2025年高考数学必刷题分类：第43讲、数列的通项公式（学生版）

第43讲数列的通项公式

知识梳理

类型Ⅰ观察法：

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根

据规律写出此数列的一个通项．

类型Ⅱ公式法：

若已知数列的前n项和Sn与的关系，求数列的通项可用公式

ananan

S1,(n1)

an构造两式作差求解．

SnSn1,(n2)

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为

一，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否

”a1ann1n2

统一）．

类型Ⅲ累加法：

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

an1anf(n)f(n)n

anan1f(n1)

aaf(n2)

n1n2

...

a2a1f(1)

将上述个式子两边分别相加，可得：

m2anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；

④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和．

类型Ⅳ累乘法：

a

形如n1型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

an1anf(n)f(n)f(n)n

an

an

f(n1)

a

n1

a

n1f(n2)

an2

...

a2

f(1)

a1

将上述个式子两边分别相乘，可得：

m2anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．

类型Ⅴ构造数列法：

（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：

an1panqp,qp0

（）若时，数列为等差数列；

1p1{an}

（）若时，数列为等比数列；

2q0{an}

（）若且时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比

3p1q0{an}

数列来求．方法有如下两种：

法一：设，展开移项整理得，与题设

an1p(an)an1pan(p1)

比较系数（待定系数法）得

an1panq

qqqqqq

,(p0)ap(a)ap(a)，即an

p1n1p1np1np1n1p1p1

q

构成以a为首项，以p为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出

1p1

q

an的通项整理可得a.

p1n

法二：由得两式相减并整理得an1an即

an1panqanpan1q(n2)p,

anan1

构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为

an1ana2a1pan1an

类型Ⅲ（累加法）便可求出

an.

（二）形如型的递推式：

an1panf(n)(p1)

（1）当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定、的值，转化成

anAnBpan1A(n1)BAB

！

以为首项，以mn为公比的等比数列，再利用等比数列的通

a1ABAaAnB

nnm!n

项公式求出的通项整理可得

anAnBan.

法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相

f(n)dan1panf(n)anpan1f(n1)

减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，

an1anp(anan1)dbnan1anbnpbn1dbn

再用类型Ⅲ（累加法）便可求出

an.

（2）当f(n)为指数函数类型（即等比数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以

anf(n)pan1f(n1)

！

为首项，以mn为公比的等比数列，再利用等比数列的通

a1f(1)Aaf(n)

nnm!n

项公式求出的通项整理可得

anf(n)an.

法二：当的公比为时，由递推式得：①，，

f(n)qan1panf(n)——anpan1f(n1)

两边同时乘以得②，由①②两式相减得，

qanqpqan1qf(n1)——an1anqp(anqan1)

即an1qan，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出

pan.

anqan1

法三：递推公式为n（其中，均为常数）或n（其中，，

an1panqpqan1panrqpq

apa1

r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以qn1，得：n1n，引入辅助数

qn1qqnq

ap1

列b（其中bn），得：bb再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．

nnqnn1qnq

（3）当f(n)为任意数列时，可用通法：

n1an1anf(n)an

在apaf(n)两边同时除以p可得到，令b，则

n1npn1pnpn1pnn

f(n)

bb，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出b之后得apnb．

n1npn1nnn

类型Ⅵ对数变换法：

形如q型的递推式：

an1pa(p0,an0)

在原递推式q两边取对数得，令得：

an1palgan1qlganlgpbnlgan

，化归为型，求出之后得bn（注意：底数不一定要

bn1qbnlgpan1panqbnan10.

取10，可根据题意选择）．

类型Ⅶ倒数变换法：

形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为

an1anpan1anpp0an1an

11形式，化归为型求出1的表达式，再求；

pan1panqan

anan1an

还有形如man的递推式，也可采用取倒数方法转化成1m1m形式，化

an1

panqan1qanp

归为型求出1的表达式，再求．

an1panqan

an

类型Ⅷ形如型的递推式：

an2pan1qan

用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设

{anan1}

，比较系数得，可解得、，于是是

an2kan1h(an1kan)hkp,hkqhk{an1kan}

公比为的等比数列，这样就化归为型．

han1panq

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法

求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式

an.

