值为（）

A．8πB．16πC．27πD．40π

例2．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）四面体ABCD的四个顶点

都在球O的球面上，ABBCCDDA4，ACBD22，点E，F，G分别为棱BC，

CD，AD的中点，现有如下结论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面

163

积为2；②四面体ABCD的体积为；③过E作球O的截面，则截面面积的最大值与最

3

小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

例3．（2024·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥ABCD

（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC3，AB2，点E

是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（）

πππ

A．B．C．D．

2346

变式1．（2024·宁夏银川·校联考二模）2022年第三十二届足球世界杯在卡塔尔举行，第一

届世界杯是1930年举办的，而早在战国中期，中国就有过类似的体育运动项目：蹴鞠，又

名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠

的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月

20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已

知半径为3的某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，ACBC，ACBC4，PC6，

则该鞠（球）被平面PAB所截的截面圆面积为（）

2325

A．7πB．πC．8πD．π

33

变式2．（2024·全国·高三专题练习）在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2,M,N分别为

AD,BC的中点，该正方体的外接球为球O，则平面A1MN截球O得到的截面圆的面积为（）

6π7π12π14π

A．B．C．D．

5555

变式3．（2024·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知球O内切于正方体ABCDA1B1C1D1，

P，Q，M，N分别是B1C1,C1D1,CD,BC的中点，则该正方体及其内切球被平面MNPQ所截

得的截面面积之比为（）

A．42:πB．22:πC．32:πD．4:π

变式4．（2024·河南洛阳·高三校联考阶段练习）已知三棱锥P-ABC的棱长均为6，且四个顶

uuur1uuur

点均在球心为O的球面上，点E在AB上，AEAB，过点E作球O的截面，则截面面

3

积的最小值为（）

A．8πB．10πC．16πD．24π

题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题

例4．（2024·福建三明·高一校考阶段练习）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，

M，N分别为A1D1，B1C1的中点，E，F分别为棱AB，CD上的动点，则三棱锥MNEF

的体积（）

82

A．存在最大值，最大值为B．存在最小值，最小值为

33

4

C．为定值D．不确定，与E，F的位置有关

3

例5．（2024·四川成都·校考模拟预测）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为

正方形，AA1底面ABCD，AA12AB，M､N分别是棱BB1､DD1上的动点，且DNB1M，

则下列结论中正确的是（）

A．直线A1C与直线MN可能异面

B．三棱锥A1C1MN的体积保持不变

C．直线AC与直线MN所成角的大小与点M的位置有关

π

D．直线AD与直线MN所成角的最大值为

3

例6．（多选题）（2024·福建三明·统考三模）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点

E是AA1的中点，点F是侧面ABB1A1内一动点，则下列结论正确的为（）

A．当F在A1B上时，三棱锥FCD1E的体积为定值

2

B．CE与BF所成角正弦的最小值为

3

C．过D1作垂直于CE的平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得截面图形的周长为62

25

D．当D1FCE时，△BCF面积的最小值为

5

变式5．（多选题）（2024·广东梅州·统考三模）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，O1

为四边形A1B1C1D1的中心，P为线段AO1上的一个动点，Q为线段CD1上一点，若三棱锥

QPBD的体积为定值，则（）

A．DQ2QC1B．DQQC1

C．O1Q2D．O1Q3

变式6．（多选题）（2024·山西大同·高三统考阶段练习）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱

长为2，线段B1D1上有两个动点E,F，且EF2，以下结论正确的有（）

A．EFAB2

B．A1CAE

C．正方体ABCDA1B1C1D1的体积是三棱锥ABEF的体积的12倍

D．异面直线AE,BF所成的角为定值

变式7．（多选题）（2024·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的

底面边长为1，AA1=1，点P满足BPBCBB1，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，下列选项正确

的是（）

A．当λ=1时，△AB1P的周长为定值

B．当μ=1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值

1

C．当时，有且仅有两个点P，使得A1P⊥BP

2

1

D．当时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P

2

变式8．（多选题）（2024·福建厦门·统考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体

中，点满足，其中，则（）

ABCDA1B1C1D1PBPBCBB10,1,0,1

A．AP3

1

B．当时，有且仅有一个点P，使得AP平面A1BD

2

1

C．当时，有且仅有一个点P，使得AP∥AB

21

1

D．当时，三棱锥PABD的体积为定值

21

变式9．（多选题）（2024·湖南·校联考模拟预测）如图，ABCDABCD为正方体.任作平

面与对角线AC垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的

面积为S，周长为l.则（）

A．S为定值B．S不为定值C．l为定值D．l不为定值

变式10．（多选题）（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知三棱锥PABC，

PABC2,PBACPCAB3，D为棱PC上一点，且PDDC，过点D作平行于

直线PA和BC的平面，分别交棱PB,AB,AC于E,F,G．下列说法正确的是（）

A．四边形DEFG为矩形

B．四边形DEFG的周长为定值

C．四边形的DEFG面积为定值

D．当1时，平面分三棱锥PABC所得的两部分体积相等

变式11．（多选题）（2024·重庆·统考模拟预测）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P满足

