2025年高考数学必刷题分类：第20讲、三次函数的图象和性质（教师版）

[在此处键入]

第20讲三次函数的图象和性质

知识梳理

1、基本性质

设三次函数为：f(x)ax3bx2cxd(a、b、c、dR且a0)，其基本性质有：

性质1：①定义域为R．②值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单

调性和图像：

a0a0

0000

图像

性质2：三次方程f(x)0的实根个数

由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来

解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)

其导函数为二次函数:f(x)3ax22bxc(a0)，

判别式为：△22，设的两根为、，结合函数草图易

=4b12ac4(b3ac)f(x)0x1x2

得：

(1)若b23ac0，则f(x)0恰有一个实根；

2

(2)若b3ac0,且f(x1)f(x2)0，则f(x)0恰有一个实根；

2

(3)若b3ac0,且f(x1)f(x2)0，则f(x)0有两个不相等的实根；

2

(4)若b3ac0,且f(x1)f(x2)0，则f(x)0有三个不相等的实根.

说明:(1)(2)f(x)0含有一个实根的充要条件是曲线yf(x)与x轴只相交一次，即

f(x)在R上为单调函数（或两极值同号），所以b23ac0（或b23ac0，且

）

f(x1)f(x2)0;

[在此处键入]

[在此处键入]

(5)f(x)0有两个相异实根的充要条件是曲线yf(x)与x轴有两个公共点且其中之

一为切点，所以2，且

b3ac0f(x1)f(x2)0;

(6)f(x)0有三个不相等的实根的充要条件是曲线yf(x)与x轴有三个公共点，即

有一个极大值，一个极小值，且两极值异号所以2且

f(x).b3ac0f(x1)f(x2)0.

性质3：对称性

bb

（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；(，f())；

3a3a

（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

2、常用技巧

b

（1）其导函数为f(x)3ax22bxc0对称轴为x，所以对称中心的横坐标

3a

也就是导函数的对称轴，可见，yf(x)图象的对称中心在导函数yfx的对称轴上，

且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；

（2）yf(x)是可导函数，若yf(x)的图象关于点(m,n)对称，则yf(x)图象关

于直线xm

对称.

（3）若yf(x)图象关于直线xm对称，则yf(x)图象关于点(m,0)对称.

（）已知三次函数32的对称中心横坐标为，若存在两个

4fxaxbxcxdx0fx

fxfx

极值点，，则有12a22

x1x2x1x2fx0.

x1x223

必考题型全归纳

题型一：三次函数的零点问题

例1．（2024·全国·高三专题练习）函数fxx3ax2存在3个零点，则a的取值范围是

（）

A．,2B．,3C．4,1D．3,0

【答案】B

[在此处键入]

[在此处键入]

【解析】f(x)x3ax2，则f(x)3x2a，

若fx要存在3个零点，则fx要存在极大值和极小值，则a<0，

aa

令f(x)3x2a0，解得x或，

33

aa

且当x,,时，f(x)0，

33

aa

当x,，f(x)0，

33

aa

故fx的极大值为f，极小值为f，

33

a

aaa

f0a20

3333

若fx要存在3个零点，则，即，解得a3，

aaaa

f0a20

3333

故选：B.

例2．（2024·江苏扬州·高三校考阶段练习）设a为实数，函数fxx33xa．

（1）求fx的极值；

（2）是否存在实数a，使得方程fx0恰好有两个实数根?若存在，求出实数a的值；若

不存在，请说明理由．

【解析】（1）fx3x23，令fx0，得x=1或x1．

∵当x(,1)时，f′x0；当x1,1时，f′x0；当x(1,)时，f′x0．

所以f(x)在(,1)上递减，在(1,1)上递增，在(1,)上递减，

\f(x)的极小值为f(-1)=a-2，极大值为f1a2．

（2）由（1）知，f(x)在(,1)上递减，在(1,1)上递增，在(1,)上递减，

而a2a2，即函数的极大值大于极小值．

∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线fx与x轴恰好有两个交点，即方程fx0

恰好有两个实数根，如图1所示．a20，即a2．

[在此处键入]

[在此处键入]

当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线fx与x轴恰有两个交点，即方程fx0恰

好有两个实数根，如图2所示．a20，即a2．

综上所述，当a2或a2时，方程fx0恰好有两个实数根．

例3．（2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数

f(x)ax3bx23x(a,bR)，且f(x)在x1和x3处取得极值.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)f(x)t，若g(x)f(x)t有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.