必考题型全归纳

题型一：观察法

例1．（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算

法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第

二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（）个球．

A．12B．20C．55D．110

例2．（2024·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传

教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森

指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩

余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数

中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则a6=（）

A．17B．37C．107D．128

例3．（2024·全国·高三专题练习）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变

换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所

示，若图1中正六边形的边长为1，图n中正六边形的个数记为an，所有正六边形的周长之

n

和､面积之和分别记为Cn,Sn，其中图中每个正六边形的边长是图n1中每个正六边形边长

1

的，则下列说法正确的是（）

3

100

A．a4294B．C

33

n1

337

．存在正数m，使得Cm恒成立．

CnDSn

29

变式1．（2024·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》

中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的

每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各

项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为an，则

a2a1a4a3a50a49（）

A．650B．1050C．2550D．5050

变式2．（2024·吉林·统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”

的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生

过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列

题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24

项的差为（）

A．22B．24C．25D．26

1111

变式3．（2024·全国·高三专题练习）若数列an的前4项分别是，，，，则该数列

2345

的一个通项公式为（）

(1)n1(1)n(1)n(1)n1

A．aB．aC．aD．a

nnnn1nnnn1

变式4．（2024·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨

111

辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1，，，，L构成

3610

数列an，其前n项和为Sn，则S20（）

394041419

A．B．C．D．

202121210

23456

变式5．（2024·新疆喀什·高三统考期末）若数列an的前6项为1,,,,,，则

357911

数列an的通项公式可以为an（）

nn

A．B．

n12n1

nn

C．(1)nD．(1)n1

2n12n1

【解题方法总结】

观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通

项．使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n或者

(1)n1部分．②考虑各项的变化规律与序号的关系．③应特别注意自然数列、正奇数列、

2n

正偶数列、自然数的平方n、2与(1)n有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们

组成的数列．

题型二：叠加法

例4．（2024·全国·高三对口高考）数列1，3，7，15，……的一个通项公式是（）

nnnn1

A．an2B．an21C．an21D．an2

例5．（2024·新疆喀什·校考模拟预测）若anan1n1，a11则a10（）

A．55B．56C．45D．46

例6．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在数列an中，a11，an1ann1，

111

则（）

a1a2a2022

2021404420212022

A．B．C．D．

1011202320222023

11

变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足a，aa，则{an}

12n1nn2n

的通项为()

131

A．,n1,nNB．,n1,nN

n2n

3131

C．,n1,nND．,n1,nN

2n2n

变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知Sn是数列an的前n项和，且对任意的正整数

111

，都满足：2n2，若，则（）

na1S2023

an1an2

2023202220211010

A．B．C．D．

2024202320242023

3

变式8．（2024·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知数列an满足：a1，

8

nn

an2an3，an6an913，则a2023（）

320233320233

A．B．

2282

3202332023

C．D．

82

【解题方法总结】

数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为

an1anf(n)f(1)f(2)f(n)

，利用叠加法求和

an1anf(n)

题型三：叠乘法

aa

n1n

例7．（2024·河南·模拟预测）已知数列an满足2n，a11，则a2023（）

an1an

A．2024B．2024C．4045D．4047

an

n1

例8．（2024·全国·高三专题练习）数列an中，a11，（n为正整数），则a2022

ann1

的值为（）

1120212022

A．B．C．D．

2022202120222021

n1

例9．（2024·天津滨海新·高三校考期中）已知a2,aa，则a2022（）

1n1nn

A．506B．1011C．2022D．4044

变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知a11，annan1annN，则数列an的

通项公式是an（）

n1

n12

A．2n1B．C．nD．n

n

变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an中，a11，

nan12a1a2annN*，则数列an的通项公式为（）

A．annB．an2n1

n11,n1

C．anD．an

2nn1,n2

1

变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an满足(n2)an1(n1)an，且a，

23

则an()