BPBCBB1，其中0,1，0,1，则下列说法正确的是（）

A．当时，A1P∥平面ACD1

B．当1时，三棱锥PA1BC的体积为定值

C．当1时，△PBD的面积为定值

D．当1时，直线AD与DP所成角的取值范围为,

1132

题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题

例7．（2024·福建福州·福州四中校考模拟预测）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架

ABCD,ABEF的边长均为2，活动弹子N在线段AB上移动（包含端点），弹子M,O分别固

定在线段EF,AC的中点处，且MO平面ABCD，则当MNO取最大值时，多面体

MBCON的体积为（）

333323

A．B．C．D．

2233

例8．（2024·山东青岛·高三统考期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积

为36π，则该正四棱锥的体积最大值为（）

6481

A．18B．C．D．27

34

例9．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱

26

长为22,P是正方形BB1C1C（含边界）内的动点，点P到平面A1BD的距离等于，则D,P

3

两点间距离的最大值为（）

A．23B．3C．32D．26

变式12．（2024·河南·校联考模拟预测）点P是圆柱上底面圆周上一动点，ABC是圆柱下

底面圆的内接三角形，已知在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c2，

2

C60，三棱锥PABC的体积最大值为3，则该三棱锥外接球的表面积为（）

3

19285343

A．πB．πC．πD．π

3393

变式13．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）如图，AB是半球的直径，O为球心，AB2,P为

此半球大圆弧上的任意一点（异于A,B),P在水平大圆面AOB内的射影为Q，过Q作

QRAB于R，连接PR,OP，若二面角PABQ的大小为，则三棱锥POQR的体积

3

的最大值为（）

1133

A．B．C．D．

36244248

变式14．（2024·宁夏石嘴山·统考一模）圆锥OO1的底面半径为1，母线长为2，OAB是圆

锥OO1的轴截面，F是OA的中点，E为底面圆周上的一个动点（异于A、B两点），则下列

说法正确的是（）

A．存在点E，使得EFEBB．存在点E，使得EF//OB

33

C．三棱锥FABE体积最大值为D．三棱锥FAO1E体积最大值为

66

变式15．（2024·全国·高三专题练习）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）

的母线长为5，高为1，P､Q为底面圆周上任意两点．有以下三个结论：

①三角形SPQ面积的最大值为2；

2

②三棱锥OSPQ体积的最大值为；

3

③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为9π．

以上所有正确结论的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

变式16．（2024·河北·统考模拟预测）在正四面体PABC中，O为PB的中点，点D在以O

为球心的球上运动，PB2OD，且恒有PDBD，已知三棱锥DABC的体积的最大值为

18236，则正四面体PABC外接球的体积为（）

A．1083πB．1242πC．1322πD．1443π

变式17．（2024·湖北恩施·校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的

中点，且BC2AB2，现将ABE沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，

下列结论不正确的是（）

A．存在点P，使得PE∥CF

B．存在点P，使得PEED

2

C．三棱锥PAED的体积最大值为

6

D．当三棱锥PAED的体积达到最大值时，三棱锥PAED外接球表面积为4π

变式18．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，圆台O1O2的上、下

底面圆半径分别为1、2，高O1O222，点S、A分别为其上、下底面圆周上一点，则下列

说法中错误的是（）

142π

A．该圆台的体积为

3

π

B．直线SA与直线O1O2所成角最大值为

3

C．该圆台有内切球，且半径为2

2

D．直线AO1与平面SO1O2所成角正切值的最大值为

2

变式19．（2024·山东·山东省实验中学校考二模）正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，P

为底面的中心，是棱的中点，正四棱柱的高，点到平面

A1B1C1D1MABh2,22MPCD

的距离的最大值为（）

2684232

A．B．C．D．

3339

205

变式20．（2024·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知A，B，C，D是体积为π的球

3

体表面上四点，若AB4，AC2，BC23，且三棱锥A－BCD的体积为23，则线段

CD长度的最大值为（）

A．23B．32C．13D．25

变式21．（2024·全国·高三专题练习）如图，正方形EFGH的中心为正方形ABCD的中心，

AB22，截去如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥PEFGH（A，B，C，D四

点重合于点P），则此四棱锥的体积的最大值为（）

12861285415

A．B．C．D．

37537533

变式22．（2024·安徽黄山·统考二模）如图1，将一块边长为20的正方形纸片ABCD剪去四

个全等的等腰三角形PEE1，PFF1,PGG1,PHH1，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四