【解析】（1）f(x)3ax22bx3，

因为f(x)在x1和x3处取得极值，

所以x1和x3是方程f(x)＝0的两个根，

2b

131

3aa

则，解得3，经检验符合已知条件，

3

13b2

3a

1

所以f(x)x32x23x；

3

1

（2）由题意知g(x)x32x23xt,g(x)x24x3，

3

[在此处键入]

[在此处键入]

当x3或x1时，gx0，当1x3时，gx0，

所以函数gx在3,,,1上递减，在1,3上递增，

4

所以gxg3t,gxg1t，

极大值极小值3

又x取足够大的正数时，g(x)0，x取足够小的负数时，g(x)0，

因此，为使曲线yg(x)与x轴有一个交点，结合g(x)的单调性，

4

得：gxt0或gxt0，

极大值极小值3

4

∴t0或t，

3

4

即当t0或t时，使得曲线yg(x)与x轴有一个交点.

3

变式1．（2024·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）已知fxax3bx24a，

a,bR.

（1）当ab1，求yfx的极值；

（2）当a0，b2，设gxx2lnx1，求不等式fxgx的解集；

b

（3）当a0时，若函数fx恰有两个零点，求的值.

a

3222

【解析】（1）fxxx4，∴f'x3x2x0，x10，x.

23

222

x,,000,

333

f'x+0-0+

108

fx-4

27

2108

∴fx在x时，取极大值.

327

在x0时，取极小值-4.

（2）2x2x2lnx1，即x2lnx10，

1

设hxx2lnx1，h'x2x0，hx单调增函数，且h10，

x

∴不等式的解集为0,1.

[在此处键入]

[在此处键入]

2b

（3）f'x3ax22bx0x0，x，

123a

2b2b

1.b0，,0单调递增，0,单调递减，,单调递增，

3a3a

而f04a0，所以至多一个零点，（舍去）.

2.b0，f'x0fx单调增，所以至多一个零点，（舍去）.

2b2b

3.b0，,单调递增，,0单调递减，0,单调递增，

3a3a

而f04a0，f24a4b20，∴fx在0,上有一个零点，

2b2b

所以fx在，0上有一个零点，根据fx在,单调递增，,0单调递减.

3a3a

2bb

∴f03.

3aa

变式2．（2024·河北保定·高三统考阶段练习）已知函数f(x)x33x23x.

（1）求函数fx的图象在点x0处的切线方程；

（2）若f(x)1x3m在x0,2上有解，求m的取值范围；

（3）设fx是函数fx的导函数，fx是函数fx的导函数，若函数fx的零点为

x0，则点x0,fx0恰好就是该函数fx的对称中心.试求

1220182019

ffff的值.

1010101010101010

【解析】（1）因为f(x)3x26x3

所以所求切线的斜率kf03

又因为切点为0,0

所以所求的切线方程为y3x

3

（2）因为fx1xm，所以3x23x1m

因为fx1x3m在x0,2上有解，

所以m不小于3x23x1在区间0,2上的最小值.

[在此处键入]

[在此处键入]

2

因为时，2111，

x0,23x3x13x7,

244

所以m的取值范围是7,.

（3）因为fx3x26x3，所以fx6x1.

令fx0可得x01，

所以函数fx的对称中心为1,1，

即如果x1x22，则fx1fx22，

122018201920192

所以ffff2019.

10101010101010102

变式3．（2024·山西太原·高三太原市外国语学校校考阶段练习）已知三次函数

f(x)x3bx2cxd(a,b,cR)过点(3,0)，且函数f(x)在点(0,f(0))处的切线恰好是直线

y0.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)9xm1，若函数yf(x)g(x)在区间[2,1]上有两个零点，求实数m的

取值范围.