n11n-11

A．B．C．D．

n12n-12n-1n1

12n3*

变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an满足a，aa(n2，nN)，

13n2n1n1

则数列an的通项an（）

11

A．B．

4n212n21

11

C．D．

2n12n3n1n3

1

变式13．（2024·全国·高三专题练习）在数列an中，a且n2an1nan，则它的

12

前30项和S30（）

30292819

A．B．C．D．

31302929

【解题方法总结】

数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式

anf(n)an1f(1)f(2)f(n)

变形为an，利用叠乘法求出通项公式

f(n)an

an1

题型四：待定系数法

1

例10．（2024·全国·高三专题练习）已知：a11，n2时，aa2n1，求an的

n2n1

通项公式．

1

例11．（2024·全国·高三专题练习）已知数列{an}，a12，且对于n1时恒有aa1，

n2n1

求数列{an}的通项公式．

1*

例12．（2024·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足：aa2,nN,a4,求an.

n13n1

15

变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an是首项为a2,aa2n.

1n13n3

(1)求an通项公式；

(2)求数列an的前n项和Sn.

2an1

变式15．（2024·全国·高三专题练习）已知数列{an}中，a1=2，a，求{an}的

n13

通项．

变式16．（2024·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）已知数列an中，a11，

*n

满足an12an2n1nN，设Sn为数列an的前项和．

(1)证明：数列an2n1是等比数列；

n

(2)若不等式2Sn40对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围．

变式17．（2024·四川乐山·统考三模）已知数列an满足an12an2，a11，则

an．

变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an中，a11，an13an4，则数列an

的通项公式为.

变式19．（2024·全国·高三对口高考）已知数列an中，a11，且an2an13（n2，

且nN），则数列an的通项公式为．

【解题方法总结】

形如（为常数，且）的递推式，可构造，

an1panqp,qpq0p1an1p(an)

转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造

anpan1qan1anp(anan1)

为等比数列，然后利用叠加法求通项．

an1an

题型五：同除以指数

n

例13．（2024·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足an12an32，a12，求数列{an}

的通项公式．

n1

例14．（2024·全国·高三专题练习）在数列{an}中，a11,an12an43,求通项公

式an．

n,

例15．（2024·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足an12an35a16，求数列{an}

的通项公式．

n1

变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足an12an43，a11，求

数列an的通项公式．

n1

变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an满足an12an43,a11，则数

列an的通项公式为.

n,

变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足an13an231a13，求数

列{an}的通项公式．

【解题方法总结】

形如n且，）的递推式，当时，两边同除以n1转

an1pand(p0p1d1pdd

an1an1pan1

化为关于n的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化

pddn1n

dndddd

p1

为bb．

n1dnd

题型六：取倒数法

an1

例16．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an满足：a12,ann2,求通项an.

2an11

a

n

例17．（2024·全国·高三专题练习）在数列{an}中，a11,an1,求an．

an3

nba

n1

例18．（2024·全国·高三专题练习）设b0，数列an满足a1b，an(n2)，

an1n1

求数列an的通项公式．

a

n

变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知an1,a11，求an的通项公式．

an2

2a

n

变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an满足an1,a11，求数列an的

an2

通项公式．

a

n

变式25．（2024·全国·高三对口高考）数列an中，an1，a12，则a4．

13an

1an

a

变式26．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知数列an中，a1，n1.

32an

(1)求数列an的通项公式；

(2)求证：数列an的前n项和Sn1.