棱锥PEFGH，使E与E1重合，F与F1重合，G与G1重合，H与H1重合，点A,B,C,D重

合于点O，如图2.则正四棱锥PEFGH体积的最大值为（）

321064101281025610

A．B．C．D．

3333

变式23．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为5，该纸片

上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H为圆O上的点，ABE，△BCF，△DCG，

ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，

CD，DA为折痕折起，使得E，F，G，H重合于一点，记为O，得到四棱锥OABCD．当

底面ABCD的边长变化时，四棱锥OABCD的体积的最大值为（）

85165

A．33B．C．35D．

33

题型四：立体几何中的交线问题

例10．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知正方体ABCDA1B1C1D1是半径为3的球O的

内接正方体（八个顶点全部在球面上），则正方体六个面所在的平面与球面的交线总长度是

（）

A．6B．62C．12D．122

例11．（2024·上海·高三专题练习）直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA11，AB4，BC3，

ABC90，设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为（）．

A．1B．10C．17D．2.6

例12．（2024·浙江·校联考三模）正四面体ABCD，E为棱AD的中点，过点A作平面BCE的

平行平面，该平面与平面ABC、平面ACD的交线分别为l1,l2，则l1,l2所成角的正弦值为（）

6312

A．B．C．D．

3332

变式24．（2024·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M,P,Q

分别是棱A1D1，AB,BC的中点若经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线为l，则l与直

线QB1所成角的余弦值为（）

31053

A．B．C．D．

3542

变式25．（2024·全国·高三专题练习）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R

分别是AB，AD，B1C1的中点，设过P，Q，R的截面与面ADD1A1，以及面ABB1A1的交线

分别为l，m，则l，m所成的角为（）

A．90B．30C．45D．60

变式26．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E

为B1C1中点，过A,D1,E的截面与平面AA1B1B的交线为l，则异面直线l与B1C所成角的余

弦值为（）

1051015

A．B．C．D．

10555

变式27．（2024·全国·高三专题练习）如图，在圆台OO1中，OO13，点C是底面圆周上

异于A、B的一点，AC2，点D是BC的中点，l为平面O1AC与平面O1OD的交线，则交

线l与平面O1BC所成角的大小为（）

ππππ

A．B．C．D．

2364

变式28．（2024·河南·高三校联考阶段练习）在正三棱锥P-ABC中，PA63，BC＝6，M，

N，Q，D分别是AP，BC，AC，PC的中点，平面MQN与平面PBC的交线为l，则直线QD

与直线l所成角的正弦值为（）

25113

A．B．C．D．

2662

变式29．（2024·四川成都·高三校联考期末）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD的

中点，设平面A1BC1与平面CC1E的交线为m，则直线m与AC所成角的余弦值为（）

131025

A．B．C．D．

2255

变式30．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BCCD，

AB//CD，BC3，AA1ABAD2，点P､Q分别为棱BB1､CC1的中点，则平面APQ与

直四棱柱各侧面矩形的交线所围成的图形的面积为（）

156315

A．B．

24

315352317

C．D．

22

题型五：空间线段以及线段之和最值问题

例13．（2024·全国·高三专题练习）已知正三棱锥SABC的底面边长为2，外接球表面积

为3，SA2，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM

上的动点，则APPQ的最小值为（）

26262322

A．B．C．D．

4442

例14．（2024·全国·高三专题练习）已知，如图正三棱锥PABC中，侧棱长为2，底面边

长为2，D为AC中点，E为AB中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AMMN

最小值是（）

261363

A．B．C．D．

4242

例15．（2024·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，点P是

线段AD上的动点，E是AC上的动点，F是BD上的动点，则PEPF长度的最小值为（）

63

A．1B．2C．D．1

23

变式31．（2024·辽宁·高一辽宁实验中学校联考期末）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

1

棱柱的侧面均为矩形，AA11，ABBC3，cosABC，P是线段A1B上的一动点，

3

则APPC1最小值为（）

A．6B．7C．13D．25

变式32．（2024·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）在三棱锥PABC中，

ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DPDC1.有下列结论：

①三棱锥PABC的三条侧棱长均相等；

②PAB的取值范围是,；

42

2

③若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的体积为；

3

62

④若ABBC，E是线段PC上一动点，则DEBE的最小值为.