【解析】（1）f(x)x3bx2cxdf(x)3x22bxc，

f(3)279b3cd0b3

由题意可知：f(0)c0c0f(x)x33x2；

f(0)d0d0

（2）令yf(x)g(x)0mx33x29x1，

设h(x)x33x29x1h(x)3x26x93(x3)(x1)，

当x[2,1)时，h(x)0,h(x)单调递增，当x(1,1]时，h(x)0,h(x)单调递减，

所以h(x)maxh(1)6,h(2)1,h(1)10，

因为函数yf(x)g(x)在区间[2,1]上有两个零点，

所以直线ym与函数h(x)x33x29x1(x[2,1])的图象有两个交点，

故有1m6，即实数m的取值范围为[1,6).

[在此处键入]

[在此处键入]

1

变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)x3ax，gxx2aaR．

3

(1)若函数F(x)f(x)g(x)在x[1,)上单调递增，求a的最小值；

(2)若函数G(x)f(x)g(x)的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

1

【解析】（1）F(x)f(x)g(x)x3axx2a，F(x)x22xa，

3

因函数F(x)f(x)g(x)在x[1,)上单调递增，

所以F(x)x22xa0在x[1,))恒成立，即a3，

a的最小值为3．

1

（2）G(x)f(x)g(x)x3x2axa，

3

G(x)x22xa，44a4(1a)．

①若a1，则0，G(x)0在R上恒成立，

G(x)在R上单调递增．G(0)a0，G32a0，

当a1时，函数G(x)的图象与x轴有且只有一个交点．

②若a1，则0，

G(x)0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，(x1x2)．

x1x22，x1x2a．

当x变化时，G(x)，G(x)的取值情况如下表：

xx

x(,x1)1(x1,x2)2(x2,)

G(x)00

G(x)增极大值减极小值增

[在此处键入]

[在此处键入]

22

x12x1a0，ax12x1，

111

G(x)x3x2axax3x2axx22xx3(a2)x

13111311111311

1

x[x23(a2)]，

311

1

同理G(x)x[x23(a2)]，

2322

1

G(x)G(x)xx[x23(a2)][x23(a2)]

1291212

1

(xx)[(xx)23(a2)(x2x2)9(a2)2]

9121212

1222

aa3(a2)[(x1x2)2x1x2]9(a2)

9

2

42433

aa3a3aa．

9924

因为Gx有且只有一个零点，故G(x1)G(x2)0，解得a0．

故当0a1时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点．

综上所述，a的取值范围是(0,)．

题型二：三次函数的最值、极值问题

11

例4．（2024·云南·高三统考期末）已知函数f(x)x3x22ax，g(x)x24.

32

（1）若函数f(x)在0,上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；

（2）设G(x)f(x)g(x).若0a2，G(x)在1,3上的最小值为ha，求ha的零点.

【解析】（1）∵f(x)在0,上存在单调递增区间，∴f'(x)x22x2a0在0,上

有解，

又f(x)是对称轴为x1的二次函数，所以f'(x)在0,上的最大值大于0，

而f'(x)的最大值为f'112a，∴12a0，

1

解得：a.

2

11

（2）G(x)f(x)g(x)x3x22ax4，

32

∴G'(x)x2x2a，

[在此处键入]

[在此处键入]

118a118a

由G'(x)0得：x，x，

1222

则G(x)在,x1，x2,上单调递减，在x1,x2上单调递增，

又∵当0a2时，x10，1x23，

∴G(x)在1,3上的最大值点为x2，最小值为G1或G3，

14

而G3G14a，

3

14711

1当4a0，即0a时，haG36a0，得a，

36212

1

此时，ha的零点为；

12

1472525

2当4a0，即a2时，haG12a0，得a（舍）.

36612

1

综上ha的零点为.

12

11

例5．（2024·高三课时练习）已知函数f(x)x3x22ax，g(x)x24.

32

（1）若函数f(x)在0,上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；

1

（2）设G(x)f(x)g(x).若0a2，G(x)在1,3上的最小值为，求G(x)在1,3上取

3

得最大值时，对应的x值.