【解题方法总结】

对于aan，取倒数得1bcanb1c．

an1(ac0)

bcanan1aanaana

1

当ab时，数列是等差数列；

an

bc

当时，令1，则，可用待定系数法求解．

abbnbn1bn

anaa

题型七：取对数法

2

例19．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an满足a13，an1an2an2.

a

(1)证明数列lnan1是等比数列，并求数列n的通项公式；

11

(2)若bn，数列bn的前n项和Sn，求证：Sn2.

anan2

2

例20．（2024·全国·高三专题练习）设正项数列an满足a11，an2an1n2，求数

列an的通项公式．

例．（·全国·高三专题练习）设数列a满足aaa0，，证明：

212024n1an12an

存在常数M，使得对于任意的nN*，都有anM．

【解题方法总结】

形如k的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．

an1can(c0,an0)

题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题

annSn

例22．（2024·全国·高三专题练习）数列an的前n项和为Sn，满足Sn12Sn1n，且

S13，则an的通项公式是．

例23．（2024·陕西渭南·统考二模）已知数列an中，a11,an0，前n项和为Sn.若

*1

anSnSn1nN,n2，则数列的前2024项和为.

anan1

例24．（2024·河南南阳·高二统考期末）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an1

（nN*），

(1)求数列an的通项公式；

(2)设bnanlog2an，求数列bn的前n项和Tn.

变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an2n．

(1)写出数列的前3项a1,a2,a3；

(2)求数列an的通项公式．

变式28．（2024·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列an的前n项和为Sn，

1

Sa2n1．

2nn

a

(1)证明：n是等差数列；

2n1

a

(2)求数列n1的前n项积．

an

变式29．（2024·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列an满足

，其中是数列a的前项和

2Snan1Snnn.

(1)求数列an的通项公式；

1111

(2)若对任意nN，且当n2时，总有恒成立，求实数

4S1S21S31Sn1

的取值范围.

变式30．（2024·河北保定·高三校联考阶段练习）已知数列an满足

a13a22n1ann.

(1)求an的通项公式；

1

,n2k1

(2)已知cn19an，kN，求数列cn的前20项和.

anan2,n2k

变式31．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an的前n项和为Sn，且Snn5an85，

*

nN.证明：an1是等比数列.

变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知an是各项都为正数的数列，Sn为其前n项

11

和，且a11，Snan，

2an

(1)求数列an的通项an；

1111

(2)证明：21.

2S13S2(n1)SnSn1

变式33．（2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）数列an的前n项和为

n

Sn,a12,a24且当n2时，3Sn1,2Sn,Sn12成等差数列.

(1)求数列an的通项公式；

n

(2)在an和an1之间插入个数，使这n2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列dn中

是否存在3项dm,dk,dp（其中m,k,p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；

若不存在，请说明理由.

变式34．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知Sn是数列an的前n

项和，a12，Snan11.

(1)求数列an的通项公式；

n3

(2)已知bn，求数列bn的前n项和Tn.

an

变式35．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an，Sn为数列an的前n项和，且满足

a11，3Snn2an．

(1)求an的通项公式；

11111

(2)证明：．

a2a4a8a2n2

变式36．（2024·河北沧州·校考模拟预测）已知正项数列an的前n项和为Sn，满足

an2Sn1.

(1)求数列an的通项公式；

2nπ

(2)若bacos，求数列bn的前3n1项和T3n1.

nn3

变式37．（2024·全国·高三专题练习）已知各项为正数的数列an的前n项和为Sn，满足

1

SSa2,a2．

n1n2n11

(1)求数列an的通项公式；

an

(2)设b，求数列bn的前n项的和Tn．

n3n

2Sn

变式38．（2024·全国·高三专题练习）记Sn为数列an的前n项和．已知n2a1．证

nn

明：an是等差数列；

【解题方法总结】

对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理

anSn

选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使（，

SnanSnSn1=ann2

*），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的

nNann

情形；另一个方向是将转化为（，*），先考虑与的关系式，继

anSnSn1n2nNSnSn1

而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的

Snan

解决方法称为转化法，适用于数列的前n项和的形式不够独立的情况．

简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的

anSnSn

形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式

anSn