2

其中所有正确结论的编号是（）

A．①②B．②③C．①②④D．①③④

变式33．（2024·全国·高一专题练习）在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD

为正方形，PAAB1．点E,F,G分别为平面PAB，平面PAD和平面ABCD内的动点，点

Q为棱PC上的动点，则QE2QF2QG2的最小值为（）

123

A．B．C．D．1

234

变式34．（2024·全国·高三专题练习）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

BAC,ABAC2,CC2，且E,M分别为CC1和BC的中点，P为线段AM（包括

211

端点）上一动点，F为侧面AA1B1B上一动点，则PEPF的最小值为（）

62333263

A．B．

1010

62333263

C．D．

55

题型六：空间角问题

-

例16．（2024·全国·高三专题练习）如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是正三角形，

E,F,G分别是侧棱AA1,BB1,CC1上的点，且AECGBF，设直线CA,CB与平面EFG所成

的角分别为,，平面EFG与底面ABC所成的锐二面角为，则（）

A．sinsinsin,coscoscos

B．sinsinsin,coscoscos

C．sinsinsin,coscoscos

D．sinsinsin,coscoscos

例17．（2024·浙江·高考真题）设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是

棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为

，二面角PACB的平面角为，则

A．,B．,

C．,D．,

例18．（2024·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1,ACAA1，E，F分别

是棱BC,A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为，EF与平面ABC所成的角为，二面角

FBCA的平面角为，则（）

A．B．C．D．

变式35．（2024·浙江温州·高二温州中学校考期末）斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是

正三角形，侧面ABB1A1是矩形，M是线段AB上的动点，记直线A1M与直线AC所成的角

为，直线A1M与平面ABC所成的角为，二面角A1ACB的平面角为，则（）

A．，B．，

C．，D．，

变式36．（2024·浙江绍兴·高三统考期末）斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是正三角形，

侧面ABB1A1是矩形，且2AA13AB，M是AB的中点，记直线A1M与直线BC所成的角为

，直线A1M与平面ABC所成的角为，二面角A1ACB的平面角为，则（）

A．，B．，

C．，D．，

变式37．（2024·全国·高三专题练习）已知等边ABC，点E,F分别是边AB,AC上的动点，

且满足EF∥BC，将△AEF沿着EF翻折至P点处，如图所示，记二面角PEFB的平面

角为，二面角PFCB的平面角为，直线PF与平面EFCB所成角为，则（）

A．B．C．D．

变式38．（2024·江苏·高一专题练习）正四面体SABC中，M是侧棱SA上（端点除外）的

一点，若异面直线MB与直线AC所成的角为，直线MB与平面ABC所成的角为，二面

角MBCA的平面角为，则（）

A．B．

C．D．

变式39．（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥PABC中，顶点P在底面的射影为ABC的

垂心O（O在ABC内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行

于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为1，2，若PAMPBM，

则下列说法错误的是（）

A．若12，则ACBC

1

B．若，则tantan

12122

C．可能值为

6

D．当取值最大时，12

变式40．（2024·全国·高三专题练习）已知点P是正方体ABCDABCD上底面ABCD上

的一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为，面ABP与面CDP所成的锐二面角

为，若，则下列叙述正确的是（）

A．APCBPDB．APCBPD

C．maxAPD,BPCmaxAPB,CPD

D．minAPD,BPCminAPB,CPD

变式41．（2024·浙江金华·统考模拟预测）已知四面体ABCD中，棱AD，BC所在直线所成

角为60，且AD1，BC2，ACD60，面BAD和面ACD所成的锐二面角为，面

BAC和面ACD所成的锐二面角为，当四面体ABCD的体积取得最大值时（）.

A．B．C．D．不能确定

变式42．（2024·浙江·校联考二模）已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均相等，侧棱AA1

平面ABC，过AB1作平面与BC1平行，设平面与平面ACC1A1的交线为l，记直线l与直

线AB,BC,CA所成锐角分别为，，，则这三个角的大小关系为

A．B．

C．D．

题型七：立体几何装液体问题

例19．（2024·全国·高三专题练习）已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱ABC-A1B1C1

容器，如图1，ABC为正三角形，AB2，AA13，里面装有体积为23的液体，现将

该棱柱绕BC旋转至图2.在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（）

①液面刚好同时经过A，B1，C1三点；

②当平面ABC与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为31；

33

③当液面与水平桌面的距离为时，AB与液面所成角的正弦值为.

2