【解析】（1）∵f(x)在0,上存在单调递增区间，

∴fxx22x2a0在0,上有解，

即在上成立，

fxmax00,

而fx的最大值为f112a，

∴12a0，

1

解得：a.

2

11

（2）G(x)f(x)g(x)x3x22ax4，

32

∴Gxx2x2a，

118a118a

由Gx0得：x，x，

1222

[在此处键入]

[在此处键入]

则G(x)在,x1，x2,上单调递减，在x1,x2上单调递增，

又∵当0a2时，x10，1x23，

∴G(x)在1,3上的最大值点为x2，最小值为G1或G3，

14

而G3G14a，

3

147111

1当4a0，即0a时，G36a，得a，

362336

311

此时，最大值点x；

26

1472519

2当4a0，即a2时，G12a，得a（舍）.

36634

311

综上G(x)在1,3上的最大值点为.

6

例6．（2024·江苏常州·高三常州市北郊高级中学校考期中）已知函数f(x)=x3ax2a2x1，

其中a>0.

(1)当a=1时，求f(x)的单调增区间；

1

(2)若曲线y=f(x)在点a,fa处的切线与y轴的交点为（0，b），求b+的最小值.

a

【解析】(1)当a=1时，fx3x22x13x1x1，

1

令f¢(x)>0，得x或x1，

3

1

故fx的增区间为,，1,.

3

(2)fx3x22axa2，则fa4a2，而faa31，

故曲线yfx在a,fa的切线方程为：

y4a2xaa314a2x3a31，

3

它与y轴的交点为0,3a1，故b3a31，

11

故b3a31，其中a0，

aa

4

319a1

设ga3a1,a0，则ga，

aa2

33

当0a时，ga0；a时，ga0，

33

[在此处键入]

[在此处键入]

骣

琪33

故ga在琪0,上为减函数，在,上为增函数，

桫33

43143

故ga1即b的最小值为1.

min3a3

1

变式5．（2024·广东珠海·高三校联考期中）已知函数fxx3ax2a21xb（a，

3

bR），其图象在点1,f1处的切线方程为xy30．

(1)求a，b的值；

(2)求函数fx的单调区间和极值；

(3)求函数fx在区间2,5上的最大值．

【解析】（1）f(x)x22axa21，f(1)12aa21a22a，

12

f(1)aa21ba2ab，

33

又图象在点1,f1处的切线方程为xy30，

a22a1a1

所以，解得；

228

1(aab)30b

33

18

（2）由（1）得f(x)x3x2，f(x)x22xx(x2），

33

x0或x2时，f(x)0，0x2时，f(x)0，

所以f(x)的增区间是(,0)和(2,)，减区间是(0,2)，

84

极大值是f(0)，极小值是f2；

33

（3）由（2）知f(x)在[2,0]和[2,5]上递增，在(0,2)上单调递减，

58

又f(2)4，f(5)，

3

58

所以f(x)在[2,5]上的最大值是，最小值是4．

3

变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)x3ax2x，aR，且f(1)0．

(1)求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值．

【解析】（1）由f(x)x3ax2x得f(x)3x22ax1，

f(1)32a10，解得a1

[在此处键入]

[在此处键入]

f(x)x3x2x，f(x)3x22x1

f(1)1111,f(1)3214

曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y14x1，

即y4x3；

11

（2）由（1），令f(x)0得x或x1，令f(x)0得x1，

33

函数f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增，

又f(0)0,f(3)3332315，

函数f(x)在区间[0,3]上的最大值为f(3)15

变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)x33bx2cxd在(,0)上是增函数，

在(0,2)上是减函数，且f(x)0的一个根为b

（1）求c的值；

（2）求证：f(x)0还有不同于b的实根x1、x2，且x1、b、x2成等差数列；

（3）若函数f(x)的极大值小于16，求f(1)的取值范围

【解析】（1）fx3x26bxc，

由题意，可知x0是极大值点，故f00,c0.

（2）令fx0，得x0或2b,

由fx的单调性知2b2,b1，

b是方程fx0的一个根，

32

则b3bbd0d2b3，

fxx33bx22b3xbx22bx2b2，

方程x22bx2b20的根的判别式，

4b242b212b20，

2

又b2bb2b23b20，（b1）

即b不是方程x22bx2b20的根

[在此处键入]

[在此处键入]

fx0有不同于b的根x1、x2，

x1x22b，x1、b、x2成等差数列.

（3）根据函数的单调性可知x0是极大值点,

f0162b316b2，于是2b1,

令gbf12b33b1，

求导gb6b23，

2b1时，gb0，

gb在2,1上单调递减，

g1gbg2，

即0f111.

1

变式8．（2024·浙江宁波·高三效实中学校考期中）已知函数f(x)x3ax2(a2)x1(其

3

中a0).

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若f(x)有两个不同的极值点x1，x2，求f(x1)f(x2)的取值范围.

【解析】（1）f(x)x22axa2,=4(a2-a-2)

①当=4(a2-a-2)£0即0a2时，f(x)0，\f(x)在R上单调递增；

②当时，2，2，xx

a2f(x)0x1aaa2x2aaa212

f(x)在(,x1)，(x2,)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减.

2

(2)x1，x2为f(x)x2axa20(a2)的两根，

4

f(x)f(x)a32a24a2，

123

4

设g(a)a32a24a2(a2)

3

g(a)4a24a44(a2a1)，

[在此处键入]

[在此处键入]

当a2时，g(a)=4(a2a1)0

g(a)在(2,)上单调递减

2222

g(a)g(2)，即fxfx.

3123

题型三：三次函数的单调性问题

例7．（2024·陕西商洛·高三校考阶段练习）已知三次函数

1

fxx34m1x215m22m7x2在R上是增函数，则m的取值范围是()

3

A．m<2或m>4B．－4<m<－2C．2<m<4D．2≤m≤4

【答案】D

【解析】f'xx224m1x15m22m7，由题意得x224m1x15m22m70

恒成立，

22

44m1415m22m764m232m460m28m284m6m80，

2m4，故选D.

例8．（2024·全国·高三专题练习）三次函数f(x)mx3x在(,)上是减函数，则m的

取值范围是（）

A．m0B．m1C．m0D．m£1

【答案】A

【解析】对函数f(x)mx3x求导，得f(x)3mx21

因为函数f(x)在(,)上是减函数，则f(x)0在R上恒成立，

即3mx210恒成立，

当x20，即x0时，3mx210恒成立；

11

当2，即时，2，则，即3m，

x0x0x03m22

xxmin

1

因为0，所以3m0，即m0；

x2

又因为当m0时，f(x)x不是三次函数，不满足题意，

所以m0.

故选：A．

1m11

例9．（2024·江西宜春·高三校考阶段练习）已知函数f(x)x3-x2，g(x)mx，m

323

[在此处键入]

[在此处键入]

是实数.

（1）若f(x)在区间(2,+∞)为增函数，求m的取值范围；

（2）在（1）的条件下,函数h(x)f(x)g(x)有三个零点，求m的取值范围.

【解析】(1)fxx2m1x，因为fx在区间2,为增函数,

所以fxxxm10在区间2,恒成立,

所以xm10,即mx1恒成立,由x2,得m1.

所以m的取值范围是,1.

1m11

(2)hxfxgxx3x2mx，

323

所以hxx1xm,令hx0,解得xm或x1,

2

m1时,hxx10,hx在R上是增函数,不合题意,

m1时,令hx0,解得xm或x1,令hx0,解得mx1,

所以hx在,m,1,递增,在m,1递减,

111m1

所以hx极大值为hmm3m2,hx极小值为h1,

6232

111

m3m20

623

要使fxgx有3个零点,需，解得m13.

m1

0

2

所以m的取值范围是,13.

变式9．（2024·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知三次函数f(x)ax3bx3在

x1处取得极值，且在(0,3)点处的切线与直线3xy0平行.

（1）求f(x)的解析式；

（2）若函数g(x)f(x)mx在区间(1，2)上单调递增，求m的取值范围.

f(1)3ab0a1

【解析】（1）f(x)3ax2b，由题意，解得，

f(0)b3b3

所以f(x)x33x3；

（2）由（1）g(x)x3(m3)x3，g(x)3x2(m3)，

[在此处键入]

[在此处键入]

g(x)在(1,2)是递增，则g(x)3x2(m3)0在(1,2)上恒成立，

m33x2，x(1,2)时，933x20，所以m0．

1

变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxx32ax4在1,2上单调递增，则a

3

的取值范围为______．

1

【答案】32,

2

2

【解析】①当2ax40对任意的x1,2恒成立时，则a1，

xmax

1

则fxx32ax4，fxx22a0对任意的x1,2恒成立，

3

x211

则a，此时1a；

2min22

2

②当2ax40对任意的x1,2恒成立时，则a2，

xmin

1

则fxx32ax4，fxx22a0对任意的x1,2恒成立，

3

x21

则a，此时a不存在；

2max2

12

x32ax4,1x

23a

③当2a1时，1,2，则fx，

a12

x32ax4,x2

3a

2

22x1

当x1,时，fxx2a0恒成立，则a；

a2min2

2x22

当时，2恒成立，则，可得3，解得

x,2fxx2a0a2a2

a2maxa

a32，

此时32a1.

1

综上所述，实数a的的取值范围为32,.

2

1

故答案为：32,.

2

题型四：三次函数的切线问题

例10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)x3x．

[在此处键入]

[在此处键入]

(1)求曲线yf(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；

(2)设常数a0，如果过点P(a,m)可作曲线yf(x)的三条切线，求m的取值范围．

【解析】（1）函数f(x)x3x，f(x)3x21．

切线方程为yf(t)f(t)(xt)，即y(3t21)x2t3．

（2）由已知关于t的方程m(3t21)a2t3，即m2t33at2a(a0)有三个不等实根．

令g(t)2t33at2a，则g(t)6t(ta)．

可知g(t)在(,0)递减，在(0,a)递增，在(a,)递减，

g(t)的极小值为：g(0)a，极大值为g(a)a3a．

所以ama3a.

例11．（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知函数fxx33x2x1.

（1）求曲线yfx在点Pt,ft处的切线方程；

（2）设m1，若过点Qm,n可作曲线yfx的三条切线，证明:2mnfm.

【解析】（1）f(x)3x26x1则在点P处的切线方程为yftftxt

整理得y3t26t1x2t33t21

（2）n3t26t1m2t33t21

构造函数gt3t26t1m2t33t21n，

即gt2t33(1m)t26mtm1n过点Qm,n可做曲线yfx的三条切线等价于

函数gt有三个不同的零点.

gt6t1tm，故函数gt在，1上单调递减，1,m上单调递增，m,上

单调递减，

g102mn0

所以，即32可得2mnfm

gm0m3mm1n0

11

例12．（2024·江苏·高三专题练习）已知函数fxx3ax2a1x2aR，f(x)满

32

足f(x)f(x)4，已知点M是曲线yf(x)上任意一点，曲线在M处的切线为l.

[在此处键入]

[在此处键入]

(1)求切线l的倾斜角的取值范围；

4

(2)若过点P(1,m)m可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

3

1111

【解析】（1）因为f(x)f(x)4，则x3ax2a1x2x3ax2a1x24，

3232

1

解得a0，所以f(x)x3x2，

3

则f(x)x21，故k1，tan1，

33

[0，)[，)，切线l的倾斜角的的取值范围是[0，)[，).

2424

413

（2）设曲线yf(x)与过点P(1，m)m的切线相切于点x0,x0x02，

33

2132

则切线的斜率为kx1，所以切线方程为yx0x02x01xx0

03

4

因为点P(1，m)m在切线上，

3

132232

所以mx0x02x011x0，即mxx1，

3300

由题意，该方程有三解

2

设gxx3x21，则gx2x22x2xx1，令g(x)0，解得x0或x1，

3

当x0或x1时，g(x)0